Résumé Fonction Logarithme Népérien

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Kooli Mohamed Hechmi http://mathematiques.kooli.me/ 1

Résumé Fonction Logarithme Népérien

1) Définition et propriétés a) Théorème et définition

* La fonction 𝒙 ↦ 𝟏

𝒙 est continue sur ℝ ∗

+ donc elle admet au moins une primitive sur ℝ∗+

* La primitive sur ℝ∗+ de la fonction 𝒙 ↦ 𝟏

𝒙 qui s’annule en 𝟏 est appelé la fonction Logarithme

Népérien notée : 𝒍𝒏. b) Conséquences

* ℝ∗

+ est le domaine de définition de 𝒍𝒏.

* La fonction 𝒍𝒏 est strictement croissante sur ℝ∗+.

* Pour tout 𝒂 ∈ ℝ∗ + et pour tout 𝒃 ∈ ℝ∗+ on a : 𝒍𝒏 𝒂 = 𝒍𝒏 𝒃 ⇔ 𝒂 = 𝒃 𝒍𝒏 𝒂 ≤ 𝒍𝒏 𝒃 ⇔ 𝒂 ≤ 𝒃 * 𝒙 𝟎 𝟏 +∞ 𝒍𝒏 𝒙 − 𝟎 +

c) Dérivabilité des fonctions du type 𝒍𝒏 𝝄 𝒖 et 𝒍𝒏 𝝄 |𝒖| * Théorème

Soit 𝒖 une fonction dérivable sur un intervalle 𝑰 telle que 𝒙 ∈ 𝑰 ; 𝒖(𝒙) > 𝟎. Alors la fonction 𝒍𝒏 𝜊 𝒖 est

dérivable sur 𝑰 et 𝒙 ∈ 𝑰 ; (𝒍𝒏 𝜊 𝒖)′_{(𝒙) =}𝒖′(𝒙) 𝒖(𝒙) * Théorème

Soit 𝒖 une fonction dérivable sur un intervalle 𝑰 telle que 𝒙 ∈ 𝑰 ; 𝒖(𝒙) ≠ 𝟎. Alors la fonction 𝒍𝒏 𝜊 |𝒖|

est dérivable sur 𝑰 et 𝒙 ∈ 𝑰 ; (𝒍𝒏 𝜊 |𝒖|)′_{(𝒙) =}𝒖′(𝒙) 𝒖(𝒙) * Conséquence

Soit 𝒖 une fonction dérivable sur un intervalle 𝑰 telle que 𝒙 ∈ 𝑰 ; 𝒖(𝒙) ≠ 𝟎. Alors la fonction 𝒙 ↦ 𝒍𝒏 𝜊 |𝒖|(𝒙) est une primitive de la fonction 𝒙 ↦ 𝒖′(𝒙)

𝒖(𝒙) * Théorème

* La fonction 𝒙 ↦ 𝒙𝒍𝒏 𝒙 − 𝒙 est une primitive de la fonction 𝒙 ↦ 𝒍𝒏 𝒙 sur ℝ∗ +. 2) Règles de calculs ∀𝒂 ∈ ℝ∗ + ; ∀𝒃 ∈ ℝ∗+ ; ∀𝒑 ∈ ℤ et ∀𝒏 ∈ ℕ tel que 𝒏 ≥ 𝟐 on a : * 𝒍𝒏 (𝒂 × 𝒃) = 𝒍𝒏 𝒂 + 𝒍𝒏 𝒃 * 𝒍𝒏 (𝒂 𝒃) = 𝒍𝒏 𝒂 − 𝒍𝒏 𝒃 * 𝒍𝒏 ( 𝟏 𝒂) = −𝒍𝒏 𝒂 * 𝒍𝒏 (𝒂𝒑) = 𝒑 × 𝒍𝒏 𝒂 * 𝒍𝒏 ( √𝒂𝒏 ) = 𝟏 𝒏𝒍𝒏 𝒂 cas particulier 𝒍𝒏(√𝒂) = 𝟏 𝟐𝒍𝒏 𝒂 3) Limites particulaires

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Soient 𝒏 et 𝒎 deux entiers naturels non nuls

* 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟎+ 𝒍𝒏 𝒙 = −∞ * 𝒍𝒊𝒎_𝒙→+∞𝒍𝒏 𝒙 = +∞ * 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟎+ 𝒙𝒍𝒏 𝒙 = 𝟎 * 𝒍𝒊𝒎𝒙→+∞ 𝒍𝒏 𝒙 𝒙 = 𝟎 * 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟎+ 𝒙 𝒏_{(𝒍𝒏 𝒙)}𝒎_{= 𝟎 * 𝒍𝒊𝒎} 𝒙→+∞ (𝒍𝒏 𝒙)𝒏 𝒙𝒎 = 𝟎 * 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟏 𝒍𝒏 𝒙 𝒙−𝟏= 𝟏 4) Représentation graphique de la fonction ln x

* La fonction 𝒍𝒏 est définie et dérivable sur ℝ∗+.

𝒙 𝟎 +∞ (𝒍𝒏)′(𝒙) + 𝒍𝒏 𝒙 +∞ −∞ On a : 𝒍𝒊𝒎 𝒙→+∞ 𝒍𝒏 𝒙

𝒙 = 𝟎 donc la courbe de 𝑪 de la fonction 𝒍𝒏 admet une branche parabolique de direction (𝑶 , 𝒊⃗ ) au voisinage de +∞.

Soit 𝑻 la tangente à 𝑪 au point d’abscisse 𝟏 alors :

𝑻 ∶ 𝒚 = (𝒍𝒏)′_{(𝟏)(𝒙 − 𝟏) + 𝒍𝒏 𝟏 ⇔ 𝒚 = 𝒙 − 𝟏}

L’antécédent de 𝟏 par la fonction 𝒍𝒏 est noté 𝒆 et 𝒆 ≃ 2,71

𝑒

5) Fonction logarithme de base a * Définition

Soit 𝒂 ∈ ℝ∗₊\{𝟏} ; on appelle la fonction logarithme de base 𝒂, notée : 𝒍𝒐𝒈_𝒂 la fonction 𝒙 ↦ 𝒍𝒏 𝒙 𝒍𝒏 𝒂 « La vie n’est bonne qu’à étudier et à enseigner les mathématiques »