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Conceptions de l’intégrale de Riemann des étudiants à
l’entrée en classes préparatoires
Inen Akrouti
To cite this version:
Inen Akrouti. Conceptions de l’intégrale de Riemann des étudiants à l’entrée en classes préparatoires. INDRUM 2020, Université de Carthage, Université de Montpellier, Sep 2020, Cyberspace (virtually from Bizerte), Tunisie. �hal-03113954�
Conceptions de l’intégrale de Riemann des étudiants à l’entrée en
classes préparatoires
Inen Akrouti, Université Virtuelle de Tunis (ISEFC) & Université de Carthage (LaRINa), akroutiinen@yahoo.fr
The purpose of this research is to identify students’ interpretations when solving Riemann integral problems. Thirteen students enrolled in public university (first year of preparatory class) participated in this study. Data was collected from a test that was proposed at the end of integration courses (Semester II). Through detailed analyses, large majority of students consider the Riemann integral as representing area under a curve or the values of an anti-derivative. In the other side, a few number of students use the limit of approximation conception in their responses. However, understanding the integral as a Riemann sum is highly productive for conceptual learning Tall (1992).
Keywords: Teaching and learning of analysis and calculus, teaching and learning of specific topics in university mathematics, Riemann integral.
INRODUCTION
Le concept d’intégrale de Riemann est un concept fondamental de l’analyse réelle. Il se caractérise par une nature multiforme. Cette nature nécessite une attention particulière afin de faire comprendre aux étudiants les idées principales qui le fondent. Une utilisation excessive de certaines interprétations de l’intégrale pourrait limiter son application et son domaine d’efficacité.
Dans une étude antérieure sur les conceptions des étudiants de l’intégrale définie à l’entrée à l’université (Akrouti, 2019b), il nous a été possible de souligner que les étudiants possèdent différentes interprétations, parmi lesquelles nous citons le processus d’approximation de produits infinitésimaux. Cette interprétation est particulièrement utile dans de nombreux contextes mathématiques et physiques. Beaucoup de recherches (Orton, 1983 ; Jones, 2013, 2015) la considèrent comme l'interprétation la plus précieuse qui pourrait donner un sens à l'intégration. En effet, cette interprétation se prête à être imaginée comme la somme des produits de longueurs et de largeurs de rectangles où l'un des facteurs est un infinitésimal ou une « très petite quantité ». Par ailleurs, elle permet à l’étudiant de construire effectivement le processus permettant de retrouver la valeur de l’intégrale définie en mettant en œuvre sa structure sous-jacente. Or malgré son utilité, de nombreux étudiants n’arrivent pas à investir cette interprétation dans leur travail. Ils abandonnent la construction de l’intégrale au profit du calcul de primitive et se lancent dans des procédures algorithmiques.
D’un autre côté, beaucoup de chercheurs (Sealy, 2014 ; Ely, 2017) constatent que les étudiants n'ont pas une compréhension approfondie de l'intégration et qu'ils ne pourraient pas bien faire face à des situations légèrement modifiées. Ils ne peuvent
pas reconstruire les techniques dont ils ont besoin : la mémorisation des procédures les rend vulnérables face à un oubli (Akrouti, 2016). Ces chercheurs soulignent également que les étudiants peuvent avoir une connaissance procédurale de l'intégration en termes de techniques, sans une connaissance conceptuelle adéquate des structures sous-jacentes. En effet, la structure de l’intégrale renvoie à des méthodes différentes en fonction de la nature de la fonction à intégrer. Cela pourrait expliquer pourquoi les étudiants semblent confus et ont tendance à exercer leur mémoire plutôt que gérer la situation de manière créative et constructive.
