THÈSE
Pour l'obtention du grade de
DOCTEUR DE L'UNIVERSITÉ DE POITIERS UFR des sciences fondamentales et appliquées
Pôle poitevin de recherche pour l'ingénieur en mécanique, matériaux et énergétique - PPRIMME (Poitiers)
(Diplôme National - Arrêté du 25 mai 2016)
École doctorale : Sciences et ingénierie en matériaux, mécanique, énergétique et aéronautique -SIMMEA (Poitiers)
Secteur de recherche : Génie mécanique
Présentée par :
Célia Giraudeau
Influence des discontinuités géométriques sur les performances des paliers en régime thermoélastohydrodynamique (TEHD)
Directeur(s) de Thèse : Michel Fillon, Jean Bouyer
Soutenue le 28 novembre 2016 devant le jury Jury :
Président François Robbe-Valloire Professeur des Universités, Supméca de Saint Ouen
Rapporteur Juliette Cayer-Barrioz Directeur de recherche CNRS, École centrale de Lyon
Rapporteur Christophe Changenet Directeur de recherche, École catholique d'arts et métiers de Lyon
Membre Michel Fillon Directeur de recherche CNRS, Université de Poitiers
Membre Jean Bouyer Maître de conférences, Université de Poitiers
Membre Michal Wasilczuk Professor, Gdansk University of technology, Pologne
Membre Mathieu Hélène Ingénieur de recherche, EDF, Chatou
Membre Jérôme Beaurain Ingénieur de recherche, EDF, Saclay
Pour citer cette thèse :
Célia Giraudeau. Influence des discontinuités géométriques sur les performances des paliers en régime
thermoélastohydrodynamique (TEHD) [En ligne]. Thèse Génie mécanique. Poitiers : Université de Poitiers, 2016.
THESE
pour l’obtention du Grade de
DOCTEUR DE L’UNIVERSITE DE POITIERS (Faculté des Sciences Fondamentales et Appliquées)
(Diplôme National - Arrêté du 7 août 2006)
Ecole Doctorale : Sciences et ingénierie en matériaux, mécanique, énergétique et aéronautique - SIMMEA
Secteur de Recherche : Génie mécanique
Présentée par : Célia Giraudeau
************************
Influence des discontinuités géométriques sur les performances des
paliers en régime thermoélastohydrodynamique (TEHD)
************************
Directeur de Thèse : Michel Fillon Co-directeur de Thèse : Jean Bouyer
Soutenue le 28 Novembre 2016 devant la Commission d’Examen ************************
JURY
J. Cayer-Barrioz DR CNRS EC Lyon Rapporteuse
C. Changenet MCF HdR ECAM Lyon Rapporteur
J. Beaurain Dr, Ing. Recherche EDF R&D Examinateur
J. Bouyer MCF HdR Institut Pprime Examinateur
M. Fillon DR CNRS Institut Pprime Examinateur
M. Hélène Dr, Ing. Recherche EDF R&D Examinateur
F. Robbe-Valloire Professeur SUPMECA Examinateur
Avant-propos
Je tiens à remercier mon directeur de thèse, Michel Fillon, ainsi que mes encadrants : Jean Bou e de l’Institut Pp i e et Mathieu H l e et J ô e Beau ai d’EDF. Ils o t su tous les quatre ’e tou e de manière très complémentaire tout au long de cette thèse. Vous ’avez transmis une partie de vos savoirs afin de faire avancer ces travaux de thèse. Je vous suis égale e t e o aissa te d’a oi ussi à me donner confiance en moi et en mon travail. J’ai eau oup app is et g a di à vos côtés.
Je remercie également Madame Juliette Cayer-Barrioz de l’EC L o et Mo sieu Ch istophe Cha ge et de l’ECAM L o d’a oi jugé es t a au de th se et de l’i t t u’ils o t porté. Je remercie Monsieur Michal Wasilczuk d’avoir accepté de faire partie du jury et Monsieur François Robbe-Valloire de l’avoir présidé.
Merci à tous les membres de l’équipe Machines tournantes avec qui j’ai passé la majeure partie de mon temps. Merci de m’avoir aussi bien intégrée à l’équipe et aux discussions. Une pensée particulière pour Malika qui fut un soutien sans faille durant ces trois années ainsi qu’à la branche madrilène avec qui j’ai beaucoup interagi. Merci également aux membres du Laboratoire avec qui j’ai apprécié travailler durant la phase expérimentale de la thèse.
Enfin, je remercie mes parents et mon beau-père qui m’ont poussé vers cette voie et qui ont toujours cru en moi, mon petit-frère qui me connaît mieux que personne, mes amis qui m’ont supporté dans les moments difficiles et Jérôme qui a su tirer le meilleur de moi.
4
Table des matières
Avant-propos ... 3
Notations ... 8
Introduction ... 12
Étude bibliographique ... 18
Chapitre I -I.1 Lubrification hydrodynamique ... 18
I.2 Modèles de cavitation ... 20
I.2.i Modèle de Christopherson ... 20
I.2.ii Théorie de Jackobsson, Floberg et Olsson (JFO) ... 21
I.2.iii Mod le d’El od ... 21
I.2.iv Modèle Bonneau et Hajjam ... 22
I.2.v Bilan ... 23
I.3 Intégration des effets thermiques à la lubrification hydrodynamique ... 24
I.4 Effets de la déformation élastique des solides ... 25
I.5 Effets de la p se e d’u e a u e ... 27
I.6 Conclusion ... 28
Analyse théorique ... 31
Chapitre II -II.1 Géométrie du problème ... 31
II.2 Établissement des équations en régime hydrodynamique (HD)... 33
5
II.2.ii Équation généralisée des films minces ... 34
II.2.iii Prise en compte de la rupture et de la reformation de film lubrifiant ... 37
II.2.iv Calculs à charge imposée ... 38
II.2.v Conditions aux limites ... 39
II.3 Établissement des équations en régime thermohydro-dynamique (THD) ... 39
II.3.i Équation de Reynolds généralisée ... 39
II.3.ii Calcul des vitesses ... 40
II.3.iii É uatio de l’ e gie ... 40
II.3.iv Grandeurs équivalentes ... 41
II.3.v Équation de la chaleur ... 42
II.3.vi Conditions aux limites ... 42
II.4 Établissement des équations en régime thermoélastohydro-dynamique (TEHD) ... 43
II.4.i Déformations mécaniques ... 44
II.4.ii Déformations thermiques ... 44
II.5 Conclusion ... 45
Analyse numérique... 47
Chapitre III -III.1 Méthode de discrétisation ... 47
III.2 Méthodes de résolution ... 49
III.2.i Méthode de Gauss-Seidel ... 49
III.2.ii Méthode de la décomposition LU ... 50
III.2.iii Première comparaison ... 51
III.2.iv Méthode de Stone ... 54
III.2.v Seconde comparaison ... 56
III.2.vi Bilan ... 58
III.3 Études de as d’u palie à deu lo es... 58
III.3.i P se tatio du palie d’ tude ... 59
III.3.ii Cas sans défaut ... 60
III.3.iii Cas avec une rayure ... 61
III.3.iv Cas avec plusieurs rayures ... 62
III.4 Étude de as d’u palie e sous-alimentation ... 64
III.4.i Présentation du palier ... 64
III.4.ii Cas de référence ... 66
6
III.5 Conclusion ... 68
Résultats expérimentaux ... 71
Chapitre IV -IV.1 P se tatio du a d’essais et de l’i st u e tatio ... 71
IV.2 P oto ole e p i e tal et pa a t es d’essais ... 80
IV.3 Résultats et discussion sur le cas sans rayure ... 83
IV.4 Résultats et discussions sur les cas rayés ... 95
IV.4.i Influence de la rayure sur la pression ... 95
IV.4.ii Influence de la rayure sur la température ... 108
IV.4.iii Influence de la rayure sur le couple et le débit... 114
IV.5 Conclusion ... 115
Comparaison entre les résultats numériques et expérimentaux ... 117
Chapitre V -V.1 Aspects numériques de la modélisation ... 117
V.1.i Progiciel EDYOS ... 118
V.1.ii Modèle Code_Aster ... 122
V.1.iii Chainage code EDYOS et Code_Aster ... 125
V.2 Résultats numériques et comparaisons avec les résultats expérimentaux ... 127
