2016-2017

(1)

ISA BTP, 1◦ann´ee ANN ´EE UNIVERSITAIRE 2016-2017

CONTR ˆOLE CONTINU

Nombres complexes et trigonom´etrie.

Tous les exercices sont ind´ependants. Calculatrices autoris´ees

Il sera tenu compte de la r´edaction et de la pr´esentation.

Exercice 1 Soient z1 = −2 + 2i z2 = 1 + i √ 3 z3 = z1 z2 1. D´eterminer une ´ecriture exponentielle de z1 et z2.

2. En d´eduire un ´ecriture exponentielle de z3.

3. Montrer que (z3)12 est un nombre réel à déterminer. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

Exercice 2 1. Un calcul pr´eliminaire

Soit z = x + iy ∈ C un nombre complexe tel que x = Re(z) et y = Im(z). Donner l’expression de |z2_{|, Re(z}2_{) et Im(z}2_{) en fonction de x et y.} 2. Racines carr´ees de ∆ = 3 + 4i

Soit δ = x + iy ∈ C tel que δ2 _{= 3 + 4i.} (a) Montrer que

   x2_{+ y}2 _{= 5} ₍₁₎ x2_{− y}2 _{= 3} ₍₂₎ xy > 0 (3)

(b) `A l’aide des ´equations (1) et (2), montrer que x2 = 4 et y2 = 1.

(c) À l’aide de l’inéquation (3), montrer que les racines carrées de ∆ = 3 + 4i sont

δ1 = 2 + i et δ2 = −2 − i

3. Une ´equation polynomiale

D´eterminer les solutions complexes de l’´equation

(2)

Exercice 3 1. Lin´earisation de cos2(x) Montrer, `a l’aide des formules d’Euler que

∀x ∈ R, cos2(x) = 1 + cos(2x) 2 2. Une ´equation trigonom´etrique

(a) R´_{esoudre dans R l’´equation}

(E) : cos(2x) + cos(x) = −1

(b) Repr´esenter sur le cercle trigonom´etrique l’ensemble des solutions de (E).

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

Exercice 4 Soit j = e2iπ3 . Pour tout k ∈ Z, on note z_k = jk et M_k le point du plan complexe

d’affixe zk.

1. Montrer que pour tout k ∈ Z, on a zk3 = 1. 2. Montrer que pour tout k ∈ Z, on a

MkMk+1= √

3

Ind. : on pourra exprimer la distance MkMk+1 en fonction de j − 1 puis exprimer j − 1 en fonction de sinπ₃.

3. Placer dans le plan complexe les points M0, M1 et M2. Que dire du triangle (M0M1M2) ?

? ? ?

(3)

CORRECTION

Exercice 1 : 1. Si z1 = −2 + 2i, on a |z1| =p(−2)2+ 22 = √ 8 = 2√2. D’o`u z1 = 2 √ 2 −√1 2+ i 1 √ 2 = 2√2 cos 3π 4 + i sin 3π 4 = 2√2e3iπ4 De mˆeme, si z2 = 1 + i √ 3, on a |z2| = q 12₊√₃2 ₌√_{4 = 2 et} z2 = 2 1 2 + i √ 3 2 ! = 2cosπ 3 + i sinπ 3 = 2eiπ3

2. D’après les questions précédentes, on a z3 = z1 z2 = 2 √ 2e3iπ4 2eiπ3 =√2e3iπ4 − iπ 3 = √ 2e5iπ12 3. z12₃ =√2e5iπ12 12

= 26.e12×5iπ12 = 64e5iπ = −64

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Exercice 2 :

1. |z2| = |z|2 _{= x}2_{+ y}2_.

De plus, z2 _{= (x + iy)}2 _{= x}2_{+ 2ixy − y}2 _donc

Re(z2) = x2− y2 _et _Im(z2_{) = 2xy}

2. (a) Si δ = x + iy vérifie δ2 = ∆, alors d’après la question précédente, on a    x2+ y2 = |δ2| = |∆| = √32_{+ 4}2 ₌ √_{25 = 5} x2_{− y}2 _{= Re(δ}2₎ _{= Re(∆) = 3} xy = 1₂Im(δ2_{) = Im(∆) = 2 > 0}

(b) En additionnant les ´equations (1) et (2), on trouve 2x2 = 8 ⇐⇒ x2 = 4 De mˆeme

(1) − (2) ⇐⇒ 2y2 = 2 ⇐⇒ y2 = 1

(4)

— soit x < 0 et y < 0 donc x = −2 et y = −1 et δ = −2 − i. On retrouve ici les racines proposées par l’énoncé.

3. L’équation (E) est une équation polynomiale de degré 2. On commence donc par calculer son discriminent :

∆ = (−3i)2− 4.1.(−3 − i) = −9 + 12 + 4i = 3 + 4i Les solutions de (E) sont donc de la forme z = 3i ± δ

2 où δ est une racine carrée de ∆. D’après les questions précédente, on peut prendre δ = 2 + i et les solutions de (E) sont

z1 = 3i − (2 + i) 2 = −1 + i et z2 = 3i + (2 + i) 2 = 1 + 2i ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Exercice 3 :

1. D’après les formules d’Euler, on a cos2(x) = e ix_{+ e}−ix 2 2 = 1 4 e 2ix_{+ 2 + e}−2ix₌ 1 4(2 cos(2x) + 2) = 1 + cos(2x) 2 2. (a) D’après la question précédent, on a

cos(2x) + cos(x) = −1 ⇔ 2 cos2x − 1 + cos(x) = −1 ⇔ cos(x)(2 cos(x) + 1) = 0

⇔ cos(x) = 0 o`u 2 cos(x) + 1 = 0 Or

cos(x) = 0 ⇐⇒ x = π

2 + kπ, k ∈ Z

correspond `a deux points du cercle trigonom´etrique et 2 cos(x) + 1 = 0 ⇔ cos(x) = −1 2 ⇔ cos(x) = cos 2π 3 ⇔ x = ±2π 3 + 2kπ

(5)

e

iπ 2

e

−iπ2

e

2iπ 3

e

−2iπ3

i

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Exercice 4 : 1. Pour tout k ∈ Z, on a zk = jk= e2iπ3 k = e2ikπ3 donc z3 k = e2ikπ3 3 = e2ikπ = 1. 2. Pour tout k ∈ Z, on a MkMk+1 = |zk+1− zk| = |jk+1− jk| = |jk(j − 1)| = |j|k.|j − 1| Puisque |j| = 1, on obtient MkMk+1= |j − 1|. D’autre part, j − 1 = e2iπ3 − 1 = e iπ 3 eiπ3 − e− iπ 3

= 2ieiπ3 sin

π 3 = ieiπ3 √ 3 d’o`u MkMk+1 = |ie iπ 3 √ 3| = √3

3. D’après la question précédente, le triangle (M0M1M2) est un triangle équilatéral :