Suite à ce constat, nous avons pensé à proposer deux questions où la procédure de primitive ne fonctionne pas. Notre ambition est d’amener les étudiants à réinvestir le découpage/encadrement pour mettre en œuvre un processus d’approximation. Nous cherchons en particulier à explorer les différentes manières par lesquelles les étudiants conceptualisent l'intégrale dans des situations non standard. Nous envisageons notamment de répondre à la question suivante : de quelles manières répondent les étudiants face à des tâches non standard quand il s’agit de la notion d’intégrale ?
LES CONSIDERATIONS THEORIQUES
Pour aborder notre problématique et cerner les caractéristiques des conceptions des étudiants, nous avons choisi trois outils théoriques : le concept image (Tall &Vinner, 1981), la dialectique processus/objet (Sfard, 1991) et les représentations sémiotiques (Duval, 1993).
La notion de concept image (Tall & Vinner, 1981) fait référence à la structure cognitive totale associée à un concept mathématique. Une image « bien définie » d'un concept mathématique peut être considérée comme la forme ou la structure finale dans laquelle le concept est logé dans le raisonnement d'un individu. Le concept image peut inclure des idées significatives, comme il peut inclure des idées contraires aux significations et aux définitions formelles du concept. Dans certains cas, le concept image peut différer à divers égards du concept formel défini et accepté par la communauté mathématique en général. Tall et Vinner utilisent l’expression « The
evoked concept image » pour indiquer les éléments du concept image qui ont été
découverts dans les réponses de l’individu. Dans notre cas, le concept d’intégration pourrait être identifié à une aire, au calcul de primitive, à un processus d’approximation ou à autres interprétations.
Le travail de recherche que nous avons entrepris depuis quelques années (Akrouti, 2016, 2018, 2019a et 2019b) nous a permis de souligner l’importance du rôle que pourrait jouer le statut de la notion d’intégrale dans son enseignement/apprentissage. Pour cela, nous considérons la dialectique processus/objet (Sfard, 1991) comme deuxième outil théorique utilisé. Le statut processus identifie l’aspect opératoire du concept alors que le statut objet identifie son aspect structural. La théorie de réification (Sfard & Linchevski, 1994) considère que le passage d’une « conception » orientée vers le processus à une « conception » orientée vers l’objet est le moyen par
lequel une entité mathématique sera conceptualisée. Cela sous-tend également la capacité de l’individu à interpréter les représentations symboliques d'un concept à la fois de manière opératoire et structurale. La structure de l’intégrale définie renvoie aux sommes de Riemann par la relation mathématique suivante : . Donc le travail de l’étudiant se manifeste dans le basculement de l’intégrale à la somme des aires algébriques (et vice versa), en prenant en compte le passage à la limite, donc en réifiant un processus (infinitésimal) de sommation d’aires. Nous considérons également que le calcul de primitives constitue un aspect opératoire de l’intégrale, qui est en quelque sorte « réifié » dans la formule . Il faut noter que Sfard et Linchevski (1994) ont parlé également du niveau pseudo-structurel des connaissances où l’individu se limite au statut objet dans la réponse sans montrer comment elle est obtenue.
Enfin, notre étude requiert les représentations sémiotiques (Duval, 1993). En effet, les types de traitement et de conversion sont des éléments efficients dans l’apprentissage du concept d’intégrale par la mise en relation qu’ils opèrent entre les différentes formes du concept (dans les registres géométrique, algébrique et numérique) : ces processus requièrent en général une flexibilité cognitive importante et sont de ce fait difficiles pour les étudiants.