V.2.i Illust atio d’u e tude o parative complète avec une comparaison des résultats en régime THD et TEHD ... 127
V.2.ii Comparaison des résultats sur les configurations sans rayure ... 134
V.2.iii Co pa aiso des sultats pou des o figu atio s a e u e a u e d’u e profondeur de 52 µm ... 140
V.2.iv Comparaison des résultats pour un cas à 3 500 tr/min et 6 000 N avec une rayure de 120 µm et de 243 µm ... 148
V.3 Conclusion ... 153
Conclusion et perspectives ... 155
Bibliographie ... 159
Table des Figures ... 165
Liste des tableaux ... 169
Annexe A - Comparaison volumes finis et différences finies ... 171
8
Notations
Précharge géométrique m
Jeu de fonctionnement m
Jeu adial d’asse lage m
Chaleur spécifique J.kg-1.K-1
Variable de pression/remplissage
Diamètre du palier m
Diamètre extérieur du coussinet m
Diamètre extérieur de la bague de support m
ℎ Dia t e d’usi age du oussi et m
Diamètre du cercle inscrit m
Module de Young Pa
Projection de la charge N
Fonction binaire Elrod
ℎ Epaisseur de film m Coeffi ie t d’ ha ge the i ue W.m-2.K-1 Coefficient de conduction W.m-1.K-1 Longueur du palier m Position de la rayure m Coefficient de précharge
Nombre de mailles da s l’ paisseu du oussi et Nombre de mailles dans la direction circonférentielle Nombre de mailles da s l’ paisseu de fil
Nombre de mailles dans la direction axiale Nombre de Nusselt
Centre du repère du palier Ce t e de l’a e
9
Pression Pa
P essio d’ali e tatio du lu ifia t Pa
Pression de référence Pa
Remplissage m
Débit en entrée de lobe m3.s-1
Débit en sortie de lobe m3.s-1
Débit de lubrifiant frais en entrée m3.s-1
Rayon de l’a e m
Rayon du lobe m
Température °C
Te p atu e de l’a e °C
Te p atu e d’ali e tatio du lu ifia t °C
Température ambiante °C
Température en entrée de lobe °C
Température de mesure des pièces °C
Température à la paroi °C
Température en sortie de lobe °C
Température du lubrifiant frais °C
Vitesse de rotation m.s-1
Charge N
, , Coordonnées cartésiennes
Coefficient de dilatation thermique K-1
, Angle de rotation pour introduire le mésalignement selon X et Y ° Module d’ lasti it e o p essio du fluide Pa
Déformation thermique m
ℎ D fo atio du a o de l’a e pa dilatatio m
Excentricité relative ̿ Tenseur des déformations Θ Tau d’o upatio du fluide
� Position angulaire dans le repère local °
�∗ Position angulaire dans le repère global °
Raideur N.m-1
Viscosité dynamique Pa.s
Coefficient de Poisson
Masse volumique du lubrifiant kg.m-3
Σ Critère de convergence �̿ Tenseur des contraintes
� Composante tangentielle de la contrainte
� Fonction binaire
� Angle de calage °
Ligne des centres °
10
Indices et exposants
Composante pour le lobe i
Composante dans le repère local du lobe Valeurs à la nième itération
Paramètre pour le mélange lubrifiant/gaz Paramètre pour le lubrifiant
Paramètre pour le gaz
Composante selon la direction ⃗ Composante selon la direction ⃗⃗
Paramètre à la paroi inférieure (mobile) Paramètre à la paroi supérieure (fixe)
Abréviations
HD HydroDynamique THD ThermoHydroDynamique TEHD ThermoElastoHydroDynamique LU Méthode de décomposition LU GS Méthode de Gauss-Seidel12
Introduction
La th ati ue des palie s, e ta t u’o ga es de guidage et de suppo tage, correspond à une discipline arrivée à maturité et qui a été véritablement comprise à la fin du XIXème avec les travaux de Reynolds. C’est à ette e po ue ue l’o o p e d l’i po ta e de la lu ifi atio pou les s st es d’a es tou a ts ou pou les oues de véhicules par exemple. Il y a lubrificatio lo s u’e t e deu solides un film de fluide visqueux est présent. On parle plus spécifiquement de lubrification hydrodynamique lorsque des pressions importantes sont créées dans le film lubrifiant pa le ou e e t elatif d’u des solides pa appo t à l’aut e. Da s ette discipline, les notions de rotor (solide en rotation) et de stator (solide fixe) so t utilis es. C’est la sulta te des forces hydrodynamiques créées qui permet de supporter la masse du rotor. Un palier hydrodynamique possède trois composantes majeures : l’a e oto , le oussi et stato et le lu ifia t. La Figure 1 représente schématiquement un palier en fonctionnement avec la création de la pression dans la partie inférieure. Lors de la mise en rotation de l’a e, elui-ci se soulève avec l’aug entation de la vitesse. Une fois la vitesse nominale atteinte, il se place à sa position d’ uili e pe etta t ai si de o pe se l’effo t dû à la masse du rotor. Sur la Figure 1, on ote ue l’a e ’est pas e t da s le ep e du palie ais e e t , créant ainsi un coin d’huile da s la pa tie i férieure. Ce phénomène est à la base de la création de la pression. En effet, l’huile est a e e e s ette zo e est ei te par entraînement visqueux. Pour un fluide i o p essi le, la p se e de e oi d’huile ouplé à des débits conservés, entraîne nécessairement une création de pression dans cette zo e. A e l’appa itio de pressions, la vitesse du fluide est ale tie à l’app o he de la zo e est ei te et aug e t e ap s celle-ci, en fonction des gradients de pression locaux. On retrouve cela sur la distribution de pression tracée en fo tio de l’ paisseu de fil da s la Figure 1.
13 Figure 1 – Représentation des forces hydrodynamiques et de la distribution de pression dans
un palier
Les paliers hydrodynamiques sont utilisés dans de nombreuses industries comme l’ e gie, l’a o auti ue ou e o e l’auto o ile. Cela essite u e o p he sio complète des phénomènes qui régissent son fonctionnement. Celle-ci a été acquise dans un premier temps de manière essentiellement empirique et a été largement accélérée avec l’a i e de ou elles te h ologies pe etta t d’effe tue des p ises de mesures plus précises lors de campagnes expérimentales. Cependant, la résolution des différentes équations agissant sur le fonctionnement des paliers hydrodynamiques a été rendue possible a e l’esso des o di ateu s et des o e s de al ul.
Il est également apparu important de comprendre le fonctionnement des paliers en présence de défauts. D’u poi t de ue industriel, savoir appréhender le fonctionnement nominal des machines est obligatoire mais comprendre ce qui se passe dans une situation plus sévère apparait également indispensable. En effet, dans de nombreux secteurs qui e ploite t e t pe de at iel, la p se e d’u d faut peut e traîner de nombreux problèmes. Chez EDF, les paliers hydrodynamiques à géométrie fixe qui sont traités lors de ce travail de thèse sont présents par exemple à plusieurs endroits le lo g de la lig e d’a e d’un groupe turbo-alternateur (Figure 2). Il est intéressant de rappeler que ce type de ligne d’a e poss de u e lo gueu de plusieurs dizaines de mètres (100 mètres pour les plus longues) pour des masses alla t jus u’à mille tonnes. Les différents coussinets placés le long de ce type d’a e poss de t en général des dimensions telles que le rapport de la longueur au diamètre est de l’o dre de 1, pour une longueur d’e i o un mètre. Le film lubrifiant présent entre les deux solides possède quant à lui u e hauteu de l’o d e d’u e e tai e de micromètres.
