Pi `ece 1 3 4 5 6 Moyenne Calcul
R1[Ω] 25,6 32,6 31,2 31,5 32,6 30,7 30,6
L1[mH] 196 225 201 197 197 203 213
C1[fF] 0,64 0,56 0,62 0,64 0,63 0,62 0,59
Q [k] 686 622 576 559 541 597 618
TABLE 4.12 – Param `etres ´electriques mesur ´es du r ´esonateur 14 MHz plan-plan (mode C300)
Comme dans le cas du prototype 10 MHz discr ´etis ´e, la capacit ´e motionnelle C1 n’a
pas ´et ´e mesur ´ee. Sa valeur a par cons ´equent ´et ´e d ´eduite des autres donn ´ees. Les param `etres ´electriques du mode B pour ces cinq prototypes sont r ´esum ´es dans le ta- bleau 4.13.
En nous concentrant dans un premier temps uniquement sur les mesures r ´ealis ´ees et en comparant les pi `eces entre elles, nous remarquons que la pi `ece 1 est celle qui a les meilleures caract ´eristiques, que ce soit pour le mode C ou B. Son facteur de qualit ´e avoisine les 700k pour le mode C (541k pour la pi `ece la moins bonne) et se rapproche des 800k pour le deuxi `eme mode de cisaillement (valeur minimale mesur ´ee `a 691k). En
CHAPITRE 4. MINIATURISATION DES R ´ESONATEURS POUR FABRICATION COLLECTIVE 141
Pi `ece 1 3 4 5 6 Moyenne Calcul
R1 [Ω] 22 24,1 22,7 24,2 22,5 23,1 17,2
L1 [mH] 174 170 177 185 175 176 189
C1 [fF] 0,60 0,61 0,58 0,56 0,60 0,59 0,55
Q [k] 773 691 764 750 762 748 1079
TABLE 4.13 – Param `etres ´electriques mesur ´es du r ´esonateur 14 MHz plan-plan (mode B300)
confrontant cette fois-ci nos r ´esultats `a l’exp ´erience, nous pouvons observer une bonne coh ´erence entre ces diff ´erents r ´esultats lorsque la valeur de QRest faible (compris entre
1 et 105) et ce, uniquement pour le mode C. En effet, la moyenne des facteurs de qualit ´e
d ´etermin ´es dans cet intervalle (618k) pr ´esente un ´ecart avec la moyenne des mesures (597k) de 4% seulement. Au del `a des 105, la diff ´erence entre th ´eorie et pratique s’accroˆıt
de plus en plus.
Cette bonne corr ´elation au niveau du facteur de qualit ´e fait que la r ´esistance est ´egalement tr `es proche des donn ´ees exp ´erimentales. L’ ´etude num ´erique donne une va- leur moyenne pour R1 de 30,6 Ω alors que celle-ci est de 30,7 Ω pour la mesure, soit
une diff ´erence de moins de 1%. Enfin, nous pouvons noter que les valeurs th ´eoriques et mesur ´ees de la self L1 et de la capacit ´e C1 sont tr `es proches les unes des autres, avec
respectivement un ´ecart de 4% et 5%, toujours pour un QRinf ´erieur `a 105.
En ce qui concerne le mode B, les r ´esultats sont moins concluants. Le facteur de qualit ´e le plus ´elev ´e mesur ´e (773k) est plus faible que la valeur la plus basse calcul ´ee (1026k). En moyenne, l’ ´ecart entre les deux m ´ethodes de d ´etermination est de 51% lorsque QR
est compris entre 1 et 105. En ce qui concerne les param `etres ´electriques, la diff ´erence
de r ´esistance est ´egalement tr `es ´elev ´ee (28%) alors qu’elle n’est que de 7% pour la self et la capacit ´e. Toutefois, les mesures qui ont ´et ´e r ´ealis ´ees sont `a prendre avec pr ´ecaution dans la mesure o `u celles-ci sont sensibles `a une fluctuation de la temp ´erature environnante et que d’autres causes de divergence entre la th ´eorie et l’exp ´erience, en particulier la rugosit ´e qui affecte particuli `erement ce mode contrairement au C, sont possibles.
