Correction Suites réelles 4ème Mathématiques

Kooli Mohamed Hechmi http://mathematiques.kooli.me/ 1

CORRECTION SUITES REELLES

4

Mathématiques

Exercice 3

1) Pour 𝑛 = 1 on a : 𝑈₁ = 1 donc 0 ≤ 𝑈₁ ≤ 3 vrai Soit 𝑛 ∈ ℕ∗ _{supposons que 0 ≤ 𝑈}

𝑛 ≤ 3 et montrons que 0 ≤ 𝑈𝑛+1 ≤ 3 0 ≤ 𝑈_𝑛 ≤ 3 ⇒ 0 ≤ 3𝑈_𝑛 ≤ 9 ⇒ 0 ≤ √3𝑈𝑛 ≤ √9 ⇒ 0 ≤ √3𝑈𝑛 ≤ 3 ⇒ 0 ≤ 𝑈𝑛+1 ≤ 3 Conclusion ∀𝑛 ∈ ℕ∗ _{on a : 0 ≤ 𝑈} 𝑛 ≤ 3. 𝟐) 𝑈_𝑛+1− 𝑈_𝑛 = √3𝑈𝑛 − 𝑈𝑛 = 3𝑈_𝑛− 𝑈_𝑛2 √3𝑈𝑛 + 𝑈𝑛 =𝑈𝑛(3 − 𝑈𝑛) ⏞ + √3𝑈𝑛 + 𝑈𝑛 > 0 Or 0 ≤ 𝑈_𝑛 ≤ 3 ⇒ −3 ≤ −𝑈_𝑛 ≤ 0 ⇒ 0 ≤ 3 − 𝑈_𝑛 ≤ 3 Donc la suite 𝑈 est croissante.

3) On a la suite 𝑈 est croissante et majorée donc 𝑈 est convergente. Soit 𝑓(𝑥) = √3𝑥 𝑓 est continue sur [0 + ∞[

On a : 𝑈𝑛+1 = 𝑓(𝑈𝑛) avec 𝑓(𝑥) = √3𝑥 continue sur [0 + ∞[ on a : lim

𝑛→+∞𝑈𝑛 = 𝐿 avec 𝐿 ∈ [0 , 3] donc 𝑓 est continue en 𝐿

𝑈_𝑛+1 = 𝑓(𝑈_𝑛) donc 𝑓(𝐿) = 𝐿 ⇔ √3𝐿 = 𝐿 ⇔ 3𝐿 = 𝐿2 _{⇔ 𝐿}2_{− 3𝐿 = 0 ⇔ 𝐿(𝐿 − 3) = 0} Donc 𝐿 = 0 ou 𝐿 = 3 or la suite 𝑈 est croissante donc 𝐿 = 3 donc lim

𝑛→+∞𝑈𝑛 = 3 Exercice 4 1) a) On a : ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑓′(𝑥) = ( 2𝑥 1+𝑥2) ′ =2(1+𝑥2)−2𝑥×2𝑥 (1+𝑥2₎2 = 2−2𝑥2 (1+𝑥2₎2= 2(1−𝑥2) (1+𝑥2₎2

alors 𝑓′_{(𝑥) est du signe de 1 − 𝑥}2 _{sur ℝ}

𝑥 −∞ −1 1 +∞ 𝑓′_{(𝑥) − 0 + 0 +} 𝑓(𝑥) 0 1 −1 0 𝑓(−1) = −1 𝑓(1) = 1 lim 𝑥→−∞𝑓(𝑥) = lim𝑥→−∞ 2𝑥 1 + 𝑥2 = lim_{𝑥→−∞} 2 𝑥= 0 lim𝑥→+∞𝑓(𝑥) = lim𝑥→+∞ 2𝑥 1 + 𝑥2 = lim_𝑥→+∞ 2 𝑥= 0 b) 𝑓 est continue et strictement croissante sur [1

2 , 1] 𝑓 ( 1 2) = 4 5 et 𝑓(1) = 1 alors 𝑓 ([ 1 2 , 1]) = [ 4 5 , 1] par suite ∀𝑥 ∈ [1 2 , 1] 4 5≤ 𝑓(𝑥) ≤ 1 ⇒ 1 2≤ 4 5≤ 𝑓(𝑥) ≤ 1 ⇒ 1 2≤ 𝑓(𝑥) ≤ 1 On a 𝑈₀ =1 2 ; 1

2≤ 𝑈0 ≤ 1 la propriété est vraie pour 𝑛 = 0 soit 𝑛 ∈ ℕ supposons que 1

2≤ 𝑈𝑛 ≤ 1 montrons que 1

2≤ 𝑈𝑛+1 ≤ 1

on a 𝑈_𝑛+1 = 𝑓(𝑈_𝑛)

Kooli Mohamed Hechmi http://mathematiques.kooli.me/ 2 ∀𝑥 ∈ [1 2 , 1] ; 1 2 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 1 or 1 2≤ 𝑈𝑛 ≤ 1 alors 1 2≤ 𝑓(𝑈𝑛) ≤ 1 ⇒ 1 2≤ 𝑈𝑛+1 ≤ 1 Conclusion ∀𝑛 ∈ ℕ 1 2 ≤ 𝑈𝑛 ≤ 1 c) On a 𝑈_𝑛+1− 𝑈_𝑛 = 2𝑈𝑛 1+(𝑈𝑛)2 = 𝑈𝑛−(𝑈𝑛)2 1+(𝑈𝑛)2 = 𝑈𝑛(1−(𝑈𝑛)2) 1+(𝑈𝑛)2 = 𝑈𝑛(1+𝑈𝑛) ⏞ + (1−𝑈𝑛) ⏞ − 1+(𝑈𝑛)2 ⏟ + > 0 or 1 2 ≤ 𝑈𝑛 ≤ 1 ⇒ 0 ≤ 1 − 𝑈𝑛 ≤ 1 2 ⇒ 1 − 𝑈𝑛 > 0 alors 𝑈𝑛+1− 𝑈𝑛 > 0 donc la suite 𝑈 est croissante et elle est majorée alors elle est convergente d) On a : 𝑈_𝑛+1 = 𝑓(𝑈_𝑛) avec 𝑓(𝑥) = 2𝑥

1+𝑥2 continue sur ℝ

on a : lim

𝑛→+∞𝑈𝑛 = 𝐿 avec 1

2≤ 𝐿 ≥ 1 donc 𝑓 est continue en 𝐿 donc 𝑓(𝐿) = 𝐿 ⇔ 2𝐿 1+𝐿2 = 𝐿 ⇔ 2𝐿 = 𝐿 + 𝐿2 ⇔ 𝐿2− 𝐿 = 0 ⇔ 𝐿(𝐿 − 1) = 0 ⇒ 𝐿 = 0 ou 𝐿 = 1 or 1 2≤ 𝐿 ≥ 1 donc 𝐿 = 1 2) a) 𝑉𝑛+1 = 1 − 𝑈𝑛+1 = 1 − 2𝑈𝑛 1+(𝑈𝑛)2 = 1+(𝑈𝑛)2−2𝑈𝑛 1+(𝑈𝑛)2 = (1−𝑈𝑛)2 1+(𝑈𝑛)2= (𝑉𝑛)2 1+(𝑈𝑛)2 = 𝑉𝑛 1+(𝑈𝑛)2𝑉𝑛 Or 1 2≤ 𝑈𝑛 ≤ 1 ⇒ 1 4 ≤ (𝑈𝑛) 2 _{≤ 1 ⇒} 5 4 ≤ 1 + (𝑈𝑛) 2 _{≤ 2 ⇒}1 2≤ 1 1+(𝑈𝑛)2 ≤ 4 5 𝑉𝑛 = 1 − 𝑈𝑛 et 1 2 ≤ 𝑈𝑛 ≤ 1 alors 0 ≤ 𝑉𝑛 ≤ 1 2 par suite 0 ≤ 𝑉𝑛 1+(𝑈𝑛)2 ≤ 2 5 ⇒ 0 ≤ 𝑉𝑛 1+(𝑈𝑛)2𝑉𝑛 ≤ 2 5𝑉𝑛 ⇒ 0 ≤ 𝑉𝑛+1 ≤ 2 5𝑉𝑛 b) ∀𝑛 ∈ ℕ ; 0 ≤ 𝑉_𝑛+1 ≤ 2 5𝑉𝑛 0 ≤ 𝑉₁ ≤2 5𝑉0 0 ≤ 𝑉₂ ≤ 2 5𝑉1 0 ≤ 𝑉₃ ≤ 2 5𝑉2 . . . 0 ≤ 𝑉_𝑛−1 ≤ 𝑉_𝑛−2 0 ≤ 𝑉_𝑛 ≤ 2 5𝑉𝑛−1

en multipliant les 𝑛 inégalités membre à membre : 0 ≤ 𝑉_𝑛 ≤ (2 5) 𝑛 𝑉₀ alors 0 ≤ 𝑉_𝑛 ≤1 2( 2 5) 𝑛 c)On a ∀𝑛 ∈ ℕ ; 0 ≤ 𝑉_𝑛 ≤1 2( 2 5) 𝑛 alors 0 ≤ 𝑉₀ ≤ 1 2( 2 5) 0