14 Figure 2 – Rep se tatio de la lig e d’a e d’u g oupe turbo-alternateur
Au ou s de l’e ploitatio de e t pe de at iel p se t e g a d o e hez EDF, les différentes avaries qui ont pu être observées au niveau des paliers ne sont pas anodines, et sont surtout très pénalisantes. Elles ont rendu certai es lig es de p odu tio d’ e gie (appelées « tranches ») indisponibles parfois durant plusieurs mois, entraînant de lourdes pe tes. A l’heu e a tuelle, u outil de od lisatio fia le et o uste est i dispe sa le à tout exploitant et à son ingénierie. En effet, outre le fait de comprendre les avaries passées, une od lisatio fia le des palie s pe et d’e alide le fo tio e e t et de p e i les futu s p o l es. À tit e d’e e ple, si lo s d’u e op atio de ai te a e u e a o alie est détectée, une modélisation peut rapidement statuer sur le redémarrage ou non de la tranche. Da s les as où l’o hoisit u ed a age afi de li ite le te ps d’i o ilisatio , u e su eilla e adapt e peut t e ise e pla e : la modélisation peut alors aider à trouver de nouveaux critères de surveillance temporaires, sûrs pour les matériels. Cela e d alo s possi le la pla ifi atio d’u e i te e tio pe etta t u e opti isatio du te ps d’op atio . Des a a ies peu e t gale e t se p odui e lo s du fonctionnement : la Figure 3 présente un arbre dont la surface possède des rayures circonférentielles. Cette avarie a entraîné un arrachement de régule au niveau du coussinet, dû aux pressions et aux températures élevées atteintes par le lubrifiant. Cet évènement fo tuit a o duit à si ois d’i dispo i ilit o pla ifi e de la t a he.
15
a) b)
Figure 3 – Palier rayé a) Arbre, b) Coussinet
Au sei de l’e t ep ise EDF, ’est le p ogi iel EDYOS Etude DY a i ue des O ga es de Supportage) qui est utilisé pour effectuer les modélisations de paliers. Celui-ci a été d elopp da s les a es a e le la o atoi e de M a i ue des Solides de l’U iversité de Poitie s et le La o atoi e de M a i ue des Co ta ts LaMCoS de l’INSA de L o . Bas su u e dis tisatio pa diff e es fi ies, il pe et d’o te i des sultats glo au tels ue la positio de l’a e, la ha ge suppo t e, la puissa e dissipée mais également des résultats par secteurs (patins ou lobes) tels que les débits, les pressions et les températures a i ales da s le fil de lu ifia t ou e o e l’ paisseu i i ale du fil lu ifia t. EDYOS permet également une visualisation aisée des résultats en permettant de tracer les champs de p essio , de te p atu e et de d fo atio s. L’utilisatio de e ode de al ul do e de bons résultats mais présente malgré tout des limites, notamment en présence de discontinuités géométriques telles que les a u es ou l’a a he e t pa tiel de gule ui o t pu être constatés sur site. En effet, ces discontinuités ont permis de mettre en avant un a ue de o ustesse d’EDYOS da s e tai s as. Jus u’à p se t, u e parade consiste à utiliser une discrétisatio eau oup plus fi e ue pou les as o i au ais l’utilisateu est alors confronté à plusieurs problèmes tels que des temps de calcul très longs ou des problèmes de convergence. Pour pallier ces problèmes, un nouveau code de calcul basé sur une discrétisation en volumes finis (permettant une bonne prise en compte des discontinuités) couplée avec des méthodes de résolution numériques performantes est développé.
C’est da s e ad e ue se so t d oul s es t a au de th se t aita t de l’i flue e d’u e dis o ti uit g o t i ue su le fo tio e e t d’u palie h d od a i ue. L’ tude est à la fois u i ue et e p i e tale afi d’a oi u e ue glo ale de ette problématique. En préambule de la présentation des différents travaux, une étude bibliographi ue est alis e afi de pe ett e au le teu d’a oi des d tails su l’ tat de l’a t dans le domaine. Cette recherche bibliographique est présentée dans un premier temps à travers le régime le plus simple pour un palier, le régime hydrodynamique (HD). Elle se o ple ifie e suite g aduelle e t a e l’ajout des ph o es the i ues, i t oduits a e le régime thermohydrodynamique (THD) puis celui des déformations thermomécaniques a e le gi e the o lastoh d od a i ue TEHD . Cela pe et d’a oi u e ase solide
16 pour introduire dans le chapitre traitant de la théorie les équations considérées pour les différents régimes de fonctionnement. Ensuite, des détails sont donnés sur le code qui a été d elopp afi d’a lio e la pe fo a e et la o ustesse des calculs par rapport à EDYOS. Différentes études sont réalisées en régime hydrodynamique avec le nouveau code afin de o t e les a lio atio s u’il pe et, ota e t la p ise e o pte de dis o ti uit s g o t i ues. Ap s, la p o du e d’essais ai si ue les résultats obtenus lors de la phase expérimentale sont présentés. Ces derniers, réalisés au laboratoire Pprime, ont été effectués sur des paliers avec un arbre rayé circonférentiellement. Les résultats issus de la simulation en régime TEHD sont alors comparés à ceux obtenus lors des essais expérimentaux. Cela permet de statuer sur la qualité des résultats numériques en présence de discontinuités géométriques. La dernière partie permet enfin de faire un bilan sur le travail réalisé dans son ensemble et de p opose des pe spe ti es e ue d’a lio e les o aissa es autou de ette p o l ati ue u’est le fo tio e e t d’u palie h d od a i ue e p se e de discontinuités géométriques.
18
Étude bibliographique
Chapitre I -
I.1 Lubrification hydrodynamique
C’est à pa ti du XIX e si le ue la e he he su les palie s h d od a i ues a débuté de manière expérimentale grâce aux travaux de Hirn, Petrov et Tower. En 1854, Hirn s’est i t ess à la lu ifi atio h d od a i ue, alo s appel e f otte e t diat, en testa t di e s lu ifia ts d’o igi e a i ale, g tale et i ale [1]. De plus, avec les essais alis s, il a pu o se e u’il est essai e d’a oi u e itesse de otatio assez g a de pour entraîner le lubrifiant et ite le o ta t des pa ties solides. U e t e tai e d’a es après, Petrov [2]- [3] fut le premier à montrer la présence de pression dans le film mince lu ifia t d’u palie e fo tio e e t. Deux ans plus tard, son second rapport [4] donne des esu es de p essio à l’i te fa e fil lu ifia t/ oussi et. Ces e he hes e p i e tales o t pe is d’i alide le od le th o i ue ui tait jus u’alo s utilis . E effet, la pression dans le film était définie en fonction de la charge imposée ( ) et des dimensions du palier. Plus tardivement, les travaux de Reynolds sur la lubrification arrivent ; pourtant il est souvent considéré comme le premier chercheur du domaine. Il propose un modèle théorique dans lequel sont établies les hypothèses de la lubrification. Ces dernières, appliquées aux équations de Navier-Stokes et de continuité, permettent de simplifier les équations pour la résolution de la pression dans le cadre des problèmes de lubrification [5]. Les observations faites expérimentalement par Beauchamp Tower [3]- [4] sont retrouvées de manière théorique : le modèle proposé permet de prédire une augmentation de la pression dans les zones de film réduit (convergent). Ce modèle a été enrichi au cours du te ps au o e d’ tudes th o i ues et e p i e tales afi de p e d e en compte plus de phénomènes comme cela sera décrit par la suite. Il est tout de même important de noter que le travail de Reynolds [5] est considéré comme étant la base de la lubrification actuelle.
19 Sommerfeld [6] p opose e u e solutio si ple de l’ uatio de Re olds [5]. Celle- i est fa ile à ett e e œu e ais pose des p o l es ph si ues, a il est possi le d’o te i pa le al ul des p essio s i f ieu es au zéro absolu, physiquement incorrectes. En 1914, Gümbel [7] propose une solution à ce problème : résoudre le problème avec la méthode de Sommerfeld [6] puis remplacer les valeurs négatives par une valeur de pression de référence constante (souvent égale à la pression atmosphérique). Des travaux indépendants de Swift [8] et de Stieber [9] ont permis de mieux appréhender la rupture de film en imposant une condition de gradient de pression nul. Ce phénomène de rupture de fil a lieu au i eau d’u e zo e où le fil lu ifia t s’ la git (divergent). Cela ajoute une condition aux limites au modèle de Sommerfeld [6]. Cependant, ce modèle de Swift-Stieber présente une limite : le ila de d it est au ais e p se e d’u e zo e de efo atio du film lubrifiant. On retrouve cette méthode dans la littérature sous le nom de méthode de Reynolds.
