Modélisation et analyse numérique de résonateurs à quartz à ondes de volume

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Modélisation et analyse numérique de résonateurs à

quartz à ondes de volume

Alexandre Clairet

To cite this version:

Alexandre Clairet. Modélisation et analyse numérique de résonateurs à quartz à ondes de volume. Electronique. Université de Franche-Comté, 2014. Français. �NNT : 2014BESA2034�. �tel-01272355�

Thèse de Doctorat

é c o l e d o c t o r a l e _{s c i e n c e s p o u r l ’ i n g é n i e u r e t m i c r o t e c h n i q u e s}

U N I V E R S I T É D E F R A N C H E - C O M T É

n

Mod ´elisation et analyse num ´erique

de r ´esonateurs `a quartz `a ondes de

volume

Thèse de Doctorat

é c o l e d o c t o r a l e _{s c i e n c e s p o u r l ’ i n g é n i e u r e t m i c r o t e c h n i q u e s}

U N I V E R S I T É D E F R A N C H E - C O M T É

TH `

ESE pr ´esent ´ee par

Alexandre

C

LAIRET

pour obtenir le

Grade de Docteur de

l’Universit ´e de Franche-Comt ´e

Sp ´ecialit ´e :Sciences pour l’ing ´enieur

Mod ´elisation et analyse num ´erique de r ´esonateurs `a

quartz `a ondes de volume

Soutenue le 26 septembre 2014 devant le Jury :

BertrandDUBUS Rapporteur Directeur de Recherche `a l’IEMN, Universit ´e

Lille 1, Lille

OlivierDAZEL Rapporteur Professeur des Universit ´es au LAUM, Universit ´e du Maine, Le Mans

BernardDULMET Examinateur Professeur des Universit ´es `a l’ENSMM,

Besanc¸on

Jean-MarcLESAGE Examinateur Ing ´enieur DGA Maˆıtrise de l’Information,

Rennes

SylvainBALLANDRAS Examinateur Directeur de recherche CNRS et Pr ´esident de Frec’n’sys, Besanc¸on

Jean-JacquesBOY Directeur de th `ese Ing ´enieur de Recherche-HDR `a l’ENSMM,

Besanc¸on

LaurentCOUTELEAU Co-encadrant Ing ´enieur, Responsable R&D Rakon, Pont-Sainte-Marie

ThierryLAROCHE Co-encadrant Ing ´enieur, Responsable R&D Frec’n’sys, Besanc¸on

A mes parents, A mon fr `ere et ma sœur. A ma famille et mes amis.

R

EMERCIEMENTS

Les travaux r ´ealis ´es dans le cadre de cette th `ese se sont d ´eroul ´es au sein du d ´epartement Temps-Fr ´equence de l’institut FEMTO-ST `a Besanc¸on puis au sein du d ´epartement Recherche et D ´eveloppement de la soci ´et ´e Rakon `a Pont-Sainte-Marie. A ce titre, je souhaiterais remercier MM. Michel de Labachelerie et Nicolas Chaillet qui se sont succ ´ed ´e `a la direction de FEMTO-ST ainsi que M. Pierre Poulain, directeur de Rakon France, pour m’avoir accueilli dans leurs locaux respectifs.

Je tiens `a remercier vivement Jean-Jacques Boy pour avoir dirig ´e ces travaux de th `ese et m’avoir fait confiance pour mener `a bien ce projet. Je t’en suis reconnaissant. Tes connaissances et tes conseils durant toutes ces ann ´ees m’ont permis de d ´ecouvrir et de me familiariser avec le monde du quartz.

J’exprime toute ma gratitude envers Laurent Couteleau pour son encadrement et son engagement dans l’avanc ´ee de ces travaux. Malgr ´e un emploi du temps parfois charg ´e tu as su me consacrer du temps et mis `a profit ton exp ´erience pour m’ ´eclairer.

Un grand merci `a Thierry Laroche pour avoir co-encadr ´e cette th `ese et pour son aide, en particulier lors de l’ ´etude de l’effet force-fr ´equence. Malgr ´e la distance, nos conversations m’ont plus d’une fois permis de surmonter les diff ´erents probl `emes rencontr ´es. It was LEGEN ... wait for it ... DARY. LEGENDARY !

Je remercie bien ´evidemment les membres du jury qui ont accept ´e de juger mes travaux. Merci `a M. Bertrand Dubus, directeur de recherche `a l’IEMN de Lille et `a M. Olivier Dazel, professeur des universit ´es au LAUM du Mans, qui m’ont fait l’honneur de bien vouloir ˆetre rapporteur de cette th `ese ainsi que pour leurs remarques et commentaires constructifs. Merci ´egalement `a M. Jean-Marc Lesage, ing ´enieur `a la DGA-MI, M. Bernard Dulmet, professeur des universit ´es `a l’ENSMM et M. Sylvain Ballan-dras, directeur de recherche CNRS et pr ´esident de Frec’n’sys pour avoir compl ´et ´e ce jury. Merci `a Olivier Bel pour son regard avis ´e et son soutien. Ton exp ´erience et tes connais-sances m’ont ´et ´e d’une grande aide tout le long de cette fin de th `ese.

Je tiens `a remercier S ´ebastien Alzuaga, Julien Garcia et William Daniau pour m’avoir fait d ´ecouvrir le monde des ´el ´ements finis durant mon stage de fin de Master. Ces quelques mois pass ´es au sein du d ´epartement Temps-Fr ´equence ont ´et ´e le point de d ´epart de cette aventure.

8

Je souhaite ´egalement remercier quelques personnes qui, au cours de ces trois derni `eres ann ´ees, ont contribu ´e de pr `es ou de loin `a l’aboutissement de ces travaux et ont permis de faciliter cette th `ese par leur convivialit ´e. Merci tout d’abord `a ´Emile,

´

Eric, Jean-Michel, Thomas, Florent, S ´ebastien E., Virginie, Xavier, Gilles et Fabienne. Un grand merci aux membres des d ´epartements R&D et Informatique de Rakon `a Pont-Sainte-Marie pour leur bonne humeur, m ˆeme dans les moments difficiles : Marc, Didier, Yves, ´Eric, Johnny, Jean, Hassan, Rapha ¨el sans oublier S ´ebastien, Rachid et Philip mais ´egalement Romain, Giuseppe, Jean-Luc, Laurent ainsi que tout le personnel de Rakon pour leur accueil chaleureux. Bonne continuation.

Je ne peux, bien s ˆur, pas oublier de remercier les th ´esards, anciens th ´esards et amis pour tous les bons moments pass ´es ensemble : `a commencer par Marc qui me supporte depuis tant d’ann ´ees et inversement (Courage ! Tu touches au but.), Nicolas, Bruno, David et Christophe. Un encouragement particulier `a Fabien, Meddy et Lo¨ıc en train de r ´ediger leur th `ese au moment de l’ ´ecriture de ces quelques lignes.

Mes derniers remerciements vont pour finir `a mes parents pour leur soutien et leurs encouragements durant toutes ces ann ´ees d’ ´etude. Merci `a mon fr `ere et ma sœur pour tous ces bons souvenirs et ceux `a venir malgr ´e la distance qui nous s ´epare d ´esormais. Enfin, un grand merci `a toute ma famille pour son soutien.

S

OMMAIRE

Introduction 13

1 G ´en ´eralit ´es 17

1.1 Pi ´ezo ´electricit ´e et mat ´eriaux . . . 17

1.1.1 D ´efinition . . . 17

1.1.2 Equations de propagation d’une onde dans un milieu pi ´ezo ´electrique 18 1.1.3 Le Quartz . . . 21

1.1.4 Sensibilit ´e aux param `etres ext ´erieurs . . . 27

1.1.4.1 Temp ´erature . . . 27

1.1.4.2 Force . . . 30

1.1.4.3 Acc ´el ´eration . . . 32

1.1.4.4 D ´efaut d’isochronisme . . . 34

1.2 Les r ´esonateurs `a quartz . . . 35

1.2.1 R ´esonateurs diapason . . . 35 1.2.2 R ´esonateurs classiques . . . 36 1.2.3 R ´esonateurs ”strip” . . . 37 1.2.4 R ´esonateurs BVA . . . 37 1.2.5 R ´esonateurs QAS . . . 38 1.2.6 Autres structures . . . 38

1.3 Les oscillateurs `a quartz . . . 40

1.3.1 XO . . . 41

1.3.2 VCXO . . . 41

1.3.3 TCXO . . . 42

1.3.4 OCXO . . . 42

2 Outils de mod ´elisation et d’analyse de r ´esonateurs `a ondes de volume 45 2.1 Sch ´ema ´equivalent de Butterworth-Van Dyke . . . 45

2.2 Mod `ele de Mason . . . 49

2.3 M ´ethode des ´el ´ements finis . . . 51

SOMMAIRE 10

2.3.1.1 Formulation de Lewis . . . 54

2.3.1.2 Utilisation du module de l’imp ´edance . . . 55

2.3.1.3 Utilisation de l’admittance complexe . . . 58

2.3.1.4 M ´ethode graphique . . . 59

2.3.2 Analyse thermique . . . 59

2.3.3 Effet force-fr ´equence . . . 60

3 Plan de validation 65 3.1 Mod ´elisation . . . 65

3.1.1 R ´esonateur 40 MHz . . . 66

3.1.2 R ´esonateur 10 MHz . . . 67

3.1.3 R ´esonateur 100 MHz . . . 67

3.2 D ´etermination des param `etres ´electriques . . . 68

3.2.1 R ´esonateur 40 MHz . . . 69

3.2.2 R ´esonateur 10 MHz . . . 86

3.2.3 R ´esonateur 100 MHz . . . 89

3.2.4 Conclusion . . . 93

3.3 Analyse thermique . . . 94

3.4 Effet force-fr ´equence . . . 97

3.4.1 Maintien en 2 points . . . 100

3.4.2 Maintien en 3 points . . . 105

3.4.3 Maintien en 4 points . . . 107

3.5 Autres points de validation . . . 109

3.5.1 Spectre en fr ´equence . . . 109

3.5.2 Bi-convexit ´e . . . 111

3.6 Etude pr ´eliminaire de r ´esonateurs en Langatate´ . . . 112

3.7 Conclusion . . . 118

4 Miniaturisation des r ´esonateurs pour fabrication collective 121 4.1 Objectifs . . . 121

4.2 R ´esonateur avec rayon de courbure . . . 123

4.2.1 Recherche du rayon de courbure optimal . . . 124

4.2.2 Discr ´etisation du rayon de courbure . . . 125

4.2.3 Mesures . . . 132

4.3 R ´esonateur plan-plan . . . 134

SOMMAIRE 11

4.3.2 Etude num ´erique . . . 135´ 4.3.3 Mesures . . . 139 4.4 Conclusion . . . 142

Conclusion 143

A Constantes du quartz 165

B Calcul de la variation de fr ´equence sous l’effet d’une force 167

B.1 Element de r ´ef ´erence . . . 167 B.2 Expression du jacobien apr `es d ´ecomposition des polyn ˆomes d’interpolation 169 B.3 M ´ethode de quadrature de Gauss-Legendre . . . 169