CONTEXTE ET OBJECTIF
L’intégrale de Riemann est introduite pour les étudiants en classe préparatoire à partir de la définition suivante :
. En tant qu'énoncé
mathématique, cette écriture est une représentation symbolique de la relation entre l’intégrale de Riemann et les sommes de Riemann (les sommes de Darboux sont exclues du programme officiel). Elle se base sur la décomposition de l’aire principale sous la forme d'une combinaison d’aires rectangulaires. Cela met en œuvre un processus algébrique et géométrique significatif pour trouver l’intégrale en question. L’aire de chaque rectangle est calculée en multipliant sa hauteur et sa longueur qui sont représentées par . Le symbole de la somme indique que tous les rectangles doivent être additionnés et combinés pour trouver l’aire totale. Le processus consiste à subdiviser l’intervalle d’intégration autant que l’on souhaite : plus la subdivision est petite, plus l’approximation est meilleure. Donc le contexte dans lequel nous proposons les situations relève de la procédure intégrale : découpage →somme →encadrement →passage à la limite ; cette procédure met en œuvre les trois étapes suivantes :
1) le découpage/additivité : si on découpe un domaine D admettant une aire en deux sous domaines disjoints X et Y, alors X∪Y admet une aire et aire (X∪Y) aire X aire (Y) ;
2) l’encadrement : pour toute fonction continue par morceaux, positive, croissante et bornée sur , on définit les deux sommes suivantes :
et On a alors ;
3) le passage à la limite : lorsque le découpage du domaine D devient de plus en plus petit, l’écart entre les encadrements supérieurs et les encadrements inférieurs devient de plus en plus petit. Ce processus converge vers un réel unique qui est la valeur de l’intégrale en question.
Dans le cadre de ce travail, nous supposons que le processus de résolution d’une tâche considérant l’intégrale en tant que limite d'une somme de Riemann est intrinsèquement différent du processus de recherche d’une intégrale par le calcul d'une primitive et que cette différence peut causer divers niveaux de confusion et de perplexité pour les étudiants (Akrouti, 2016). Il faut noter aussi que rien ne permet de penser qu’utiliser une procédure d’intégration via la recherche de primitive devrait être automatique ou naturelle pour les étudiants, du moins, pas pour les étudiants habitués à essayer de donner un sens à leurs activités mathématiques (Akrouti, 2016). En plus, rien de ce qu’ils font lors du calcul d’une intégrale définie ne serait lié aux idées basées sur les sommes de Riemann (Sealy, 2006).
METHODOLOGIE
Pour aborder cette recherche, nous avons choisi de proposer deux tâches non routinières aux étudiants après le cours d’intégration. Nous avons fait le choix d’écarter les tâches dont la résolution se base sur le Théorème Fondamental de l’analyse (TFA) : ces tâches sont fréquemment rencontrées et se focalisent pour l’essentiel sur l’aspect opérationnel de la notion d’intégrale. Les connaissances interrogées ici sont celles supposées acquises en classe préparatoire. Les questions proposées mettent les étudiants face à l’impossibilité d’utiliser la procédure de primitive. Il faut noter que l’enseignement de l’intégration en classe préparatoire ne prend en charge ni l’interprétation géométrique ni aucune explication métaphorique, sauf peut-être dans les cas les plus simples (Akrouti, 2016). Par ailleurs, la majorité des étudiants n’arrive pas à comprendre la signification de l’ostensif de la somme et comment se fait ce passage d’une quantité continue à une autre discrète. La même chose pour le différentiel : il semble être étranger et s’évaporer dans le processus de résolution tout simplement. Nous considérons que le raisonnement fondé sur les sommes de Riemann peut correspondre à la syntaxe de l'expression intégrale d'origine, mais il n’est pas utilisé pour expliquer ou extraire une signification du processus de calcul. Il faut souligner également que nous avons posé quelques questions avant le test aux étudiants participants parmi lesquelles :
- Quelle est la méthode que vous considérez la meilleure pour calculer une intégrale ? (I)
- Pourquoi une intégrale définie pouvait être interprétée comme une aire ? (II) - Comment interprétez-vous la différence entre la somme de Riemann et
Le test a été soumis à des étudiants de première année préparatoire à l’Institut Préparatoire aux Ecoles d’Ingénieurs de Tunis (IPEIT) parcours Math-physique (groupe MP8) après le cours d’intégration. Les étudiants ont vu l’intégrale de Riemann, les sommes de Riemann, le TFA et quelques techniques de calcul de primitives. Donc ils sont supposés connaître et maîtriser les propriétés algébriques de l’intégrale de Riemann. Le test a été proposé au mois de mai 2019. Treize étudiants ont participé en donnant des réponses écrites.