Pour le r ´esonateur 9 MHz avec marches, nous avons montr ´e que les valeurs de self L1et
de capacit ´e C1 pr ´esentaient une bonne concordance entre th ´eorie et exp ´erience. Mais,
a contrario, l’ ´ecart par rapport aux mesures ´etait plus important (60% au maximum) pour la r ´esistance R1 et le facteur de qualit ´e. N ´eanmoins, cette diff ´erence pouvait ˆetre ex-
pliqu ´ee par la dispersion des donn ´ees mesur ´ees due `a l’inhomog ´en ´eit ´e de l’usinage des diff ´erents prototypes. Cette deuxi `eme structure ´etant ramen ´ee `a un profil plan-plan, la comparaison des r ´esultats s’est av ´er ´ee meilleure que dans le cas pr ´ec ´edent. Ainsi, nous avons pu noter un ´ecart entre analyse num ´erique et mesure de 5% maximum pour le mode C P3 lorsque le coefficient QR introduit dans les capots est inf ´erieur `a 105. Les
valeurs d ´etermin ´ees pour le mode B du m ˆeme partiel pr ´esentent une diff ´erence avec la mesure de l’ordre de 50% au maximum. Une variation de la temp ´erature lors de la me- sure des param `etres ´electriques ou la non prise en compte de la rugosit ´e dans l’analyse sont des pistes probables pour expliquer cette divergence. Il est ´egalement possible que le coefficient QR ne soit pas le m ˆeme pour les modes B et C. Le travail r ´ealis ´e sur ce
r ´esonateur bi-plan 14 MHz a donn ´ee lieu `a un poster pr ´esent ´e dans le cadre de l’EFTF en 2013 [79] et dont le proceeding est disponible en Annexe D.2.
CHAPITRE 4. MINIATURISATION DES R ´ESONATEURS POUR FABRICATION COLLECTIVE 142
4.4/
C
ONCLUSIONLe projet FREQUENCE2009, initi ´e par Rakon et FEMTO-ST, avait pour but de r ´ealiser des r ´esonateurs `a l’aide d’un proc ´ed ´e de fabrication collective. Un probl `eme s’est alors pos ´e quant `a la conception de structure pr ´esentant une surface sph ´erique, tr `es difficile `a obtenir avec ce type de processus. Le remplacement de la convexit ´e par une succession de marches a donc ´et ´e imagin ´e. L’ ´etude d’une telle conception passant obligatoirement par la d ´etermination de la g ´eom ´etrie `a utiliser, l’emploi d’un outil de calcul par ´el ´ements finis f ˆut un choix logique afin d’analyser rapidement diff ´erents profils pouvant discr ´etiser convenablement le rayon de courbure. En se basant sur nos observations et malgr ´e les r ´esultats obtenus, nous avons d ´efini les dimensions d’une structure compos ´ee de deux marches. L’ ´etude d’un deuxi `eme prototype, plus simple dans sa construction puisque ra- men ´e `a une structure plan-plan, a ´egalement ´et ´e r ´ealis ´ee. La fabrication de r ´esonateurs de mani `ere collective fut l’aboutissement de ce projet. Les mesures effectu ´ees sur ces diff ´erentes structures ont permis de valider les donn ´ees th ´eoriques, que ce soit pour le premier prototype ou le second. D’apr `es toutes ces valeurs, le remplacement de la convexit ´e par une s ´erie de marches ne semble pas fonctionnel mais reste encore `a prou- ver (ajout de ponts pour permettre le d ´ecouplage de la partie active et/ou positionnement particulier des marches). L’homog ´en ´eit ´e de l’usinage n’ ´etant pas compl `etement maˆıtris ´ee pour tous les r ´esonateurs d’un m ˆeme wafer, l’analyse num ´erique a, par la m ˆeme occa- sion, servi `a v ´erifier qu’il n’y avait pas eu de soucis lors de la phase de conception. En effet, sans l’utilisation d’un outil de calcul, l’obtention de param `etres ´electriques et de fac- teur de qualit ´e tels qu’ils ont ´et ´e mesur ´es pour le prototype 1 aurait pu nous faire douter. Les donn ´ees th ´eorique et exp ´erimentale s’av ´erant ˆetre du m ˆeme ordre de grandeur, nous pouvons alors ´emettre l’hypoth `ese que le proc ´ed ´e n’est pas en cause. Si nous avons au cours de ces calculs montr ´e que notre m ´ethode d’analyse nous permettait d’anticiper as- sez bien le comportement de structures innovantes, il nous reste cependant un dernier travail `a r ´ealiser quant aux r ´esultats d ´etermin ´es pour le mode de vibration B.