C Constantes de la LGT 171

D Publications 173

D.1 Modeling of BVA resonators for collective fabrication . . . 173 D.2 Experimental and theoretical results on SC-cut quartz resonators

I

NTRODUCTION

Avec les ann ´ees, l’utilisation de r ´ef ´erence de temps est vite devenue incontournable voire indispensable dans notre vie quotidienne. En effet, les oscillateurs (la d ´efinition sera donn ´ee `a la fin du chapitre 1) constituent le cœur de nombreux dispositifs ´electroniques, qu’ils soient grand public ou non. On les retrouve dans des applications aussi di-verses que les montres, les t ´el ´ephones, dans le domaine informatique, les syst `emes de t ´el ´ecommunication et de g ´eolocalisation... De par ses propri ´et ´es pi ´ezo ´electriques, le cristal de quartz est l’un des mat ´eriaux les plus employ ´es pour la conception de sources de fr ´equence, m ˆeme si de plus en plus d’entreprises se tournent vers des r ´esonateurs MEMS `a base de silicium permettant d’obtenir des composants plus pe-tits mais avec des caract ´eristiques, pour le moment, moindres. On distingue deux types d’onde pouvant se propager sous l’effet de l’application d’un potentiel ´electrique : les ondes ´elastiques de surface (SAW pour Surface Acoustic Waves) et les ondes ´elastiques de volume (BAW pour Bulk Acoustic Waves). Ces diff ´erentes ondes peuvent aussi bien servir `a l’ ´elaboration de r ´esonateurs que de filtres ´electroniques ou bien de capteurs. L’inconv ´enient du quartz est sa sensibilit ´e `a l’environnement (temp ´erature, contraintes, acc ´el ´eration, pression) qui va modifier son comportement et par cons ´equent perturber ses caract ´eristiques. Pour des applications plus contraignantes (programmes spatiaux ou militaires), demandant des besoins sp ´ecifiques, l’oscillateur peut ˆetre compl ´et ´e par diff ´erentes fonctions permettant de minimiser l’influence des param `etres ext ´erieurs. Ce-pendant cet inconv ´enient peut aussi se transformer en avantage si nous consid ´erons des applications capteur pour d ´etecter des variations de grandeurs physiques (comme la temp ´erature, la pression...) [1] ou chimiques (pr ´esence de gaz toxique...) [2]. Il est donc primordial de pouvoir pr ´evoir son comportement en fonction des perturbations ext ´erieures.

Dans le domaine des r ´esonateurs `a quartz, les industriels cherchent de plus en plus `a in-nover afin de gagner en comp ´etitivit ´e. Mais la conception de produits innovants n ´ecessite des exp ´erimentations fastidieuses ainsi que des moyens financiers non n ´egligeables. L’analyse num ´erique est donc une aide in ´evitable dans la conception de nouvelles confi-gurations afin d’anticiper rapidement et `a moindre frais les caract ´eristiques d’une struc-ture particuli `ere ou d’une orientation cristalline sp ´ecifique, sans avoir `a r ´ealiser de proto-types co ˆuteux. Une des m ´ethodes les plus utilis ´ees dans ce genre d’ ´etude est celle des ´el ´ements finis : Analyse ´El ´ements Finis (AEF). Bien ´evidemment, cette m ´ethode d’ana-lyse ne se limite pas uniquement au domaine du quartz mais est d ´ej `a largement utilis ´ee dans le secteur automobile (r ´esistance de l’habitacle `a un choc...) ou dans l’a ´eronautique par exemple ( ´etude de l’ ´ecoulement de l’air sur la structure de l’avion...). Cependant, alors que la qualit ´e du cristal de quartz s’am ´eliore et que l’ ´electronique s’int `egre au rythme de la loi de Moore, la technologie ainsi que la taille des r ´esonateurs de haute qualit ´e n’a que peu ´evolu ´e depuis plusieurs d ´ecennies. La n ´ecessit ´e de prendre en compte dans une seule et m ˆeme analyse un maximum de param `etres ayant une influence sur la r ´eponse des r ´esonateurs est donc ´evidente. M ˆeme si de nombreux outils num ´eriques existent [3][4], une nouvelle investigation en ce sens doit ˆetre envisag ´ee pour m ˆeler

INTRODUCTION 14

comp ´etitivit ´e et pr ´ecision.

Ainsi qu’il vient d’ ˆetre dit, les outils d’analyse sont nombreux et sont n ´es de la n ´ecessit ´e de comprendre les nouveaux ph ´enom `enes physiques li ´es aux configurations mises en œuvre exp ´erimentalement. Quelques ann ´ees avant la cr ´eation du premier r ´esonateur `a quartz par W. G. Cady en 1920, S. Butterworth montra que l’on pouvait repr ´esenter un syst `eme vibrant m ´ecaniquement par un sch ´ema ´electrique ´equivalent [5]. En 1928, But-terworth, associ ´e `a K. S. Van Dyke, fait le lien entre les diff ´erents ´el ´ements de ce sch ´ema ´electrique et les caract ´eristiques physiques et g ´eom ´etriques du mat ´eriau pi ´ezo ´electrique. Une mod ´elisation unidimensionnelle du r ´esonateur fut par la suite propos ´ee par W. P. Mason qui d ´emontra que chaque couche composant la structure vibrante ( ´electrodes, lame de quartz) pouvait ˆetre d ´ecrite par un sch ´ema ´electrique ´equivalent d ´ependant de l’ ´epaisseur de la couche. Mais c’est gr ˆace aux travaux de H. F. Tiersten [6], pr ´esent ´es en 1977, qu’une repr ´esentation plus fid `ele du r ´esonateur que celle d ´ecoulant du mod `ele unidimensionnel fut obtenue pour la premi `ere fois. Bien que le d ´eveloppement de l’ana-lyse par ´el ´ements finis d ´ebuta dans les ann ´ees 40 gr ˆace aux travaux de A. Hrenni-koff et R. Courant [7], l’utilisation d’une m ´ethode num ´erique pour l’ ´etude de structures, pi ´ezo ´electriques ou non, commenc¸a dans les ann ´ees 1960-70 avec l’essor de l’informa-tique. Depuis ce moment-l `a, les mod `eles n’ont cess ´e de se d ´evelopper, se rapprochant au plus pr `es de la r ´ealit ´e et prenant en compte de plus en plus de param `etres de calcul. Bien que notre choix se soit port ´e sur la m ´ethode des ´el ´ements finis, du fait de l’exp ´erience acquise au fil des ann ´ees `a FEMTO-ST et de l’acquisition du logiciel COMSOL par Ra-R kon, nous pouvons ´egalement noter qu’il existe d’autres m ´ethodes d’analyse num ´erique, comme la m ´ethode des diff ´erences finies (FDTD, Finite Difference Time Domain) [8] et la m ´ethode des ´el ´ements de fronti `ere (BEM, Boundary Element Method) [9].

Le but de ces travaux de th `ese est de d ´evelopper une m ´ethode num ´erique, d ´edi ´ee `a l’analyse de r ´esonateurs `a quartz `a ondes de volume et permettant l’ ´etude de nouveaux syst `emes r ´esonnants. Les pr ´eoccupations industrielles (comp ´etitivit ´e et pr ´ecision) mais aussi la compr ´ehension des ph ´enom `enes physiques (r ´eponses en fonction de l’ ´evolution des grandeurs physiques) sont `a l’origine du travail propos ´e. Cette th `ese s’est d ´eroul ´ee dans le cadre du dispositif CIFRE entre la soci ´et ´e Rakon et le laboratoire de recherche FEMTO-ST, successivement `a Besanc¸on au sein du d ´epartement Temps-Fr ´equence de FEMTO-ST puis au sein de l’ ´equipe R&D de Rakon `a Pont-Sainte-Marie. Ces travaux de th `ese vont au final permettre de prendre en compte tous ces diff ´erents aspects et les int ´egrer dans un seul outil d’analyse num ´erique, facile d’utilisation pour un concepteur non familier des ´el ´ements finis.

Le premier chapitre de cette th `ese est consacr ´e `a quelques notions sur la pi ´ezo ´electricit ´e et le cristal de quartz. Cette propri ´et ´e physique fut d ´ecouverte par les fr `eres Curie `a la fin du XIXe _{si `ecle et ´etudi ´ee pour la r ´ealisation de syst `emes r ´esonnants (propagation}

d’ondes acoustiques) et de transducteurs (syst `emes capables de convertir une ´energie en une autre et inversement). Nous nous int ´eressons ensuite plus particuli `erement au cristal de quartz et `a ses propri ´et ´es. ´Etant anisotrope, nous remarquons que l’orienta-tion cristalline consid ´er ´ee influe sur son comportement et qu’il existe diff ´erents modes de vibration pouvant ˆetre ´electriquement excit ´es par une ´electrode donn ´ee. La sensibi-lit ´e de ce mat ´eriau `a certains param `etres environnementaux (temp ´erature, structure de maintien...) est ensuite pr ´esent ´ee afin d’observer la mani `ere dont chacun de ces pa-ram `etres affecte les caract ´eristiques du syst `eme. La fin de ce chapitre passe en revue les diff ´erents types de r ´esonateurs `a ondes de volume ainsi que les principales familles

INTRODUCTION 15

d’oscillateurs, du plus basique (XO pour Crystal Oscillator) au plus complexe (OCXO pour Oven Controlled Crystal Oscillator).

