COURS 14 FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES 2020 2021

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CHAPITRE 14

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES

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Ce chapitre est consacré à l’étude des fonctionsfde Rpdans R. On a parlé de leur continuité dans le chapitre sur les espaces vectoriels normés et on va maintenant voir leur aspect “dérivable”. Par contre, un taux d’accroissement f(x0+h)−f(x0)

h n’a pas de sens en g´en´eral pour un vecteurh∈ R

p_d`_{es que}_p_>₂_{. On} va donc considérer des dérivées partielles (en cas d’existence) qui correspondent à la dérivée d’une fonction vectorielle dans une direction donnée.

Ces notions de dérivées successives des fonctions vectorielles interviennent dans la détermination des extrema des fonctions vectorielles et dans les équations aux dérivées partielles.

Une équation aux dérivées partielles (abrégé en EDP) est une équation différentielle dont les solutions sont les fonctions inconnues dépendant de plusieurs variables vérifiant certaines conditions concernant leurs dérivées partielles. Elle a souvent de très nombreuses solutions, les conditions étant moins strictes que dans le cas d’une équation différentielle ordinaire à une seule variable. Les problèmes comportent souvent des conditions aux limites qui restreignent l’ensemble des solutions. Alors que les ensembles de solutions d’une ´

equation différentielle ordinaire sont paramétrées par un ou plusieurs paramètres correspondant aux condi-tions supplémentaires, dans le cas des EDP, les conditions aux limites permettent de paramétrer les solutions par l’intermédiaire de fonctions ; intuitivement cela signifie que l’ensemble des solutions est beaucoup plus grand (de dimension infinie dans le cas des équations linéaires), ce qui est vrai dans la quasi-totalité des problèmes.

Les EDP sont omniprésentes dans les sciences puisqu’elles apparaissent aussi bien en dynamique des structures ou en mécanique des fluides que dans les théories de la gravitation, de l’électromagnétisme (´_{equations de Maxwell), ou des mathématiques financières (équation de Black-Scholes). Elles sont} primordiales dans des domaines tels que la simulation aéronautique, la synthèse d’images, ou la prévision météorologique. Enfin, les équations les plus importantes de la relativité générale et de la mécanique quan-tique sont également des EDP (´_{equation de champ d’Einstein et de Schr¨}_odinger).

L’un des sept problèmes du prix du millénaire consiste à montrer l’existence et la continuité par rapport aux données initiales d’un système d’EDP appelé ´_{equations de Navier-Stokes.}

TABLE DES MATI`

ERES

Partie 1 : fonctions de classeC1

- 1 : dérivées partielles. . . .page 194 - 2 : règle de la chaˆıne et gradient. . . .page 197 Partie 2 : fonctions de classeC2

- 1 : définition et propriétés. . . .page 200 - 2 : Schwarz et changement de coordonnées. . . .page 201 Partie 3 : extrema

- 1 : définitions et condition nécessaire. . . .page 202 - 2 : recherche pratique des extrema. . . .page 203 Partie 4 : applications g´eométriques

- 1 : courbes. . . .page 205 - 2 : surfaces. . . .page 206

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REMARQUE 14.1 : Rappels, soitf:U→ R eta un point deU⊂ Rpest un ouvert :

•fest continue enasi et seulement si∀ε > 0, ∃α > 0, ∀x∈U, ||x−a||< α=⇒ |f(x)−f(a)|< ε. • Cette définition ne dépend pas de la norme employée dans Rp_{car elles sont toutes ´}_{equivalentes.}

• Sifest lipschitzienne surB(a, r)∩U, pourr > 0alorsfest continue ena.

• Pourh∈ Rp, l’applicationφh:t∈ R 7→f(a+th) est d´efinie sur un intervalle ]−r;r[ et sifest

continue ena, l’applicationφhest continue en0pour touth∈E(continuit´e partielle selonh).

• fpartiellement continue (selon toute direction) ena n’y est pas forc´ement continue.

EXEMPLE 14.1 : •f1(x, y) = x 2₋_2y2 √

x2+y2

est prolongeable par continuit´e en (0, 0).

• f₂(x, y) = 2xy

|x| + |y| si (x, y)̸= (0, 0) etf(0, 0) =0est continue sur R 2_.

• f3(x, y) =x 2₋_y2

x2+y2 n’est pas prolongeable par continuit´e en (0, 0).

•f4(x, y) = xy 2

x2+y4 non plus en (0, 0) mˆeme si elle partiellement continue en (0, 0) et ceci dans toutes les directions (c’est-`a-dire t7→f4(ta, tb) tend vers0si (a, b)∈ R2est un vecteur non nul).

PARTIE 14.1 : FONCTIONS DE CLASSE C

1

REMARQUE 14.2 : On se donne un ouvertUde Rp_{(muni de n’importe quelle norme) :}

• Ainsi, sia∈U, il existe un r´eelr > 0tel queB(a, r)⊂U.

• Comme les vecteurs de la base canoniqueB= (e₁,· · ·, e_n) de Rp_{sont unitaires pour les normes}

utilis´ees en pratique (||.||₁,||.||₂ et||.||_∞), on a : ∀k∈ [[1;p]], ∀t∈] −r;r[, a+te_k ∈U.

14.1.1 : D´

eriv´

ees partielles

REMARQUE 14.3 : Soitf:U→ R eta∈Uavecr > 0tel que B(a, r)⊂U.

Pour tout entierk∈ [[1;p]], on d´efinit la fonctionφk:]−r;r[→ R par ∀t∈] −r;r[, φk(t) =f(a+tek).

D ´EFINITION 14.1 :

Soit f : U → R et a ∈ U, avec les notations précédentes, on dit que f admet une dérivée partielle d’ordre 1 par rapport à la k-i`eme variable si φk est dérivable en 0 et on définit alors cette dérivée

partielle par, not´ee∂kf(a) ou _∂x∂f

k(a) par∂kf(a) = ∂f ∂xk(a) =φ ′ k(0) =_tlim_→0 f(a+te_k)−f(a) t .

REMARQUE 14.4 : Dans le cas d’une fonction de deux variables f: R2 → R souvent introduite dans

les exercices par f: (x, y)7→f(x, y), sia= (a1, a2)∈ R2 : ∂₁f(a) =∂₁f(a₁, a₂) = ∂f ∂x1(a) = ∂f ∂x(a1, a2) =lim t→0 f(a1+t, a2)−f(a1, a2) t . ∂2f(a) =∂2f(a1, a2) =_∂x∂f 2(a) = ∂f ∂y(a1, a2) =lim t→0 f(a₁, a₂+t)−f(a₁, a₂) t . ⊙

Par exemple, en dehors de tout point singulier (ou la fonction est prolongée par continuité par exemple), les dérivées partielles se calculent naturellement en “fixant” une des variables et en dérivant par rapport à l’autre : pour calculerδ1f(a), on fixea2et on dérive par rapport àx(en prenant la valeur finale en (a1, a2)).

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PROPOSITION OP ÉRATOIRE SUR LES D ÉRIV ÉES PARTIELLES 14.1 :

Soit a ∈ U et f, g : U→ R des fonctions qui admettent des dérivées partielles d’ordre 1 en a telles que g(a)̸=0. Soit φ:I→ R dérivable en f(a) avecI intervalle ouvert :

• f+g en admet aussi et∀k∈ [[1;p]], ∂(f+g) ∂xk (a) = ∂f ∂xk(a) + ∂g ∂xk(a). • λf en admet aussi et ∀k∈ [[1;p]], ∂_∂x(λf) k (a) =λ ∂f∂xk(a). • fgen admet aussi et ∀k∈ [[1;p]], ∂_∂x(fg) k (a) =g(a) ∂f ∂x_k(a) +f(a) ∂g ∂x_k(a). • f g en admet aussi et ∀k∈ [[1;p]], ∂(f/g) ∂xk (a) = 1 g(a)2 ( g(a) ∂f ∂xk(a)−f(a) ∂g ∂xk(a) ) . • φ◦fen admet aussi et ∀k∈ [[1;p]], ∂(φ◦f) ∂xk (a) = ∂f ∂xk(a)×φ ′(_f₍_a₎)_.

D´emonstration : Poura ∈ U,k ∈ [[1;p]], notons comme dans la d´efinition ci-dessus les deux fonctions

φk:]−r;r[→ Retψk:]−r;r[→ Rd´efinies parφk(t) =f(a+tek)etψk(t) =g(a+tek), elles sont, par

hypoth`ese, d´erivables en0avecφ′_k(0) = ∂f

∂xk(a)etψ

′

k(0) = ∂g ∂xk(a).