CONCLUSION
L’objectif de ce travail ´etait de d ´evelopper un outil d’analyse num ´erique utilisant les ´el ´ements finis et mettant en œuvre les lois de propagation des ondes acoustiques dans les milieux solides afin de caract ´eriser de nouvelles propositions de syst `emes r ´esonnants dans le cadre du projet FREQUENCE2009. Cette m ´ethode doit notamment permettre `a Rakon de r ´ealiser une ´etude syst ´ematique de r ´esonateurs `a quartz `a ondes de volume, exploitant un mode de vibration en cisaillement d’ ´epaisseur ou une onde longitudinale, quels que soient l’orientation cristalline de la lame et le champ ´electrique appliqu ´e (pa- rall `ele ou transverse).
Afin de situer le contexte dans lequel s’est inscrit ces travaux de th `ese, le premier cha- pitre ´etait consacr ´e aux notions de pi ´ezo ´electricit ´e, au cristal de quartz et aux principaux types de r ´esonateurs/oscillateurs. Nous nous sommes en particulier int ´eress ´es `a la sen- sibilit ´e du mat ´eriau aux param `etres ext ´erieurs tels que la temp ´erature ou une contrainte m ´ecanique. Par la suite, une revue des diff ´erentes m ´ethodes d’ ´etude de r ´esonateurs pi ´ezo ´electriques, du sch ´ema ´electrique ´equivalent de Butterworth-Van Dyke `a l’analyse ´el ´ements finis en passant par le mod `ele de Mason, nous a permis de faire le choix des ´el ´ements finis et de poser les bases de notre futur mod `ele (m ´ethode de d ´etermination des param `etres motionnels et de la variation de fr ´equence sous l’effet d’un param `etre environnemental).
Une phase de validation de l’analyse ´el ´ements finis a tout d’abord ´et ´e r ´ealis ´ee sur des cas simples. Trois r ´esonateurs ont alors ´et ´e ´etudi ´es et compar ´es `a des donn ´ees exp ´erimentales. Lors de l’analyse du r ´esonateur 40 MHz, nous avons mis en avant la pr ´esence d’un mode de plaque caus ´e par un d ´efaut de pi ´egeage de la vibration et influenc¸ant la valeur du facteur de qualit ´e. A partir de ces observations, une optimisation a ´et ´e propos ´ee, consistant `a prendre en compte la structure de maintien. Toutefois, l’obten- tion de r ´esultats th ´eoriques coh ´erents par rapport `a l’exp ´erience a ´et ´e rendue possible en simplifiant la mod ´elisation des fixations, passant d’une g ´eom ´etrie en trois dimensions `a l’ajout de zones d’amortissement dans le disque de quartz. En ajustant les dimensions de ces domaines ainsi que le coefficient d’amortissement QR, nous avons pu observer une
bonne concordance entre les donn ´ees num ´eriques et exp ´erimentales. Les r ´esonateurs suivants, conc¸us pour fonctionner `a 10 MHz et `a 100 MHz, n’ont pas montr ´e les m ˆemes d ´efauts de pi ´egeage. Par cons ´equent, l’ ´etude de ces deux structures montre un bon ac- cord avec l’exp ´erience. Nous avons montr ´e que l’introduction de zones d’amortissement dans ces structures (de caract ´eristiques identiques `a celles d ´efinies pour le r ´esonateur 40 MHz) n’a que tr `es peu d’effet sur leur comportement du fait d’un pi ´egeage optimis ´e mais elles mod ´elisent n ´eanmoins efficacement les fixations pour ces dispositifs.
La suite du plan de validation a ´et ´e d ´edi ´ee `a la sensibilit ´e d’un mode de vibration `a la temp ´erature. Les r ´esultats d ´etermin ´es pour une coupe AT nous ont permis d’observer une bonne concordance entre analyse num ´erique et mesure, avec un ´ecart type entre les courbes fr ´equence-temp ´erature inf ´erieur `a 1 ppm. Par contre, nous avons pu constater une diff ´erence entre th ´eorie et exp ´erience beaucoup plus importante pour une coupe
CONCLUSION 144
SC et nous avons montr ´e que nous pouvions compenser cet ´ecart en d ´ecalant l’angle φ par rapport `a sa valeur r ´eelle. Ainsi, le mod `ele caract ´erisant la variation de la r ´eponse du r ´esonateur en fonction de la temp ´erature permet d ´esormais une analyse fine de ces ph ´enom `enes et la fabrication des dispositifs qui en d ´ecoulent.