La première question a pour objectif de mettre en œuvre la procédure intégrale pour une fonction définie à partir d’un graphique. Elle consiste à calculer l’aire d’une surface non polygonale en encadrant la fonction en jeu par deux fonctions en escalier. La deuxième question vise à mettre en œuvre la procédure intégrale à partir de l’interprétation graphique de l’expression algébrique d’une fonction continue, croissante et positive. Notre ambition est d’amener les étudiants à utiliser de nouvelles procédures (autre que le calcul de primitive) pour calculer la valeur d’une intégrale.
ETUDE EXPERIMENTALE
L’étude expérimentale comporte deux niveaux : analyse a priori et analyse a posteriori.
Analyse a priori
Dans l’analyse a priori, nous procédons de la manière suivante : tout d’abord nous commençons par la description de la question. Puis, nous identifions les procédures de réponse possibles à chaque question. En fin, nous citons les conceptions attendues. Question 1 : Le graphique ci-dessous est la courbe représentative d’une fonction . Calculer .
La question est non standard. L’intégrale en jeu est donnée à partir de la courbe représentative de la fonction à intégrer. Les étudiants se retrouvent face à l’aire d’une surface non polygonale. Pour réussir cette tâche, deux procédures sont possibles : *Dans la première, il s’agit d’encadrer la surface S en question par deux surfaces polygonales, l’une contenue dans S et l’autre contenant S. Cette procédure met en œuvre la conception d’aire. Elle se limite au statut objet de la notion d’aire et par la suite elle met les connaissances dans un niveau pseudo-structurel (Akrouti, 2019a).
**Dans la deuxième, il s’agit de décomposer l’intervalle d’intégration en subdivisions aussi petites que l’on souhaite. La valeur de l’intégrale est encadrée par deux sommes (l’une inférieure, l’autre supérieure) ayant la même limite. La complémentarité processus-objet est ainsi acquise : l’intégrale en jeu (objet) et l’approximation par l’aire des surfaces polygonales subdivisées mettent en œuvre un processus de somme d’aires (processus). Cette procédure se base sur l’interprétation de l’intégrale en tant qu’aire et donc sur la conversion entre le registre graphique et le registre numérique.
Question 2 : Soit une fonction définie sur [0,2] par . Calculer .
La question est problématique. Bien que la fonction soit continue et admette une primitive, son expression ne rentre pas sous l’une des formes usuelles des primitives connues. Par ailleurs, elle met les étudiants face à un conflit cognitif : ils connaissent depuis la fin de la scolarité secondaire que toute fonction continue admet une primitive. Les étudiants qui ont gardé une bonne connaissance du cours sont en mesure de pressentir que la recherche d’une primitive n’est pas possible. Donc ils sont susceptibles de se baser sur l’interprétation de l’intégrale en tant qu’aire algébrique. Pour ces étudiants, nous pouvons identifier deux catégories. La première se base sur la procédure de processus d’approximation pour répondre. Cette démarche s’accompagne de conversions entre registres : au départ une conversion (algébrique/graphique), ensuite une conversion (graphique/numérique) pour calculer la valeur de l’intégrale donnée. La complémentarité processus/objet est en jeu ici : l’intégrale de la fonction proposée en tant qu’aire (objet) et le processus d’approximation (processus). Alors que la deuxième catégorie se base sur l’approximation par l’aire d’une surface polygonale. Cette procédure met en œuvre le statut objet et les étudiants sont à un niveau pseudo-structurel. Pour d’autres qui possèdent une conception de primitive, induite en partie par l’institution (Akrouti, 2019a), consistant à restreindre la question à un contexte algébrique, nous attendons qu’ils aillent rechercher une primitive pour pouvoir appliquer le TFA. Ces étudiants pourraient penser aux changements de variables ou à l’intégration par parties : il s’agit d’une conception de primitive qui identifie le calcul intégral à une recherche de primitive.