Par rapport aux cinq points de la proposition, on en déduit par opérations sur les fonctions dérivables que les fonctions

t7→ (f+g)(a+te_k),t7→ (λf)(a+te_k),t7→ (fg)(a+te_k),t7→ (f/g)(a+te_k)ett7→ (φ◦f)(a+te_k)

sont d´erivables en 0 car elles sont d´efinies au moins sur ]−r;r[ et qu’elles valent respectivement φ_k +ψ_k,

λφk, φk ×ψk, φk ψk

et φ◦φk. De plus, leurs d´eriv´ees en 0 valent bien, respectivement, φ′k(0) +ψ′k(0), λφ′_k(0),φ′_k(0)×ψk(0) +φk(0)×ψ′k(0),

φ′_k(0)ψk(0)−φk(0)ψ′k(0) (ψk(0))2

etφ′_k(0)×φ′(φk(0)), c’est-`a-dire,

puisqueφk(0) = f(a)etψk(0) = g(a) ̸=0, les valeurs attendues, `a savoir _∂x∂f k(a) + ∂g ∂x_k(a),λ ∂f∂x_k(a), g(a) ∂f ∂xk(a) +f(a) ∂g ∂xk(a), 1 g(a)2 ( g(a) ∂f ∂xk(a)−f(a) ∂g ∂xk(a) ) et ∂f ∂xk(a)×φ ′(_f₍_a₎)_.

EXERCICE CLASSIQUE 14.2 : Soitf: R2→ R d´efinie parf(x, y) =xyx 2₋

y2

x2+y2si (x, y)̸= (0, 0) etf(0, 0) =0. Calculer en tout point (x, y)∈ R2les d´eriv´ees partielles d’ordre1def.

REMARQUE 14.5 : Sif: R3_{→ R est pr´esent´ee par}_f_{: (}_{x, y, z}₎_7→_f₍_{x, y, z}_{), si}_a_{= (}_a

1, a2, a3)∈ R3: ∂₁f(a) =∂₁f(a₁, a₂, a₃) = ∂f ∂x1f(a) = ∂f ∂x(a1, a2, a3) =lim t→0 f(a1+t, a2, a3)−f(a1, a2, a3) t . ∂2f(a) =∂2f(a1, a2, a3) =_∂x∂f 2f(a) = ∂f ∂y(a1, a2, a3) =lim t→0 f(a₁, a₂+t, a₃)−f(a₁, a₂, a₃) t . ∂3f(a) =∂3f(a1, a2, a3) =_∂x∂f 3f(a) = ∂f ∂z(a1, a2, a3) =lim t→0 f(a₁, a₂, a₃+t)−f(a₁, a₂, a₃) t . D ´EFINITION 14.2 :

Soitf:U→ R, on dit quef est de classe C1 sur U si ses d´eriv´ees partielles d’ordre 1 existent et sont continues sur U. On noteC1(U,R) l’ensemble des fonctions de classeC1sur U.

EXERCICE CLASSIQUE 14.3 : Montrer quefd´efinie ci-dessus est de classeC1 sur R2_.

f:U→ R admet ena∈Uun d´eveloppement limit´e d’ordre1 s’il existeα₁,· · ·, α_p tels que :

f(a+h) =

0f(a) +α1h1+· · · +αphp+o (

||h||) sih= (h1,· · ·, hp)

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TH ÉOR ÈME SUR L’EXISTENCE D’UN D ÉVELOPPEMENT LIMIT É D’ORDRE1 POUR UNE FONCTION DE CLASSE C1 SUR UN OUVERT ( ÉNORME) 14.2 :

Soit f:U→ R de classe C1, alors f admet en tout pointa∈Uun d´eveloppement limit´e : f(a+h) = 0f(a) +h1 ∂f ∂x1(a) +· · · +hp ∂f ∂xp(a) +o ( ||h||) si h= (h1,· · ·, hp).

Démonstration : On va faire la démonstration avecp=2, le cas général se fait avec les mêmes arguments. SoitB= (e1, e2)la base canonique de R2,a=a1e1+a2e2. On choisit la norme 1 dans R2. Soitr > 0tel que B₁(a, r)⊂U, pourh= (h₁, h₂)∈ R2_{, si}_||_h_|| 1< ret∆ =|f(a+h)−f(a)−h1_∂x∂f 1(a)−h2 ∂f ∂x2(a)|: ∆6f(a+h)−f(a1+h1, a2)−h2_∂x∂f 2(a) +f(a1+h1, a2)−f(a)−h1_∂x∂f 1(a)

par inégalité triangulaire. Par le théorème des accroissements finis,∃c1∈]a1;â1+h1[, f(a1+h1, a2)−f(a1, a2) =h1_∂x∂f

1(c1, a2) et∃c2 ∈]a2;^a2+h2[, f(a1+h1, a2+h2)−f(a1+h1, a2) =h2_∂x∂f 2(a1+h1, c2). Par continuit´e de ∂f ∂xj ena(j=1ou2) :∀ε > 0, ∃αj> 0, ∀k∈E, ||k||16αj=⇒ ∂f ∂xj(a+k)− ∂f ∂xj(a) 6ε.

Pourε > 0 etα1 etα2 associ´es dans l’implication ci-dessus, si h ∈ R2 et||h||1 6 β = Min(r, α1, α2),

∂x₂(a)| 6ε||h||1ce qui est la définition du développement limité attendu.

PROPOSITION SUR UNE CONDITION SUFFISANTE DE CONTINUIT ´E 14.3 : Une fonction de classe C1 sur Uest continue sur U.

D´emonstration : Revenons en dimensionpquelconque. Soita∈U. L’applicationφ: Rp_{→ R}_d´_{efinie par} φ(h) =h₁ ∂f

∂x1(a) +· · · +hp ∂f

∂xp(a)est lin´eaire donc continue (dimension finie) : hlim→0φ(h) =φ(0) =0.

D’après le développement limité du théorème précédent, lim h→0

(

f(a+h)−f(a)−φ(h))=0car, par exemple pouε = 1, on af(a+h)−f(a)−φ(h) 6 ||h||d`es que ||h|| est assez petit. Ainsi, par somme, comme

f(a+h)−f(a) =(f(a+h)−f(a)−φ(h))+φ(h), lim

h→0(f(a+h)−f(a) )

=0:fest continue ena.

REMARQUE 14.6 : Attention : sifadmet en tout point deUdes dérivées partielles sans qu’elles soient continues, cela n’implique même pas la continuité defsurU.

TH ÉOR ÈME OP ÉRATOIRE SUR LES FONCTIONS DE CLASSE C1 14.4 :

Soit f, g : U → R des fonctions de classe C1 sur U telles que g ne s’annule pas sur U. Soit φ:I→ R de classe C1 sur I intervalle ouvert avec f(U)⊂I :

• f+g est de classe C1 sur U et∀k∈ [[1;p]], ∂(f+g) ∂xk =

∂f ∂xk +

∂g ∂xk.

• λf est de classe C1 sur Uet∀k∈ [[1;p]], ∂_∂x(λf)

k =λ ∂f∂xk.

• fg est de classe C1 sur Uet ∀k∈ [[1;p]], ∂_∂x(fg) k =g× ∂f ∂xk +f× ∂g ∂xk. • f g est de classe C 1 _sur _U_et_∀_k_{∈ [[}₁_;_p_]]_, ∂(f/g) ∂xk = 1 g2 ( g× ∂f ∂xk −f× ∂g ∂xk ) .

• φ◦f est de classe C1 sur Uet∀k∈ [[1;p]], ∂(φ◦f) ∂xk =

∂f ∂xk ×

( φ′◦f).

Démonstration : D’après la proposition 14.1, avec ces hypothèses, les dérivées partielles de ces fonctionsf+g,

λf,f×g,f/g,φ◦fexistent et leurs expressions ponctuelles se traduisent globalement surUpar les relations ci-dessus. D’après ces relations, lespdérivées partielles sont continues surUpar opérations (somme, multiplication par une constante, produit, rapport, composée). Ainsi, par définition, ces cinq fonctions sont de classeC1surU.

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REMARQUE 14.7 : •C1(U,R) est donc une alg`ebre.

• Les fonctions polynomiales, les fonctions rationnelles (là où le dénominateur ne s’annule pas) et les composées par des fonctions usuelles sont de classe C1 par ces opérations car les applications ´

el´ementairespk: (x1,· · ·, xp)7→xk sont clairement de classeC1sur Rp.

EXEMPLE 14.4 : f: R3→ R d´efinie parf(x, y, z) = x

2_y₊_sin₍_x3_z₊_y2_x₎

2 ch(x+y+z) +cos(xyz) est de classeC 1_.