La prise en compte de la sensibilit ´e du r ´esonateur `a une contrainte m ´ecanique, a ´et ´e rendue possible en s’appuyant sur la m ´ethode de perturbation d ´evelopp ´ee par Tiers- ten et Sinha, transpos ´ee dans le cas d’une analyse par ´el ´ements finis. Gr ˆace `a la compl ´ementarit ´e des logiciels COMSOL et MatlabR , nous avons pu d´eterminer la va-R riation relative de fr ´equence sous l’effet de contraintes planes diam ´etralement oppos ´ees. Les calculs r ´ealis ´es pour des coupes SC et AT ont alors montr ´e des r ´esultats compa- rables `a l’exp ´erience et ce, pour toutes les configurations test ´ees (application de deux, trois ou quatre contraintes). Bien qu’il reste encore plusieurs domaines d’investigation `a poursuivre sur ce sujet, il est ´evident que les r ´esultats sont encourageants et pourront dans un futur proche donner lieu `a des applications industrielles.
La phase de validation de notre analyse ´el ´ements finis se termine par la comparaison du spectre en fr ´equence obtenu num ´eriquement avec les r ´esultats du mod `ele analytique de Tiersten. Cette ´etude nous a permis d’observer la diff ´erence de position des anhar- moniques entre les familles des modes C et B mais ´egalement de constater que les fr ´equences d ´etermin ´ees num ´eriquement ´etaient coh ´erentes par rapport au mod `ele de Tiersten. Enfin, la comparaison d’un syst `eme r ´esonnant plan-convexe avec une struc- ture poss ´edant deux surfaces sph ´eriques (de rayon deux fois plus grand que celui du r ´esonateur d’origine) a montr ´e une similarit ´e des r ´esultats entre ces deux dispositifs, tant du point de vue ´electrique qu’au niveau du pi ´egeage de la vibration. Une fois encore, la confrontation des r ´esultats issus de la m ´ethode num ´erique d ´evelopp ´ee dans ce travail avec une approche ´eprouv ´ee mais tout `a fait diff ´erente permet de renforcer la confiance en notre analyse.
Suite `a la validation de la m ´ethode num ´erique pour des r ´esonateurs en quartz, une ´etude pr ´eliminaire a ´et ´e men ´ee sur des r ´esonateurs en cristal de Langatate dans le but de caract ´eriser ce mat ´eriau et de concevoir des r ´esonateurs vibrant `a diff ´erentes fr ´equences. Ces premiers essais de conception ont ´et ´e r ´ealis ´es sur un r ´esonateur 40 MHz puis sur un r ´esonateur 120 MHz. Les r ´esultats obtenus dans le cadre de cette ´etude ont permis la d ´efinition de leurs caract ´eristiques et la r ´ealisation de r ´esonateurs en LGT, dont les mesures sont attendues prochainement.
Pour terminer, nous avons pu utiliser ce mod `ele dans le cadre du projet FRE- QUENCE2009 afin de d ´eterminer une g ´eom ´etrie optimale d’un r ´esonateur dont la convexit ´e est remplac ´ee par une s ´erie de marches. Une telle discr ´etisation du rayon de courbure n’ayant encore jamais ´et ´e r ´ealis ´ee, nous avons d ˆu d ´efinir le nombre de marches n ´ecessaires ainsi que leurs dimensions (diam `etre et ´epaisseur). De nombreuses confi- gurations ont par cons ´equent ´et ´e analys ´ees mais tous les r ´esultats ont produit de trop faibles facteurs de qualit ´e. N ´eanmoins, une structure `a deux marches a ´et ´e s ´electionn ´ee pour servir de r ´ef ´erence aux prototypes conc¸us. Bien que nous ayons not ´e une grande dispersion des mesures, nous avons constat ´e que les r ´esultats th ´eoriques ´etaient fina- lement en coh ´erence avec l’exp ´erience. Le remplacement du rayon de courbure par un certain nombre de mesas n’est pas encore fonctionnel. La seconde structure ´etudi ´ee lors de ce projet f ˆut un r ´esonateur plus classique, de profil plan-plan. Son analyse a alors simplement consist ´e `a d ´eterminer ses param `etres ´electriques. Le travail r ´ealis ´e au cours de ce projet a donn ´e lieu `a deux pr ´esentations de poster lors de l’EFTF en 2012 [78]
CONCLUSION 145
et en 2013 [79]. M ˆeme s’il n’a pas ´et ´e possible de mettre en ´evidence la faisabilit ´e de la miniaturisation en utilisant les propositions initiales du projet, les r ´esultats num ´eriques ont cependant permis la fabrication de v ´ehicules de test dont les caract ´eristiques sont en pleine accord avec la pr ´ediction th ´eorique.