Analyse a posteriori
Deux étudiants ont répondu à la première question en utilisant la notion d’aire d’une surface polygonale pour calculer la valeur de l’intégrale cherchée. Six étudiants ont donné des réponses en se basant sur la procédure de processus d’approximation et cinq étudiants n’ont pas répondu à la question. Deux procédures de réponses ont été utilisées par les étudiants. La première procédure fait partie de la conception de limite d’approximation et fait appel à la méthode des rectangles : les étudiants qui ont choisi cette démarche n’ont pas pu la mettre en application (Fig. 1). Ils ont simplement décrit la méthode sans calculer effectivement la valeur de l’intégrale. La conception
existe mais, elle n’est pas bien développée. Certains étudiants ont cherché une structure algébrique à partir de la représentation graphique donnée (Fig. 2). Il s’agit d’une tentative pour construire une analogie avec la structure algébrique afin de trouver la structure sous-jacente dans une somme de Riemann, où les hauteurs, les longueurs et les sommes de rectangles sont toutes représentées algébriquement. Notons qu'aucun de ces étudiants n'avait invoqué le raisonnement basé sur les sommes de Riemann pour interpréter l’intégrale dans la deuxième question, et que la plupart d’entre eux avaient montré qu'ils ne pouvaient pas le faire dans la première question. Ce qui manquait, c'était la conscience que les procédures de calcul d’une intégrale étaient soumises à un raisonnement géométrique.
La deuxième procédure se base sur l’approximation par l’aire d’une surface polygonale : les étudiants ont décomposé l’aire en somme d’aires de rectangles, de triangles et de trapèzes (Fig. 3). Cette procédure se base sur l’interprétation de l’intégrale en tant qu’une aire algébrique. Cette procédure permet d’approcher la valeur de l’intégrale mais, elle ne permet pas de donner sa valeur exacte.
Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3
Pour la deuxième question, sept étudiants ont utilisé la procédure de primitive pour calculer la valeur de l’intégrale proposée. Parmi eux, six étudiants ont choisi la méthode de changement de variables et n’ont pas terminé le calcul parce qu’ils ne sont pas arrivés à trouver la forme d’une fonction usuelle ; un étudiant a choisi l’intégration par parties, il lui semble qu’il s’agit de la recherche d’une primitive de la fonction donnée. Deux étudiants ont choisi de passer à la représentation graphique de la fonction à intégrer et ont utilisé l’aire sous la courbe pour répondre (Fig. 4 et Fig. 5). Le reste des étudiants n’a pas répondu à la question.
Fig. 4 Fig. 5
La majorité des étudiants a choisi de calculer l’intégrale proposée dans la deuxième question par la recherche d’une primitive puis elle a appliqué le TFA. Ce résultat est attendu pour deux raisons. D’une part, pour eux il y a identification entre intégrale et
calcul de primitive : pour la majorité d’entre eux, le TFA constitue la définition de l’intégrale et ils n’ont jamais utilisé d’autres méthodes pour calculer une intégrale (en répondant à l’une des questions proposées avant le test : la question I). D’autre part, les étudiants se limitent souvent aux connaissances procédurales nécessaires à la résolution algébrique de certaines intégrales, alors que le recours au graphique est une technique non reconnue. La représentation graphique est généralement utilisée pour interpréter l’intégrale en termes d’aire et non pour la fonder. Il faut noter que lorsqu'on a demandé aux étudiants pourquoi la résolution d'une intégrale définie par le calcul d’une primitive permet de calculer l’aire, aucun des étudiants n'a pu répondre à la question. Quelques étudiants (un étudiant dans la question 1 et deux étudiants dans la question 2 du test) ont utilisé la notion d’aire pour calculer l’intégrale cherchée. Ils l’ont approchée par des aires de surfaces polygonales (rectangle, trapèze, triangle). Bien que ce choix, qui se base sur la conception d’aire, inclue l’idée d’approximation, il est insuffisant pour donner la valeur exacte des intégrales cherchées dans les deux questions.