Démonstration : (x, y, z) 7→ x,(x, y, z) 7→ yet(x, y, z) 7→ zsont continues sur R3 car linéaires (en dimension finie). De plus, les fonctionssin,ch,cossont continues sur R.fest donc continue surR3par composée, somme, produit, rapport car pour(x, y, z)∈ R3_{, on a}_{2 ch}₍_x₊_y₊_z_{) +}_cos₍_xyz₎_>_{2 ch}₍₀₎₋₁₌_{1 > 0}_.

Sif:U→ R est de classeC1eta∈U, on d´efinit la différentielle defena, notéedf(a), c’est l’application df(a) : Rp→ R vérifiant ∀h= (h1,· · ·, hp)∈ Rp, df(a)(h) = p ∑ k=1 hk_∂x∂f k(a).

REMARQUE 14.8 : • On note aussidf(a).h `a la place dedf(a)(h).

• La différentielle defenaest donc une forme linéaire sur Rp_.

14.1.2 : R`

egle de la chaˆıne et gradient

TH ÉOR ÈME DIT R ÈGLE DE LA CHAÎNE ( ÉNORME) 14.5 :

Soit f:U→ R de classe C1 etx1,· · ·, xp les coordonn´ees de f: ∀t∈I, x(t) = (

x1(t),· · ·, xp(t) )

∈U. Alors la fonction g:I→ R d´efinie par g(t) =f(x1(t),· · ·, xp(t)

)

est de classe C1 sur I et on a :

∀t∈I, g′(t) =x′₁(t) ∂f ∂x1 ( x(t))+· · · +x′_p(t) ∂f ∂xp ( x(t)).

D´emonstration : A nouveau, on ne le montre que pour` p = 2, on adapte si p < 2. Pourt0 ∈ I et t∈I\ {t0}, on ag(t)−g(t0) =f ( x1(t), x2(t) ) −f(x1(t), x2(t0) ) +f(x1(t), x2(t0) ) −f(x1(t0), x2(t0) ) . `

A nouveau, on utilise le th´eor`eme des accroissements finis qui nous donne l’existence dec₂ ∈ [x₂(t^₀);x₂(t)]

tel quef(x₁(t), x₂(t))−f(x₁(t), x₂(t₀)) = (x₂(t)−x₂(t₀)) ∂f ∂x2 ( x₁(t), c₂) et dec₁ ∈ [x₁(t^₀);x₁(t)] tel quef(x1(t), x2(t0) ) −f(x1(t0), x2(t0) ) = (x1(t)−x1(t0) ) _∂f ∂x1 ( c1, x2(t0) )

(ceci fonctionne mˆeme si

x1(t0) =x1(t)ou six2(t0) =x2(t)grˆace aux segments qui ont remplac´e les intervalles ouverts).

Ainsi,g(t)−g(t₀) =(x₂(t)−x₂(t₀)) ∂f ∂x2 ( x₁(t), c₂)+(x₁(t)−x₁(t₀)) ∂f ∂x1 ( c₁, x₂(t₀))ce qui donne `a nouveau avec le TAFg(t)−g(t0) = (t−t0)x′2(t2)_∂x∂f

2 ( x1(t), c2 ) + (t−t0)x′1(t1)_∂x∂f 1 ( c1, x2(t0) ) avec

t1ett2dans]]t0;t[, qu’on a intérêt à écrire

g(t)−g(t0) t−t₀ =x ′ 2(t2)_∂x∂f 2 ( x1(t), c2 ) +x′₁(t1)_∂x∂f 1 ( c1, x2(t0) ) . Par continuit´e des fonctionsx₁,x′₁etx′₂ surI et de ∂f

∂x1, ∂f

∂x2 surU, commetlim→t0

t₁ = t₀, lim t→t0 t₂ =t₀, lim t→t0 x1(t) =x1(t0), lim t→t0 c1=x1(t0), lim t→t0

c2=x2(t0), ce qui implique (par les coordonn´ees en dimension

finie) lim t→t0

(c1, x2(t0)) = (x1(t0), x2(t0)) =x(t0), lim t→t0

(x1(t), c2) = (x1(t0), x2(t0)) =x(t0), on a aussi

les limites lim a→x(t0)

∂f

∂x₁(a) = ∂x∂f₁(x(t0))et lim a→x(t0)

∂f

∂x₂(a) = ∂x∂f₂(x(t0)), on obtient finalement la d´eriv´ee

souhait´eeg′(t₀) = lim t→t0 g(t)−g(t0) t−t₀ =x ′ 1(t0)_∂x∂f 1(x(t0)) +x ′ 2(t0)_∂x∂f 2(x(t0)).

EXEMPLE 14.5 : Soitx(t) =sin(t)cos(t),y(t) =cos2(t),z(t) =sin(t),f(x, y, z) =x2+y2+z2. Calculerg′(t) sig(t) =f(x(t), y(t), z(t)). Quelle interprétation donner à ce résultat ?

(6)

REMARQUE 14.9 : La règle de la chaˆıne permet la dérivée d’une quantité physique (température, altitude, pression, ...) le long d’une courbe paramétrée de classeC1donnée part7→(x1(t),· · ·, xp(t)

)

qui repr´esente un point en fonction du temps donc une “trajectoire” ponctuelle.

TH ÉOR ÈME DE CHANGEMENT DE COORDONN ÉES ( ÉNORME) 14.6 :

SoitUetV des ouverts de R2_et_{x, y}_:_U_{→ R de classe}_C1_,_f_:_V _{→ R de classe}_C1_{, le tout v´}_erifiant

∀(u, v)∈U, (x(u, v), y(u, v))∈V. Alors g:U→ R d´efinie par g(u, v) =f(x(u, v), y(u, v)) est de classe C1 sur U avec les relations :

∀(u, v)∈U, {_∂g ∂u(u, v) = ∂x∂u(u, v)∂f∂x ( x(u, v), y(u, v))+∂y ∂u(u, v)∂y∂f ( x(u, v), y(u, v)) ∂g ∂v(u, v) = ∂x∂v(u, v)∂x∂f ( x(u, v), y(u, v))+∂y ∂v(u, v)∂y∂f ( x(u, v), y(u, v))

Démonstration : D’abord,gest bien définie avec les conditions imposées ci-dessus.

Par définition,gest de classeC1 si et seulement sigadmet des dérivées partielles par rapport à uet à vet si celles-ci sont continues surU. gadmet une dérivée partielle d’ordre1par rapport àuen(u, v)si et seulement siφ₁:t7→g(u+t, v) =f(x(u+t, v), y(u+t, v))est dérivable en0et on aura alors ∂g

∂u(u, v) =φ′1(0).

Posons doncp:t7→(x(u+t, v), y(u+t, v))= (p1(t), p2(t))de sorte queφ1=f◦p. D’apr`es la r`egle de

la chaˆıne, commef,p1etp2doncpsont de classeC1par hypoth`ese, la fonctionφ1est elle-mˆeme de classeC1

et on aφ′₁(t) =p′₁(t)∂f

∂x(p(t)) +p′2(t)∂y∂f(p(t)) = ∂u∂x(u+t, v)∂f∂x(p(t)) + ∂y

∂u(u+t, v)∂y∂f(p(t)). On

prend maintenantt=0dans cette formule etφ′(0) = ∂g

∂u(u, v) = ∂u∂x(u, v)∂x∂f(p(0)) + ∂y

∂u(u, v)∂y∂f(p(0))

ce qui est la relation attendue sachant quep(0) = (x(u, v), y(u, v)).

On fait de même pour la seconde dérivée partielle qui vaut, si elle existe, ∂g

∂v(u, v) = φ′2(0) avec la fonction φ2:t7→g(u, v+t) =f

(

x(u, v+t), y(u, v+t))=f◦q(t)avecq:t7→(x(u, v+t), y(u, v+t)).

REMARQUE 14.10 :

• Comme on écrit (même en mathématique) rarement les points en lesquels on calcule les dérivées partielles, ces deux formules s’abrègent en :

{_∂g ∂u = ∂x∂u∂x∂f+ ∂y ∂u∂y∂f ∂g ∂v = ∂x∂v∂x∂f+ ∂y ∂v∂y∂f .

• En trois variables, si g : (u, v, w)7→f(x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w))(toutes les fonctions ´etant C1

sur des ouverts idoines), cela se transforme sans peine en

       ∂g ∂u = ∂x ∂u ∂f ∂x + ∂y ∂u ∂f ∂y+ ∂z ∂u ∂f ∂z ∂g ∂v = ∂x ∂v ∂f ∂x+ ∂y ∂v ∂f ∂y + ∂z ∂v ∂f ∂z ∂g ∂w = ∂x ∂w ∂f ∂x+ ∂y ∂w ∂f ∂y+ ∂z ∂w ∂f ∂z .

REMARQUE FONDAMENTALE 14.11 : Coordonn´ees polaires :

• Le passage en polaires correspond `a la fonctionφ: (r, θ)7→(r cos θ, r sin θ) d´efinie sur R2_.