Le deuxi `eme chapitre se concentre sur les divers moyens permettant d’ ´etudier un r ´esonateur pi ´ezo ´electrique. La premi `ere technique que nous d ´evelopperons repose sur l’analogie r ´ealis ´ee par Butterworth et Van Dyke que nous avons ´evoqu ´ee plus t ˆot, entre un syst `eme vibrant m ´ecaniquement et un r ´esonateur afin de ramener ce dernier `a un circuit ´electrique ´equivalent compos ´e d’ ´el ´ements passifs (capacit ´e, self et r ´esistance). La seconde mod ´elisation, d ´emontr ´ee par Mason, est bas ´ee sur la d ´ecomposition de la structure vibrante en plusieurs couches : les mat ´eriaux pi ´ezo ´electriques d’une part et les non pi ´ezo ´electriques d’autre part. Chacune de ces couches est ensuite d ´ecrite `a l’aide d’un mod `ele ´electrique repr ´esentant son comportement. La derni `ere technique que nous ´evoquons est celle de l’analyse par ´el ´ements finis (AEF). Ici la structure `a ´etudier est discr ´etis ´ee en une multitude de sous domaines (appel ´es ´el ´ements) permettant de donner une solution exacte des ´equations du mod `ele en s’appuyant sur une formula-tion variaformula-tionnelle [10]. Pour terminer ce chapitre, plusieurs m ´ethodes de d ´eterminaformula-tion des param `etres ´electriques ainsi que les ´equations servant au calcul de la variation de fr ´equence sous l’effet d’un param `etre seront pr ´esent ´ees.

Le chapitre suivant pr ´esente, dans un premier temps, les r ´esultats obtenus pour des cas simples `a l’aide de l’analyse ´el ´ements finis. Ces calculs, r ´ealis ´es pour trois r ´esonateurs fonctionnant `a trois fr ´equences diff ´erentes (40 MHz, 10 MHz et 100 MHz), vont nous per-mettre de valider notre mod `ele ainsi que nos choix en mati `ere de d ´etermination des param `etres motionnels. Nous verrons que dans certains cas de figure, la qualit ´e du mod `ele joue un r ˆole important dans l’ ´etude des caract ´eristiques d’un r ´esonateur. Nous constaterons ainsi que la prise en compte de la structure de maintien est parfois essen-tielle afin d’obtenir des r ´esultats th ´eoriques concordants avec l’exp ´erience. La variation de la fr ´equence en fonction de la temp ´erature sera ensuite ´etudi ´ee puis nous montre-rons que l’effet force-fr ´equence peut ´egalement ˆetre pris en compte en introduisant les constantes ´elastiques du troisi `eme ordre et en utilisant la m ´ethode de perturbation de Sinha-Tiersten [11], transpos ´ee dans le cas d’une ´etude par ´el ´ements finis [12]. Une fois ces donn ´ees expos ´ees, deux points suppl ´ementaires permettant de valider notre mod `ele seront pr ´esent ´es, `a savoir : une comparaison du spectre en fr ´equence entre analyse num ´erique et r ´esultats analytiques de Tiersten puis une comparaison entre une struc-ture de profil plan-convexe et un r ´esonateur bi-convexe. L’exp ´erience ayant d ´ej `a montr ´e qu’il est possible de remplacer l’un par l’autre sous certaines conditions, nous v ´erifierons alors si l’analyse ´el ´ements finis permet d’aboutir `a la m ˆeme conclusion. Enfin, une ´etude pr ´eliminaire de structures en cristal de Langatate sera effectu ´ee afin de caract ´eriser ce nouveau mat ´eriau. Ces r ´esultats permettront par la suite la fabrication de v ´ehicules de test.

Puis, le chapitre 4 synth ´etisera le travail r ´ealis ´e dans le cadre du projet FRE-QUENCE2009 sur la miniaturisation et la conception de r ´esonateurs fabriqu ´es de mani `ere collective. La premi `ere partie de ce chapitre portera sur l’analyse d’un prototype vibrant aux alentours de 10 MHz. Pour ˆetre compatible avec un proc ´ed ´e de fabrication collective, nous avons essay ´e de remplacer le rayon de courbure, servant habituellement au pi ´egeage de la vibration `a cette fr ´equence, par une s ´erie de marches. Diff ´erentes g ´eom ´etries sont donc investigu ´ees afin de d ´efinir une g ´eom ´etrie optimale, poss ´edant un facteur de qualit ´e proche de celui de la structure classique. Les r ´esultats des calculs sont ensuite compar ´es aux mesures effectu ´ees sur plusieurs d ´emonstrateurs afin de v ´erifier la th ´eorie ainsi que le bon fonctionnement de cette nouvelle conception. La section suivante

INTRODUCTION 16

est consacr ´ee `a l’ ´etude d’un second prototype dont la fr ´equence de r ´esonance est cette fois-ci `a 14 MHz et ayant un profil plan-plan. Une comparaison entre calcul et exp ´erience conclura ce dernier chapitre.

1

G ´

EN

ERALIT

´

ES

´

Avant de pr ´esenter le travail r ´ealis ´e tout au long de cette th `ese, il est important de rappeler quelques notions n ´ecessaires `a la compr ´ehension de ce manuscrit. Nous commencerons par expliquer le ph ´enom `ene physique de la pi ´ezo ´electricit ´e derri `ere le fonctionnement d’un r ´esonateur, puis nous donnerons les diverses propri ´et ´es du quartz (modes de vibra-tion, orientation cristalline, sensibilit ´e). Enfin, nous nous attarderons sur les applications possibles de ce mat ´eriau et donnerons une liste non exhaustive des diff ´erents types de r ´esonateurs et d’oscillateurs.

1.1/

P

´

´

´

´

Du grec ”pi ´ezein” signifiant presser, la pi ´ezo ´electricit ´e est la propri ´et ´e que poss `edent cer-taines classes de mat ´eriaux cristallins de se charger ´electriquement sous l’effet d’une contrainte m ´ecanique. Cet effet est d ˆu `a la structure de ces mat ´eriaux. En effet, pour qu’un cristal soit pi ´ezo ´electrique, il doit exister une certaine dissym ´etrie dans la dispo-sition des charges ´electriques. L’application d’une contrainte m ´ecanique va d ´eplacer le centre des charges positives et n ´egatives. Ce changement va alors entraˆıner l’appari-tion d’une tension proporl’appari-tionnelle `a la pression. Cet effet est appel ´e effet pi ´ezo ´electrique

direct (cf. Figure 1.11_).

FIGURE1.1 – Principe de la pi ´ezo ´electricit ´e

CHAPITRE 1. G ´EN ´ERALIT ´ES 18

A l’inverse, si une diff ´erence de potentiel est appliqu ´ee `a un de ces mat ´eriaux, la structure cristalline changera et d ´eformera le mat ´eriau utilis ´e. C’est l’effet pi ´ezo ´electrique inverse (cf. Figure 1.2).

FIGURE1.2 – Comparaison entre les effets pi ´ezo ´electriques direct et inverse Suite aux travaux de Carl von Linn ´e et Franz Aepinus au milieu du XVIIIe si `ecle et de l’abb ´e Ren ´e Just Ha ¨uy en 1817 sur la pyro ´electricit ´e (variation de la polarisation ´electrique d’un cristal suite `a un changement de temp ´erature), Pierre et Jacques Curie d ´emontr `erent pour la premi `ere fois l’effet pi ´ezo ´electrique direct en 1880 [13][14]. L’ann ´ee suivante, Gabriel Lippmann pr ´edit, par un raisonnement thermodynamique, l’existence de l’effet inverse [15] qui fut ensuite prouv ´ee exp ´erimentalement par les fr `eres Curie [16]. Jusqu’ `a la Premi `ere Guerre Mondiale, la pi ´ezo ´electricit ´e ´etait principalement un sujet d’ ´etude et de recherche. C’est en 1917 que Paul Langevin appliqua ce principe `a l’aide de transducteurs `a quartz pour l’ ´emission et la d ´etection sous marine (d ´eveloppement du tout premier sonar). Trois ans plus tard, Walter Cady r ´ealisa le premier oscillateur `a quartz [17] et relanc¸a l’int ´er ˆet pour cette technologie. Au fil des ans, le nombre de disposi-tifs utilisant la pi ´ezo ´electricit ´e ne cessa d’augmenter. Les r ´esonateurs sont pr ´esents dans quasiment n’importe quel syst `eme ´electronique (montre, t ´el ´ephone ...), l’effet direct est par exemple utilis ´e dans les briquets ´electroniques ou les allume-gaz. Elle sert ´egalement `a l’ ´elaboration de capteurs (de temp ´erature, de pression ...) et d’actionneurs tr `es pr ´ecis. Les propri ´et ´es pi ´ezo ´electriques sont naturellement pr ´esentes dans certains mat ´eriaux cristallins. Parmi ces mat ´eriaux on trouve le quartz (sans doute le plus connu), la tourma-line, la topaze, le sel de Rochelle, le sucre ... Des mat ´eriaux pi ´ezo ´electriques de synth `ese ont ´egalement ´et ´e d ´evelopp ´es : le PZT, le Tantalate de Lithium, l’Orthophosphate de Gal-lium, la Langasite, la Langatate ... Nous nous int ´eresserons dans ces travaux uniquement au cristal de quartz.

1.1.2/ EQUATIONS DE PROPAGATION D’UNE ONDE DANS UN MILIEU PIEZO´ ELECTRIQUE´

La pi ´ezo ´electricit ´e implique un couplage entre une onde ´electrostatique et une vibration m ´ecanique. Nous allons donc ´etudier comment une onde plane se propage suivant une direction quelconque ~n.

