zone III où l’écoulement est influencé par la condition limite supérieure du tube (zone proche de l’ensemenceur en particules solides).
II.4.3 Bilan d’énergie et présentation des différentes zones de l’écoulement
II.4.3.4 Zone de turbulence diffusive affine de z/D≈4.3 à 6
C’est dans cette zone que nous étudions l’interaction entre la turbulence et les particules. Cette zone est caractérisée par un équilibre particulier de la turbulence et des propriétés particulières d’homogénéité et d’isotropie.
Concernant le bilan axial des équations de transport des moments d’ordre deux, au-delà de z/D≈4.3 ou 5, chaque terme du bilan reste quasi-constant jusqu’à z/D≈6.3. Les termes de diffusion verticaux par la turbulence sont toujours plus importants que les autres termes intervenant dans les bilans axiaux, sauf vers z/D=4.3-4.6 où le reste prend des valeurs comparables aux termes de diffusion verticaux par la turbulence. Ceci est certainement du à la contribution dans le reste des termes de diffusion horizontaux par la turbulence qui dans cette zone sont supérieurs aux termes de diffusion verticaux (cf. Figures II.25 et II.26). La Figure II.20 montre que les termes de diffusion verticaux par la turbulence sont les seuls termes sources mesurés pour les bilans de u' 2z et u . La turbulence est dominée par un équilibre ' 2r diffusion-dissipation qui en valeur relative reste inchangé.
Nous avons essayé de déterminer avec le plus de précision possible l’extension de la zone de turbulence diffusive affine dans laquelle près de l’axe au moins pour les moments d’ordre 2 l’isotropie est claire et l’homogénéité valable dans la direction transversale.
La limite inférieure de cette zone (z/D≈ze/D) peut être estimée à partir des bilans
longitudinaux des moments d’ordre 2 u' 2z et u , ou à partir des profils radiaux de vitesses ' 2r moyennes et de contraintes de Reynolds. L’analyse des bilans des moments d’ordre 2 (Figure II.20) ne donne qu’une frontière approximative (z/D≈4.2-4.5). Ces bilans sont cependant délicats à obtenir avec précision, nous avons donc déterminé cette limite à partir de l’examen des propriétés spatiales attendues des moments statistiques en un point. Cette limite est normalement atteinte lorsque les écart-types de vitesse axiale et radiale sont constants et égaux dans la région centrale et que la vitesse moyenne axiale est faible et uniforme autour de l’axe du tube. Notre étude nous a permis de trouver cette limite de façon approximative: z/D≈4.3 (cf. Figure II.17b), en accord avec Risso (1994) qui trouvait z/D≈4.4.
Description des profils transversaux
Comme on peut le voir sur les Figures II.23, la vitesse moyenne axiale est négative, faible et uniforme autour de l’axe du tube : c’est un écoulement de retour faible. Par contre, les valeurs rms de vitesses axiale et radiale restent plus importantes que la vitesse moyenne axiale. Elles ont quasiment la même valeur en région centrale, du moins jusqu’à r/D=0.2. Ceci montre que l’isotropie énergétique et l’homogénéité plane sont réalisées dans cette zone de l’écoulement. Dans la direction axiale z, l’homogénéité est presque vérifiée car l’évolution
des fluctuations est assez lente pour z/D>3.5(cf. Figures II.16c et II.16d). Cette zone présente l’intérêt d’avoir un mouvement moyen négligeable tout en maintenant un niveau de turbulence relativement important.
a) b)
Figure II.23 Profils radiaux normés par Uzaxe,z=0 =U0 de la vitesse moyenne axiale ( . Uz U0 ) et des écarts-types ( * 0
2 z U ' u o 0 2 r U ' u ) a) z/D=4.4 et b) z/D=5.5
Nous avons vérifié que les cisaillements sont partout négligeables dans la zone diffusive affine, comme nous allons le voir ci-dessous dans le cas particulier des sections z/D=4.3 et z/D=5.3. L’analyse suivante va permettre en outre de mettre en évidence la propriété d’affinité de l’écoulement.