Kooli Mohamed Hechmi http://mathematiques.kooli.me/ 3 0 ≤ 𝑉1 ≤ 1 2( 2 5) 1 0 ≤ 𝑉₂ ≤ 1 2( 2 5) 2 . . 0 ≤ 𝑉_𝑛 ≤ 1 2( 2 5) 𝑛

en additionnant les 𝑛 inégalités membre à membre : 0 ≤ 𝑉₀+ 𝑉₁+ 𝑉₂ + ⋯ + 𝑉_𝑛 ≤ 1 2+ 1 2× 2 5+ 1 2( 2 5) 2 … +1 2( 2 5) 𝑛 ⇒ 0 ≤ ∑ 𝑉_𝑘 𝑛 𝑘=0 ≤1 2(1 + 2 5+ ( 2 5) 2 … + (2 5) 𝑛 )

Soit la suite W définie sur ℕ par 𝑊_𝑛 = 1 +2 5+ ( 2 5) 2 … + (2 5) 𝑛

On remarque bien que la suite W est la somme des 𝑛 premiers termes d’une suite géométrique de 1er _{terme 1}

et de raison 𝑞 =2 5 alors : 𝑊_𝑛 = 1×[1−( 2 5) 𝑛 ] 1−2₅ = 5 3[1 − ( 2 5) 𝑛 ] alors 1 2𝑊𝑛 = 5 6[1 − ( 2 5) 𝑛 ] par suite 0 ≤ ∑𝑛_𝑘=0𝑉_𝑘 ≤ 5 6[1 − ( 2 5) 𝑛 ] alors 0 ≤ 𝑆_𝑛 ≤ 5 6[1 − ( 2 5) 𝑛 ] d) On a : 0 ≤ 𝑆_𝑛 ≤ 5 6[1 − ( 2 5) 𝑛 ] alors 0 ≤𝑆𝑛 𝑛 ≤ 5 6[1−( 2 5) 𝑛 ] 𝑛 lim 𝑛→+∞( 2 5) 𝑛 = 0 alors lim 𝑛→+∞ 5 6[1 − ( 2 5) 𝑛 ] =5 6 donc 𝑛→+∞lim 5 6[1−( 2 5) 𝑛 ] 𝑛 = 0 { 0 ≤ 𝑆𝑛 𝑛 ≤ 5 6[1−( 2 5) 𝑛 ] 𝑛 lim 𝑛→+∞ 5 6[1−( 2 5) 𝑛 ] 𝑛 = 0 ⇒ lim 𝑛→+∞ 𝑆𝑛 𝑛 = 0 Exercice 6 1) U₁ = 2U0+V0 3 = 1 3 V1 = 3U0+2V0 5 = 2 5 2) On a pour 𝑛 = 0 on a : U0 ≤ V0 vrai

Soit 𝑛 ∈ ℕ supposons que U_n ≤ V_n montrons que U_n+1≤ V_n+1 Un+1− Vn+1 = 2U_n+ V_n 3 − 3U_n+ 2V_n 5 = 10U_n+ 5V_n 15 − 9U_n+ 6V_n 15 = U_n− V_n 15 ≤ 0 donc Un+1 ≤ Vn+1 conclusion ∀𝑛 ∈ ℕ on a : Un ≤ Vn 3) U_n+1− U_n =2Un+Vn 3 − Un = −(Un−Vn)

3 > 0 donc la suite (𝑈𝑛) est croissante.

Kooli Mohamed Hechmi http://mathematiques.kooli.me/ 4 V_n+1− V_n =3Un+2Vn

5 − Vn=

3(Un−Vn)

5 < 0 donc la suite (𝑉𝑛) est décroissante.

4) La suite (𝑉_𝑛) est décroissante alors ∀𝑛 ∈ ℕ on a : V_n≤ V₀ alors ∀𝑛 ∈ ℕ on a : V_n ≤ 1 Or ∀𝑛 ∈ ℕ on a : Un ≤ Vn alors ∀𝑛 ∈ ℕ on a : Un ≤ 1

La suite (𝑈_𝑛) est croissante et majorée par donc (𝑈_𝑛) est convergente et converge vers un réel 𝐿. donc lim

𝑛→+∞𝑈𝑛 = 𝐿

La suite (𝑈_𝑛) est croissante alors ∀𝑛 ∈ ℕ on a : U_n ≥ U₀ alors ∀𝑛 ∈ ℕ on a : U_n ≥ 0 Or ∀𝑛 ∈ ℕ on a : U_n ≤ V_n alors ∀𝑛 ∈ ℕ on a : V_n ≥ 0

La suite (𝑉_𝑛) est décroissante et minorée par 0 donc (𝑉_𝑛) est convergente et converge vers un réel 𝐿′. Donc lim 𝑛→+∞𝑉𝑛 = 𝐿′ On a : lim 𝑛→+∞Un+1 = 𝐿 et lim𝑛→+∞Un+1= lim𝑛→+∞ 2Un+Vn 3 = 2β+β′ 3 donc 2L+L′ 3 = 𝐿 donc 2L + L′= 3𝐿 donc 𝐿 = 𝐿′

5) a) On a : 𝑊₀ = 9U₀+ 5V₀ = 5 supposons que 𝑊_𝑛 = 5 et montrons que 𝑊_𝑛+1 = 5 𝑊_𝑛+1 = 9U_n+1+ 5V_n+1= 9 ×2Un+Vn 3 + 5 × 3Un+2Vn 5 = 6Un+ 3Vn+ 3Un+ 2Vn= 9Un+ 5Vn = 𝑊𝑛 Conclusion ∀𝑛 ∈ ℕ on a : 𝑊𝑛 = 5 b) On a : 𝑊_𝑛 = 5 donc lim 𝑛→+∞𝑊𝑛 = 5 donc lim𝑛→+∞9Un+ 5Vn= 5 or lim 𝑛→+∞9Un+ 5Vn = 9L + 5L = 14L donc 14L = 5 donc L = 5 14 Exercice 9 1) On a 𝑈₁ = 1 , 𝑈₂ = 3 et ∀𝑛 ∈ ℕ∗ , 𝑈_𝑛+2 = 6𝑈𝑛+1− 8𝑈𝑛 et 𝑊𝑛 = 𝑈𝑛+1 𝑈𝑛 a) On a ∀𝑛 ∈ ℕ∗ _{, 𝑊} 𝑛+1 = 𝑈𝑛+2 𝑈𝑛+1 = 6𝑈𝑛+1−8𝑈𝑛 𝑈𝑛+1 = 6 − −8𝑈𝑛 𝑈𝑛+1 = 6 − 8 𝑈𝑛+1 𝑈𝑛 = 6 − 8 𝑊𝑛 b) Pour 𝑛 = 1, on a : 𝑊₁ = 𝑈2 𝑈1 = 3 1= 3 , 2 < 𝑊1 < 4 vrai Soit 𝑛 ∈ ℕ∗ _{supposons que 2 < 𝑊}

𝑛 < 4 et montrons que 2 < 𝑊𝑛+1 < 4 On a ∀𝑛 ∈ ℕ∗ _{, 𝑊} 𝑛+1 = 6 − 8 𝑊𝑛 2 < 𝑊𝑛 < 4 ⇨ 1 4≤ 1 𝑊𝑛 ≤ 1 2 ⇨ 2 ≤ 8 𝑊𝑛 ≤ 4 ⇨ −4 ≤ −8 𝑊𝑛 ≤ −2 ⇨ 2 ≤ 6 − 8 𝑊𝑛 ≤ 4 ⇨ 2 < 𝑊𝑛+1 < 4 Conclusion ∀𝑛 ∈ ℕ∗ _{on a 2 < 𝑊} 𝑛 < 4 c) ∀𝑛 ∈ ℕ∗ _{on a : 𝑊} 𝑛+1− 𝑊𝑛 = 6 − 8 𝑊𝑛− 𝑊𝑛 = 6𝑊𝑛−8−𝑊𝑛2 𝑊𝑛 = −𝑊𝑛2+6𝑊𝑛−8 𝑊𝑛 Soit 𝑝(𝑥) = −𝑥2_{+ 6𝑥 − 8 , 𝑝(𝑥) = 0 ⇔ −𝑥}2_{+ 6𝑥 − 8 = 0} ∆= 36 − 32 = 4 √∆= 2 𝑥′ =−6−2 −2 = 4 𝑥 ′′ ₌−6+2 −2 = 2 𝑥 −∞ 2 4 +∞ 𝑝(𝑥) − 0 + 0 −

Kooli Mohamed Hechmi http://mathematiques.kooli.me/ 5 donc pour tout 2 < 𝑥 < 4 on a 𝑝(𝑥) > 0 or ∀𝑛 ∈ ℕ∗ _{on a 2 < 𝑊}