CHAPITRE 1. G ´EN ´ERALIT ´ES 19

Le d ´eplacement ui de cette onde ainsi que le potentiel ´electrique Φisont donn ´es par :

ui= u0ie jωt−n j.x jv  (1.1) Φi= Φ0ejω  t−n j.x jv  (1.2) o `u u0

i et Φ0 sont respectivement l’amplitude de l’onde et du potentiel ´electrique et v la

vitesse de propagation.

Les lois de comportement ´electrom ´ecanique et de d ´eplacement ´electrique, traduisant les effets pi ´ezo ´electriques inverse et direct, s’ ´ecrivent, en utilisant la convention d’Einstein pour la sommation, sous la forme :

Ti j = ci jkl.uk,l− eki j.Ek (1.3)

Dj = ejkl.uk,l+ εjk.Ek (1.4)

o `u Ti j est le tenseur des contraintes [N/m2], Dj l’induction ´electrique [C/m2], ci jkl les

constantes ´elastiques [Pa], uk,lles d ´eplacements [m], eki jles constantes pi ´ezo ´electriques

[C/m2_{], E}

kle champ ´electrique [V/m] et εjkla permittivit ´e [F/m2].

Les pertes visco ´elastiques dans le mat ´eriau pi ´ezo ´electrique peuvent ˆetre prises en compte en ajoutant un terme ηi jkl [Pa.s] (g ´en ´eralement n ´eglig ´e) dans la relation

contrainte-d ´eformation 1.3 :

Ti j = ci jkl.uk,l− eki j.Ek+ ηi jkl.˙uk,l (1.5)

Les conditions d’ ´equilibre de la contrainte m ´ecanique et de la charge ´electrique sont repr ´esent ´ees par l’ ´equation fondamentale de la dynamique et l’ ´equation de Poisson pour un corps isolant :

ρ.¨ui= Ti j, j (1.6)

Dj, j= 0 (1.7)

avec ρ la masse volumique en kg/m3_{. En nous servant des ´equations 1.4 et 1.7, nous}

obtenons :

Dj, j= ejkl.uk, jl+ εjk.Ek= 0 (1.8)

L’ ´equation de Maxwell, fondamentale pour l’ ´electrostatique, donnant Ek= -Φ,k, il vient :

ejkl.uk, jl= εjk.Φ,k j (1.9)

CHAPITRE 1. G ´EN ´ERALIT ´ES 20

Apr `es simplification, nous obtenons :

ejkl.nj.nl.u0_k = εjk.nj.nk.Φ0 (1.10)

De plus

ρ.¨ui= Ti j, j= ci jkl.uk, jl− eki j.Ek = ci jkl.uk, jl+ eki j.Φ,k j (1.11)

d’o `u

eki j.Φ,k j= ρ.¨ui− ci jkl.uk, jl (1.12)

Le remplacement de u et Φ donne enfin :

eki j.nj.nk.Φ0= ρ.v2.u0_i − ci jkl.nj.nl.u0_k (1.13)

Par identification du terme Φ0dans les ´equations 1.10 et 1.13, nous avons :

ρ.v2.u0_i = ci jkl.nj.nl.u0_k+

eki j.nj.nk.ejkl.nj.nl

εjk.nj.nk

u0_k (1.14)

Les sommes figurant au second membre peuvent ˆetre rassembl ´ees dans le tenseur de Christoffel Γik,permettant une ´ecriture plus compacte de 1.14 :

ρ.v2_.u0 i =  Γik+ γi.γk ε  u0_{k = ¯Γ}ik.u0_k (1.15) avec Γik= ci jkl.nj.nl, γi = eki j.nj.nk et ε = εjk.nj.nk.

Dans le cas d’une propagation suivant l’axe Y dans le quartz et en utilisant la notation de Voigt (notation permettant de contracter les indices deux par deux2), nous avons :

¯ Γik=                 c66+ e2₂₆ ε22 c26+ e22.e26 ε22 c46+ e24.e26 ε22 c26+ e22_ε.e26 22 c22+ e2₂₂ ε22 c24+ e22.e24 ε22 c46+ e24_ε.e26 22 c24+ e22.e24 ε22 c44+ e2 24 ε22                 =           ¯c66 ¯c26 ¯c46 ¯c26 ¯c22 ¯c24 ¯c46 ¯c24 ¯c44          

o `u ¯ci jsont les coefficients d’ ´elasticit ´e ”durcis”. Cette matrice ”fonctionne” quels que soient

le cristal et l’orientation cristalline consid ´er ´ee. En d ´eterminant les valeurs propres ainsi que les vecteurs propres de ce tenseur, nous pouvons d ´eterminer les vitesses de propa-gation et les directions de polarisation des trois familles de modes. La premi `ere vibration, la plus rapide (vA ≈ 6800 m/s), est not ´ee A et correspond `a une vibration longitudinale.

Les deux autres, not ´ees B (cisaillement d’ ´epaisseur rapide, avec vB≈ 4000 m/s) et C

(ci-saillement d’ ´epaisseur lent, o `u vC ≈ 3600 m/s), correspondent `a des ondes transverses

dont les d ´eplacements s’effectuent perpendiculairement (ou quasiment perpendiculaire-ment) `a la propagation.

2. Pour ij → µ, si i = j alors µ = i sinon µ = 9-i-j. Donc 11 → 1, 22 → 2, 33 → 3, 23 ou 32 → 4, 13 ou 31 → 5, 12 ou 21 → 6

CHAPITRE 1. G ´EN ´ERALIT ´ES 21

1.1.3/ LE QUARTZ

Le quartz (ou dioxyde de silicium, SiO2) est une forme cristalline particuli `ere de la silice.

Il se pr ´esente sous deux formes : le quartz-α et le quartz-β. Bien que ces deux formes soient pi ´ezo ´electriques, seul le quartz-α est utilis ´e dans la conception de r ´esonateurs (le quartz-β ne poss `ede qu’une seule constante pi ´ezo ´electrique non nulle alors que la forme α en contient deux). Suivant le sens de rotation de l’h ´elice du cristal de quartz (dextrogyre ou l ´evogyre), ce dernier est appel ´e quartz droit ou quartz gauche. Dans la suite de ces travaux, le terme ”quartz” sans autre pr ´ecision, sous-entendra la forme α d’un quartz droit. La figure 1.3 repr ´esente la structure d’un cristal de quartz.

(a) Vue globale (b) Vue du dessus

FIGURE1.3 – Structure d’un cristal de quartz droit [18][19]

Au del `a de 573◦_{C (temp ´erature de Curie), le quartz devient instable. Sa structure}

cris-talline subit une l ´eg `ere transformation ce qui entraˆıne une modification de la sym ´etrie du cristal et par cons ´equent de ses propri ´et ´es pi ´ezo ´electriques. Le quartz se change alors en quartz-β.

Le quartz appartenant au syst `eme trigonal de classe 32 (o `u l’axe ~c ≡ Z est de sym´etrie d’ordre 3 et l’axe ~a ≡ X est lui de sym´etrie d’ordre 2), les matrices des coefficients ´elastiques ci j, pi ´ezo ´electriques ei j et di ´electriques εi j se composent de la mani `ere

sui-vante : ci j =                           c11 c12 c13 c14 0 0 c12 c11 c13 −c14 0 0 c13 c13 c33 0 0 0 c14 −c14 0 c44 0 0 0 0 0 0 c44 c14 0 0 0 0 c14 c66                          

o `u c66est ´equivalent `a c11−c₂ 12, soient six constantes ind ´ependantes : c11, c12, c13, c14, c33

CHAPITRE 1. G ´EN ´ERALIT ´ES 22 ei j=           e11 −e11 0 e14 0 0 0 0 0 0 _−e14 −e11 0 0 0 0 0 0           εi j =           ε11 0 0 0 ε11 0 0 0 ε33          

Ces matrices sont donn ´ees dans le rep `ere cristallographique et changent de forme par rotation, dans le rep `ere de l’orientation cristalline consid ´er ´ee.

Le quartz peut ´egalement ˆetre d ´evelopp ´e industriellement (cf. Figure 1.4) `a partir d’un germe de quartz naturel. De cette mani `ere, il sera tr `es pur et ne pr ´esentera que tr `es peu de d ´efauts. La production de cristaux synth ´etiques est r ´ealisable `a l’aide d’un auto-clave, par un proc ´ed ´e de croissance hydrothermale3. Des germes de quartz sont suspen-dus dans la partie sup ´erieure du syst `eme, appel ´ee zone de croissance. Dans la partie inf ´erieure, appel ´ee zone de dissolution, est plac ´e le corps m `ere (quartz naturel choisi avec un taux d’impuret ´es tr `es bas) dans une solution de NaOH (soci ´et ´e Gemma) ou de Na2CO3 (soci ´et ´e Sawyer). La pression de fonctionnement est d ´efinie en fonction du

taux de remplissage de cette solution (g ´en ´eralement entre 1000 et 2000 bars). Ces deux zones sont s ´epar ´ees par une plaque m ´etallique trou ´ee appel ´ee diaphragme. A la fer-meture de l’autoclave, un courant de convection, g ´en ´er ´e par un gradient de temp ´erature d’une dizaine de degr ´es entre la partie haute et la partie basse, v ´ehicule la solution m `ere de la partie inf ´erieure `a la partie sup ´erieure. La croissance progressive des cristaux de quartz est alors due `a la r ´ep ´etition de ce proc ´ed ´e (de 3 `a 6 mois en fonction des dimen-sions voulues, `a raison d’environ 0,01 mm/heure). La qualit ´e des cristaux finaux d ´epend bien entendu de la nature des germes utilis ´es.

FIGURE1.4 – Barreau de quartz synth ´etique [20]

Comme tout mat ´eriau pi ´ezo ´electrique, le quartz est anisotrope, ce qui signifie que ses propri ´et ´es physiques varient suivant la direction consid ´er ´ee. Les tenseurs des constantes ´elastiques, pi ´ezo ´electriques et di ´electriques vus pr ´ec ´edemment sont donc li ´es au rep `ere utilis ´e. En fonction de la direction choisie, le comportement des r ´esonateurs sera diff ´erent. Ils pourront alors poss ´eder certaines particularit ´es comme une insensibilit ´e `a la temp ´erature ou aux contraintes appliqu ´ees sur la lame. La coupe de r ´ef ´erence se nomme coupe Y (l’axe Y est d ´efini comme l’axe normale au r ´esonateur). On d ´efinit en-suite les angles Φ, θ et ψ permettant d’obtenir la rotation souhait ´ee en suivant les ´etapes illustr ´ees par la figure 1.5.