Aucun des étudiants n’a utilisé un raisonnement fondé sur les sommes de Riemann pour calculer l’intégrale définie de la deuxième question. Pourtant, tous ces étudiants avaient étudié à la fois les sommes de Riemann et l’intégrale définie. Lorsqu'ils ont été interrogés sur les deux notions (la question (III)), ils ont été conscients de l'existence d'une relation, mais aucun ne l'avait articulée. Certains étudiants ont considéré les deux notions comme deux méthodes différentes pour trouver l’aire. D’autres étudiants considèrent les sommes de Riemann comme une méthode d'approximation d'une aire, alors que le TFA permet de calculer sa valeur exacte. Parmi ces étudiants il y a quelques-uns qui ne pensent aux sommes de Riemann que lorsqu’il n’est pas possible de calculer une intégrale « directement » (c’est-à-dire par la recherche d’une primitive). La plupart de ces étudiants ont montré que leur connaissance des sommes de Riemann n’a aucune influence sur leur compréhension de l’intégrale définie.
CONCLUSION
La structure du concept d'intégrale est propice à l'utilisation de représentations multiples. A titre d’exemples, il y a des « problèmes de l’aire sous la courbe » qui peuvent être résolus en utilisant des graphiques, des « problèmes des sommes » qui peuvent être résolus dans le registre numérique et des « problèmes des intégrales des fonctions usuelles » qui peuvent être résolus en utilisant des procédures algorithmes se basant sur un raisonnement algébrique.
L’analyse du test nous a permis de souligner que la conception de primitive, qui sous-tend un aspect opératoire de l’intégrale, était la plus utilisée par les étudiants. Ils pensent que les procédures algébriques sont plus utiles dans le processus de résolution. Il faut noter que l'une des raisons qui pourrait les pousser à faire ce choix est la forte présence du raisonnement algébrique tout au long des cours précédents.
Bien que quelques étudiants considèrent que l’utilisation des procédures algébriques est utile pour résoudre quelques problèmes de l’intégrale définie et ne l’est pas dans d’autres (en répondant aux questions que nous avons posées), ils les ont utilisées même dans des problèmes qui devraient être résolus à l’aide d’autres techniques (la question 2 du test). Il reste à savoir pourquoi les étudiants se limitent à utiliser le registre algébrique et pourquoi ils ne réussissent pas à résoudre les problèmes qui nécessitent le travail dans d’autres registres. D’autres étudiants disent, en répondant aux questions posées avant le test, qu’ils n’ont pas rencontré des problèmes sur l’intégrale définie où la résolution nécessite l’utilisation des approches numériques au cours de leur processus d’apprentissage. Ainsi, ils considèrent que les représentations numériques ne sont pas nécessaires au processus de résolution des problèmes.
Beaucoup d’étudiants ont choisi d’autres représentations en répondant à une question particulière sur la représentation convenable pour traiter une tâche issue de l’intégrale définie, alors que, dans le processus de résolution de problèmes, il y avait une accumulation vers un type de représentation unique (algébrique). Cela a entraîné des incohérences entre les représentations utiles pour répondre et celles utilisées effectivement dans la réponse. Le nombre d’étudiants, qui ont basculé d’une représentation vers une autre, était considérablement limité. Cela est peut-être dû à l’enseignement qui s’appuie beaucoup sur les registres de représentations algébriques. D’une façon générale, cette étude nous a permis d’identifier deux types de conceptions :
-Une première conception, utilisée par un ensemble d’étudiants, se base sur le TFA pour calculer la valeur de l’intégrale recherchée. Il s’agit d’une conception de primitive qui se focalise sur un aspect algébrique et met en avant le statut processus. Cela signifie que cette conception perçoit l’intégration comme le processus inverse de la dérivée. En effet, cette conception limite les connaissances à un aspect opérationnel. Les étudiants ayant utilisé cette conception présentent des difficultés lorsqu’il s’agit d’un contexte non routinier comme dans le cas de la question 2 du test.