Ces différentes méthodes de résolution sont comparées sur la Figure 4. Pour cela, il a été choisi de représenter le palier de manière schématique avec une zone convergente et une zone divergente (Figure 4 a). Su la p e i e oiti du palie , l’ paisseu de fil lu ifia t suit u e olutio li ai e d oissa te. Su la se o de oiti du palie , l’ olution est symétrique avec une évolution linéairement croissante. Ce cas permet de mettre en avant les différences entre les trois méthodes de résolution présentées, notamment au niveau de la zone de rupture de film (Figure 4 b).
a) b)
Figure 4 – a) Représentation schématique du palier, b) Comparaison des méthodes de résolution de la pression
A la moitié du XXème siècle, McKee et al [10], [11], [12] et [13] ont étudié les paliers pour différentes configurations, en faisant varier les différents paramètres de fonctionneme t. Ces tudes o t pe is d’a oi u e ultitude de esu es de p essio et de te p atu e. C’est à pa ti de ette p iode ue la taille des palie s a o e à di i ue g â e au o aissa es ui o t t jus u’alo s a uises.
Dowson [14] publie dans les années 50 des résultats expérimentaux ainsi que des li h s de fluide da s u e zo e de palie di e ge te. C’est g â e à ses t a au ue le phénomène de cavitation a pu être identifié juste après une frontière de rupture. Cela invalide le modèle Swift-Stieber [8]- [9] qui utilise une hypothèse de gradient de pression nul Hmax
20 dans la direction circonférentielle pour les frontières de rupture et de reformation de film. De plus, il est o t ue la uptu e de fil a lieu e a al de l’e d oit où l’ paisseu de fil est minimale. En général, le phénomène de rupture de film peut être dû à trois processus bien distincts [15]. Cependant, dans le cas des paliers circulaires, la rupture de film est soit p o o u e pa l’i t odu tio de gaz da s u e zo e de d p essio jus u’à attei d e u e valeur de pression limite (souvent égale à la pression atmosphérique) soit par la dissolution de gaz présent dans le lubrifiant lorsque celui-ci atteint une valeur inférieure à la pression limite. Il est important de noter que par la suite, il a été montré que les hypothèses définies dans le modèle ne sont valables que pour des cas présentant de la rupture de film. Pour des as où le ph o e de efo atio de fil appa aît, le ila de d it ’est alo s plus respecté et invalide la condition de gradient nul utilisée. Dans la section suivante, la prise en compte de ce phénomène de rupture et reformation de film va être étudiée avec la présentation de différents modèles.
I.2 Modèles de cavitation
Le phénomène de rupture et reformation de film lubrifiant a été mis en avant dans les années 80 par les travaux de Braun et Hendricks [16]. Au ou s d’u e a pag e expérimentale, ils ont utilisé un palier transparent afin de réaliser des clichés dans la zone divergente du palier. Cela a permis de montrer la rupture de film dans cette zone avec l’appa itio de gaz et les apteu s o t l des p essio s i f ieu es à la p essio atmosphérique. Plus récemment, Cristea et al [17] ont o fi ette o se atio lo s d’u e tude e p i e tale d’u palie à ai u e circonférentielle. En 2011, Braun et Hannon ont proposé une revue des connaissances expérimentales et numériques autour du phénomène de rupture et de reformation de film lubrifiant [18].
I.2.i
Modèle de Christopherson
L’algorithme de résolution proposé par Christopherson [19] utilise les conditions de Reynolds énoncées da s le pa ag aphe II. .d. So p i ipe epose su l’a ulatio , à chaque itération, des pressions calculées négatives. Cela sous-e te d do l’utilisatio d’u e méthode de résolution itérative comme Gauss-Seidel. En utilisant une telle méthode, le gradient de pression est amené à s’a ule dans le domaine étudié au niveau des frontières efo atio et uptu e . Au o e d’ uatio s différentielles, Cryer [20] a démontré sa validité.
Comme cela a été évoqué précédemment, le fait de considérer un gradient de p essio ul o e o ditio à la li ite d’u e frontière de reformation de fil ’est pas correct. Cela entraîne en particulier une perte de continuité des débits. Le bilan de débit est alors impact et le od le ’est plus o se atif e p se e d’u e ou plusieurs frontière(s) de reformation. Du fait de sa simplicité de ise e œu e, ette méthode de résolution est
21 utilisée dans de nombreux problèmes tels que ceux traités par Nicolas [21] pour les paliers mésalignés ou par Boncompain [22] pour l’ tude des effets the i ues.
I.2.ii
Théorie de Jackobsson, Floberg et Olsson (JFO)
Les différentes études menées de manière indépendante par Jakobsson et Floberg [23] et par Olsson [24] ont permis de formuler des conditions aux limites pour les problèmes de rupture et de reformation de film lubrifiant. Les observations expérimentales ont montré que dans la zone de rupture il existe une superposition de filets d’huile et de filets d’ai . Ils proposent de considérer que, dans cette zone, le mélange de lubrifiant et de gaz est homogène, tout en gardant la zone de rupture inchangée. Ils définissent la grandeur � qui ep se te le tau d’o upatio du fluide da s ette zo e. Les t a aux expérimentaux de Floberg [25] ont mis en avant le caractère constant de la pression dans la zone de rupture de film. Ainsi, aucun écoulement de type Poiseuille ’est p se t dans ces zones, il existe seulement des écoulements de type Couette. Cette considération est importante pour la détermination des débits qui ne sera alors pas la même selon la zone considérée.
C’est l’ tude de ette o se atio des d its au f o ti es ui pe et de s’assu e que les conditions dîtes JFO sont conservées. Cependant, les comparaisons entre les résultats expérimentaux et les résultats numériques donnent des différences notables. Cette théorie est à la base de nombreuses méthodes développées par la suite, notamment celle d’El od p se t e i-dessous.
I.2.iii
Mod le d’El od
Le modèle élaboré par Elrod [26] possède une réelle originalité dans son approche. En effet, au lieu de s’i t esse à la pression, il va se concentrer sur la densité du fluide et son évolution dans le do ai e. El od o sid e le odule d’ lasti it e o p essio du fluide = �
�� pour pouvoir calculer les variations de pression et la densité du fluide.
22 Comme on peut le voir sur la Figure 5, dans la zone de film rompu, le mélange air/lubrifiant est considéré homogène. La variable Θ représente la proportion locale de fluide dans une zone considérée.
Θ = I.1
où est la densité du fluide à la pression de cavitation . Elrod introduit également une fonction binaire g ; telle que :
{ = � Θ ≥ � = � Θ < �
I.2
Avec toutes ces données, on obtient une relation pour la p essio ue l’o peut ais e t i t odui e da s l’ uatio (I.3) proposée par Reynolds [5] :
= + Θ I.3
Ainsi, il ’est plus essai e de lo alise les f o ti es de uptu e et de efo atio du fluide; elles so t d te i es de a i e i pli ite du a t la solutio de l’ uatio différentielle. Les résultats obtenus sont concordants avec les observations expérimentales de Jacobson et Hamrock [27]. Notons que Vijayaraghavan et Keith [28] ont proposé une e te sio du od le d’El od e ettant en place une résolution par la méthode des différences finies. Par la suite, ils ont encore amélioré leur modèle en tenant compte de la compressibilité du lubrifiant dans les zones de film complet [29, 30].
I.2.iv
Modèle Bonneau et Hajjam
Les premiers travaux de Bonneau et Hajjam [31] proposent un algorithme basé sur la théorie JFO da s le ad e d’u al ul lastohydrodynamique (EHD) avec une discrétisation par la méthode des différences finies. Ensuite, Bonneau, Fatu et Souchet présentent un algorithme complet pour la résolution de problèmes hydrodynamique (HD) [32] et thermohydrodynamique (THD) [33]. Dans le cas des calculs hydrodynamiques, ils proposent une discrétisation du problème avec des approches de type différences finies, volumes finis et éléments finis.