𝑛 < 4 donc 𝑝(𝑊𝑛) > 0 et 𝑊𝑛 > 0 par suite 𝑊𝑛+1− 𝑊𝑛 > 0 donc la suite 𝑤 est croissante

d) La suite 𝑤 est croissante et majorée par 4 donc la suite 𝑤 est convergente et converge vers un réel 𝛼 Soit (𝑥) = 6 −8

𝑥 , 𝑓 est continue sur ℝ ∗ lim 𝑛→+∞𝑊𝑛 = 𝛼 2 < 𝛼 < 4 𝑓 est continue en 𝛼 𝑊_𝑛+1 = 𝑓(𝑊_𝑛) donc 𝑓(𝛼) = 𝛼 ⇔ 6 −8 𝛼 = 𝛼 ⇔ 6𝛼 𝛼 − 8 𝛼= 𝛼 ⇔ 6𝛼−8 𝛼 = 𝛼 ⇔ 6𝛼 − 8 = 𝛼 2 ⇔ −𝛼2_{+ 6𝛼 − 8 = 0 ⇔ 𝛼 = 2 ou 𝛼 = 4 or la suite est croissante donc 𝛼 = 4}

par suite lim

𝑛→+∞𝑊𝑛 = 4 2) On ∀𝑛 ∈ ℕ∗ _{, 𝑡} 𝑛 = 𝑊𝑛−4 𝑊𝑛−2 a) On ∀𝑛 ∈ ℕ∗ _{, 𝑡} 𝑛+1 = 𝑊𝑛+1−4 𝑊𝑛+1−2= 6− 8 𝑊𝑛−4 6− 8 𝑊𝑛−2 = 2− 8 𝑊𝑛 4− 8 𝑊𝑛 =2𝑊𝑛−8 4𝑊𝑛−8= 2(𝑊𝑛−4) 4(𝑊𝑛−2) = 1 2( 𝑊𝑛−4 𝑊𝑛−2) = 1 2𝑡𝑛 par suite la suite 𝑡 est une suite géométrique de raison 1

2

b) On a la suite 𝑡 est une suite géométrique de raison 1₂ et de premier terme 𝑡1 = 𝑊1−4 𝑊1−2= 3−4 3−2= −1 donc ∀𝑛 ∈ ℕ∗ _{on a : 𝑡} 𝑛 = (−1) ( 1 2) 𝑛−1 = − (1 2) 𝑛−1 d’autre part on a ∀𝑛 ∈ ℕ∗ _𝑡 𝑛 = 𝑊𝑛−4 𝑊𝑛−2 ⇔ 𝑡𝑛(𝑊𝑛− 2) = 𝑊𝑛 − 4 ⇔ 𝑡𝑛𝑊𝑛 − 2𝑡𝑛 = 𝑊𝑛 − 4 ⇔ 𝑊_𝑛(𝑡_𝑛 − 1) = 2𝑡_𝑛− 4 ⇔ 𝑊_𝑛 = 2𝑡𝑛−4 𝑡𝑛−1 = 2(𝑡𝑛−2) 𝑡𝑛−1 = 2(−(1₂)𝑛−1−2) −(1₂)𝑛−1−1 = 2( 1 2𝑛−1+2) 1 2𝑛−1+1 =2(1+2×2𝑛−1) 1+2𝑛−1 = 2(1+2𝑛) 1+2𝑛−1 c) On a ∀𝑛 ∈ ℕ∗ _𝑊 𝑛 = 𝑈𝑛+1 𝑈𝑛 ⇔ 𝑈𝑛+1 = 𝑈𝑛× 𝑊𝑛 𝑈₂ = 𝑈₁ × 𝑊₁ 𝑈₃ = 𝑈₂× 𝑊₂ 𝑈₄ = 𝑈₃× 𝑊₃ . . . 𝑈_𝑛−1 = 𝑈_𝑛−2 × 𝑊_𝑛−2 𝑈𝑛 = 𝑈𝑛−1× 𝑊𝑛−1 donc 𝑈_𝑛 = 𝑊₁× 𝑊₂× 𝑊₃ × … × 𝑊_𝑛−1 =2(1+21) 1+20 × 2(1+22) 1+21 × 2(1+23) 1+22 × … × 2(1+2𝑛−1) 1+2𝑛−2 = (1 + 21) ×2(1+22) 1+21 × 2(1+23) 1+22 × … × 2(1+2𝑛−1) 1+2𝑛−2 = 2𝑛−2_{(1 + 2}𝑛−1₎

Kooli Mohamed Hechmi http://mathematiques.kooli.me/ 6 d) lim 𝑛→+∞𝑈𝑛 = lim𝑛→+∞2 𝑛−2 ⏟ +∞ (1 + 2_⏟𝑛−1 +∞ ) = +∞ Exercice 11 1) On a : U_n+1− U_n = 1 +1 2+ 1 3+ ⋯ + 1 n+ 1 n+1− (1 + 1 2+ 1 3+ ⋯ + 1 n) = 1 n+1> 0 Donc la suite 𝑈 est croissante.

2) On a pour 𝑛 = 1 𝑈₂ − 𝑈₁ = 1 +1 2− 1 = 1 2 ≥ 1 2 vrai pour 𝑛 = 1 Soit 𝑛 ∈ ℕ∗ _{supposons que 𝑈}

2𝑛 − 𝑈𝑛 ≥ 1 2 et montrons que 𝑈2𝑛+2− 𝑈𝑛+1 ≥ 1 2 𝑈2𝑛+2− 𝑈𝑛+1 = 1 + 1 2+ ⋯ + 1 𝑛+ 1 𝑛+1+ ⋯ + 1 2𝑛+ 1 2𝑛+1+ 1 2𝑛+2− (1 + 1 2+ ⋯ + 1 𝑛+ 1 𝑛+1) = 1 +1 2+ ⋯ + 1 𝑛+ 1 𝑛+1+ ⋯ + 1 2𝑛− (1 + 1 2+ ⋯ + 1 𝑛) + 1 2𝑛+1+ 1 2𝑛+2− 1 𝑛+1 = 𝑈_2𝑛− 𝑈_𝑛+ 1 2𝑛+1+ 1 2𝑛+2− 1 𝑛+1 = 𝑈_2𝑛− 𝑈_𝑛+ (2𝑛+2)(𝑛+1) (2𝑛+1)(2𝑛+2)(𝑛+1)+ (2𝑛+1)(𝑛+1) (2𝑛+1)(2𝑛+2)(𝑛+1)− (2𝑛+1)(2𝑛+2) (2𝑛+1)(2𝑛+2)(𝑛+1) = 𝑈_2𝑛− 𝑈_𝑛+2𝑛2+4𝑛+2+2𝑛2+3𝑛+1−4𝑛2−6𝑛−2 (2𝑛+1)(2𝑛+2)(𝑛+1) = 𝑈2𝑛 − 𝑈𝑛+ 𝑛+1 (2𝑛+1)(2𝑛+2)(𝑛+1) Or 𝑈2𝑛 − 𝑈𝑛 ≥ 1 2 et 𝑛+1 (2𝑛+1)(2𝑛+2)(𝑛+1)> 0 alors 𝑈2𝑛+2− 𝑈𝑛+1 ≥ 1 2 Conclusion ∀𝑛 ∈ ℕ ∗ _𝑈 2𝑛 − 𝑈𝑛 ≥ 1 2 3) Supposons que la suite 𝑈 est majorée par un réel 𝐿 alors lim

n→+∞𝑈𝑛 = 𝐿 et lim𝑛→+∞𝑈2𝑛 = 𝐿 Ce qui donne lim

n→+∞𝑈2𝑛 − limn→+∞𝑈𝑛 = 0 ce qui est absurde car ∀𝑛 ∈ ℕ

∗ _{on a : 𝑈}

2𝑛− 𝑈𝑛 ≥

1 2 donc la suite 𝑈 n’est pas majorée.

4) La suite 𝑈 est croissante et n’est pas majorée alors lim

n→+∞𝑈𝑛 + ∞ Exercice 13

1) a) Pour 𝑛 = 0 on a : 𝑈₀ = 0 donc 0 ≤ 𝑈₀ ≤ 1 vrai.