-Une deuxième conception interprète l’intégrale de Riemann comme une aire. Cette conception pourrait amener à utiliser deux procédures différentes correspondant chacune à un concept image évoqué. La première procédure se base sur l’approximation de l’intégrale recherchée par l’aire d’une surface polygonale ou une somme d’aires de surfaces polygonales. Cette procédure se limite à l’approximation par un nombre limité d’aires de surfaces polygonales ce qui ne permet pas de trouver de bonnes approximations. La deuxième procédure consiste à effectuer des subdivisions très fines à l’intervalle d’intégration pour mettre en œuvre un processus d’approximation puis, à appliquer la limite. Les étudiants, se basant sur cette procédure, utilisent à la fois le statut processus et le statut objet de l’intégrale ce qui permet de développer des connaissances d’ordre structural. Elle met également en œuvre la conversion entre les registres graphique/numérique.
La majorité des étudiants a développé des connaissances qui ne mettent pas en œuvre la structure sous-jacente de l’intégrale de Riemann. Elles sont dans leur majorité des connaissances d’ordre pseudo-structurel (Sfard et Linchevski, 1994). Il faut noter qu’il ne faut pas se limiter, pour la conception d’aire, au cas de fonctions positives. En effet les étudiants pourraient rencontrer des difficultés, lorsqu’il s’agit des fonctions négatives ou qui changent de signes. Les résultats de cette étude montrent également que l’interprétation de l’intégrale en termes d’aire ne pose pas de problèmes chez beaucoup d’étudiants, mais plutôt le recours à la procédure de processus d’approximation était une difficulté considérable.
REFERENCES
Akrouti I. (2016). Transition secondaire/supérieur en analyse : cas de l’intégrale de Riemann en classes préparatoires. Mémoire de Master, Université Virtuelle de
Tunis, ISEFC Tunis, Tunisie.
Akrouti I. (2019a). Les difficultés liées à l’apprentissage de l’intégrale définie à l’entrée en classe préparatoire. Septième édition du colloque l’Espace
Mathématique Francophone, Paris Octobre 2018, 615-619.
Akrouti I. (2019b). Students’ conceptions of the definite integral in the first year of studying science at university. Proceeding of the 11th Congress of the European Society of Research in Mathematics Education. Utrecht, Netherlands, February
2019.
Duval R. (1993). Registres de représentation sémiotique et fonctionnement cognitif de la pensée. Annales de didactiques et de sciences cognitives, 5, I 37-65.
Ely, R. (2017). Definite integral registers using infinitesimals. The Journal of
Mathematical Behavior, 48, 152–167.
Jones, S. (2013). Understanding the integral: Students’ symbolic forms. Journal of Mathematical Behavior, 32, 122-141.
Jones, S. R. (2015). Areas, anti-derivatives, and adding up pieces: Definite integrals in pure mathematics and applied science contexts. Journal of Mathematical
Behavior, 38, 9-8.
Orton, A. (1983). Students' understanding of integration. Educational Studies in
Mathematics, 14(1), 1-18.
Sfard, A. (1991). On the dual nature of mathematical conceptions: reflections on process and objects as different sides of the same coin. Educational Studies in
Mathematics, 22, 1-36.
Sfard, A. & Linchevski, L. (1994). The gains and pitfalls of reification – the case of algebra. Educational Studies in Mathematics, 26, 191-228.
Tall, D. & Vinner, S. (1981). Concept image and concept definition in mathematics, with particular reference to limits and continuity. Educational Studies in