Da s la zo e de fil o plet, l’ uatio p opos e pa Re olds [5] pour les films minces est utilisée. Dans les zones de rupture de film, la pression est constante et le mélange lubrifiant/gaz est considéré comme un mélange homogène de densité . Ai si, l’ uatio de conservation de la masse dans les zones de rupture devient la suivante :
23 ℎ
+ ℎ = I.4
avec la itesse de otatio de l’a e et ℎ la aleu d’ paisseu de fil lu ifia t. Dans la zone de rupture de film, il est introduit un terme dit de remplissage ou de hauteur équivalente, noté , qui traduit la hauteur de film fictive occupée par le fluide en considérant le gaz et le lubrifiant comme deux zones distinctes. Dans la zone de film o plet, le lu ifia t e plit tout l’espa e ui lui est allou car il ne contient pas de gaz. Pour quantifier cette grandeur, la proportion de fluide est ramenée à la hauteur de film:
= ℎ I.5
E i t g a t ette aleu da s l’ uatio I.4, on obtient finalement dans les zones de uptu e de fil l’ uatio de conservation de la masse suivante à résoudre :
+ = I.6
Tout o e da s la thode d’El od [26], les deux équations considérées sont résolues simultanément. Pour ce faire, une fonction binaire � est introduite et elle évolue en fonction de la zone dans laquelle on se situe. Une variable est également utilisée ; selon que le film est complet ou rompu ne représente pas la même grandeur physique.
{ = − � = �
= − ℎ � = �
I.7
Comme la pression est toujours supérieure à la pression de cavitation et que le remplissage est toujours inférieur à la hauteur de film, on a donc :
{ ≥ � < �
I.8
C’est l’ tude du signe de cette variable qui permet à la fonction binaire � de prendre sa valeur. Pour la détection des différentes zones et frontières de rupture et efo atio , les o ditio s so t e p i es i pli ite e t da s l’ uatio solue pe etta t ai si u e tude lo ale de la o se atio des d its lo s d’u ha ge e t de phase.
I.2.v
Bilan
Dans cette partie, plusieurs modèles prenant en compte les phénomènes de rupture et de efo atio de fil o t t p se t s. L’utilisatio du od le de Ch istophe so [19]
24 est pertinente mais seulement pour les cas où il est uniquement question de rupture de film lu ifia t. Da s le as o t ai e, il est plus igou eu d’utilise u aut e od le ui t aite correctement la reformation de film pour assurer la conservation des débits.
Cependant, la seule prise en compte de ces phénomènes ne suffit pas pour décrire la physique liée aux paliers hydrodynamiques. Son utilisation reste pertinente pour des cas simples avec une faible variation de la température et une faible dissipatio de l’ e gie (faibles vitesses et fluides peu visqueux). Pour tous les autres cas, il devient indispensable de prendre en compte les phénomènes thermiques.
I.3 Intégration des effets thermiques à la lubrification
hydrodynamique
Kingsbury [34] s’i t esse au effets the i ues p se ts da s les palie s da s la première moitié du XXème siècle. Cette première étude, à la fois théorique et expérimentale, a été réalisée pour un cas axisymétrique et a permis de montrer la réduction de la contrainte de cisaillement dans le fluide lubrifiant grâce à la génération de températures croissantes. Un modèle incluant les phénomènes thermiques est proposé avec plusieurs hypothèses, comme la continuité du flux de chaleur entre le film lubrifiant et les parties solides et le fait que le film lubrifiant soit un fluide en régime laminaire. Ces travaux o t pe is de e plus o sid e la is osit o sta te au t a e s de l’ paisseu du fil . A es essais s’ajoute t eu de Cla to et Wilkie [35] et ceux de Barwell [36], qui confirment ue le ha p de te p atu e da s u palie ’est pas u iforme. Avec ces observations, le domaine de validité des od les isothe es jus u’alo s utilis s se restreint aux cas pour lesquels la te p atu e ’ olue pas sig ifi ati e e t.
Il faut atte d e l’esso de l’i fo ati ue et des thodes u i ues pou pou oi calculer plus simplement et rapidement les variations de température dans l’ paisseu de film. Dans les années 60, les travaux de Dowson et al [37] traitent des aspects thermiques li s au pe fo a es d’u palie e fo tio e e t. U e odifi atio de l’ uatio de Reynolds [5] y permet de prendre en compte les variations de viscosité et de masse olu i ue au t a e s de l’ paisseu de fil . Aut e ou eaut , la solutio de l’ uatio de l’ e gie da s le fil lu ifia t autorise la prise en compte des phénomènes thermiques associés. Ensuite, une étude comparative [38] a été réalisée afin de proposer un modèle théorique prenant en compte les phénomènes thermiques. Le volet expérimental de ces recherches a permis de fournir des mesures de pressions et de températures acquises si ulta e t da s le oussi et et da s l’a e. Lo s de es essais, il a ota e t t o t ue la te p atu e a i ale est lo alis e à p o i it de l’ paisseu de fil i i ale, ou e o e ue l’a e peut t e o sid comme un composant isotherme du palier. Par la suite, une étude de Suganami et Szeri [39] a validé cette dernière observation pour les cas à faible nombre de Reynolds. En conclusion à tous ces travaux, un modèle théorique est proposé par Dowson et March [40]. Celui- i sout si ulta e t l’ uatio proposée par Reynolds [5] e D et l’ uatio de l’ e gie e D.
25 Dans les années 70, Pascovici [41] met en évidence par des essais une discontinuité dans la distribution circonférentielle de la température. En effet, à proximité des ali e tatio s e lu ifia t, u e hute de te p atu e de l’o d e de à 15°C est mesurée. Cela a pe is de o t e l’i pa t des zo es d’ali e tatio da s les uelles se p oduit u ph o e de e i ulatio . C’est gale e t à et e d oit u’a lieu le la ge e t e l’huile chaude qui circule d jà da s le palie et l’huile f oide ui e t e. Pas o i i a alis d’aut es tests expérimentaux [42] avec des mesures de température dans les zones convergentes et divergentes du palier. La discontinuité dans la distribution circonférentielle de température [41] est et ou e ais il est gale e t o t u’il a u lie e t e les te p atu es da s le fil lu ifia t, les o ditio s de t a sfe t the i ue et l’ oule e t. D’u poi t de ue plus théorique, il est le p e ie à s’i t esse à des o ditio s au li ites ui o t u e aie sig ifi atio ph si ue e p oposa t l’utilisatio de la o ti uit d’ ha ge the i ue.
A la fin des années 70, Boncompain et Frêne [43] mettent en avant les perturbations i t oduites pa les effets the i ues su les oeffi ie ts de aideu et d’a o tisse e t d’u palier en régime laminaire. En 1983, Mitsui, Hori et Tanaka [44] réalisent une étude e p i e tale et th o i ue po ta t su l’ olutio de la te p atu e au i eau de la ai u e d’ali e tatio . Ils i t oduise t alo s le oeffi ie t de la ge o te u e p i e tale e t grâce aux mesures de température en entrée et en so tie de fil ai si u’au i eau de l’a e et du coussinet. Ce coefficient est utilisé pour des calculs THD réalisés du a t l’ tude afi d’a oi la te p atu e e e t e de do ai e e fo tio de la te p atu e de so tie et de la te p atu e d’ali e tation. La même année, Ferron, Boncompain et Frêne [45] ont aussi comparé des résultats expérimentaux et théoriques obtenus pour le fonctionnement d’u palie lisse. Pou ela, le od le THD utilis tie t o pte des t a sfe ts the iques entre les parties solides et le lubrifiant, de la recirculation et du phénomène de cavitation. Les essais alors réalisés montrent une bonne corrélation des résultats mais soulignent un autre phénomène. En effet, il apparait que les déformations élastiques dues aux différents chargements thermomécaniques en présence doivent être prises en compte lors des calculs afi d’a oi u e eilleu e ualit de sultat. Cela a pe is d’ la gi le do ai e de recherche avec la prise en compte des déformations élastiques des parties solides lors d’ tudes comme celle qui est présentée dans la section suivante.