Soit 𝑛 ∈ ℕ supposons que 0 ≤ 𝑈_𝑛 ≤ 1 , montrons que 0 ≤ 𝑈_𝑛+1 ≤ 1 𝑈𝑛+1 = 2𝑈_𝑛+ 3 𝑈_𝑛 + 4 = 2(𝑈_𝑛+ 4) − 5 𝑈_𝑛 + 4 = 2 + −5 𝑈_𝑛 + 4 0 ≤ 𝑈𝑛 ≤ 1 ⇒ 4 ≤ 𝑈𝑛 + 4 ≤ 5 ⇒ 1 5≤ 1 𝑈_𝑛+ 4≤ 1 4 ⇒ 1 ≤ 5 𝑈_𝑛+ 4 ≤ 5 4 ⇒ −5 4 ≤ −5 𝑈_𝑛+ 4≤ −1 3 4≤ 2 + −5 𝑈𝑛+ 4 ≤ 1 ⇒ 0 ≤ 2 + −5 𝑈𝑛+ 4 ≤ 1 ⇒ 0 ≤ 𝑈𝑛+1 ≤ 1 Conclusion ∀𝑛 ∈ ℕ on a : 0 ≤ 𝑈_𝑛 ≤ 1 𝐛) 𝑈𝑛+1− 𝑈𝑛 = 2𝑈_𝑛+ 3 𝑈𝑛+ 4 − 𝑈𝑛 = −𝑈_𝑛2− 2𝑈_𝑛+ 3 𝑈𝑛+ 4 =− (𝑈𝑛− 1) ⏞ + (𝑈_𝑛 + 3) ⏞ + 𝑈⏟ 𝑛+ 4 + < 0

Donc la suite (𝑈𝑛) est croissante.

c) La suite (𝑈_𝑛) est croissante et majorée donc (𝑈_𝑛) est convergente.

Kooli Mohamed Hechmi http://mathematiques.kooli.me/ 7 On a : 𝑈_𝑛+1 = 𝑓(𝑈_𝑛) avec 𝑓(𝑥) =2𝑥+3

𝑥+4 continue sur ℝ\{−4} on a : lim

𝑛→+∞𝑈𝑛 = 𝐿 avec 0 ≤ 𝐿 ≤ 1 donc 𝑓 est continue en 𝐿 𝑈_𝑛+1 = 𝑓(𝑈_𝑛) donc 𝑓(𝐿) = 𝐿 ⇔ 2𝐿+3

𝐿+4 = 𝐿 ⇔ 2𝐿 + 3 = 𝐿

2_{+ 4𝐿 ⇔ 𝐿}2_{+ 2𝐿 − 3 = 0} Donc 𝐿 = 1 ou 𝐿 = −3 or 𝐿 ∈ [0 , 1] donc 𝐿 = 1 donc lim

𝑛→+∞𝑈𝑛 = 1 𝟐) 𝐚) V_n= 𝑈𝑛− 1 𝑈_𝑛+ 3 Vn+1= 𝑈_𝑛+1− 1 𝑈_𝑛+1+ 3= 2𝑈_𝑛+ 3 𝑈𝑛+ 4 − 1 2𝑈_𝑛+ 3 𝑈𝑛+ 4 + 3 = 𝑈𝑛− 1 5𝑈_𝑛+ 15= 𝑈_𝑛− 1 5(𝑈_𝑛+ 3)= 1 5× 𝑈_𝑛 − 1 𝑈_𝑛 + 3= 1 5Vn Donc la suite (𝑉_𝑛) est une suite géométrique da raison 𝑞 =1

5 et de premier terme V0 = 𝑈0−1 𝑈0+3= − 1 3 b) On a : 𝑞 =1

5 donc −1 < 𝑞 < 1 donc lim𝑛→+∞Vn = 0

∑ Vk 𝑛 𝑘=0 = −1 3× 1 − (1₅₎ 𝑛+1 1 −1₅ = − 5 12× (1 − ( 1 5) 𝑛+1 ) lim 𝑛→+∞∑ Vk 𝑛 𝑘=0 = lim 𝑛→+∞− 5 12× ( 1 − (1 5) 𝑛+1 ⏞ 0 ) = − 5 12 c) On a (𝑉_𝑛) est une suite géométrique da raison 𝑞 = 1

5 et de premier terme V0 = − 1 3 donc 𝑉_𝑛 = −1 3( 1 5) n 𝑉_𝑛 =𝑈𝑛 − 1 𝑈_𝑛 + 3 ⇔ 𝑉𝑛𝑈𝑛+ 3𝑉𝑛 = 𝑈𝑛− 1 ⇔ 𝑈𝑛(𝑉𝑛 − 1) = −3𝑉𝑛− 1 ⇔ 𝑈𝑛 = −3𝑉_𝑛− 1 𝑉_𝑛− 1 ⇔ 𝑈_𝑛 = −3 [−1_{3 (}1₅₎ n ] − 1 −1_{3 (}1₅) n − 1 = ( 1 5) n − 1 −1_{3 (}1₅) n − 1 donc lim 𝑛→+∞𝑈𝑛 = lim𝑛→+∞ (1₅₎ n ⏞ 0 − 1 −1_{3 (}1₅) n ⏟ 0 − 1 = 1 Exercice 15 𝟏) 𝒂) 1 − 1 𝑘2 = (1 − 1 𝑘) (1 + 1 𝑘) = ( 𝑘 − 1 𝑘 ) ( 𝑘 + 1 𝑘 ) 𝐛) 1 − 1 22 = 1 2× 3 2 1 − 1 32 = 2 3× 4 3 . . 1 − 1 𝑛2= ( 𝑛 − 1 𝑛 ) ( 𝑛 + 1 𝑛 )

Kooli Mohamed Hechmi http://mathematiques.kooli.me/ 8 En multipliant les égalités membre à membre :

𝑈𝑛 = (1 − 1 22) (1 − 1 32) … (1 − 1 𝑛2) = 1 2× 3 2× 2 3× 4 3× … × ( 𝑛 − 1 𝑛 ) ( 𝑛 + 1 𝑛 ) = 1 2× 𝑛 + 1 𝑛 = 𝑛 + 1 2𝑛 lim 𝑛→+∞𝑈𝑛 =𝑛→+∞lim 𝑛 + 1 2𝑛 =𝑛→+∞lim n (1 +1_n) 2n = lim𝑛→+∞ 1 2+ 1 2n= 1 2 2) a) 𝑉_𝑛 = 1 + 1 √2+ 1 √3+ ⋯ 1 √𝑛 𝑉𝑛+1 = 1 + 1 √2+ 1 √3+ ⋯ + 1 √𝑛+ 1 √𝑛+1 𝑉_𝑛+1 − 𝑉_𝑛 = 1 + 1 √2+ 1 √3+ ⋯ + 1 √𝑛+ 1 √𝑛+1− (1 + 1 √2+ 1 √3+ ⋯ 1 √𝑛) = 1 √𝑛+1> 0 donc 𝑉_𝑛+1 − 𝑉_𝑛 > 0 donc la suite (𝑉_𝑛) est croissante.

b) 𝑉2𝑛− 𝑉𝑛 = 1 + 1 √2+ 1 √3+ ⋯ + 1 √𝑛+ 1 √𝑛+1+ 1 √𝑛+2+ ⋯ + 1 √2𝑛− (1 + 1 √2+ 1 √3+ ⋯ 1 √𝑛) = 1 √𝑛+1+ 1 √𝑛+2+ ⋯ + 1 √2𝑛 ⏟ 𝑛 termes or 1 √𝑛+1≥ 1 √2𝑛 1 √𝑛+2≥ 1 √2𝑛 . . 1 √2𝑛≥ 1 √2𝑛

en additionnant les égalités membre à membre : 1

√𝑛+1+ 1 √𝑛+2+ ⋯ + 1 √2𝑛≥ 𝑛 √2𝑛 or 𝑛 √2𝑛= 𝑛 √2√𝑛 = √𝑛 √2 pour 𝑛 ∈ ℕ ∗ _{on a : √𝑛 ≥ 1 ⇒} √𝑛 √2≥ 1 √2 donc 𝑉_2𝑛 − 𝑉_𝑛 ≥ 1 √2

c) La suite (𝑉𝑛) est croissante, pour montrer qu’elle diverge vers (+∞), il suffit de montrer qu’elle n’est pas majorée.