• Ainsiφ(r, θ) = (x(r, θ), y(r, θ)) avecx(r, θ) =r cos θety(r, θ) =r sin θ. φn’est pas du tout injective. • Si on se donnef: R2_{→ R, on pose}_g₌_f_◦_φ_{ce qui revient `}_{a :} _g₍_{r, θ}_{) =}_f(_{r cos θ, r sin θ})_.

• Les fonctions f et g représentent la même quantité physique (température, enthalpie, pression,...) mais pas avec les mêmes coordonnées : f(1, 1) =g(√2, π

4 )

.

• Si f est de classe C1 sur R2_{, alors} _g _{est aussi de classe} _C1 _sur _R2 _{par le th´}_eor`_{eme pr´}_ec´_{edent, on}

obtient les relations :

{_∂g

∂r = cos θ ∂f∂x+sin θ ∂f∂y ∂g

∂θ = −r sin θ ∂f∂x+r cos θ ∂f∂y

.

• Sir̸=0, on peut inverser le syst`eme :

     ∂f ∂x = cos θ ∂g ∂r −sin θ_r ∂g ∂θ ∂f ∂y = sin θ ∂g ∂r +cos θ_r ∂g ∂θ .

(7)

D´emonstration : •On constate qu’en maths, a priori, on peut tolérer des rayons négatifs pour les coordonnées polaires. On dit juste qu’un pointM = (x, y)∈ R2admet des coordonnées polaires(r, θ)six =r cos(θ)et

y=r sin(t), ce qui équivaut géométriquement au fait que−−→OM=r−→eren posant−→er= (cos(θ), sin(θ)).

• φ n’est pas injective car φ(0, θ) = (0, 0) quel que soit l’angle θchoisi dans R. De plus, pour un point

M₀ = (x₀, y₀)∈ R2_{\ {(}_{0, 0}₎_}_{, en notant}_r 0 =

√

x2₀+y2₀ > 0etθ₀ l’argument dez₀ =x₀+iy₀ dans

]−π;π](par exemple), on a∀k∈ Z, φ(r0, θ0+2kπ) =φ(−r0, θ0+2kπ+π) = (x0, y0).

•Puisque toutes les fonctions sont de classeC1, on utilise la formule du changement de coordonnées du théorème 14.6 : ∂g ∂r = ∂x ∂r ∂f ∂x + ∂y ∂r ∂f

∂y =cos θ ∂f∂x+sin θ ∂f∂y et ∂g ∂θ = ∂x ∂θ ∂f ∂x+ ∂y ∂θ ∂f

∂y =−r sin θ ∂f∂x +r cos θ ∂f∂y.

•Sir̸=0, on remplacecos θ∂g_∂r−sin θ r

∂g

∂θ =cos θ (

cos θ ∂f_∂x+sin θ ∂f_∂y )

−sin θ r

(

−r sin θ ∂f_∂x+r cos θ ∂f_∂y )

qui se simplifie, ´etant donn´e quecos2θ+sin2θ=1, encos θ∂g_∂r−sin θ r

∂g

∂θ = ∂x∂f. On fait de mˆeme avec l’autre

formule etsin θ∂g_∂r +cos θ r

∂g

∂θ =sin θ (

cos θ ∂f_∂x+sin θ ∂f_∂y )

+cos θ r

(

−r sin θ ∂f_∂x+r cos θ ∂f_∂y )

= ∂f ∂y.

EXERCICE 14.6 : R´esoudre sur R2_\{(_{0, 0}₎_{} l’équation aux dérivées partielles (}_E_{) :} _{x ∂f}

∂y−y ∂f∂x =x.

PROPOSITION SUR UNE CONDITION SUFFISANTE DE CONSTANCE 14.7 : Soitf:C→ R de classe C1 o`uC est un ouvert convexe.

Alors : f est constante sur C ⇐⇒ ( ∀k∈ [[1;p]], _∂x∂f k =0sur C ) .

D´emonstration : (=⇒) sifest nulle, ses d´eriv´ees partielles sont clairement nulles dans toutes les directions.

(⇐=) soit(a, b) ∈ C2, on crée le cheminφ : t 7→ a+t(b−a) qui est de classeC1 car affine, et vérifie

φ(0) = a etφ(1) =b : on se d´eplace sur le segment[a;b] ⊂ Ccar Cest convexe. Alors, on a la relation

f(b)−f(a) = g(1)−g(0)sig : t7→ f(φ(t)). Si on écrita = (a1,· · ·, ap)etb = (b1,· · ·, bp), alors g(t) =f(a1+t(b1−a1),· · ·, ap+t(bp−ap))donc, avec la règle de la chaˆıne, la fonctiongest dérivable sur [0;1]etg′(t) = (b₁−a₁) ∂f

∂x1(φ(t)) +· · · + (bp−ap) ∂f

∂xp(φ(t)) =0doncgest constante sur cet intervalle [0;1]et on a bieng(0) =g(1)doncf(a) =f(b).

Soitf:U→ R de classe C1, pour tout a∈Uon d´efinit le gradient de f en a, not´e ∇f(a) ou −−−→grad f(a),

par ses coordonn´ees dans la base canonique : ∇f(a) = −−−→grad f(a) = p ∑ k=1

∂f ∂x_k(a)ek.

REMARQUE HP 14.12 : Avec les notations de la remarque 14.10,

{_∂g ∂u = ∂u∂x∂x∂f+ ∂y ∂u∂y∂f ∂g ∂v = ∂x ∂v ∂f ∂x+ ∂y ∂v ∂f ∂y . Si on noteY= (_∂g ∂u ∂g ∂v )

le vecteur colonne des coordonn´ees de −−−→grad get X= (_∂f

∂x ∂f ∂y

)

celles de −−−→grad f (en (u, v)

et en (x, y) = (x(u, v), y(u, v)) respectivement) alors on aY=JXen posantJ= ( ∂x ∂u ∂y ∂u ∂x ∂v ∂y ∂v ) la matrice

jacobienne du changement de variables (u, v)7→ (x(u, v), y(u, v)). Mˆeme chose en dimension3.

PROPOSITION SUR LA RELATION ENTRE GRADIENT ET DIFF ´ERENTIELLE 14.8 : Avec ces notations : ∀h∈ Rp, ∀a∈U, df(a).h=df(a)(h) =(−−−→grad f(a)|h).

D´emonstration : Avec la d´efinition 14.4, comme on travaille avec le produit scalaire canonique sur Rp, on a par pour tout vecteurh= (h1,· · ·, hp)∈ Rp,df(a)(h) =

p ∑ k=1 hk_∂x∂f k(a) = (−−−→_{grad f}₍_a₎_|_h) .

(8)

REMARQUE 14.13 : Si on admet que pour a ∈U et vde norme 1(qui repr´esente une direction dans l’espace Rp_{), la valeur de}_df₍_a₎_.v_{est la “vitesse de variation de}_f_`_{a partir de}_a_{dans la direction du vecteur} v”, alors dfa.v=(−−−→grad f(a)v

)

est maximal quandvet −−−→grad f(a) sont “positivement” colin´eaires. Ainsi, la direction de −−−→grad f(a) est la “ligne de plus grande pente”.

REMARQUE FONDAMENTALE 14.14 :

Soitf: R2_{\ {(}_{0, 0}₎_{} → R une fonction de classe}_C1_{. On pose donc}_g₌_f_◦_φ_ou_g₍_{r, θ}_{) =}_f(_{r cos θ, r sin θ})

avecg: R∗₊× R → R (on peut imposer le rayonr > 0ce qui permet d’avoir au moins unicit´e derdans les coordonn´ees polaires). On pose er =

(

cos θ, sin θ) et eθ = (

−sin θ, cos θ) et alors la base (er, eθ)

est aussi une base orthonormale directe de R2. Alors, on peut exprimer le gradient −−−→grad f(x, y) (pour (x, y)∈ R2_{\ {(}_{0, 0}₎_{}) en coordonn´ees polaires avec la relation classique : −−−→}_{grad f}₌∂g

∂rer+1 r

∂g ∂θeθ. D´emonstration : Pour(x, y)∈ R2\{(0, 0)}avec(r, θ)∈ R∗+× Rtel quex=r cos(θ)ety=r sin(θ),

−−−→

grad f(x, y) = ∂f

∂x(x, y)e1+_∂y∂f(x, y)e2par la d´efinition 14.5. Avecg(r, θ) =f (

r cos θ, r sin θ)=f(x, y), par changement de coordonn´ees, ∂f

∂x =cos θ ∂g ∂r− sin θ r ∂g ∂θ et ∂f ∂y =sin θ ∂g ∂r+ cos θ

r . Ainsi, en rempla¸cant, on

a−−−→grad f(x, y) = ( cos θ∂g_∂r−sin θ r ∂g ∂θ ) e1+ ( sin θ∂g_∂r+cos θ r )

e2ce qui devient en regroupant les termes :

−−−→

grad f= ∂g ∂r (

cos θe1+sin θe2 ) +1 r ∂g ∂θ (

−sin θe1+cos θe2 )

.