CHAPITRE 1. G ´EN ´ERALIT ´ES 23

FIGURE1.5 – Angles de rotation pour un quartz droit

La convention de 1978 (IEEE Std 176-1978) [21], utilis ´ee dans beaucoup d’institutions, d ´efinit ces rotations `a l’aide de la notation suivante :

(Y Xwlt)Φ, θ, ψ

o `u Y est perpendiculaire `a la lame dont l’ ´epaisseur est suivant cet axe, X est suivant la longueur de la lame,

w est la largeur autour de laquelle est faite la premi `ere rotation ´egale `a Φ, l est la longueur autour de laquelle est faite la deuxi `eme rotation ´egale `a θ et t est l’ ´epaisseur autour de laquelle est faite la troisi `eme rotation ´egale `a ψ. Ainsi le r ´esonateur sera rep ´er ´e dans le tri `edre X”Y”Z”.

L’angle ψ ´etant utilis ´e pour d ´efinir une direction dans le plan de la lame (cf. para-graphe 1.1.4.3), on distingue deux cat ´egories de coupes : les coupes `a simple rotation (d ´efinies par l’angle θ) et les coupes `a double rotation (d ´efinies par les angles φ et θ). Dans la premi `ere famille, on rel `eve les coupes AT et BT pour lesquelles, par d ´efinition, le mode C est compens ´e en temp ´erature. Dans la seconde famille, la coupe la plus utilis ´ee est sans doute la coupe SC (Stress Compensated) qui, comme son nom l’indique, est peu sensible aux contraintes m ´ecaniques [22]. On trouve ´egalement la coupe IT com-pens ´ee en temp ´erature comme la AT et la BT, la coupe LD (Low isochronism Defect [23]) qui r ´eduit la sensibilit ´e de la fr ´equence de r ´esonance `a la puissance d’excitation (cf. pa-ragraphe 1.20(a)), la coupe FC (Frequency Compensated) qui permet d’avoir une faible variation de la fr ´equence sur un large intervalle de temp ´erature ou encore la coupe SBTC (Stress compensated on B-mode and Temperature compensated on C-mode) [24] qui est utilis ´ee comme capteur de pression (par le mode C), compens ´e en temp ´erature par le mode B. Toutes ces coupes sont repr ´esent ´ees dans le tableau 1.1.

Coupe θ φ AT 35◦_{15’ 0} BT -49◦ ₀ SC 34◦ 22◦ IT 34◦ ₁₉◦ LD 34◦ ₂₇◦ FC 34◦ ₁₅◦ SBTC -34,5◦ _16,3◦

CHAPITRE 1. G ´EN ´ERALIT ´ES 24

Nous avons pu noter au paragraphe 1.1.2 qu’il existait trois familles de modes (A, B et C) se propageant `a des vitesses diff ´erentes et vibrant, pour B et C, en cisaillement d’ ´epaisseur (cf. Figure 1.6(c)). En fonction de la coupe utilis ´ee, ces trois modes ne seront pas tous ´electriquement excitables. En effet, pour une coupe `a simple rotation, le mode C sera le seul `a ˆetre excit ´e alors que pour une coupe `a double rotation, les trois modes seront pr ´esents dans le spectre radiofr ´equence. Cette excitation de mode se traduit par un coefficient de couplage ´electrom ´ecanique non nul.

Le coefficient de couplage ´electrom ´ecanique (appel ´e coefficient k) est la capacit ´e d’un mat ´eriau pi ´ezo ´electrique `a convertir une ´energie en une autre. Cette caract ´eristique tr `es importante d ´epend des propri ´et ´es du mat ´eriau utilis ´e mais ´egalement de son orientation ainsi que de la nature de la vibration consid ´er ´ee. Il peut ˆetre calcul ´e pour les diff ´erents modes de vibrations par :

k2= UM UM+ UE

(1.16) avec UM et UE respectivement l’ ´energie m ´ecanique et l’ ´energie ´electrique [J]. Dans le

cas d’une vibration en cisaillement ou en ´elongation, cette ´equation s’ ´ecrit :

k2_{= 1−} v

2 i

v2p

(1.17) o `u vicorrespond `a la vitesse d’une onde dans le cas o `u la pi ´ezo ´electricit ´e n’est pas prise

en compte (v2 i =

c66

ρ pour le mode C d’une coupe simple rotation) et vp `a la vitesse de

l’onde lorsque la pi ´ezo ´electricit ´e est consid ´er ´ee (v2 p =

¯ c66

ρ pour le mode C), avec ¯c66 le

coefficient d’ ´elasticit ´e durci (cf. section 1.1.2).

Plus le coefficient k est proche de 100%, meilleure sera la conversion d’ ´energie (environ 10% pour un cristal de quartz [25]). D’autres mat ´eriaux poss `edent un coefficient de cou-plage plus ´elev ´e, comme le sel de Rochelle par exemple (80%), mais ne sont pas utilis ´es du fait de la difficult ´e d’obtenir des cristaux de mati `ere de bonne qualit ´e. Si la valeur de k est nulle, le mode de vibration consid ´er ´e sera purement m ´ecanique et non ´electrique. Le tableau 1.2 regroupe les valeurs du coefficient ´electrom ´ecanique des modes C, B et A de plusieurs orientations cristallines.

Coupe Mode C Mode B Mode A

AT 9% 0% 0%

BT 6% 0% 0%

SC 2% 5% 4%

SBTC 6% 5% 3%

TABLE 1.2 – Coefficient de couplage ´electrom ´ecanique des modes C, B et A pour diff ´erentes orientations cristallines

Le positionnement et la forme des ´electrodes va permettre l’excitation de certains ”modes” de vibration du quartz (cf. Figure 1.6) [26].

CHAPITRE 1. G ´EN ´ERALIT ´ES 25

FIGURE1.6 – Principaux modes de vibration du quartz

Les principaux modes exploit ´es en pratique sont : (a) la flexion, (b) l’ ´elongation et (c) le cisaillement d’ ´epaisseur. La plupart des r ´esonateurs utilis ´es pour des applications de r ´ef ´erence de temps de haute performance (stabilit ´e), comme ceux de la section 1.2, fonctionnent suivant ce dernier mode. Gr ˆace au spectre harmonique repr ´esent ´e par la figure 1.7, nous pouvons nous apercevoir que le r ´esonateur poss `ede de nombreuses fr ´equences de r ´esonance. Le premier mode excit ´e est appel ´e fondamental (ou 1er

par-tiel), viennent ensuite le 3e_{partiel `a une fr ´equence environ trois fois sup ´erieure `a celle du}

fondamental, le 5e_{partiel `a une fr ´equence environ cinq fois sup ´erieure `a celle du}

fonda-mental, le 7e _{... On utilise le terme de partiel car la pi ´ezo ´electricit ´e d ´ecale les fr ´equences}

de r ´esonance par rapport aux harmoniques.

FIGURE1.7 – Spectre harmonique [18]

Ceux-ci se distinguent ´egalement par le nombre de demi longueurs d’onde dans l’ ´epaisseur du quartz. Le premier mode n’en poss `edera qu’une, le 3e _{partiel trois, le 5}e

cinq et ainsi de suite (cf. Figure 1.8).

FIGURE1.8 – Modes de cisaillement d’ ´epaisseur du quartz en fonction du rang de partiel Les conditions aux limites ainsi que la sym ´etrie des ´electrodes font que les partiels im-pairs sont les seuls `a pouvoir ˆetre excit ´es sous l’effet d’un champ ´electrique. Ces partiels sont les seuls pour lesquels le centre de gravit ´e co¨ıncide avec le centre d’inertie de la vibration, comme le montre la figure 1.9.

CHAPITRE 1. G ´EN ´ERALIT ´ES 26

FIGURE1.9 – Variation du centre de la vibration en fonction du num ´ero de partiel [27]

Pour chaque partiel, d’autres modes non d ´esir ´es apparaissent `a des fr ´equences plus ´elev ´ees. On les appelle anharmoniques ou modes parasites (cf. Figure 1.7). Ces modes sont physiquement bien d ´efinis mais sont ind ´esirables car ils peuvent perturber la r ´eponse ´electrique surtout lorsqu’ils sont proches des modes principaux. Alors que pour le fondamental et les partiels, l’ ´energie est concentr ´ee sous les ´electrodes, au centre de la lame, elle se divise en plusieurs zones (toujours centr ´ees mais pouvant d ´eborder des

´electrodes) lorsqu’un des anharmoniques est excit ´e (cf. Figure 1.10).

FIGURE 1.10 – Topographie par rayons X des premiers modes de vibration pour une

famille (A, B ou C) et un rang de partiel [28]

Chaque mode sera rep ´er ´e par trois nombres : le premier correspond au rang de partiel (nombre de demi longueurs d’onde dans l’ ´epaisseur), le second repr ´esente le nombre de nœud de vibration (endroit o `u la vibration est nulle) suivant une direction proche de la projection de l’axe X (polarisation du mode) et le dernier donne le nombre de nœuds de vibration suivant une direction proche de la projection de l’axe Z. Ces deux nombres sont

CHAPITRE 1. G ´EN ´ERALIT ´ES 27

pairs lorsqu’il s’agit d’un mode excitable ´electriquement et impairs dans le cas contraire. Ainsi, les fondamentaux seront not ´es A100, B100 ou C100, les anharmoniques 120, 102 ... les 3e et 5e partiels seront respectivement identifi ´es par 300 et 500, et ainsi de suite.

1.1.4/ SENSIBILITE AUX PARAM´ ETRES EXT` ERIEURS´

La partie pr ´ec ´edente (chapitre 1.1.3) nous a permis de remarquer que le comportement du quartz d ´ependait de l’orientation du cristal utilis ´e. Mais un r ´esonateur est ´egalement sensible `a des param `etres ext ´erieurs comme la temp ´erature, la pression, l’acc ´el ´eration, les radiations ... Nous allons expliquer dans cette section, pourquoi le fonctionnement d’un r ´esonateur `a quartz est influenc ´e par certains de ces ph ´enom `enes.