Supposons que la suite (𝑉_𝑛) est majorée alors elle converge vers un réel 𝛽 dans ce cas la suite (𝑉_2𝑛) converge aussi vers 𝛽, alors lim

𝑛→+∞𝑉𝑛 = 𝛽 et 𝑛→+∞lim 𝑉2𝑛 = 𝛽 donc 𝑛→+∞lim 𝑉2𝑛− 𝑉𝑛 = 0

or 𝑉_2𝑛− 𝑉_𝑛 ≥ 1

√2 ⇒ 𝑛→+∞lim 𝑉2𝑛− 𝑉𝑛 ≥ 1

√2 ⇒ 0 ≥ 1

√2 ce qui est absurde. Donc la suite (𝑉_𝑛) n’est pas majorée alors elle diverge vers (+∞)

Exercice 16

1) Pour 𝑛 = 0 on a : 𝑈₀ = 𝑎 et 𝑉₀ = 𝑏 et on a : 0 < 𝑎 < 𝑏 donc 0 < 𝑈₀ < 𝑉₀ vrai Soit 𝑛 ∈ ℕ supposons que 0 < 𝑈_𝑛 < 𝑉_𝑛 montrons que 0 < 𝑈_𝑛+1 < 𝑉_𝑛+1

On a 𝑈𝑛> 0 et 𝑉𝑛 > 0 ⇒ 2𝑈𝑛𝑉𝑛 > 0 et 𝑈𝑛+ 𝑉𝑛 > 0 donc 2𝑈𝑛𝑉𝑛 𝑈𝑛+𝑉𝑛 > 0 alors 𝑈𝑛+1 > 0 (1) 𝑈_𝑛+1− 𝑉_𝑛+1 = 2𝑈𝑛𝑉𝑛 𝑈_𝑛+ 𝑉_𝑛 − 𝑈_𝑛+ 𝑉_𝑛 2 = 4𝑈_𝑛𝑉_𝑛− (𝑈_𝑛 + 𝑉_𝑛)2 2(𝑈_𝑛+ 𝑉_𝑛) = 4𝑈_𝑛𝑉_𝑛− ((𝑈_𝑛)2_{+ 2𝑈} 𝑛𝑉𝑛+ (𝑉𝑛)2) 2(𝑈_𝑛+ 𝑉_𝑛)

Kooli Mohamed Hechmi http://mathematiques.kooli.me/ 9 = −((𝑈𝑛) 2_{+ 2𝑈} 𝑛𝑉𝑛+ (𝑉𝑛)2) 2(𝑈_𝑛+ 𝑉_𝑛) = −(𝑈_𝑛+ 𝑉_𝑛)2 2(𝑈_𝑛 + 𝑉_𝑛) < 0 donc 𝑈𝑛+1− 𝑉𝑛+1 < 0 ⇒ 𝑈𝑛+1 < 𝑉𝑛+1 (2) de (1) et (2) on a : 0 < 𝑈_𝑛+1 < 𝑉_𝑛+1 conclusion ∀𝑛 ∈ ℕ on a : 0 < 𝑈_𝑛 < 𝑉_𝑛 𝟐) 𝑈_𝑛+1− 𝑈_𝑛 = 2𝑈𝑛𝑉𝑛 𝑈𝑛 + 𝑉𝑛 − 𝑈_𝑛 =2𝑈𝑛𝑉𝑛− (𝑈𝑛) 2_{− 𝑈} 𝑛𝑉𝑛 𝑈𝑛 + 𝑉𝑛 = 𝑈𝑛𝑉𝑛 − (𝑈𝑛) 2 𝑈𝑛+ 𝑉𝑛 =𝑈𝑛(𝑉𝑛− 𝑈𝑛) 𝑈𝑛+ 𝑉𝑛 or 𝑈_𝑛 < 𝑉_𝑛 ⇒ 𝑉_𝑛− 𝑈_𝑛 > 0 alors 𝑈_𝑛+1− 𝑈_𝑛 > 0 alors la suite 𝑈 est croissante

𝑉_𝑛+1 − 𝑉_𝑛 = 𝑈𝑛+ 𝑉𝑛

2 − 𝑉𝑛 =

𝑈_𝑛 − 𝑉_𝑛 2

or 𝑈_𝑛 < 𝑉_𝑛 ⇒ 𝑈_𝑛− 𝑉_𝑛 < 0 alors 𝑉_𝑛+1− 𝑉_𝑛 < 0 alors la suite 𝑉 est décroissante

3) La suite 𝑉 est décroissante donc 𝑉_𝑛 < 𝑉₀ donc 𝑉_𝑛 < 𝑏 et 𝑈_𝑛 < 𝑉_𝑛 alors 𝑈_𝑛 < 𝑏 donc la suite 𝑈 est majorée

la suite 𝑈 est croissante et majorée alors la suite 𝑈 est convergente.

La suite 𝑈 est croissante donc 𝑈_𝑛 > 𝑈₀ donc 𝑈_𝑛 > 𝑎 et 𝑈_𝑛 < 𝑉_𝑛 alors 𝑉_𝑛 > 𝑏 donc la suite 𝑉 est minorée.

la suite 𝑉 est décroissante et minorée alors la suite 𝑉 est convergente. 𝟐) 𝐚) 𝑉_𝑛+1− 𝑈_𝑛+1−1 2(𝑉𝑛− 𝑈𝑛) = 𝑈_𝑛 + 𝑉_𝑛 2 − 2𝑈_𝑛𝑉_𝑛 𝑈𝑛+ 𝑉𝑛 −𝑉𝑛 − 𝑈𝑛 2 = 𝑈𝑛 − 2𝑈_𝑛𝑉_𝑛 𝑈𝑛 + 𝑉𝑛 = (𝑈𝑛) 2 _{+ 𝑈} 𝑛𝑉𝑛 − 2𝑈𝑛𝑉𝑛 𝑈_𝑛+ 𝑉_𝑛 = (𝑈_𝑛)2_{− 𝑈} 𝑛𝑉𝑛 𝑈_𝑛+ 𝑉_𝑛 = 𝑈_𝑛(𝑈_𝑛−𝑉_𝑛) 𝑈_𝑛+ 𝑉_𝑛 or 𝑈_𝑛 < 𝑉_𝑛 ⇒ 𝑈_𝑛−𝑉_𝑛 < 0 alors 𝑉_𝑛+1− 𝑈_𝑛+1−1 2(𝑉𝑛− 𝑈𝑛) < 0 ⇒ 𝑉𝑛+1− 𝑈𝑛+1 < 1 2(𝑉𝑛− 𝑈𝑛) 𝐛) ∀𝑛 ∈ ℕ on a ∶ 𝑉_𝑛+1− 𝑈_𝑛+1 < 1 2(𝑉𝑛 − 𝑈𝑛) 𝑉1− 𝑈1 < 1 2(𝑉0− 𝑈0) 𝑉₂ − 𝑈₂ <1 2(𝑉1− 𝑈1) . . 𝑉_𝑛− 𝑈_𝑛 < 1 2(𝑉𝑛−1− 𝑈𝑛−1)

En multipliant les 𝑛 inégalités membre à membre : 𝑉_𝑛− 𝑈_𝑛 < (1 2) 𝑛 (𝑏 − 𝑎) c) { 0 < 𝑉_𝑛− 𝑈_𝑛 < (1 2) 𝑛 (𝑏 − 𝑎) lim 𝑛→+∞( 1 2) 𝑛 (𝑏 − 𝑎) = 0 ⇒ lim 𝑛→+∞𝑉𝑛− 𝑈𝑛= 0

Kooli Mohamed Hechmi http://mathematiques.kooli.me/ 10 On a : la suite 𝑈 est croissante, la suite 𝑉 est décroissante 𝑈_𝑛 < 𝑉_𝑛 et lim

𝑛→+∞𝑉𝑛− 𝑈𝑛 = 0

alors les suites 𝑈 et 𝑉 sont adjacentes et elles ont la même limite 𝐿 or 0 < 𝑈_𝑛 < 𝑉_𝑛 alors 𝐿 > 0

5) a) Pour 𝑛 = 0 on a : 𝑈0𝑉0 = 𝑎𝑏 vrai

Soit 𝑛 ∈ ℕ supposons que 𝑈_𝑛𝑉_𝑛 = 𝑎𝑏 montrons que 𝑈_𝑛+1× 𝑉_𝑛+1 = 𝑎𝑏 𝑈_𝑛+1× 𝑉_𝑛+1 = 2𝑈𝑛𝑉𝑛

𝑈_𝑛 + 𝑉_𝑛×

𝑈_𝑛 + 𝑉_𝑛

2 = 𝑈𝑛𝑉𝑛 = 𝑎𝑏 Conclusion ∀𝑛 ∈ ℕ on a : 𝑈𝑛𝑉𝑛 = 𝑎𝑏.

b) On a : 𝑈𝑛𝑉𝑛 = 𝑎𝑏 alors _𝑛→+∞lim 𝑈𝑛𝑉𝑛 = 𝑎𝑏 or _𝑛→+∞lim 𝑈𝑛𝑉𝑛 = 𝐿2 alors 𝐿2 = 𝑎𝑏 alors 𝐿 = −√𝑎𝑏 ou 𝐿 = √𝑎𝑏 or 𝐿 > 0 alors 𝐿 = √𝑎𝑏 Exercice 17 1) 𝑈₁ = 𝑈0 2+𝑈0 = 1 3 𝑈2 = 𝑈1 2+𝑈1 = 1 3 7 3 = 1 7 𝑈1− 𝑈0 = 1 − 1 3= 2 3 𝑈2 − 𝑈1 = 1 7− 1 3= − 4 21 on a donc 𝑈1 − 𝑈0 ≠ 𝑈2− 𝑈1 donc la suite (𝑈𝑛) n’est pas arithmétique.