PROPOSITION OP ´ERATOIRE SUR LE GRADIENT 14.9 :

Soitf, g:U→ R sont de classe C1 sur U,g ne s’annulant pas surU,φ:I→ R de classeC1 sur I intervalle ouvert avec f(U)⊂I, alors :

• Si (λ, µ)∈ R2 _{alors −−−→}_grad₍_λf₊_µg_{) =}_λ−−−→_{grad f}₊_µ−−−→_{grad g}_.

• −−−→grad(fg) =f× −−−→grad g+g× −−−→grad f.

• −−−→grad ( f g ) = 1 g2 ( g× −−−→grad f−f× −−−→grad g). • −−−→grad(φ◦f) =(φ′◦f)−−−→grad f.

PARTIE 14.2 : FONCTIONS DE CLASSE C

2 14.2.1 : D´

efinition et propri´

et´

es

Soit f:U→ R, a∈ Uet (i, j)∈ [[1;p]]2_{, on dit que} _f _{admet en}_a _{une d´}_eriv´_{ee partielle d’ordre} ₂ _par rapport aux variables x_j puis x_i si ∂f

∂xj existe sur un voisinage dea et ∂f

∂xj admet une d´eriv´ee partielle

d’ordre 1par rapport `axien a, on note alors∂2i,jf(a) ou ∂ 2_f

∂x_i∂x_j(a) cette valeur.

REMARQUE 14.15 : • Il y a donc a priori p2dérivées partielles d’ordre2différentes. • Sii=j, on note∂2_if(a) ou ∂2f

∂xi2

(a) `a la place de∂2_i,if(a) = ∂2f ∂xi∂xi(a).

(9)

On dit que f est de classe C2 sur Usi toutes les d´eriv´ees partielles d’ordre 2 existent et sont continues sur

U. On noteC2(U,R) l’ensemble des fonctions de classeC2 deUdans R.

PROPOSITION SUR LA LUTTE DES CLASSES 14.10 : Une fonction de classe C2 est de classe C1.

Démonstration : Soitfde classeC2surU, alors par définition, toutes ses dérivées partielles d’ordre1existent en tout point deUet admettent elles-mêmes des dérivées partielles qui sont elles aussi continues surU. Ainsi, pour

k∈ [[1;p]], la d´eriv´ee partielle ∂f

∂xk est de classeC

1_sur_U_{donc, d’apr`}_{es la proposition 14.3, les fonctions} ∂f ∂xk

sont continues surU. Mais cela est la d´efinition du fait quefest de classeC1surU

TH ÉOR ÈME OP ÉRATOIRE SUR LES D ÉRIV ÉES PARTIELLES D’ORDRE 214.11 : Soit f, g : U → R des fonctions de classe C2 sur U telles que g ne s’annule pas sur U. Soit φ:I→ R de classe C2 sur I intervalle ouvert avec f(U)⊂I :

• f+g est C2 sur U et∀(i, j)∈ [[1;p]]2_, ∂2(f+g) ∂xi∂xj = ∂2f ∂xi∂xj+ ∂2g ∂xi∂xj. • λf est C2 sur U et∀(i, j)∈ [[1;p]]2, ∂ 2₍_λf₎ ∂xi∂xj =λ ∂ 2_f ∂xi∂xj. • fg est C2 sur Uet ∀(i, j)∈ [[1;p]]2_, ∂2(fg) ∂xi∂xj = ( ∂g ∂xi )( ∂f ∂xj ) + ( ∂f ∂xi )( ∂g ∂xj ) +g ∂2f ∂xi∂xj +f ∂2g ∂xi∂xj. • f

g et φ◦f sont aussi de classe C

2 _sur _U_.

REMARQUE 14.16 : C2(U,R) est donc une alg`ebre qui contient les fonctions polynomiales et les

fonctions rationnelles (là où elles sont définies).

14.2.2 : Schwarz et changement de coordonn´

ees

TH ÉOR ÈME DE SCHWARZ ( ÉNORME) 14.12 :

Si f:U→Fde classe C2 sur un ouvert U alors∀(i, j)∈ [[1;p]]2_, ∂2f ∂x_i∂x_j =

∂2f ∂x_j∂x_i.

D´emonstration : hors programme.

EXERCICE CLASSIQUE 14.7 : fde l’exemple14.2est-elle de classeC2 sur R2?

REMARQUE 14.17 : Changement lin´eaire de coordonn´ees :

• On consid`eref: R2_{→ R de classe}_C2_, _φ_{: (}_{u, v}₎_{→ (}_au₊_{bv, cu}₊_dv_{) o`}_{u (}_{a, b, c, d}₎_{∈ R}4_{. On pose}

alorsg: R2→ R d´efinie parg(u, v) =f(φ(u, v))=f(x, y) si on pose (x, y) =φ(u, v).

• φ∈GL(R2) si et seulement siad−bc̸=0et alorsf=g◦φ−1 avec les mêmes propriétés.

• Par exemple {_∂g ∂u = a ∂f∂x+c ∂f∂y ∂g ∂v = b ∂f∂x+d ∂f∂y puis              ∂2g ∂u2 = a 2∂2f ∂x2+2ac ∂ 2_f ∂x∂y+c2 ∂2f ∂y2 ∂2g ∂u∂v = ab ∂ 2_f ∂x2+ (ad+bc) ∂2f ∂x∂y+cd ∂ 2_f ∂y2 ∂2g ∂v2 = b 2∂2f ∂x2 +2bd ∂ 2_f ∂x∂y+d2∂ 2_f ∂y2 avec la

(10)

EXERCICE 14.8 : Avec le changement de variables

{

u = x

v = x+y, d´eterminer les fonctions f: R2_{→ R de classe}_C2_{solutions de l’´}_{equation aux d´}_eriv´_{ees partielles (}_E_{) :} ∂2f

∂x2−2 ∂ 2 f ∂x∂y+∂ 2 f ∂y2 =0.

REMARQUE 14.18 : Soitf:P→ R de classeC2o`u P= R2_{\ {(}_{x, y}₎_{∈ R}2_| _y₌₀_et_x₆₀_}.

• Soitφ:U= R∗₊×] −π;π[→Pd´efinie parφ(r, θ) =(r cos θ, r sin θ). Le passage en polaires est enfin bijectif. Si (x, y) = (r cos θ, r sin θ) pour (x, y)∈P : r=√x2₊_y2 _et_θ₌_{2 Arctan}

( y x+√x2+y2

)

.

• Soitg: (r, θ)∈U7→g(r, θ) =f(r cos θ, r sin θ) =f(x, y). Alors, {_∂g

∂r = cos θ ∂f∂x+sin θ ∂f∂y ∂g

∂θ = −r sin θ ∂f∂x+r cos θ ∂f∂y

• Encore :      ∂2g ∂r2 = cos 2_{θ ∂}2f ∂x2 +2 sin θ cos θ ∂ 2_f ∂x∂y+sin2θ ∂ 2_f ∂y2 ∂2g

∂θ2 = −r cos θ ∂f∂x−r sin θ ∂f∂y+r

2_sin2_{θ ∂}2f ∂x2+r 2_cos2_{θ ∂}2f ∂y2 −2r 2_{sin θ cos θ ∂}2f ∂x∂y

REMARQUE HP 14.19 : On d´efinit le laplacien de fpar ∆f= ∂2f ∂x2+

∂2f ∂y2.

Ce qui donne en polaires : ∆f= ∂2g ∂r2 + 1 r ∂g ∂r + 1 r2 ∂2g ∂θ2.

Démonstration : Avec les relations de la remarque précédente,

∂2g ∂r2 + 1 r ∂g ∂r + 1 r2 ∂2g ∂θ2 = cos 2_{θ ∂}2f ∂x2+2 sin θ cos θ ∂ 2_f ∂x∂y+sin2θ ∂ 2_f ∂y2+ cos θ r ∂f ∂x +sin θ_r ∂y∂f −cos θ r ∂f

∂x−sin θ_r ∂y∂f +sin2θ ∂ 2

f ∂x2+cos

2_{θ ∂}2f

∂y2−2 sin θ cos θ ∂ 2 f ∂x∂y = ∂2f ∂x2+ ∂2f ∂y2 = ∆f.

PARTIE 14.3 : EXTREMA

14.3.1 : D´

efinitions et condition n´

ecessaire

Soitf:U→ R eta∈U, on dit quef admet ena :

(i) un maximum local s’il existe r > 0tel que∀x∈B(a, r), f(x)6f(a).