1.1.4.1/ TEMPERATURE´

En fonction de la temp ´erature, le quartz va se dilater de fac¸on non-isotrope, ce qui va entraˆıner une modification de ses dimensions. De plus, ses coefficients ´elastiques vont varier sous l’effet de la temp ´erature. Ces ph ´enom `enes vont induire un d ´ecalage de la fr ´equence de r ´esonance. Le comportement statique de la fr ´equence en fonction de la temp ´erature (T uniforme dans le quartz) peut ˆetre repr ´esent ´e, dans une gamme de -50◦_C

`a +150◦_{C, sous la forme d’un polyn ˆome du 3}e _{ordre :}

∆ f

f0 = a.∆T + b.∆T 2

+ c.∆T3 (1.18)

o `u ∆ f =f-f0 et ∆T =T-T0 avec f0 la fr ´equence de r ´esonance `a la temp ´erature de r ´ef ´erence

et T0la temp ´erature de r ´ef ´erence (g ´en ´eralement 25◦C).

Dans le cas d’une ´etude dynamique, un coefficient ph ´enom ´enologique ˜a peut ˆetre ajout ´e `a l’ ´equation pr ´ec ´edente afin de traduire l’effet des gradients de temp ´erature :

∆ f

f0 = a.∆T + b.∆T 2

+ c.∆T3+ ˜ad∆T

dt (1.19)

Ce coefficient vaut quelques 10−7_s.◦_C−1_{pour le mode C d’une coupe SC et 10}−5_s.◦_C−1

dans le cas d’une coupe AT. Cela signifie que la fr ´equence du mode C va se stabiliser plus vite pour une coupe SC que AT. La figure 1.11 pr ´esente diff ´erentes courbes fr ´equence-temp ´erature (CTF) obtenues pour plusieurs orientations cristallines.

Les maximum et minimum des courbes fr ´equence-temp ´erature sont appel ´es points

d’in-version. Ces points sont tr `es importants dans le fonctionnement d’un r ´esonateur

puis-qu’autour de ces temp ´eratures, la variation de fr ´equence en fonction de la temp ´erature est minimale. On nomme ´egalement point d’inflexion, le point `a mi-chemin entre les points d’inversion et correspondant `a une d ´eriv ´ee seconde nulle de la variation de fr ´equence ∆ f_f

0

(≈ 25◦_{C pour une coupe AT et ≈ 95}◦_{C pour une coupe SC).}

Comme le montre la Figure 1.124_{, la position des points d’inversion est tr `es sensible `a}

l’orientation du quartz et plus particuli `erement `a l’angle θ.

4. Les lignes en pointill ´es repr ´esentent les courbes exp ´erimentales obtenues par Bechmann [29] pour des angles optima

CHAPITRE 1. G ´EN ´ERALIT ´ES 28

FIGURE 1.11 – Variation relative de la fr ´equence de r ´esonance en fonction de la temp ´erature pour diff ´erentes coupes [29]

(a) Coupe AT (b) Coupe SC

FIGURE1.12 – Variation des courbes fr ´equence-temp ´erature en fonction de l’angle θ [30]

Nous constatons que plus θ diminue et plus les points d’inversion se rapprochent. En dessous d’une certaine valeur d’angle, les deux points d’inversion vont se confondre et se trouveront `a une temp ´erature ´equivalente `a celle du point d’inflexion (cf. Figure 1.13), ce qui rendra le r ´esonateur tr `es sensible `a une variation de la temp ´erature environnante. On parle alors de courbe d ´eg ´en ´er ´ee.

La figure 1.13 montre des courbes obtenues pour des r ´esonateurs de coupe AT (simple rotation). Pour une coupe `a double rotation comme la SC, l’ ´evolution des points d’inver-sion en fonction de l’angle θ sera sym ´etrique par rapport au point d’inflexion, lui-m ˆeme affect ´e par le second angle de rotation, φ.

CHAPITRE 1. G ´EN ´ERALIT ´ES 29

FIGURE 1.13 – Variation de position des points d’inversion en fonction de l’angle θ pour une coupe AT (la ligne en pointill ´es, indiqu ´ee par Ti, correspondant `a la position du point d’inflexion) [29]

Le mode C est principalement utilis ´e dans les r ´esonateurs compte tenu des faibles varia-tions de fr ´equence de r ´esonance en fonction de la temp ´erature (contrairement au mode B, comme le montre la figure 1.14). Le mode B peut servir de mode thermom ´etrique (coupe SC par exemple) du fait de sa grande sensibilit ´e `a la temp ´erature (-30 ppm/◦_C)5_.

FIGURE1.14 – Courbe fr ´equence-temp ´erature du mode B et C pour une coupe SC [31] Un autre effet de la temp ´erature sur le fonctionnement du r ´esonateur est appel ´e activity

dip (litt ´eralement ”creux d’activit ´e”). Une cause admise est le chevauchement de modes,

excitables ´electriquement ou non, ayant une sensibilit ´e `a la temp ´erature diff ´erente. Ce couplage entre ces deux modes de vibration va faire varier la fr ´equence de r ´esonance et par cons ´equent, provoquer un d ´ecalage de la courbe fr ´equence-temp ´erature sur de faibles intervalles de temp ´erature (cf. Figure 1.15). L’activity dip va ´egalement tendre `a

CHAPITRE 1. G ´EN ´ERALIT ´ES 30

augmenter les pertes et donc r ´eduire l’amplitude des oscillations. Ces ph ´enom `enes ne sont g ´en ´eralement pas pris en compte dans les analyses car leur description n ´ecessite de prendre en compte l’ensemble des modes possibles dans la construction de la r ´eponse ´electrique, ramen ´ee `a la contribution d’un seul mode dans les mod `eles analytiques. N ´eanmoins, leur description analytique est pr ´esent ´ee dans la th `ese d’ ´Etat de Bernard Dulmet [32].

FIGURE1.15 – Courbe fr ´equence-temp ´erature pr ´esentant un couplage de mode (localis ´e par la fl `eche) [33]

1.1.4.2/ FORCE

La fr ´equence de r ´esonance d’un r ´esonateur peut ´egalement varier `a cause des contraintes appliqu ´ees sur la lame pendant l’usinage, du d ´ep ˆot des ´electrodes... mais une grande partie de ces variations provient aussi des contraintes m ´ecaniques dues `a la structure de maintien du r ´esonateur. Du fait de l’anisotropie du mat ´eriau, la position des clips autour de la lame de quartz n’affectera pas de la m ˆeme mani `ere le comportement du r ´esonateur, qu’ils soient suivant la projection de l’axe X ou d ´ecal ´es de quelques degr ´es. Cet effet est caus ´e par la nonlin ´earit ´e du mat ´eriau, repr ´esent ´ee par ses constantes ´elastiques du troisi `eme ordre (14 constantes ind ´ependantes). Pour ´etudier la sensibilit ´e du r ´esonateur, on consid `ere deux forces F appliqu ´ees dans le plan, sur sa circonf ´erence et diam ´etralement oppos ´ees. La position de ces forces par rapport aux projections des axes cristallographiques est rep ´er ´ee par l’angle ψ (rotation autour de Y” et appel ´e azimut) (cf. Figures 1.5 et 1.16).

En s’aidant d’autres travaux de recherche ainsi que de r ´esultats exp ´erimentaux obtenus chez IBM, James Ratajski d ´efinit en 1968 un coefficient Kf permettant de traduire la

variation de fr ´equence en fonction d’une contrainte radiale [34] :

Kf(ψ) = ∆ f

f0

. d.τ F.N0

(1.20) o `u Kf(ψ) est le coefficient de sensibilit ´e `a une force [m.s/N], ∆ f_f0 est la variation

rela-tive de fr ´equence, F est la force appliqu ´ee [N], N0 est la constante de fr ´equence (moiti ´e

CHAPITRE 1. G ´EN ´ERALIT ´ES 31

FIGURE 1.16 – Application de deux forces diam `etralement oppos ´ees sur le contour du r ´esonateur

son ´epaisseur [m]. Ce coefficient Kf est intrins `eque `a l’orientation et au mode de

vibra-tion consid ´er ´e. La figure 1.17 montre la variavibra-tion de Kf en fonction de l’angle ψ pour

diff ´erentes coupes.

FIGURE1.17 – Variation du coefficient de sensibilit ´e aux contraintes en fonction de l’azi-mut pour diff ´erentes orientations cristallines [31]

EerNisse a montr ´e que cet effet force-fr ´equence ´etait bien ´evidemment sensible `a la temp ´erature de fonctionnement du r ´esonateur [35]. Nous constatons sur les courbes 1.18(a) (pour une coupe AT) et 1.18(b) (pour une coupe SC) qu’une

augmenta-CHAPITRE 1. G ´EN ´ERALIT ´ES 32

tion de la temp ´erature fait varier le coefficient Kf, ce qui induit un d ´ecalage des positions

d’insensibilit ´e. La variation des constantes ´elastiques du troisi `eme ordre en fonction de la temp ´erature n’ayant pas ´et ´e mesur ´ee, la sensibilit ´e thermique du coefficient Kf n’est pas

calculable.

(a) Coupe AT (b) Coupe SC

FIGURE1.18 – Variation du coefficient Kf en fonction de la temp ´erature pour des coupes

AT et SC [35]

Lorsque la force exerc ´ee sur la circonf ´erence du r ´esonateur est uniform ´ement r ´epartie, on d ´efinit un coefficient de sensibilit ´e moyen `a la contrainte, not ´e < Kf > et exprim ´e de la

mani `ere suivante :

< Kf(ψ) >= 1 π Z π 0 Kf(ψ)dψ (1.21)

Toutes ces donn ´ees doivent donc ˆetre prises en compte lors de la phase de montage afin de fixer le r ´esonateur aux points de sensibilit ´e nulle. Pour un r ´esonateur de coupe SC et son mode C par exemple, il existe deux angles donnant un Kf nul en fonction des forces

radiales : ψ ≈ 90◦ _{et ψ ≈ 180}◦_{. Par ailleurs, et c’est ce qui a permis de d ´efinir la coupe}

SC, < Kf(C) >= 0, d’o `u son nom de ”Stress Compensated”. Malheureusement il n’est pas

toujours simple de positionner les fixations suivant les directions d ´etermin ´ees pour une coupe consid ´er ´ee.