𝑈1 𝑈0 = 1 3 𝑈2 𝑈1 = 1 7 1 3 =3 7 on a donc 𝑈1 𝑈0 ≠ 𝑈2

𝑈1 donc la suite (𝑈𝑛) n’est pas géométrique

2) a) Pour 𝑛 = 0 on a : 𝑈₀ = 1 > 0 vrai

soit 𝑛 ∈ ℕ supposons que 𝑈_𝑛 > 0 montrons que 𝑈_𝑛+1 > 0 on a : 𝑈_𝑛+1 = 𝑈⏞𝑛 + 2+𝑈⏟𝑛 + ⏟ + > 0 conclusion ∀𝑛 ∈ ℕ on a : 𝑈_𝑛 > 0. b) On a 𝑈_𝑛+1− 𝑈_𝑛 = 𝑈𝑛 2+𝑈𝑛 − 𝑈𝑛 = 𝑈𝑛−2𝑈𝑛−(𝑈𝑛)2 2+𝑈𝑛 = −𝑈⏞𝑛 − (2+𝑈𝑛) ⏞ + 2+𝑈⏟ 𝑛 + < 0

donc la suite (𝑈_𝑛) est décroissante.

c) La suite (𝑈_𝑛) est décroissante et minorée par 0 donc la suite (𝑈_𝑛) est convergente et converge vers un réel 𝐿 donc lim

𝑛→+∞𝑈𝑛 = 𝐿 avec 𝐿 > 0 soit la fonction 𝑓(𝑥) = 𝑥

2+𝑥 continue sur ℝ\{−2} on a : lim

𝑛→+∞𝑈𝑛 = 𝐿 avec 𝐿 > 0 donc 𝑓 est continue en 𝐿 on a : 𝑈_𝑛+1 = 𝑓(𝑈_𝑛) on a donc 𝑓(𝐿) = 𝐿 ⇔ 𝐿

2+𝐿 = 𝐿 ⇔ 𝐿 = 2𝐿 + 𝐿

2 _{⇔ 𝐿(𝐿 + 1) = 0}

donc 𝐿 = 0 ou 𝐿 = −1 or 𝐿 > 0 donc 𝐿 = 0 donc lim

𝑛→+∞𝑈𝑛 = 0

Kooli Mohamed Hechmi http://mathematiques.kooli.me/ 11 3) a) On a : 𝑉_𝑛 = 𝑈𝑛 1+𝑈𝑛 donc 𝑉𝑛+1 = 𝑈𝑛+1 1+𝑈𝑛+1= 𝑈𝑛 2+𝑈𝑛 1+ 𝑈𝑛 2+𝑈𝑛 = 𝑈𝑛 2+𝑈𝑛 2+2𝑈𝑛 2+𝑈𝑛 = 𝑈𝑛 2+2𝑈𝑛 = 𝑈𝑛 2(1+𝑈𝑛)= 1 2𝑉𝑛

donc la suite (𝑉_𝑛) est géométrique de premier terme 𝑉₀ = 𝑈0

1+𝑈0 = 1 2 et de raison 𝑞 = 1 2 b) On a : 𝑉_𝑛 = 1 2× ( 1 2) 𝑛 = 1 2𝑛+1 on a : 𝑉_𝑛 = 𝑈𝑛 1+𝑈𝑛 ⇔ 𝑉𝑛 + 𝑉𝑛 × 𝑈𝑛 = 𝑈𝑛 ⇔ 𝑈𝑛(−𝑉𝑛+ 1) = 𝑉𝑛 ⇔ 𝑈𝑛 = 𝑉𝑛 1−𝑉𝑛 = 1 2𝑛+1 1− 1 2𝑛+1 = 1 2𝑛+1 2𝑛+1−1 2𝑛+1 = 1 2𝑛+1₋₁ c) lim 𝑛→+∞𝑈𝑛 = lim𝑛→+∞ 1 2𝑛+1 ⏟ +∞ −1 = 0 Exercice 18

1) a) la fonction 𝑥 ↦ 1 + 𝑥2 _{est dérivable sur ℝ et ∀𝑥 ∈ ℝ ; 1 + 𝑥}2_{> 0} 𝑥 ↦ √1

2(1 + 𝑥

2_{) est dérivable sur ℝ donc 𝑓 est dérivable sur ℝ}

∀𝑥 ∈ ℝ ; 𝑓′_{(𝑥) == (√}1 2(1 + 𝑥 2₎₎ ′ = 𝑥 2√1₂(1+𝑥2₎ b) Pour tout 𝑥 ∈ [0 , 1] ⇔ 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 ⇒ 0 ≤ 𝑥2 ≤ 1 ⇒ 1 ≤ 1 + 𝑥2 ≤ 2 ⇒ 1 2≤ 1 2(1 + 𝑥 2_{) ≤ 1} ⇒ 1 √2≤ √ 1 2(1 + 𝑥 2_{) ≤ 1 ⇒ 1 ≤} 1 √1 2(1+𝑥2) ≤ √2 ⇒ 0 ≤ 𝑥 √1 2(1+𝑥2) ≤ √2 ⇒ 𝑥 √1 2(1+𝑥2) ≤ √2 ⇒ 𝑓′(𝑥) ≤ 1 √2 2) a) Pour 𝑛 = 0 on a : 𝑈₀ = 0 donc 0 ≤ 𝑈₀ ≤ 1 vrai

soit 𝑛 ∈ ℕ supposons que 0 ≤ 𝑈_𝑛 ≤ 1 montrons que 0 ≤ 𝑈_𝑛+1 ≤ 1 0 ≤ 𝑈_𝑛 ≤ 1 ⇒ 0 ≤ (𝑈_𝑛)2 _{≤ 1 ⇒ 1 ≤ 1 + (𝑈} 𝑛)2 ≤ 2 ⇒ 1 2≤ 1 2(1 + (𝑈𝑛) 2_{) ≤ 1} ⇒ 1 √2≤ √ 1 2(1 + (𝑈𝑛) 2_{) ≤ 1 ⇒} 1 √2≤ 𝑈𝑛+1 ≤ 1 ⇒ 0 ≤ 𝑈𝑛+1 ≤ 1 conclusion pour tout 𝑛 ∈ ℕ on a : 0 ≤ 𝑈𝑛 ≤ 1

b) La fonction 𝑓 est continue sur [𝑈𝑛 , 1] et dérivable sur ]𝑈𝑛 , 1[ et pour tout 𝑥 ∈ [0 , 1] on a : 𝑓′(𝑥) ≤ 1 √2 ⇒ |𝑓′(𝑥)| ≤ 1 √2 donc |𝑓(𝑈𝑛) − 𝑓(1)| ≤ 1 √2|𝑈𝑛− 1| ⇒ |𝑈𝑛+1− 1| ≤ 1 √2|𝑈𝑛− 1| c) Pour tout 𝑛 ∈ ℕ on a : |𝑈_𝑛+1− 1| ≤ 1 √2|𝑈𝑛− 1| donc |𝑈₁ − 1| ≤ 1 √2|𝑈0− 1| |𝑈₂− 1| ≤ 1 √2|𝑈1− 1| . . |𝑈_𝑛− 1| ≤ 1 √2|𝑈𝑛−1− 1|

Kooli Mohamed Hechmi http://mathematiques.kooli.me/ 12 en multipliant les 𝑛 inégalités membre à membre : |𝑈_𝑛 − 1| ≤ (1

√2) 𝑛 d) { |𝑈_𝑛 − 1| ≤ (1 √2) 𝑛 lim 𝑛→+∞( 1 √2) 𝑛 = 0 ⇒ lim 𝑛→+∞𝑈𝑛− 1 = 0 ⇒ 𝑛→+∞lim 𝑈𝑛 = 1 Exercice 19 1) a) Pour 𝑛 = 0 on a : 𝑈₀ = −3 < 1 vrai

soit 𝑛 ∈ ℕ supposons que 𝑈𝑛 < 1 montrons que 𝑈𝑛+1 < 1 𝑈𝑛+1− 1 = 𝑈𝑛−8 2𝑈𝑛−9= 𝑈𝑛−8−2𝑈𝑛+9 2𝑈𝑛−9 = 1−𝑈𝑛 2𝑈𝑛−9 or 𝑈𝑛 < 1 ⇒ −𝑈𝑛 > −1 ⇒ 1 − 𝑈𝑛 > 0

d’autre part 2𝑈_𝑛 < 2 ⇒ 2𝑈_𝑛− 9 < −7 ⇒ 2𝑈_𝑛− 9 < 0 donc 1−𝑈𝑛

2𝑈𝑛−9 < 0 donc 𝑈𝑛+1− 1 < 0 ⇒ 𝑈𝑛+1 < 1 conclusion ∀𝑛 ∈ ℕ on a : 𝑈_𝑛 < 1 b) On a : 𝑈_𝑛+1− 𝑈_𝑛 = 𝑈𝑛−8 2𝑈𝑛−9− 𝑈𝑛 = 𝑈𝑛−8−2(𝑈𝑛)2+9𝑈𝑛 2𝑈𝑛−9 = −2(𝑈𝑛)2+10𝑈𝑛−8 2𝑈𝑛−9 = −2(𝑈⏞ 𝑛−1) − (𝑈𝑛−4) ⏞ − 2𝑈𝑛−9 ⏟ − > 0 donc 𝑈_𝑛+1− 𝑈_𝑛 > 0 donc la suite (𝑈_𝑛) est croissante.