(ii) un minimum local s’il existe r > 0tel que∀x∈B(a, r), f(x)>f(a).

(iii) un extremum local si fposs`ede ena un maximum local ou un minimum local. (iv) un maximum global (ou absolu) si∀x∈U, f(x)6f(a).

(v) un minimum global (ou absolu) si∀x∈U, f(x)>f(a).

(vi) un extremum global (ou absolu) sif poss`ede en aun maximum global ou un minimum global.

PROPOSITION SUR UNE CONDITION N ´ECESSAIRE D’EXTREMUM LOCAL 14.13 : SoitUun ouvert de Rp_,_f_:_U_{→ R de classe}_C1 _sur_U_et_a_∈_U_{, si}_f _{admet un extremum local en} a alors −−−→grad f(a) =0, c’est-`a-dire ∀k∈ [[1;p]], ∂f

∂xk(a) =0.

(11)

D´emonstration : On a vu avant que, pourk ∈ [[1;p]], commeUest un ouvert, il existe rk > 0tel que

∀t∈] −rk;rk[, a+tek∈U(si(e1,· · ·, ep)est la base canonique de Rp). Commefadmet enaun extremum

local (par exemple un maximum local), il existeα > 0tel que∀b∈U, ||b−a||< α=⇒f(b)6f(a). Ainsi, en notantαk =Min(rk, α)> 0, on a∀t∈] −αk;αk[, b=a+tek ∈Uetf(b)6f(a). Par cons´equent,

la fonctionf_k :]−α_k;α_k[→ Rdéfinie parf_k(t) =f(a+te_k)est de classeC1carfl’est et admet en0un maximum local. On sait alors, lemme précédent le théorème deRolle, quef′_k(0) = _∂x∂f

k(a) = 0. En eﬀet, f′_k(0) = lim t→0− f_k(t)−f_k(0) t−0 60car∀t∈] −αk;0[, f_k(t)−f_k(0) t−0 = f(a+te_k)−f(a) t−0 60cart < 0et f(a+tek)6f(a)et on a aussif′k(0) = lim t→0+ f_k(t)−f_k(0) t−0 >0car∀t∈]0;αk[,t > 0etf(a+tek)6f(a) donc fk(t)−fk(0) t−0 = f(a+tek)−f(a) t−0 >0. Comme06f ′ k(0)60,f′k(0) =∂x∂f_k(a) =0.

REMARQUE 14.20 : Il y a des extrema locaux selon les axes canoniques `a partir dea.

Sif:U→ R est de classeC1 sur U, on dit a∈Uest un point critique def si −−−→grad f(a) =0. REMARQUE 14.21 : • Cette propri´et´e est fausse sur un ensemble non ouvert.

• Ainsi, avec ces conditions : (fadmet un extremum local en a)=⇒(aest un point critique de f). • La r´eciproque de cette implication est fausse.

EXEMPLE 14.9 : Soitf: (x, y)7→x2−y2d´efinie sur [0;1]2_.

Quel est son maximum absolu ? son minimum absolu ? Son point critique ?

14.3.2 : Recherche pratique des extrema

EN PRATIQUE : Soitf:U→ R de classeC1o`uUest un ouvert de R2 _:

• On calcule les points critiques, les extrema, s’ils existent, sont parmi ces points.

• Au voisinage de chacun de ces points critiques, on eﬀectue un DL pour d´eterminer si c’est un extremum ou un point selle.

Soitf:K→ R de classeC1o`u Kest un compact de R2_:

• On sait quefest born´ee et atteint ses bornes surK.

• On param`etre avec une seule variable le bord du compact et on ´etudie la fonction.

• On cherche les points critiques à l’intérieur du compact, le fait qu’on sache qu’un extremum existe peut nous éviter de faire unDLau voisinage de ces points.

EXERCICE 14.10 : Trouver les extrema sur R2_de_f_{: (}_{x, y}₎_7→_x2₊_xy₊_y2₊_2x₋_2y_.

EXERCICE CONCOURS 14.11 : Centrale PSI 2012

Dans le plan euclidien orient´e classique, on se donne un point O et deux cercles C et C′ _tangents

ext´erieurement enOde rayons respectifsR > 0etR′ > 0.

a. On se donne deux pointsM ∈C et M′ ∈C′, param´etrer ces points par deux angles θet θ′ dans [0;2π] de telle mani`ere que pour θ =0 ou θ =2π (resp. θ′ = 0 ou θ′ =2π) on ait M = O (resp. M′=O) et exprimer l’aire du triangleOMM′ en fonction deθet θ′.

(12)

REMARQUE HP 14.22 : Soit f:U→ R de classeC2o`u Uest un ouvert de Rp: •fadmet unDL2(0) donn´e parf(a+v) =

0f(a) + p ∑ k=1 vk_∂x∂f k(a) + 1 2 ( ∑ 16i,j6p vivj ∂ 2_f ∂x_i∂x_j(a) ) +o(||v||2).

• Si on se restreint au d´eveloppement limit´e d’ordre 2en un point critiqueadef, alors on a :

f(a+v) = 0f(a) + 1 2 ∑ (i,j)∈[[1;p]]2 vivj ∂ 2_f ∂x_i∂x_j(a) +o ( ||v||2).

• Ce qui donne avec Schwarz : f(a+v) = 0f(a) + 1 2 p ∑ i=1 v2_i ∂2f ∂x_i2(a) + ∑ 16i<j6p vivj ∂ 2_f ∂xi∂xj (a) +o(||v||2). • Si on d´efinit la matrice H = ( ∂2f ∂xi∂xj(a) )

16i,j6p appel´ee la hessienne de f en a, qui est r´eelle

sym´etrique d’apr`_{es Schwarz, alors on a matriciellement}f(a+v) = 0f(a) +

1 2

t_VHV₊_o(_||_V_||2)_.

• SiHest définie positive,fadmet ena un minimum local. • SiHest définie négative,fadmet ena un maximum local.

• SiHadmet des valeurs propres négatives et positives, fadmet ena un point col (ou point selle). • SiHn’est pas inversible, on ne peut pas conclure sans étudier les dérivées d’ordres supérieurs.

Démonstration : Les quatre premiers points sont soit admis, soit découlent du théorème de_Schwarz, soit se ramènent à du calcul matriciel simple en notant V la matrice colonne contenant les coordonnées du vecteurv

dans la base canonique de Rp; les d´eveloppement limit´es se calculent au voisinage du vecteur nul de Rp.

•Supposons maintenant la matriceHsym´etrique d´efinie positive, alors son spectre est inclus dans R∗₊, notonsλ

la plus petite des valeurs propres deHetλ1,· · ·, λn la liste des valeurs propres deH(éventuellement répétées).

D’après le développement limité d’ordre 2 admis ci-dessus, pour ε ∈ ]

0;λ 2 [

, il existe r > 0 tel que l’on ait

∀v∈B₂(0, r), |f(a+v)−f(a)−1 2 t_VHV_{| 6}_ε_||_V_||2_{ce qui implique}_f₍_a₊_v₎_>_f₍_a_{) +}1 2 t_VHV₋_ε_||_V_||2_{. Or,} siv= n ∑ k=1

v_ke_koù(e₁,· · ·, e_n)est une base orthonormée de vecteurs propres deHassociés aux valeurs propres

λ₁,· · ·, λ_nrespectivement, on aHV = n ∑ k=1 v_kλ_ke_k ettVHV = (V|HV) = n ∑ k=1 λ_kv2_k>λ n ∑ k=1 v2_k =λ||V||2. Ainsi, cela donne∀v∈B2(0, r), f(a+v)>f(a) +1

2

t_VHV₋_ε_||_V_||2_>_f₍_a_{) +}λ 2||V||

2₋_ε_||_V_||2_>_f₍_a₎

avec la minoration précédente. Par conséquent,fadmet enaun minimum local.

•SiHest définie négative, on applique ce qui précède à−Hqui est définie positive et on conclut.

• S’il existe une valeur propreλ > 0deHetX ̸= 0tel queHX = λXet une valeur propreµ < 0deHet

Y ̸= 0 tel que HY = µY. On calculetXHX = λ||X||2 > 0et tYHY = µ||Y||2 < 0. En notantx et y

les vecteurs de Rp associ´es `a X etY, on ax ̸= 0ety ̸= 0et f(a+tx)−f(a) = 0λt

2_||_x_||2₊_o₍_t2₎ _donc f(a+tx)−f(a)∼

0λt

2_||_x_||2 _{> 0}_donc_f₍_a₊_tx₎_{est localement strictement sup´}_{erieur `}_a _f₍_a₎_{au voisinage de} t=0. De mˆeme,f(a+ty)−f(a) =

0µt

2_||_y_||2₊_o₍_t2₎_donc_f₍_a₊_ty₎₋_f₍_a₎_∼ 0µt

2_||_y_||2_{< 0}_donc_f₍_a₊_ty₎

est localement strictement inf´erieur `af(a)au voisinage det=0.f(a+h)−f(a)change de signe localement au voisinage deh=0doncfadmet enaun point selle (ou un point col).