1.1.4.3/ ACCEL´ ERATION´

Un autre param `etre affectant la fr ´equence de r ´esonance est l’acc ´el ´eration. En effet, on observe une variation de la fr ´equence de r ´esonance lorsqu’un r ´esonateur subit une acc ´el ´eration constante. Cette acc ´el ´eration va exercer des forces au niveau des fixa-tions et dans le volume du quartz. La d ´erive de la fr ´equence est alors proportionnelle `a l’amplitude de l’acc ´el ´eration et va d ´ependre de la direction dans laquelle celle-ci est appliqu ´ee [36].

CHAPITRE 1. G ´EN ´ERALIT ´ES 33

Przyjemski montra que cette sensibilit ´e peut ˆetre calcul ´ee sous la forme d’un vecteur d ´ecrivant les sensibilit ´es sur chaque axe [37] :

|~Γ| = q

γ2

x+ γ2y+ γ2z (1.22)

o `u |~Γ| est la norme du vecteur de sensibilit´e `a l’acc´el´eration et γx, γy, γzsont les

compo-santes de ce vecteur suivant trois axes X, Y et Z orthogonaux deux `a deux. Toute action dans le plan perpendiculaire `a ~Γ a une influence nulle sur la fr ´equence. La sensibilit ´e acc ´el ´erom ´etrique r ´esultant des imperfections de la structure de fixation et des d ´efauts de la lame, la valeur de ~Γ sera diff ´erente pour chaque r ´esonateur.

Ainsi, la fr ´equence de r ´esonance d’un syst `eme subissant une acc ´el ´eration ~a devient :

fa= f0(1 + ~Γ.~a) (1.23)

o `u faest la fr ´equence sous l’effet d’une acc ´el ´eration et f0la fr ´equence sans contrainte. La

variation relative de fr ´equence est alors : ∆ f

f0 =

fa− f0

f0 = ~a.~Γ

(1.24) Pour des r ´esonateurs bas de gamme, la sensibilit ´e `a l’acc ´el ´eration est d’environ 1 ppb/G6alors qu’elle est inf ´erieure `a 10−11/G pour des r ´esonateurs de type BVA (cf. cha-pitre 1.2.4). M ˆeme sans mouvement, le r ´esonateur peut subir une variation de fr ´equence, comme d ´ecrite par l’ ´equation 1.24, `a cause de la gravit ´e. La figure 1.19 pr ´esente la va-riation relative de fr ´equence due `a la gravit ´e (2G-tipover) pour chacun des trois axes (g ´en ´eralement mesur ´ee par retournement du r ´esonateur autour d’un des trois axes).

FIGURE1.19 – Effet de la gravit ´e (2g-tipover) sur la fr ´equence de r ´esonance suivant les

3 axes d’orientation [38]

Les fixations jouant un r ˆole important dans la variation de fr ´equence en fonction d’une acc ´el ´eration (contraintes sur la lame), elles doivent ˆetre absolument prises en compte lors de la mod ´elisation du r ´esonateur pendant l’ ´etude de cette sensibilit ´e. Les clips peuvent

CHAPITRE 1. G ´EN ´ERALIT ´ES 34

n ´eanmoins ˆetre n ´eglig ´es lors de l’ ´etude de l’effet de la gravit ´e sur le syst `eme (forces internes).

1.1.4.4/ D ´EFAUT D’ISOCHRONISME

Le d ´efaut d’isochronisme, parfois appel ´e effet amplitude-fr ´equence, est la variation de la fr ´equence de r ´esonance en fonction de la puissance ´electrique d’excitation du r ´esonateur [39][40]. Cet effet est principalement d ˆu `a la non-lin ´earit ´e du quartz et plus particuli `erement `a ses coefficients ´elastiques du 4e_{ordre (28 constantes ind ´ependantes).}

La fr ´equence de r ´esonance va ´evoluer avec le carr ´e du courant selon la loi suivante :

∆ f f0 = a.I

2 _(1.25)

o `u I est le courant maximal [A] et a le coefficient de sensibilit ´e [A−2]. La valeur de ce coefficient va d ´ependre principalement du type de r ´esonateur utilis ´e (plan, plan-convexe...), du mode de vibration et de la coupe consid ´er ´ee. La figure 1.20 illustre les effets de la non-lin ´earit ´e du quartz sur le courant.

(a) Courant en fonction de la fr ´equence (b) Variation du courant sous forme d’hyst ´er ´esis

FIGURE1.20 – Effet de la tension d’alimentation sur le courant et la phase [41][40]

Quelle que soit la tension d’alimentation, le courant atteint son amplitude maximale lorsque le r ´esonateur est excit ´e `a sa fr ´equence de r ´esonance. A forte puissance, la courbe de courant en fonction de la fr ´equence devient asym ´etrique sous l’effet de la non-lin ´earit ´e du quartz.

La variation de la puissance d’excitation va ´egalement avoir une influence sur le d ´emarrage de l’oscillateur. Si, contrairement au d ´efaut d’isochronisme o `u le courant est trop important, le courant devient trop faible, la r ´esistance du r ´esonateur va alors aug-menter jusqu’ `a ne plus pouvoir ˆetre compens ´ee par l’ ´electronique, ce qui va emp ˆecher la pr ´esence d’oscillations [42][43].

CHAPITRE 1. G ´EN ´ERALIT ´ES 35

1.2/

L

´

`

Un r ´esonateur est un dispositif maintenu en vibration `a une fr ´equence bien d ´efinie (ap-pel ´ee fr ´equence propre ou de r ´esonance) parmi ses diff ´erentes fr ´equences de r ´esonance possibles et servant de base de temps dans les syst `emes ´electroniques. Dans notre cas, il est constitu ´e d’un morceau de quartz parfaitement dimensionn ´e et orient ´e en fonction de l’application pour laquelle il va ˆetre utilis ´e. Les dimensions du r ´esonateur ainsi que sa coupe vont d ´efinir sa fr ´equence de r ´esonance qui est inversement proportionnelle `a l’ ´epaisseur du r ´esonateur. Sur ce quartz sont d ´epos ´ees des ´electrodes, g ´en ´eralement en or ou dans certains cas en argent ou en aluminium. La taille et la mati `ere de ces ´electrodes va ´egalement avoir une influence sur les propri ´et ´es du r ´esonateur par un effet de ”mass loading” (effet de la masse des ´electrodes sur la fr ´equence de r ´esonance [44]). Sous l’effet d’une tension alternative et si le coefficient de couplage ´electrom ´ecanique est non nul, le cristal va ˆetre excit ´e et se mettre `a vibrer, par effet pi ´ezo ´electrique inverse. Comme nous allons le noter dans cette partie, un r ´esonateur `a quartz peut prendre diff ´erentes formes. Les plus courantes ´etant le barreau (vibrant en ´elongation ou en flexion) et le disque (vibration en cisaillement d’ ´epaisseur).

1.2.1/ R ´ESONATEURS DIAPASON

(a) Diapa-son [20]

(b) Analyse d’un r ´esonateur diapason `a la r ´esonance [45]

FIGURE1.21 – R ´esonateur diapason

Le diapason se pr ´esente sous la forme de deux barreaux connect ´es par une de leurs extr ´emit ´es (cf. Figure 1.21(a)). Contrairement `a celui utilis ´e par les musiciens o `u l’excita-tion provient d’un choc avec un objet dur (excital’excita-tion m ´ecanique), un diapason `a quartz est entretenu en vibration par l’effet pi ´ezo ´electrique inverse (excitation ´electrique). Sa fr ´equence de r ´esonance (autour de 32 kHz) ´etant d ´efinie par les caract ´eristiques du quartz et la g ´eom ´etrie des barreaux. Il se distingue des autres r ´esonateurs, que nous verrons par la suite, par sa petit taille et par le fait qu’il vibre en flexion (cf. Figures 1.6 et 1.21(b)). Ses petites dimensions et sa faible consommation en font un composant tr `es utilis ´e (montres `a quartz, ´electronique num ´erique...), produit en grandes quantit ´es et `a faible co ˆut.

CHAPITRE 1. G ´EN ´ERALIT ´ES 36

1.2.2/ R ´ESONATEURS CLASSIQUES

(a) Fixation en 2 points (b) Fixation en 4 points

FIGURE1.22 – R ´esonateur classique

Pour des fr ´equences allant de 1 MHz `a plusieurs centaines de MHz, on utilise des r ´esonateurs circulaires (cf. Figure 1.22) vibrant en cisaillement d’ ´epaisseur. Ce type de r ´esonateur est le plus simple `a concevoir et r ´ealiser mais leur maintien `a l’aide de ressorts de suspension en font ´egalement les plus sensibles aux param `etres ext ´erieurs.

En fonction de la fr ´equence de r ´esonance, les pastilles de quartz vont avoir diff ´erents profils. A basse fr ´equence (de 1 MHz `a une cinquantaine de MHz), lorsque la lame est ´epaisse, les r ´esonateurs vont comporter une ou deux faces convexes (cf. Fi-gures 1.23(b1) et 1.23(c)). Cette d ´ecroissance de l’ ´epaisseur, du centre vers le bord, a pour but de pi ´eger toute l’ ´energie au centre du r ´esonateur et de minimiser les effets de bord. On trouve ´egalement des r ´esonateurs dont l’ar ˆete sup ´erieure a ´et ´e biseaut ´ee par rodage suivant un rayon de courbure d ´efini (cf. Figure 1.23(b2)). La surface plane sur le dessus de la lame est alors appel ´ee mouche. Cette structure pr ´esente le double avantage d’ ´eviter que de petites particules viennent se d ´ecrocher du bord de la lame lors de la phase de montage, ce qui pourrait entraˆıner des perturbations si elles venaient `a se placer au niveau de la m ´etallisation et d’am ´eliorer les caract ´eristiques du syst `eme. Pour des fr ´equences sup ´erieures, lorsque la lame est fine, le pi ´egeage de l’ ´energie se fait gr ˆace `a l’effet de charge des ´electrodes ou en usinant sur la/les surface(s) sup ´erieure (et inf ´erieure) une marche, appel ´ee ´egalement mesa (cf. Figures 1.23(a) et 1.23(d1)) ser-vant `a amincir le bord du r ´esonateur comme avec un rayon de courbure. En partant de ce principe, nous pouvons imaginer l’utilisation d’une s ´erie de marches comme substi-tut `a la surface sph ´erique, comme le montre la figure 1.23(d2). Cette id ´ee `a ´et ´e pens ´ee lors du projet FREQUENCE2009 dont nous parlerons dans la suite de ce manuscrit (cf. chapitre 4).