c) La suite (𝑈_𝑛) est croissante et minorée donc la suite (𝑈_𝑛) est convergente et converge vers un réel 𝐿 donc lim 𝑛→+∞𝑈𝑛 = 𝐿 avec 𝐿 < 1 On a : 𝑈_𝑛+1 = 𝑓(𝑈_𝑛) avec 𝑓(𝑥) = 𝑥−8 2𝑥−9 continue sur ℝ\ { 9 2} on a : lim

𝑛→+∞𝑈𝑛 = 𝐿 avec 𝐿 < 1 donc 𝑓 est continue en 𝐿 donc 𝑓(𝑙) = 𝐿 ⇔ 𝐿−8

2𝐿−9= 𝐿 ⇔ 𝐿 − 8 = 2𝐿

2_{− 9𝐿 ⇔ 2𝐿}2_{− 10𝐿 + 8 = 0} donc 𝐿 = 1 ou 𝐿 = 4 or 𝐿 < 1 donc 𝑙 = 1 donc lim

𝑛→+∞𝑈𝑛 = 1 2) a) 𝑊_𝑛 =𝑈𝑛−1 𝑈𝑛−4 donc 𝑊𝑛+1 = 𝑈𝑛+1−1 𝑈𝑛+1−4 = 𝑈𝑛−8 2𝑈𝑛−9−1 𝑈𝑛−8 2𝑈𝑛−9−4 = −𝑈𝑛+1 −7𝑈𝑛+28 = 𝑈𝑛−1 7(𝑈𝑛−4) = 1 7𝑊𝑛 la suite (𝑊_𝑛) est une suite géométrique de raison 𝑞 = 1

7 et de premier terme 𝑊0 = 𝑈0−1 𝑈0−4= 4 7 b) 𝑊_𝑛 =4 7× ( 1 7) 𝑛 = 4 7𝑛+1 𝑊𝑛 = 𝑈𝑛−1 𝑈𝑛−4 ⇔ 𝑊𝑛× 𝑈𝑛 − 4𝑊𝑛 = 𝑈𝑛 − 1 ⇔ 𝑈𝑛(𝑊𝑛 − 1) = 4𝑊𝑛− 1 ⇔ 𝑈_𝑛 =4𝑊𝑛−1 𝑊𝑛−1 ⇔ 𝑈𝑛 = 16 7𝑛+1−1 4 7𝑛+1−1 =16−7𝑛+1 4−7𝑛+1 _𝑛→+∞lim 𝑈𝑛 = lim_𝑛→+∞ 16 7𝑛+1 ⏞ 0 −1 4 7𝑛+1 ⏟ 0 −1 = 1 3) a) On a : ∀𝑛 ∈ ℕ |𝑈_𝑛+1− 1| = |𝑈𝑛−8 2𝑈𝑛−9− 1| = | −𝑈𝑛+1 2𝑈𝑛−9| = | 𝑈𝑛−1 −2𝑈𝑛+9| = |𝑈𝑛−1| |−2𝑈𝑛+9| or 𝑈_𝑛 < 1 ⇒ −𝑈_𝑛 > −1 ⇒ −2𝑈_𝑛 > −2 ⇒ −2𝑈_𝑛 + 9 > 7 donc |−2𝑈_𝑛+ 9| = −2𝑈_𝑛 + 9 donc |𝑈_𝑛+1− 1| = |𝑈𝑛−1| −2𝑈𝑛+9 or −2𝑈_𝑛 + 9 > 7 ⇒ 1 −2𝑈𝑛+9 < 1 7 ⇒ |𝑈𝑛−1| −2𝑈𝑛+9< |𝑈𝑛−1| 7 ⇒ |𝑈𝑛+1 − 1| ≤ 1 7|𝑈𝑛− 1|

Kooli Mohamed Hechmi http://mathematiques.kooli.me/ 13 b) ∀𝑛 ∈ ℕ on a : |𝑈_𝑛+1− 1| ≤1 7|𝑈𝑛− 1| donc |𝑈₁ − 1| ≤1 7|𝑈0 − 1| |𝑈₂− 1| ≤1 7|𝑈1 − 1|

.

.

en multipliant les 𝑛 inégalités membre à membre : |𝑈_𝑛− 1| ≤ (1 7) 𝑛 |𝑈₀− 1| donc |𝑈_𝑛 − 1| ≤ 4 (1 7) 𝑛 c) { |𝑈_𝑛− 1| ≤ 4 (1 7) 𝑛 lim 𝑛→+∞4 ( 1 7) 𝑛 = 0 ⇒ lim 𝑛→+∞𝑈𝑛 − 1 = 0 donc lim𝑛→+∞𝑈𝑛 = 1 Exercice 20 1) Pour 𝑛 = 0 on a : 𝑈0 = 2 ≥ 1 vrai

soit 𝑛 ∈ ℕ supposons que 𝑈_𝑛 ≥ 1 montrons que 𝑈_𝑛+1 ≥ 1 𝑈_𝑛+1− 1 =1+(𝑈𝑛)2 2𝑈𝑛 − 1 = 1−2𝑈𝑛+(𝑈𝑛)2 2𝑈𝑛 = (1−𝑈𝑛)2 ⏞ + 2𝑈𝑛 ⏟ + ≥ 0 2) a) 𝑈_𝑛+1− 𝑈_𝑛 =1+(𝑈𝑛)2 2𝑈𝑛 − 𝑈𝑛 = 1−(𝑈𝑛)2 2𝑈𝑛 or 𝑈𝑛 ≥ 1 ⇒ (𝑈𝑛) 2 _{≥ 1 ⇒ −(𝑈} 𝑛)2 ≤ −1 ⇒ 1 − (𝑈𝑛)2 ≤ 0 ⇒ 𝑈_𝑛+1 − 𝑈_𝑛 ≤ 0 donc la suite (𝑈_𝑛) est décroissante.

b) La suite (𝑈_𝑛) est décroissante et minorée donc la suite (𝑈_𝑛) est convergente et converge vers un réel 𝐿 donc lim 𝑛→+∞𝑈𝑛 = 𝐿 avec 𝐿 ≥ 1 On a : 𝑈_𝑛+1 = 𝑓(𝑈_𝑛) avec 𝑓(𝑥) =1+𝑥2 2𝑥 continue sur ℝ ∗ on a : lim

𝑛→+∞𝑈𝑛 = 𝐿 avec 𝐿 ≥ 1 donc 𝑓 est continue en 𝐿 donc 𝑓(𝐿) = 𝐿 ⇔ 1+𝐿2

2𝐿 = 𝐿 ⇔ 1 + 𝐿

2 _{= 2𝐿}2 _{⇔ 𝐿}2 _{= 1 donc 𝐿 = −1 ou 𝐿 = 1} or 𝐿 ≥ 1 donc 𝐿 = 1 donc lim

𝑛→+∞𝑈𝑛 = 1 3) a) Pour tout 𝑛 ∈ ℕ on a : 𝑈_𝑛+1− 1 −1 2(𝑈𝑛− 1) = 1+(𝑈𝑛)2 2𝑈𝑛 − 1 − 𝑈𝑛 2 + 1 2= 1+(𝑈𝑛)2 2𝑈𝑛 − 𝑈𝑛 2 − 1 2= 1+(𝑈𝑛)2 2𝑈𝑛 − (𝑈𝑛)2 2𝑈𝑛 − 𝑈𝑛 2𝑈𝑛 = 1−𝑈𝑛 2𝑈𝑛 or 𝑈_𝑛 ≥ 1 ⇒ −𝑈_𝑛 ≤ −1 ⇒ 1 − 𝑈_𝑛 ≤ 0 ⇒ 𝑈_𝑛+1− 1 −1 2(𝑈𝑛− 1) ≤ 0 donc pour tout 𝑛 ∈ ℕ on a : 𝑈_𝑛+1− 1 ≤1

2(𝑈𝑛− 1) b) Pour tout 𝑛 ∈ ℕ on a : 𝑈_𝑛+1− 1 ≤1

2(𝑈𝑛− 1) donc 𝑈₁− 1 ≤1

2(𝑈0− 1)