REMARQUE HP 14.23 : Supposons quef:U→ R (avecUouvert de R2_{) admette un point critique en} a∈U_{, avec les notations de Monge :} r= ∂2f

∂x2(a),s= ∂2f

∂x∂y(a),t= ∂2f ∂y2(a) :

(i) Sirt−s2> 0etr > 0,fadmet enaun minimum local, (ii) Sirt−s2> 0etr < 0,fadmet enaun maximum local, (iii) Sirt−s2< 0,fadmet enaun point selle (ou point col). (iv) Sirt−s2=0, on ne peut pas conclure.

(13)

Démonstration : Comme f admet en a un point critique, on peut appliquer le résultat de la remarque précédente. La matrice hessienne associée à fenavaut, commer= ∂2f

∂x2(a),s= ∂2f ∂x∂y(a),t = ∂ 2_f ∂y2(a), la matriceH= ( r s s t )

. CommeHest symétrique réelle, elle admet deux valeurs propres réelles (éventuellement

confondues)λ1etλ2. Son polynôme caractéristiqueχH=X2− (r+t)X+rt−s2vaut aussi, puisqu’il est scindé

dans R:χH= (X−λ1)(X−λ2)doncdet(H) =λ1λ2=rt−s2ettr(H) =λ1+λ2=r+t.

•sirt−s2> 0etr > 0(resp.t > 0), alorsλ₁λ₂> 0doncλ₁etλ₂ont même signe strict. Puisque−s260, on en déduit de rt−s2 > 0 le fait quert > 0donc quet > 0 (resp. r > 0) puisque r > 0(resp. t > 0). Ainsi,tr(H) = r+t =λ1+λ2 > 0doncλ1etλ2sont strictement positives et on aHdéfinie positive car Sp(H)⊂ R∗₊. Par conséquent,fadmet enaun minimum local.

•sirt−s2> 0etr < 0(resp.t < 0), alorsλ₁λ₂> 0doncλ₁etλ₂ont même signe strict. Puisque−s260, on en déduit de rt−s2 > 0 le fait quert > 0donc quet < 0 (resp. r < 0) puisque r < 0(resp. t < 0). Ainsi,tr(H) =r+t=λ₁+λ₂ < 0doncλ₁ etλ₂sont strictement négatives et on aHdéfinie négative car

Sp(H)⊂ R∗₋. Par cons´equent,fadmet enaun maximum local.

•sirt−s2< 0, alorsdet(H) =λ₁λ₂=rt−s2< 0doncλ₁etλ₂ont des signes stricts opposés donc, d’après ce qui précède,fadmet enaun point selle (autrement appelé un point col).

EXERCICE 14.12 : Trouver les extrema sur R2_de_f_{: (}_{x, y}₎_7→_x4₊_y4₋_4xy_.

PARTIE 14.4 : APPLICATIONS G´

EOM´

ETRIQUES

14.4.1 : Courbes

Soit Uun ouvert de R2_, _f_:_U_{→ R de classe} _C1_{, la courbe Γ d´}_{efinie par : Γ =}{₍_{x, y}₎_∈_U _| _f₍_{x, y}_{) =}₀}

(´equation implicite), on dit qu’un point M0= (x0, y0) de Γ est un point r´egulier si −−−→grad f(M0)̸= −→0.

REMARQUE 14.24 : Avec ces notations, on admet l’existence d’un paramétrage local de classe C1 et régulier (voir chapitre suivant) de Γ au voisinage d’un point régulier ; sif(x₀, y₀) =0et −−−→grad f(x₀, y₀)̸= −→0

alors il existe r > 0tel queB(M₀, r)⊂U, un intervalle ouvertI contenant0, x:I→ R ety:I → R de

classeC1telles que(x(0), y(0))=M₀et∀(x, y)∈B(M₀, r), (x, y)∈ Γ ⇐⇒(∃t∈I, x=x(t) ety=y(t)). Il s’agit du th´eor`eme des fonctions implicites explicitement hors programme.

Ceci signifie, en voyant f comme une fonction altitude, que sif est de classe C1, les cˆotes (altitude 0) forment une ”gentille” courbe au voisinage des points qui ne sont pas des points critiques.

PROPOSITION SUR LE RAPPORT GRADIENT / LIGNES DE NIVEAUX 14.14 :

En un point M0 d’une ligne de niveau Nλ : f(x, y) = λ, si −−−→grad f(M0) ̸= −→0, ce vecteur est orthogonal à Nλ (à la tangente enM0à Nλ) et orienté dans le sens des valeurs croissantes def.

D´emonstration : •En un point régulierM₀d’une courbe de niveauN_λ : f(x, y) =λdont l’équation peut être réécriteN_λ : g(x, y) =0en posantg(x, y) =f(x, y)−λ, on peut paramétrer localement au voisinage de

M₀la courbeN_λparx=x(t), y=y(t). Puisque∀t∈I, g(x(t), y(t)) =0, d’apr`es la r`egle de la chaˆıne, on a la relation∀t∈I,(g(x(t), y(t)))′=0=x′(t)∂f

∂x(x(t), y(t)) +y′(t)∂y∂f(x(t), y(t)).

Il suﬃt de prendre maintenantt = 0dans cette relation pour avoir x′(0)∂f

∂x(M0) +y′(0)_∂y∂f(M0) = 0 qui

traduit que(x′(0), y′(0))⊥ −−−→grad f(M₀). Ainsi, −−−→grad f(M₀)est orthogonal au vecteur d´eriv´e(x′(0), y′(0))

(14)

•_{A partir du point}` _M₀_de_N_λ_{, ´}_{evoluons dans la direction du vecteur}−−−→_{grad f}₍_M₀₎_{et regardons ce qui se passe} localement au voisinage deM0. Posons doncφ:t7→f

(

M0+t−−−→grad f(M0) )

et étudions sa dérivée en0. Comme

∀t∈J, φ(t) =f (

x0+t ∂f_∂x(M0), y0+t ∂f_∂y(M0) )

,φest dérivable surJ(intervalle ouvert et0∈J) d’après la règle de la chaˆıne et∀t∈J, φ′(t) = ∂f_∂x(M0)∂f_∂x ( M0+t−−−→grad f(M0) ) +_∂y∂f(M0)_∂y∂f ( M0+t−−−→grad f(M0) ) . On a doncφ′(0) = ( ∂f ∂x(M0) )2 + ( ∂f ∂y(M0) )2 =||−−−→grad f(M0)||2> 0.

Ainsi,φest localement croissante (carφ′ est continue surJpuisquefest de classeC1par hypoth`ese) au voisinage de0ce qui signifie quefcroˆıt dans la direction−−−→grad f(M₀)au d´epart deM₀.

•De plus, si on poseφu:t7→f(M0+tu)pour un vecteur unitaireu,|φ′u(0)| = |u1_∂x∂f(M0) +u2_∂y∂f(M0)|

donc, d’après l’inégalité deCauchy-Schwarz,|φ′_u(0)| 6 √( ∂f ∂x(M0) )2 + ( ∂f ∂y(M0) )2 etφ′_u(0)devient maximal si on prenducolinéaire de même sens avec le vecteur gradient : à partir deM₀, si on voit la fonctionf

comme la fonction altitude, la direction−−−→grad f(M₀)est la ligne de plus grande pente.

PROPOSITION SUR UNE ÉQUATION DE LA TANGENTE AVEC LE GRADIENT 14.15 : Le vecteur −−−→grad f(M0) ̸= −→0 est donc un vecteur normal à la tangente à Γ au point M0 ce qui fait que la tangente à Γ enM0 a pour équation : (x−x0)_∂x∂f(x0, y0) + (y−y0)_∂y∂f(x0, y0) =0.

Démonstration : M₀ ∈ Γ est donc un point régulier de la courbe et on a vu à la proposition précédente (pourλ=0) que la vecteur dérivé−→v₀= (x′(0), y′(0))(qui est un vecteur directeur de la tangenteT₀enM₀à

Γ =N0) est orthogonal à−−−→grad f(M0). Ainsi, pour un pointM∈ R2, on a l’équivalence suivante : M ∈ T0 ⇐⇒ (−−−→M0M,−→v0)est liée⇐⇒ −−−→M0M ⊥ −−−→grad f(M0) ⇐⇒

( x−x0 y−y0 ) . ( _∂f ∂x(x0, y0) ∂f ∂y(x0, y0) ) = 0. Il suﬃt de calculer ce produit scalaire pour avoirM∈T0⇐⇒ (x−x0)_∂x∂f(x0, y0) + (y−y0)_∂y∂f(x0, y0) =0.