I.4 Effets de la déformation élastique des solides
C’est da s les a es , ue Fe o et al [45] ont montré que des effets thermiques présents dans un palier en fonctionnement peuvent entraîner des déformations élastiques des parties solides. De manière théorique et expérimentale, cette étude a permis de montrer que la prise en compte de ces déformations donne des écarts sur les valeurs d’e e t i it . Cela odifie pa o s ue t les ha ps de p essio et de te p atu e. Il est i t essa t de ote ue le a d’essai utilis pa Fe o da s sa th se [46] est le même que celui qui a permis de réaliser les essais qui seront présentés par la suite. Des détails supplémentaires seront donnés dans le Chapitre IV - lors de la des iptio du a d’essai et la présentation des résultats expérimentaux obtenus lors de ces travaux de thèse.
26 La même année, Boncompain et Frêne [47] proposent un modèle qui résout si ulta e t l’ uatio de Re olds et de l’ e gie da s le fil lu ifia t et l’ uatio de la haleu da s les oussi ets et l’a e. C’est da s l’ tude sui a te, réalisée avec Fillon [48], u’a t o t l’i t t de l’utilisatio de l’ uatio de o ti uit des flu entre les parties fluides et solides du palier comme condition aux limites. Les résultats obtenus en THD et en TEHD par le calcul ont également été comparés. Ces comparaisons montrent que la prise en compte des déformations élastiques lors des calculs per et d’a oi u e eilleu e app o i atio de l’ paisseu de fil et pa o s ue t un calcul des pressions et des températures plus précis.
Au début des années 90, Khonsari et Wang [49] présentent une étude paramétrique montrant les effets dus à la dilatatio the i ue de l’a e et des oussi ets ai si ue la déformation élastique provoquée par la pression créée dans le film lubrifiant sur les coussinets. Il en résulte que les matériaux et les conditions aux limites ont un fort lien avec les caractéristiques thermoélastohydrodynamiques.
Desbordes et al [50] tudie t l’i fluence de la déformation des secteurs d’u palie à patins oscillants sur les caractéristiques dynamiques du palier. Cette étude, bien que réalisée avec un modèle isotherme, a pe is de ett e e a a t l’aug e tatio de la p essio a i ale et la di i utio de l’ paisseu de fil i i ale a e la p ise e o pte de es déformations. Un an plus tard, ils utilisent un modèle tridimensionnel pour étudier plus finement les déformations des patins. Par rapport aux résultats obtenus avec un modèle à deu di e sio s, l’ paisseu de fil i i ale di i ue de % et la p essio a i ale est inférieure de 16%.
Monmousseau [51]- [52] effectue plus tard une étude TEHD en régime transitoire d’u palie à pati s os illa ts. La o pa aiso des sultats e p i e tau et th o i ues a permis de o t e l’i po ta e de la p ise e o pte des d fo atio s lasti ues lo s des calculs afin de pouvoir prédire les risques de serrage lors des phases de démarrage et d’a t. La dilatatio thermique alors observée entraîne notamment une modification du jeu lors du fonctionnement du palier.
Finalement, avec la prise en compte des déformations élastiques des solides, les p i ipau ph o es ph si ues li s au fo tio e e t d’u palie h d od a i ue o t pu être considérés. Il est i po ta t de ote u’e fo tio e e t, u palie peut t e confronté à des conditions de fonctionnement particulières. Par exemple, Zhang et al [53] ont réalisé une étude THD en prenant en compte les déformations thermiques des solides pour un régime turbulent et Dobrica et al ont étudié un palier lisse partiel en lubrification mixte [54]. Des défauts peuvent également être introduits entraînant des conditions de fonctionnement du palier sévères. Bouyer et al se so t i t ess s à l’i pa t du mésalignement sur un palier lisse expérimentalement [55] et numériquement en THD [56]. Ce phénomène entraîne une variation axiale de l’ paisseu de fil qui modifie les distributions de pression et de température dans le palier. Fillon et Bouyer se sont également intéressés aux effets dus à l’usu e du palie e gi e THD [57] et à des conditions de fonctionnement sévères en régime TEHD [58]. Dans la section suivante, une
27 présentation plus détaillée est faite su le fo tio e e t des palie s e p se e d’u e discontinuité géométrique spécifique : la rayure.
I.5 Effets de la présen
e d’u e a u e
Les sections précédentes présentent la lubrification des paliers de manière générale avec les différents phénomènes physiques qui la caractérisent. Dans le cadre de ces travaux, ’est l’effet d’u d faut g o t i ue su le o po te e t du palier qui est étudié. Comme ela a t p is da s l’i t oduction, aucun essai portant sur cette catégorie de défaut ’a été réalisé par le passé à notre connaissance ; cette étude pourra faire figure de référence. Cependant, des chercheurs se sont déjà intéressés au comportement des paliers en p se e d’u e ou plusieu s rayures mais au moyen de simulations numériques.
L’ tude de B a aga [59] a pe is l’o te tio de premiers résultats en présence d’u e rayure. Il montre que la perte de capacité de charge la plus importante est obtenue pour une rayure positionnée dans le plan médian du palier (Figure 6). Cette étude a été alis e pou u palie ou t e gi e isothe e. E plus de ett e e a a t l’i po ta e de la position de la rayure, il montre que sa profondeur est également un paramètre i po ta t. E effet, pou diff e tes p ofo deu s de a u es, l’i pa t su le ha p de pression est plus ou moins important. Pour les paliers courts, il existe une valeur seuil de t ois fois l’ paisseur minimale de film pour laquelle la génération de pression au niveau de la rayure est totalement nulle et au-delà de la uelle la p essio ’ olue plus.
Figure 6 – Influence de la position de la rayure sur la capacité de charge, Branagan [59]
Ensuite, Dobrica [60] s’est i t ess à l’i flue e de plusieu s pa a t es su le o po te e t d’u palie à deu lo es : la profondeur de rayure, la taille et position de la zone rayée ainsi que la densité des rayures présentes dans cette zone. Ces paramètres ont tous un effet sur la pression mais il apparaît que la profondeur est celui qui joue le rôle le plus important. Dobrica [60] propose d’ tudie l’i pa t de la profondeur de la rayure en
28 fo tio du jeu d’asse lage ). Cette étude a été réalisée avec un bilan thermique global afi d’i t g e des ph o es the i ues au od le isothe e.
Par la suite, une étude THD réalisée par Hélène et al [61] met une nouvelle fois en avant le rôle majeur de la profondeur de rayure et son impact sur la pression. Ils portent également leur intérêt sur la largeur de la rayure qui apparaît, dans une certaine mesure, comme un paramètre de moindre impact sur la pression. En accord avec ces observations, ils préconisent de ne pas utiliser le rapport de forme (la largeur de la rayure multipliée par sa profondeur) pour caractériser une a u e. E effet, pou des aleu s si ilai es, l’i pa t su la pression est totalement différent. Comme le montre le champ de pression obtenu par les simulations numériques (Figure 7), la pression chute au niveau et à proximité de la rayure.
Figure 7 - Champ de pression en présence d’u e rayure obtenu par Hélène et al [61]
I.6 Conclusion
Cette étude bibliographique pe et d’a oi u e ue glo ale de ce qui a été fait théoriquement, expérimentalement et numériquement autour des paliers hydrodynamiques. Une approche globale a permis de comprendre les phénomènes principaux a a t de s’i t esse plus fi e e t au fo tio e e t des palie s. Il est indispensable de comprendre ce qui se passe pour un fonctionnement nominal, sans défaut, pour pouvoir appréhender des cas présentant une anomalie comme une discontinuité géométrique. La p se e d’u e ou plusieu s discontinuités influence le fonctionnement d’u palie e odifia t e tai s pa a t es o e le p ofil de l’ paisseu de fil . Da s la suite, l’i t t est po t su e d faut d’u poi t de ue expérimental et numérique. La alisatio de ette tude i liog aphie a pe is de ett e e a a t l’a se ce de résultats expérimentaux concernant des paliers hydrodynamiques possédant une rayure. Numériquement, il a été montré que des études ont été réalisées mais seulement en régime HD et THD. A a t de d eloppe les sultats d’essais o te us ai si ue eu al ul s e régime TEHD, il est indispensable de développer les équations nécessaires pour la compréhension de la problématique. Ce travail est l’o jet du chapitre suivant.