Kooli Mohamed Hechmi http://mathematiques.kooli.me/ 14 𝑈₂− 1 ≤1 2(𝑈1− 1) . 𝑈_𝑛− 1 ≤1 2(𝑈𝑛−1− 1)

en multipliant les 𝑛 inégalités membre à membre : 𝑈_𝑛− 1 ≤ (1 2) 𝑛 (𝑈₀− 1) ⇒ 𝑈_𝑛− 1 ≤ (1 2) 𝑛 On a : { 0 ≤ 𝑈_𝑛 − 1 ≤ (1 2) 𝑛 lim 𝑛→+∞( 1 2) 𝑛 = 0 ⇒ lim 𝑛→+∞𝑈𝑛− 1 = 0 ⇒ 𝑛→+∞lim 𝑈𝑛 = 1 4) Pour tout 𝑛 ∈ ℕ∗on a : 𝑈_𝑛 ≥ 1 ⇒ 𝑈_𝑛 − 1 ≥ 0 et on a : 𝑈_𝑛− 1 ≤ (1 2) 𝑛 donc 0 ≤ 𝑈_𝑛− 1 ≤ (1 2) 𝑛 donc 1 ≤ 𝑈_𝑛 ≤ 1 + (1 2) 𝑛 donc 1 ≤ 𝑈1 ≤ 1 + ( 1 2) 1 1 ≤ 𝑈₂ ≤ 1 + (1 2) 2 . . 1 ≤ 𝑈_𝑛 ≤ 1 + (1 2) 𝑛

en additionnant les 𝑛 inégalités membre à membre : 𝑛 ≤ 𝑈₁+ 𝑈₂ + ⋯ + 𝑈_𝑛 ≤ 𝑛 + (1 2) 1 + (1 2) 2 + ⋯ + (1 2) 𝑛 or (1 2) 1 + (1 2) 2 + ⋯ + (1 2) 𝑛 = 1 2× ( 1−(1₂)𝑛 1−1 2 ) =1 2× ( 1−(1₂)𝑛 1 2 ) = 1 − (1 2) 𝑛 et 𝑈₁+ 𝑈₂+ ⋯ + 𝑈_𝑛 = ∑ 𝑈_𝑘 𝑛 𝑘=1 = 𝑆_𝑛 donc pour tout 𝑛 ∈ ℕ∗ _{on a : 𝑛 ≤ 𝑆}

𝑛 ≤ 𝑛 + 1 − 1 2𝑛 b) { 𝑛 ≤ 𝑆𝑛 ≤ 𝑛 + 1 − 1 2𝑛 lim 𝑛→+∞𝑛 = +∞ lim 𝑛→+∞𝑛 + 1 − 1 2𝑛 = +∞ ⇒ lim 𝑛→+∞𝑆𝑛 = +∞ pour tout 𝑛 ∈ ℕ∗ _{on a : 𝑛 ≤ 𝑆} 𝑛 ≤ 𝑛 + 1 − 1 2𝑛 ⇒ 1 ≤ 𝑆𝑛 𝑛 ≤ 1 + 1 𝑛− 1 𝑛2𝑛 { 1 ≤𝑆_𝑛𝑛 ≤ 1 +1_𝑛−_𝑛21𝑛 lim 𝑛→+∞1 = 1 lim 𝑛→+∞1 + 1 𝑛− 1 𝑛2𝑛 = 1 ⇒ lim 𝑛→+∞ 𝑆𝑛 𝑛 = 1

Kooli Mohamed Hechmi http://mathematiques.kooli.me/ 15 Exercice 21

1) a) Pour 𝑛 = 0 on a : 𝑈₀ = 1

2 donc 0 < 𝑈0 < 1 vrai

soit 𝑛 ∈ ℕ supposons que 0 < 𝑈_𝑛 < 1 montrons que 0 < 𝑈_𝑛+1 < 1 𝑈_𝑛+1 = 2𝑈⏞𝑛 + 1+(𝑈𝑛)2 ⏟ + donc 𝑈_𝑛+1 > 0 (1) 𝑈𝑛+1− 1 = 2𝑈𝑛 1+(𝑈𝑛)2− 1 = 2𝑈𝑛−1−(𝑈𝑛)2 1+(𝑈𝑛)2 = −((𝑈𝑛)2−2𝑈𝑛+1) 1+(𝑈𝑛)2 = −(𝑈𝑛−1)2 1+(𝑈𝑛)2 < 0 donc 𝑈𝑛+1− 1 < 0 (2) de (1) et (2) on a : 0 < 𝑈_𝑛+1 < 1 conclusion ∀𝑛 ∈ ℕ on a : 0 < 𝑈𝑛 < 1. b) On a 𝑈_𝑛+1− 𝑈_𝑛 = 2𝑈𝑛 1+(𝑈𝑛)2 = 𝑈𝑛−(𝑈𝑛)2 1+(𝑈𝑛)2 = 𝑈𝑛(1−(𝑈𝑛)2) 1+(𝑈𝑛)2 =𝑈⏞ 𝑛(1+𝑈𝑛) + (1−𝑈𝑛) ⏞ − 1+(𝑈𝑛)2 ⏟ + > 0 Or 0 ≤ 𝑈_𝑛 ≤ 1 ⇒ −1 ≤ −𝑈_𝑛 ≤ 0 ⇒ 0 ≤ 1 − 𝑈_𝑛 ≤ 1 ⇒ 1 − 𝑈_𝑛 > 0 alors 𝑈_𝑛+1− 𝑈_𝑛 > 0 Donc la suite 𝑈 est croissante et elle est majorée alors elle est convergente

c) On a : 𝑈_𝑛+1 = 𝑓(𝑈_𝑛) avec 𝑓(𝑥) = 2𝑥

1+𝑥2 continue sur ℝ on a : lim

𝑛→+∞𝑈𝑛 = 𝐿 avec 𝐿 ≥ 1 donc 𝑓 est continue en 𝐿 donc 𝑓(𝐿) = 𝐿 ⇔ 2𝐿

1+𝐿2 = 𝐿 ⇔ 𝐿 + 𝐿3 = 2𝐿 ⇔ 𝐿3− 𝐿 = 0 ⇔ 𝐿(𝐿2− 1) = 0

donc 𝐿 = 0 ou 𝐿 = −1 ou 𝐿 = 1 or 𝐿 ≥ 1 donc 𝐿 = 1 donc lim

𝑛→+∞𝑈𝑛 = 1 𝟐) 𝐚) 𝑉_𝑛+1 = 1−𝑈𝑛+1 1+𝑈𝑛+1 = 1− 2𝑈𝑛 1+(𝑈𝑛)2 1+ 2𝑈𝑛 1+(𝑈𝑛)2 = 1+(𝑈𝑛)2−2𝑈𝑛 1+(𝑈𝑛)2 1+(𝑈𝑛)2+2𝑈𝑛 1+(𝑈𝑛)2 = 1−2𝑈𝑛+(𝑈𝑛)2 1+(𝑈𝑛)2 1+2𝑈 𝑛+(𝑈𝑛)2 1+(𝑈𝑛)2 =(1−𝑈𝑛)2 (1+𝑈𝑛)2 = ( 1−𝑈𝑛 1+𝑈𝑛) 2 = (𝑉_𝑛)2 b) Pour 𝑛 = 0 on a : 𝑉₀ =1 − 𝑈0 1 + 𝑈₀ = 1 −1₂ 1 +1₂ = 1 2 3 2 = 1 3= ( 1 3) 1 = (1 3) 20 vrai

soit 𝑛 ∈ ℕ supposons que 𝑉_𝑛 = (1 3) 2𝑛 montrons que 𝑉_𝑛+1 = (1 3) 2𝑛+1 𝑉_𝑛+1 = (𝑉_𝑛)2 _{= ((}1 3) 2𝑛 ) 2 = (1 3) 2𝑛×2 = (1 3) 2𝑛+1 conclusion ∀𝑛 ∈ ℕ ; 𝑉_𝑛 = (1 3) 2𝑛 𝐜) 𝑃_𝑛 = 𝑉₀× 𝑉₁× 𝑉₂ × … × 𝑉_𝑛 = (1 3) 20 × (1 3) 21 × (1 3) 22 × (1 3) 23 × … × (1 3) 2𝑛 = (1 3) 1 × (1 3) 2 × (1 3) 4 × (1 3) 8 × … × (1 3) 2𝑛

Kooli Mohamed Hechmi http://mathematiques.kooli.me/ 16 = (1 3) × ( 1 3) 2 × (1 3) 4 × (1 3) 8 × … × (1 3) 2𝑛 = (1 3) 1+2+4+8+⋯+2𝑛

On remarque bien que 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ + 2𝑛 _{est la somme des 𝑛 + 1 premiers termes d’une suite} géométrique de premier terme 1 et raison 2 donc

1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ + 2𝑛 = 1 × (1 − 2 𝑛+1 1 − 2 ) = 2 𝑛+1_{− 1 donc 𝑃} 𝑛 = ( 1 3) 2𝑛+1−1 d) 𝑉_𝑛+1 = (1 3) 2𝑛+1 donc lim 𝑛→+∞( 𝑃_𝑛 𝑉_𝑛+1) = lim𝑛→+∞( (1₃) 2𝑛+1−1 (1₃₎ 2𝑛+1 ) = lim_𝑛→+∞( 1 3) 2𝑛+1−1 × (1 3) −2𝑛+1 = lim 𝑛→+∞( 1 3) 2𝑛+1−2𝑛+1−1 = lim 𝑛→+∞( 1 3) −1 = (1 3) −1 = 1 3−1= 3