Sur la Figure II.24, les vitesses moyennes sont normalisées par la valeur absolue sur l’axe de la vitesse moyenne axiale Uz,r=0 , les moments d’ordre deux par celle de u'2z,r=0 et les
moments d’ordre 3 u'3z,r=0. On les note
+ U , V , + + 2 ' z u , + 2 ' r u , + ' r ' zu u , + 3 ' z u , + 2 ' r ' zu u . Cette présentation a permis à Risso & Fabre (1997) de mettre en évidence que l’écoulement possède une propriété d’affinité remarquable i.e. que l’évolution radiale de chaque grandeur à une cote donnée est identique à son évolution à une cote supérieure au facteur de décroissance exponentiel près. Ainsi pour calculer le profil radial de chaque moment, il suffit de connaître la valeur de ce moment à la cote initiale. On remarque que la valeur rms de vitesse axiale augmente près des parois du tube contrairement à la valeur rms de la vitesse radiale d’où la perte d’isotropie près des parois i.e. pour r/D>0.2. Le cisaillement quant à lui est négatif et
faible. Nous allons mettre en évidence dans le paragraphe suivant que cette propriété d’affinité est perdue lorsque les échelles de longueur intégrale de l’écoulement augmentent. Cette observation est conforme aux résultats de Risso et Fabre (1997) qui ont montré que l’affinité résulte du seul fait que les échelles sont figées, et n’est pas liée ni à une hypothèse de vitesse moyenne nulle, ni à une hypothèse d’isotropie ou d’homogénéité.
a) b)
c)
Figure II.24 Profils radiaux de :
: composantes axiale U+ (,) et radiale V+ (•,o) de la vitesse moyenne : moments d’ordre 2 axial
+ 2 ' z u (,), radial + 2 ' r u (•,o) et cisaillement + ' r ' zu u (♦,◊) : moments d’ordre 3 + 3 ' z u (•,o) et + 2 ' r ' zu u (,) o, , ◊ Mesures à z/D=4.3 •, , ♦ Mesures à z/D=5.3
Bilan d’énergie radial dans la zone de turbulence diffusive
Pour approfondir l’analyse de l’écoulement, nous avons estimé les différents termes intervenant dans le bilan radial des équations de transport des moments d’ordre vertical et horizontal dans la zone de turbulence diffusive. Comme sur la Figure II.20, l’ensemble des termes intervenant dans le bilan radial des équations de transport des moments d’ordre deux cités sont présentés en les normant par
( )
3/ 2 ' 2 z
u / D (ces termes sont repérés par des *).
Les termes négligeables dans les bilans radiaux sont ceux d’advection par le mouvement moyen horizontal (Azr*, Arr*) et les termes de production par le cisaillement (Prodzr*, Prodrz*).
Parmi les termes restants, les termes de diffusion horizontale de la turbulence (Tuzr*, Turr*)
sont prépondérants par rapport aux termes de diffusion verticale de la turbulence (Tuzz*,
Turz*), aux termes d’advection par le mouvement moyen vertical (Azz*, Arz*) et aux termes de
production par le mouvement moyen faisant intervenir les contraintes de Reynolds normales (Prodzz*, Prodrr*).
Le bilan radial d’énergie obtenu est comparable à celui mis en évidence et analysé par Risso (1994) en détails. Ainsi, la technique de vélocimétrie par imagerie de particules mise en œuvre dans notre étude, différente de celle utilisée dans l’étude par anémométrie laser Doppler de Risso (1994), a une résolution qui permet d’obtenir une bonne estimation des transferts énergétiques notamment.
Figure II.25 Termes intervenant dans le bilan radial de u’z2 pour z/D=4.5
■ Azz* □ Azr* ♦ Prodzz* ◊ Prodzr* ▲ Tuzz* ∆ Tuzr* ● Restez*
Figure II.26 Termes intervenant dans le bilan radial de u’r2 pour z/D=4.5