31
Analyse théorique
Chapitre II -
L’o je tif de e chapitre est d’ ta li les uatio s de la lu ifi atio essai es à la solutio d’u p o l e TEHD. En suivant le même plan que la bibliographie, les différents phénomènes physiques à considérer sont détaillés. Dans un premier temps, la géométrie du palier puis les équations de la lubrification hydrodynamique sont présentées. Ensuite, les phénomènes thermiques sont exposés avec les équations nécessaires pour considérer le régime THD. Enfin, les déformations élastiques des solides dues aux champs de pression et de température dans le palier sont détaillées et expliquées.
II.1 Géométrie du problème
La première étape importante est la définition de la géométrie du palier, quel que soit le régime choisi. Ce sont des paliers à géométrie fixe, comme celui représenté schématiquement sur la Figure 8, qui sont concernés dans le présent travail de thèse.
32 Figure 8 - Rep se tatio s h ati ue d’u palie ave u a e e e t
La Figure 8 représente un palier o pos d’u a e de a o et d’u oussi et de a o et de longueur L. I i, l’arbre est décentré car son centre, , ’est pas o fo du avec le centre du repère du palier (O, ,⃗⃗⃗⃗⃗ ,⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ . L’ paisseu de fil pou le as d’u a e excentré est calculée avec la relation II.1 suivante :
ℎ � = + cos � II.1
avec le jeu de fonctionnement égal au rayon des lobes ( ) moins le rayon de l’a e ), � l’a gle de alage ui ep se te l’a gle fo e t e la di e tio de la ha ge et la ligne des centres ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ et l’e e t i it elati e telle ue :
= II.2
où e, l’e e t i ité globale, o espo d à la dista e e t e le e t e de l’a e et le centre du palier .
O i t oduit l’e e t i it elati e au lo e, ue l’o ote , qui correspond à la dista e e t e le e t e de l’a e et le e t e du lo e i étudié. On remarque que l’a gle ( ̂ ) est gal à l’a gle , nommé lig e des e t es, ui o espo d à l’a gle fo� pa
(−⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗) au uel o eti e l’a gle de calage � . Pou o te i l’e p essio de ette e e t i it , o utilise la elatio d’Al Kashi sui a te :
33
= + − cos − � , II.4
Da s le ep e lo al, l’a gle �, ui o espo d à l’a gle �∗ dans le repère global, est
calculé avec la relation II.5.
� = �∗+ − � − II.5
Ainsi, en incluant les égalités II.4 et II.5 dans la relation II.1, on en déduit une nouvelle e p essio de l’ paisseu de fil II.6) :
ℎ �∗ = + cos �∗+ − � − = − cos �∗− � − II.6
Cette e p essio pe et de al ule l’ paisseu de fil pou ha ue lo e de a i e disti te. C’est su ette ase ue les d fauts tels ue le salig e e t ou les a u es so t ajoutés. En effet, pour une rayure dont la géométrie est connue, il suffit de calculer pour une positio do e l’ paisseu de fil du do ai e et e suite de et a he la aleu du d faut e fo tio de l’e d oit où il se situe. Les a u es o t t p ises e o pte lo s de ette étude en utilisant cette méthode.
II.2 Établissement des équations en régime hydrodynamique (HD)
La première étape consiste à l’ ta lisse e t des uatio s pe etta t d’o te i les champs de pression dans le film lubrifiant.
II.2.i
Équations de Navier-Stokes et de continuité
Les équations générales des films minces sont déduites des équations de la mécanique des milieux continus appliquées à un fluide newtonien. Frêne [62] démontre de manière classique que les équations de Navier-Stokes (II.7) et de continuité (II.8) sont les équations qui régissent les problématiques des paliers hydrodynamiques. Ces deux équations sont rappelées ci-dessous ; elles vont être à la base de tous les développements futurs. a � � + � � = − � � + � � � + ( � � + � � � ) + � � � � + ( � � + � � ) � � II.7
Les variables et t so t des a ia les d’espa e et de te ps, les composantes de la vitesse, la masse volumique du fluide, et λ des coefficients de Navier avec la viscosité dynamique, λ la aideu et p la pression.
34 Ces équations peuvent être simplifiées au moyen de plusieurs hypothèses qui sont détaillées par la suite dans le développement des équations de films minces.
II.2.ii
Équation généralisée des films minces
La Figure 9 représente de manière schématique le do ai e d’ tude pou u palie hydrodynamique. Celui-ci est délimité par deux parois entre lesquelles est intercalé un lubrifiant. Les axes sont choisis de manière à avoir la direction y selon l’ paisseu du film. Un point de la pa oi pa oi i f ieu e est a i d’u e itesse de o posa tes , et et possède une coordonnée ℎ selon y. Il existe un point sur la paroi 2 (paroi supérieure) possédant une vitesse de composantes , et situé à une coordonnée ℎ dans la direction y.
Figure 9 - Rep se tatio s h ati ue d’u palie ave so s st e d’a es et ses otatio s
Plusieurs hypothèses sont faites pour ce domaine [62] : Le milieu fluide est un milieu continu,
L’ oule e t est la i ai e, Le fluide est newtonien,
Les forces extérieures massiques dans le fluide sont négligeables,
Les fo es d’i e tie so t gligeables devant les forces de viscosité et de pression, Il ’e iste pas de glisse e t e t e le fluide et les pa ois de o ta t,
La courbure générale du film est négligée (cas des paliers radiaux),
L’ paisseu de fil est t s i f ieu e à la lo gueu et la largeur du domaine.
Avec ces hypothèses, les équations de Navier-Stokes (II.7) se réduisent à trois équations (II.9)
35 { = ( ) = = ( ) II.9
Il est alo s possi le d’e p i e les o posa tes de la itesse u et w à partir de cette fo e si plifi e de l’ uatio de Na ie Stokes II.9). Ces dernières peuvent alors être i t oduites da s l’ uatio de o ti uit II.8 ui est i t g e da s l’ paisseu de fil . C’est ai si u’est o te ue l’ uatio de la a i ue des fil s i es is ueu g alis e (II.10).
( ) + ( ) = [ − + ] − +
+ [ − + ] −
+ + − + − −
II.10
avec R fonction de x, y, z et t, F et G fonction de x ,z et t tel que :
, , , = ∫ , , , II.11
, , = ∫ , , , II.12
, , = , , ∫ , , ,, , , II.13
, , = ∫ , , ,, , , − , , , , II.14
Une fois l’ uatio des fil s i es is ueu g alis e (II.10) établie, les caractéristiques propres aux paliers et aux butées sont introduites pour réaliser de nouvelles simplifications. La paroi inférieure (paroi 1) est considérée comme la paroi de référence pour l’ paisseu de fil . La ou u e des pa ois est gligea le et est considérée comme une surface plane. La composante de la vitesse selon y sur cette paroi est par conséquent nulle. Pour simplifier la notation, la vitesse selon y à la paroi 2 est notée pour la suite de la manière suivante : = V. De plus, à cette paroi 2, les composantes et sont considérées nulles a ’est la pa oi ui est o sid e e otatio . De la e a i e, la otatio est
36 modifiée pour les vitesses circonférentielle et axiale de la paroi inférieure ; = U et = W. Avec ces nouvelles considérations, la Figure 10 représente de manière schématique un palier développé.
