Suites et séries numériques (complément pour 5/2)
Exercice 1 Soit (un) la suite définie par u0∈ Ret pour tout n ∈ N, un+1= (n + 1)un−(n + 2). Donner une condition
nécessaire et suffisante portant sur u0pour que cette suite soit bornée.
Exercice 2 Soit (bn)n>1la suite définie par b1= 2 et bn= bbn/2c+ 1 pour n > 2. Trouver un équivalent de bn.
Exercice 3 Soit (an) une suite croissante de réels strictement positifs telle que lim an= +∞.
Quelle est la nature de la série de terme généralan−an−1
an
?
Exercice 4 Soit f : N → N une application injective. Déterminer la nature de la sérieXf (n)
n2 .
Exercice 5 Soit (un) une suite de réels positifs tels que pour tout n ∈ N
∗ , 2n X k=n+1 uk6 1 n n X k=1 uk.
Montrer que la sérieXunconverge.
Exercice 6 Déterminer la nature de la série de terme général un= ln tan
Xn k=0 (−1)k 2k + 1 ! .
Exercice 7 Soit (un) une suite décroissante de réels positifs tels que
X unconverge. Montrer que un= o 1 n (déjà vu mais essentiel).
Exercice 8 Soit (un) une suite décroissante telle que la série
X unconverge. Pour p ∈ N∗on note Ep= n ∈ N un >1 p . a) L’ensemble Epest-il fini ?
b) Pour p ∈ N∗on pose ap= card Ep. Montrer que limp→+∞
ap
