Fonctions primitives 4ème Sc Techniques

Exercice 1

Déterminer une primitive pour chacune des fonctions suivantes sur un intervalle bien choisie 3 x 3 x 2 x 5 ) x ( f = 4 + 3 − 2 − ; x 3 x x 2 ) x ( f = ₃ − + ; f(x)=2cosx−3sinx ) 3 x 4 sin( 3 ) 1 x 2 cos( 2 ) x ( f =− − + + ; ₂ 2 4 x 3 x 2 x ) x ( f = − + ; x x 1 x 2 ) x ( f 2 + − − = ; 2 3 ) 2 x x )( 1 x 2 ( ) x ( f = − + − − 1 x tan 1 ) x (

f = ₂ + ; f(x)=cos2 x ; f(x)=sin2 x f(x)=cos4 x ; f(x)=tan3 x+tanx

x cos x sin x x cos x 2 ) x ( f ₂ 2 + = ; x cos 1 x cos ) x ( f ₂ − = ; f(x)=cos3 xsinx ; _{2 3} x 2 x 1 ) x ( f =− + Exercice 2

Soit fla fonction définie sur IR\

{

1

}

par ₂

2 3 ) 1 x ( 5 x x x ) x ( f − + − − =

1) Déterminer trois réels a, bet c tels que pour tout x∈IR\

{

1

}

on a : ₂

) 1 x ( c b ax ) x ( f − + + =

2) Déterminer une primitive de f sur

]

1 , +∞

[

Exercice 3

Soit fla fonction définie sur_−π π_

2 , 2 par : f(x) tan x 2x 1 2 + − =

1) Montrer que f admet au moins une primitive F sur _−π π_

2 , 2

2) Déterminer la fonction F qui prend la valeur 1 en 0

Exercice 4

Soit fla fonction définie sur

]

0 , +∞

[

par ₂

2 4 x 4 x 2 x 3 ) x ( f = − +

1) Montrer que f admet au moins une primitive F sur

]

0 , +∞

[

2) Déterminer la fonction F tel que F(1)=0 Exercice 5

Soit les fonctions f et g définies sur IR par f(x)=xcos x et g(x)=xsin x

1) Calculer f′(x)+g(x), en déduire une primitive G de g sur IR 2) Déterminer une primitive F de f sur IR

Exercice 6

Soit les fonctions f et g définies sur IR par f(x)=cos x .cos3x et g(x)=sin x .sin3x

1) a) Déterminer une primitive de chacune des fonctions f +g et f −g

b) En déduire les primitives sur IR des fonctions f et g 2) Soit la fonction h définie sur IR par :h(x)=(1+cosx)sin4x. Déterminer la primitive de h qui s’annule en π

Kooli Mohamed Hechmi _{http://mathematiques.kooli.me/}

Exercice 7

Soit fla fonction définie sur

[

0 , +∞

[

par : ₂ x 1 1 ) x ( f + =

1) Montrer fadmet une unique primitive Fsur

[

0 , +∞

[

tel que F(0)=0 2) Soit G la fonction définie sur _ π_

2 ,

0 par : G(x)=F(tanx) a) Montrer que G est dérivable sur_ π_

2 , 0 et déterminer G′(x) b) En déduire que ∀x∈_ π_ 2 , 0 on a G(x)=x

c) En déduire que la fonction U(x)=tanx est la fonction réciproque de F c) Calculer : F

( )

1 ; F

( )

3 ; _      3 1 F Exercice 8

Soit fla fonction définie sur I=

]

−1 , 1

[

par :

2 x 1 1 ) x ( f − =

1) Montrer fadmet une unique primitive Fsur I tel que F(0)=0 2) On pose ∀x∈I h(x)=F(−x)+F(x).

a) Montrer que ∀x∈I on a : h′(x)=0 b) En déduire h(x)

c) Montrer alors que la fonction Fest impaire 3) Soit G la fonction définie sur J= _−π π_

2 ,

2 par : G(x)=F(sinx) a) Montrer que G est dérivable sur Jet déterminer G′(x) b) En déduire que ∀x∈Jon a G(x)=x c) Calculer :       2 1 F ; _       2 2 F ; _       2 3 F Exercice 9

Soit f la fonction définie sur

[

-2 , 2

]

par 2

x 4 ) x ( f = −

1) a) Montrer que f admet au moins une primitive sur

[

-2 , 2

]

b) Soit F la primitive de f sur

[

-2 , 2

]

qui s’annule en 0. Etudier la parité de F

2) Soit G la fonction définie sur

[

0 , π

]

par G(x)=F(2cosx) et (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (0 ,i , j) a) Calculer      π 2 G

b) Montrer que le point      π 0 , 2

I est un centre de symétrie de (C)

c) Montrer que G est dérivable sur

[

0 , π

]

et que ∀x∈

[

0 , π

]

on a : G′(x)=−4sin2x 3) a) En déduire que ∀x∈

[

0 , π

]

on a : G(x)=π−2x+sin2x

b) Etudier les variations de G c) Calculer F(1), F(2) et F( 2)