FIGURE1.23 – Profils de r ´esonateurs (a) plan-plan, (b1) plan-convexe, (b2) biseaut ´e, (c)

CHAPITRE 1. G ´EN ´ERALIT ´ES 37

1.2.3/ R ´ESONATEURS ”STRIP”

(a) (b)

FIGURE1.24 – Exemples de r ´esonateurs strip [46]

Il est ´egalement possible de concevoir des r ´esonateurs de dimensions comparables `a celles des diapasons mais utilisant le mode de vibration en cisaillement d’ ´epaisseur. Cette miniaturisation a pour cons ´equence une modification de sa forme, passant d’une g ´eom ´etrie circulaire `a une configuration rectangulaire (cf. Figure 1.24), et de ses ca-ract ´eristiques (augmentation de la r ´esistance et de la self ainsi qu’une diminution de la capacit ´e motionnelle). Ces r ´esonateurs prennent alors le nom de r ´esonateurs ”strip”. Du fait de leur petite taille (quelques millim `etres de longueur), la g ´eom ´etrie de ce type de produit doit ˆetre d ´efinie pr ´ecis ´ement pour contr ˆoler les couplages entre le mode de ci-saillement d’ ´epaisseur et des modes de flexion d’ordre ´elev ´e, cons ´ecutivement `a la faible largeur de la plaque : cette dimension est en effet trop faible pour permettre un confine-ment de la vibration au centre du r ´esonateur (dans la direction de la largeur).

1.2.4/ R ´ESONATEURS BVA

(a) Sch ´ema d’un r ´esonateur BVA [47] (b) R ´esonateur BVA d ´emont ´e [20]

FIGURE1.25 – R ´esonateur BVA

Pour pallier la grande sensibilit ´e des r ´esonateurs ”classiques” aux param `etres ext ´erieurs et am ´eliorer leur vieillissement, Raymond Besson d ´eveloppa dans les ann ´ees 70 au LCEP (Laboratoire de Chronom ´etrie, ´Electronique et Pi ´ezo ´electricit ´e) de Besanc¸on, un nouveau type de r ´esonateur : le BVA (Boˆıtier `a Vieillissement Am ´elior ´e) [48][49]. C’est

CHAPITRE 1. G ´EN ´ERALIT ´ES 38

la version la plus complexe et la plus ´evolu ´ee de r ´esonateur `a quartz `a ondes de vo-lume. En effet, elle apporte deux innovations par rapport au r ´esonateur dit classique : un d ´ecouplage entre la zone active (au centre) et la zone dormante (d ´elimit ´ee par des ponts) et l’utilisation d’ ´electrodes non adh ´erentes. C’est- `a-dire que les ´electrodes sont d ´epos ´ees sur des disques de quartz, usin ´es en leur centre sur quelques microm `etres de profondeur et plac ´es de part et d’autre de la pastille vibrante (cf. Figure 1.25(a)). On appelle ces pi `eces des ”condensateurs porte ´electrodes”. L’orientation de ces condensa-teurs doit ˆetre la m ˆeme que celle de la lame centrale afin de minimiser les contraintes qui pourraient ˆetre dues aux dilatations diff ´erentielles. Les ´electrodes n’ ´etant plus en contact avec la partie active du r ´esonateur, les contraintes dues `a leur d ´eposition ainsi que la diffusion dans le cristal des mat ´eriaux les composant sont supprim ´ees. Ces trois ´el ´ements sont maintenus dans le syst `eme d’encapsulation par des ressorts, le tout ´etant ensuite suspendu dans une bague m ´etallique (cf. Figure 1.25(b)). Cette structure ”super sym ´etrique” permet d’am ´eliorer le comportement du r ´esonateur en r ´eduisant sa sensibi-lit ´e `a l’acc ´el ´eration ainsi qu’aux contraintes m ´ecanique et thermique.

1.2.5/ R ´ESONATEURS QAS

FIGURE1.26 – R ´esonateur QAS [20]

Une version plus simple du r ´esonateur BVA existe, o `u la lame est m ´etallis ´ee et est appel ´ee QAS (Quartz Auto Suspendu) ou BVA4 [50][51]. Des ponts (cf. Figure 1.26)

sont usin ´es dans la lame de quartz afin de s ´eparer la partie active du r ´esonateur du bord. Cette technique de suspension a pour objectif de minimiser la sensibilit ´e de la fr ´equence de r ´esonance aux contraintes ext ´erieures (cf. paragraphe 1.1.4) [52]. En effet, les ponts sont positionn ´es suivant des angles de sensibilit ´e aux forces minimale et la partie vibrante est isol ´ee thermiquement des fixations.

Tous ces r ´esonateurs sont g ´en ´eralement encapsul ´es dans des boˆıtiers, sous vide, afin de ne pas d ´et ´eriorer leurs caract ´eristiques.

1.2.6/ AUTRES STRUCTURES

En plus de servir de r ´ef ´erence de temps pour les syst `emes ´electroniques, un r ´esonateur `a quartz peut ´egalement servir pour d’autres applications. Comme nous l’avons not ´e `a la section 1.1.4, le quartz est tr `es sensible `a certains param `etres ext ´erieurs. La variation

CHAPITRE 1. G ´EN ´ERALIT ´ES 39

de fr ´equence due `a ces param `etres peut alors ˆetre utilis ´ee comme un avantage afin de mesurer ces diff ´erentes grandeurs physiques. Le r ´esonateur fonctionne alors comme capteur de temp ´erature en utilisant le mode B de la coupe SC, en tant que microbalance

`a quartz [44][2] ou comme capteur de pression [53][1] (cf. Figure 1.27).

FIGURE 1.27 – Exemple de capteur de pression utilisant une orientation proche de la coupe SC [47]

Pour pouvoir ”monter” en fr ´equence (quelques centaines de MHz), il est ´egalement pos-sible d’utiliser les ondes ´elastiques de surface (ou SAW pour Surface Acoustic Wave) [54] plut ˆot que de volume. Le principe du r ´esonateur est alors bas ´e sur la pr ´esence d’un ou plusieurs peignes interdigit ´es (ou IDT pour Interdigital Transducer) `a la surface du mat ´eriau pi ´ezo ´electrique, encadr ´es par deux r ´eflecteurs (cf. Figure 1.28). L’onde g ´en ´er ´ee par le transducteur central se retrouve alors confin ´ee entre les r ´eflecteurs, ce qui entraˆıne la formation d’une onde de surface stationnaire dont la r ´esonance pr ´esente un facteur de qualit ´e ´elev ´e.

FIGURE1.28 – Principe du r ´esonateur SAW [55]

Mais un quartz n’est pas simplement r ´eduit `a un r ˆole de r ´esonateur, il peut aussi per-mettre la r ´ealisation de filtre ´electronique. Poss ´edant un facteur de qualit ´e ´elev ´e, les filtres `a quartz sont tr `es souvent utilis ´es dans les syst `emes d’ ´emission-r ´eception ou de traite-ment du signal pour leur bande passante ´etroite, li ´ee au faible coefficient de couplage ´electrom ´ecanique du quartz. Les filtres `a bande large recourent donc `a d’autres types de substrats (Niobate de Lithium, Tantalate de Lithium).

CHAPITRE 1. G ´EN ´ERALIT ´ES 40

1.3/

L

`

Un oscillateur est un syst `eme autonome, oscillant `a une fr ´equence fixe d ´efinie essen-tiellement par le r ´esonateur. Les pertes d’ ´energie dans ce dernier ne permettant pas de l’utiliser seul, on lui associe un circuit ´electronique afin d’entretenir la r ´esonance. Cet ensemble forme l’oscillateur et peut ˆetre repr ´esent ´e par un syst `eme boucl ´e comme le montre la Figure 1.29.

FIGURE1.29 – Sch ´ema de principe d’un oscillateur `a r ´esonateur mono-port (dip ˆole) Le signal de sortie du r ´esonateur est reli ´e `a l’entr ´ee d’un amplificateur afin de compenser les pertes et d’assurer l’auto entretien des oscillations. Soit A(ω) la fonction de transfert de l’amplificateur, B(ω) la fonction de transfert du r ´esonateur et ω0 la pulsation d’oscillation

[rad/s] (ω = 2πf) :

V s = A(ω0).Ve (1.26)

Ve = B(ω0).V s (1.27)

Ce qui nous donne :

V s(1_{− A(ω}0).B(ω0)) = 0 (1.28)

Pour que l’ ´equation soit satisfaite, il faut que Vs ou (1-A(ω0).B(ω0)) soit nul. Si Vs=0, il

n’y a pas d’oscillation. Il faut donc que (1-A(ω0).B(ω0)) soit ´egal `a 0 pour que le syst `eme

oscille `a la pulsation ω0. Cette condition limite d’oscillation est plus connue sous le nom

de crit `ere de Barkhausen :

|A(ω0)|.|B(ω0)| ≥ 1 (1.29)

Arg(A(ω0).B(ω0)) = 0 (1.30)

En plus d’amplifier le signal de sortie du r ´esonateur, l’ ´electronique d’entretien doit ´egalement compenser le possible d ´ephasage d ˆu `a l’amplificateur (cf. Equation 1.30) pour que le syst `eme puisse osciller.