Figure 10 - Rep se tatio s h ati ue d’u palie d velopp
Da s le ad e d’u e tude h d od a i ue a e l’utilisatio d’u fluide incompressible, les coefficients (II.11), (II.13) et (II.14 peu e t s’ i e de la a i e suivante :
= ( = ℎ II.15
= II.16
= ℎ II.17
En introduisant (II.15), (II.16) et (II.17 da s l’ quation de Reynolds généralisée (II.10), on obtient :
ℎ
+ ℎ = ℎ+ ℎ+ II.18
De plus, si o p e d e o pte le fait ue l’a e ’a pas de ou e e t a ial W = 0) et que V, la itesse d’ ase e t, est la d i e te po elle de la hauteur de film on a alors :
ℎ
+ ℎ = ( ℎ+ ℎ) = ℎ+ ℎ II.19
Cette dernière équation (II.19) est celle qui est utilisée pour calculer la pression dans le fil lu ifia t. O la et ou e da s la litt atu e o e ta t l’ uatio de Re olds généralisée. Cependant, la résolution seule de l’équation de Reynolds (II.19) donne des résultats non conservatifs en présence de rupture et de reformation de film lubrifiant. Pour
37 ce faire, la méthode proposée par Bonneau et Hajjam [31], as e su l’équation de Reynolds généralisée, est utilisée (II.19) et présentée dans la section suivante.
II.2.iii
Prise en compte de la rupture et de la reformation
de film lubrifiant
L’ paisseu de fil d’u palie est o pos e de zones dîtes convergentes et di e ge tes. Les zo es o e ge tes o espo de t au e d oits où l’ paisseu de fil est réduite entraînant la création de pression. En opposition, il existe des zones divergentes où l’ paisseu de fil aug e te et où la upture de film est généralement observée. Dans le chapitre précédent (Chapitre I - ), plusieurs modèles prenant en compte les phénomènes de rupture et de reformation de film ont été présentés. Parmi ces modèles, nous avons décidé d’utilise celui proposé par Hajjam et Bonneau [31] car il permet d’assu e la conservation du débit et permet également de connaître la valeur locale de remplissage.
Dans la suite, deux zones sont donc considérées : les zones de film complet et les zones de film rompu. On obtient une équation en fonction de la zone étudiée : l’ uatio de Reynolds (II.19) da s la zo e de fil o plet et l’ uatio de o se atio de la asse dans la zone de film rompu. Pa o i aiso , o o tie t l’équation globale (II.20) suivante :
� [ ℎ + ℎ ] = ℎ+ ℎ+ − � [ + ] II.20
avec � la fonction dont la valeur dépend de la variable D telle que : { = − ≥ � = �
= − ℎ < � = �
II.21
et la aleu de e plissage du lu ifia t. C’est u e valeur comprise entre 0 et h correspondant à la hauteur occupée par le lubrifiant. Cette valeur est inférieure à h dans une zone de rupture de film, le lubrifiant est alors la g a e du gaz. L’ uatio II.21) permet de résoudre les équations appropriées dans chaque zone considérée pour avoir la grandeur correspondante. Quand D est sup ieu ou gal à , ’est la p essio ui est l’i o ue et le remplissage a une valeur de 1. Dans le cas contraire, quand D est strictement inférieur à 0, ’est la aleu de e plissage ui est he h e et la p essio est gale à la pression de référence. La résolution simultanée de ces deux équations permet de conserver implicitement les débits en ayant des conditions aux limites correctes au niveau des frontières de rupture et de reformation de film lubrifiant. Toutes les équations présentées jus u’alo s pe ette t d’a oi les ha ps de p essio et de e plissage pou u e positio donnée du rotor. Le al ul des ha ps de p essio da s le fil lu ifia t d’u palie pou une position imposée ’est u’une première étape car, dans la pratique, on cherche la position de l’a e pe etta t d’ uili e une charge donnée. Dans la suite, on présente donc les ajouts nécessaires pour effectuer des calculs à charge imposée.
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II.2.iv
Calculs à charge imposée
Da s la ajo it des al uls, e ’est pas la positio de l’a e qui est connue mais sa charge (en direction et en norme) et sa vitesse. Ce type de calcul à charge imposée peut être considéré comme un enchainement de calculs à position imposée. En effet, le principe est de converger sur la norme et la direction de la charge en réalisant plusieurs calculs à position imposée. Pour ce faire, il faut étudier la valeur de la charge obtenue à chaque position du rotor ; il se doit do d’ t e d taill . Le calcul est introduit pour le cas général, c'est-à-dire elui où l’a e est e e t . Cela i duit des ha ge e ts de ep es o e pou le al ul de l’ paisseu de fil II.2.ii ). On note la projection de la charge ⃗⃗⃗⃗ selo l’a e ⃗ et la projection de la charge ⃗⃗⃗⃗ selo l’a e ⃗⃗. On note W la valeur de la charge supportée telle que :
= √ + II.22
Dans le repère local du lobe, le calcul de la charge est fait avec les expressions suivantes : { = ∫ { cos − �∗ − (� ) ℎsin − �∗ } � = − ∫ { sin − �∗ + (� ) ℎcos − �∗ } � II.23
avec � la composante tangentielle de la contrainte telle que :
� = − ℎ − ℎ II.24
(� )ℎ=ℎ − ℎ II.25
L’e p essio
II.
25 intégrée dans les relations II.23 donne alorsII.26:{ = ∫ { cos − �∗ − (ℎ − ℎ) sin − �∗ } � = − ∫ { sin − �∗ + (ℎ − ℎ)cos − �∗ } � II.26
Ensuite, les expressions II.26 sont replacées dans le repère global comme cela est décrit par les relations II.27 :
39
{ = − cos + sin
= − sin − cos II.27
Pour les paliers à plusieurs lobes, il faut sommer les composantes de la charge des différents secteurs dans le repère global (II.28). Une fois cela fait, la charge peut être calculée avec la relation II.22.
{ = ∑ = = ∑ = II.28
II.2.v
Conditions aux limites
Pour une résolution à charge imposée ou à position imposée, des conditions aux li ites e p essio so t essai es pou soud e le p o l e. Tout d’a o d, o considérera pour les problèmes traités que la pression de référence ( ) est la pression atmosphérique. Les pressions aux bords du palier seront égales à cette pression atmosphérique ( ). Par contre, les pressions en entrée et en sortie de section sont similaires aux pressio s d’ali e tatio d fi ies pour le problème. Les conditions aux limites pour les frontières de rupture et de reformation de film lubrifiant dans le domaine étudié so t i pli ites lo s de la solutio de l’ uatio II.20).
II.3 Établissement des équations en régime
thermohydro-dynamique (THD)
Cette section présente les différentes étapes qui permettent de réaliser un calcul thermohydrodynamique.
II.3.i
Équation de Reynolds généralisée
Dans la partie II.2.ii , l’ uatio de Re olds g alis e a t d taill e pou les calculs isothermes. Lo s ue l’o tie t o pte des ph o es the i ues, e tai es grandeu s doi e t te i o pte de l’ olutio de la is osit au t a e s du fil lu ifia t. Il faut alors o sid e l’ uatio sous la fo e sui a te II.29) :
� [ ( ) + ( )] = [ / + − � ( )] II.29
40 , = [∫ , , ℎ − , , ] II.30 , = ∫ℎ , , II.31 , = ∫ℎ , , II.32
II.3.ii
Calcul des vitesses
En repartant des équations de Navier-Stokes II.7 et II.9 auxquelles des hypothèses si plifi at i es o t t appli u es, ous pou o s d dui e l’e p essio des itesses da s les directions axiale II.33 et circonférentielle II.34.
, , = ( − ) + ( − ) II.33
, , = ( − ) II.34
, , = ∫
, , , , = ∫ , , II.35
A e l’ uatio de o ti uit II.8), on peut exprimer la composante de la vitesse telle que :
= − ( + ) II.36
Comme cela a été présenté par Boncompain [22] dans ses travaux, pour conserver la continuité aux frontières du domaine, il est préférable de se ramener à la relation suivante :
= − ( + ) II.37
II.3.iii
Équation
de l’ e gie
Pou o te i le ha p de te p atu e da s le fil lu ifia t, ’est l’ uatio de l’ e gie II.38) qui est résolue.
( + + ) = + [( ) + ( ) ] II.38
avec la densité du lubrifiant, la chaleur spécifique du lubrifiant, le coefficient de conduction et la viscosité dynamique. Pour cette résolution, il est important de
![Figure 6 – Influence de la position de la rayure sur la capacité de charge, Branagan [59]](https://thumb-eu.123doks.com/thumbv2/123doknet/7891988.264274/28.892.158.696.688.898/figure-influence-position-rayure-capacité-charge-branagan.webp)