EXERCICE 14.13 : Quels sont les points r´_{eguliers de la lemniscate de Bernoulli}L d’´equation implicite : (x2+y2)2−2(x2−y2) =0?

En l’un de ces pointsM₀, donner une équation cartésienne de la tangente àLenM₀.

14.4.2 : Surfaces

SoitU un ouvert de R3_,_f_:_U_{→ R de classe}_C1_{, la surface} _S_{telle que :} _S₌{₍_{x, y, z}₎_∈_U _|_f₍_{x, y, z}_{) =}₀}

(´equation implicite), on dit qu’un point M0= (x0, y0, z0) deSest un point r´egulier si −−−→grad f(M0)̸= −→0.

EXEMPLE 14.14 : SoitSd’´equationS : x2+y2+z2

4 −1=0. Tous ses points sont r´eguliers.

Soit une surface Sd’´equationf(x, y, z) =0avec f:U→ R de classe C1,I un intervalle,x, y, z:I→ R trois

fonctions de classeC1 telles que∀t∈I, (x(t), y(t), z(t))∈S.

(15)

EXEMPLE 14.15 : Soit la terre d’´equationx2+y2+z2−1=0(assimilée à une sphère) :

• La courbe d’équationx(t) =sin t, y(t) =cos t, z(t) =0représente l’équateur.

• La courbe d’´equationx(t) =sin t, y(t) =0, z(t) =cos trepr´esente le m´_{eridien de Greenwich.}

REMARQUE 14.25 : Pour une surfaceSd’équation explicitez=g(x, y) (le “graphe” d’une fonction de R2_dans _{R), les courbes coordonnées sont les courbes d’équation :}

• x(t) =x0, y(t) =t, z(t) =g(x0, t) (x=x0est fix´e et c’estyqui bouge).

• x(t) =t, y(t) =y0, z(t) =g(t, y0) (y=y0est fix´e et c’estxqui bouge).

EXEMPLE 14.16 : Pour la surface d’´equation z=x2−y2⇐⇒x2−y2−z=0(un parabolo¨ıde hyperbolique), les courbes coordonn´ees sont :

•x(t) =x₀, y(t) =t, z(t) =x₀−t2(c’est une parabole).

•x(t) =t, y(t) =y0, z(t) =t2−y0 (c’est une parabole). D’autres courbes sont trac´ees sur cette surface :

•x(t) =ch(t), y(t) =sh(t), z(t) =1(c’est une hyperbole).

•x(t) =t+1

2 , y(t) = t−1

2 , z(t) =t(c’est une droite).

REMARQUE 14.26 : Soit une surfaceS : f(x, y, z) =0 avecf:U→ R de classe C1. Les tangentes en un pointM0 régulier de Saux courbes de classeC1tracées surSsont orthogonales à −−−→grad f(M0).

Démonstration : Soit une courbeΓ paramétrée parg : t ∈ I 7→ (x(t), y(t), z(t))de classe C1 tracée sur la surfaceS, ce qui signifie que∀t∈ I, (x(t), y(t), z(t))∈ S⇐⇒ f(x(t), y(t), z(t)) =0par hypothèse puisqueSest définie implicitement. On dérive avec la règle de la chaˆıne carfest aussi de classeC1par hypothèse. Ainsi, ∀t ∈ I, x′(t)∂f

∂x(g(t)) +y′(t)∂y∂f(g(t)) +z′(t)∂f∂z(g(t)) = 0. SiM0 = g(t0), prenons t = t0

dans la relation précédente : x′(t0)_∂x∂f(M0) +y′(t0)_∂y∂f(M0) +z′(t0)∂f_∂z(M0) = 0 (R). Le vecteur dérivé

− →

v0= (x′(t0), y′(t0), z′(t0))(supposé non nul) engendre la tangenteT0à la courbeΓenM0. Alors, la relation (R)montre que−→v0⊥ −−−→grad f(M0)donc la tangenteT0est orthogonales à−−−→grad f(M0)comme attendu.

Le plan tangent à une surfaceSen un point régulierM0est le plan orthogonal à −−−→grad f(M0) passant par le

point M0.

Démonstration : La remarque précédente montre que toutes les courbes “régulières” tracées sur la surfaceS

ont enM₀∈Sun vecteur dérivé (donc une tangente) orthogonal(e) à−−−→grad f(M₀). Il est donc logique de définir comme plan tangent enM₀à la surfaceSle plan contenant toutes ces tangentes, donc le plan contenant le point

M₀et de vecteur normal−−−→grad f(M₀).

REMARQUE 14.27 : Soit deux surfacesSet S′ d´efinies parS : f(x, y, z) =0etS′ : g(x, y, z) =0avec

f, g:U→ R de classeC1. Si un pointM₀ appartient `aS∩S′ et que −−−→grad f(M₀) et −−−→grad g(M₀) ne sont

pas colinéaires, alorsS∩S′ est localement (au voisinage deM₀), une courbe Γ tracée à la fois surSet sur

S′. La tangente à cette courbe Γ enM₀est alors engendrée par le vecteur −−−→grad f(M₀)∧ −−−→grad g(M₀). Démonstration : La définition précédente montre les deux plans tangentsP₀ (àSenM₀) etP₀′ (àS′ en

M₀) ont des vecteurs normaux non colinéaires donc sont sécants (pas parallèles) selon une droiteD =P₀∩P′₀

qui est donc orthogonale aux deux vecteurs−−−→grad f(M₀) et−−−→grad g(M₀)non colin´eaires. On admet que ceci implique, localement au voisinage deM₀, que l’ensembleΓ =S∩S′ est une courbe de classeC1 (commefet

g) : c’est une version du théorème des fonctions implicites. Cette courbeΓest donc tracée à la fois surSet sur

S′ donc un vecteur tangent (non nul)−→v àΓenM0est donc, d’après la remarque précédente, à la fois orthogonal

`

a −−−→grad f(M0)et à −−−→grad g(M0). D’après les propriétés du produit vectoriel, on sait que −→v est colinéaire à

−−−→

(16)

PROPOSITION SUR UNE ÉQUATION DU PLAN TANGENT À UNE SURFACE 14.16 : Ce plan tangent à S en M0 point régulier a pour équation :

(x−x0)∂f_∂x(x0, y0, z0) + (y−y0)_∂y∂f(x0, y0, z0) + (z−z0)∂f_∂z(x0, y0, z0) =0

Démonstration : Par définition, en notant P0ce plan tangent àM0à S, on a, pour un point M ∈ R3,

l’´equivalenceM∈P0⇐⇒ −−−→M0M⊥ −−−→grad f(M0)⇐⇒ (−−−→M0M|−−−→grad f(M0)) =0ce qui nous permet d’avoir

l’´equation : M∈P0⇐⇒ (x−x0)_∂x∂f(x0, y0, z0) + (y−y0)_∂y∂f(x0, y0, z0) + (z−z0)∂f_∂z(x0, y0, z0) =0.

EXEMPLE 14.17 : Trouver une ´equation d’un plan tangent `a la sph`ereS : x2+y2+z2−1=0. Comment l’obtenir autrement ?

COMP´

ETENCES

• Établir l’existence des dérivées partielles et les calculer dans ce cas.

• Montrer qu’une fonction est de classeC1 en étudiant la continuité des dérivées partielles.

• Connaˆıtre les différentes opérations algébriques sur les fonctions de classeC1.

• Savoir par cœur la règle de la chaˆıne et la formule de changement de coordonnées. • Déterminer le gradient d’une fonction scalaire et sa différentielle.

• Montrer qu’une fonction est de classeC2 en étudiant la continuité des dérivées secondes.

• Connaˆıtre les différentes opérations algébriques sur les fonctions de classeC2.

• Utiliser le th´eor`eme de Schwarz pour prouver qu’une fonction n’est pas de classeC2.

• Maˆıtriser le passage en coordonnées polaires, les dérivées partielles, le gradient, le laplacien associés. • Connaˆıtre les différentes notions d’extrema (locaux, absolus) de fonctions scalaires.

• Trouver avec le gradient les points critiques où on a éventuellement un extremum local sur un ouvert. • Établir si on a bien un extrema en un point critique avec un développement limité.

• Montrer l’existence d’un extrema defsur une partie compacte par la continuit´e def.

• Utiliser le gradient pour trouver les points réguliers d’une courbe définie de manière implicite.... • ... et déterminer une équation de la tangente à cette courbe en un point régulier

• Utiliser le gradient pour trouver les points réguliers d’une surface définie de manière implicite.... • ... et déterminer une équation du plan tangent à cette surface en un point régulier