Tout au long de ces trois ann ´ees de th `ese, l’analyse par ´el ´ements finis a montr ´e de bons r ´esultats th ´eoriques et une coh ´erence avec les donn ´ees exp ´erimentales. L’ ´etude compl `ete d’un r ´esonateur pouvant ˆetre r ´ealis ´ee dans un laps de temps compatible avec les exigences industrielles (quelques heures pour les cas courants `a quelques jours pour les cas les plus complexes), notre outil d’analyse num ´erique peut rapidement servir `a la recherche et l’optimisation de structures innovantes par la soci ´et ´e Rakon. Poss ´edant un recul suffisant sur le calcul des param `etres motionnels et la prise en compte de la sensibilit ´e `a la temp ´erature, cet outil d’analyse num ´erique est pleinement op ´erationnel et utilis ´e par les ´equipes de Rakon.
De futurs d ´eveloppements devraient permettre d’am ´eliorer le mod `ele et corriger les quelques probl `emes qui subsistent encore, en particulier en ce qui concerne la sensi- bilit ´e `a la temp ´erature et aux contraintes m ´ecaniques. En effet, notre m ´ethode se plac¸ant dans le cas d’une ´etude statique du r ´esonateur en fonction de la temp ´erature, certains param `etres, comme les constantes ´elastiques du troisi `eme ordre et plus, n’ont pas ´et ´e pris en compte. Une modification des ´equations nous permettant l’ ´etude de l’influence de la temp ´erature sur le r ´esonateur est donc n ´ecessaire afin de rapprocher l’analyse num ´erique de l’exp ´erience sans avoir `a modifier la valeur de l’angle φ.
De plus, bien que l’effet force-fr ´equence ait ´et ´e mis en place lors de la validation de la m ´ethode num ´erique et v ´erifi ´e sur quelques cas, celui-ci n’est pour le moment pas utilis ´e en production. Nous avons montr ´e que les angles de sensibilit ´e nulle aux contraintes concordent entre la th ´eorie et la mesure. Cependant, il persiste le probl `eme li ´e `a l’amplitude du Kf qui ne correspond pas aux valeurs exp ´erimentales. Nous pouvons
par exemple noter que l’introduction des forces n’a pas forc ´ement ´et ´e quantifi ´ee avec pr ´ecision. Ceci pourrait induire une divergence notable entre les r ´esultats th ´eoriques et exp ´erimentaux. De plus, d’autres aspects, non ´etudi ´es ici, pourront ˆetre int ´egr ´es `a l’avenir `a l’analyse, comme par exemple : l’effet d’une acc ´el ´eration sur le syst `eme ou bien encore la sensibilit ´e barom ´etrique, sans oublier toutes les contraintes li ´ees `a ce que nous appe- lons d’un terme g ´en ´erique, le ”packaging”, c’est- `a-dire l’environnement du r ´esonateur. Dans le cadre du projet FREQUENCE2009, deux points restent `a ´etudier. Tout d’abord, l’ ´etude de la discr ´etisation du rayon de courbure par une s ´erie de marches n’est pas all ´ee assez loin. Une optimisation de la position des diff ´erents mesas gr ˆace aux ´el ´ements finis reste encore `a faire. De m ˆeme, l’usinage par DRIE n’a pas donn ´e enti `ere satisfaction. Il est donc n ´ecessaire de nous int ´eresser aux raisons qui ont amen ´e ces r ´esultats.
Enfin, l’introduction de la notion d’amortissement `a l’aide du coefficient QR donne des
r ´esultats, certes pertinents, mais son utilisation reste quelque peu empirique et sa valeur doit ˆetre ajust ´ee pour chaque nouvelle configuration. Pour pallier ce probl `eme, un mod `ele plus syst ´ematique devra ˆetre abord ´e.
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