Volume constant

Les figures 5.6, 5.7 et 5.8 montrent un exemple de r´esultat obtenu, pour des valeurs de param`etres proches de celles de nos exp´eriences. Nous pr´esentons des valeurs dimensionn´ees afin de faciliter la comparaison avec les donn´ees exp´erimentales. Nous ne cherchons toutefois pas `a effectuer de comparaison quantitative pr´ecise entre r´esultats num´eriques et exp´eriences. En effet, la phase que nous mod´elisons num´eriquement est tr`es br`eve (quelques secondes), puisque nous ne traitons pas le chevauchement de la plaque par le liquide sous-jacent. Or il est difficile de d´efinir un instant initial `a la seconde pr`es, pour le code num´erique, o`u nous partons d’un profil initial qui se relaxe, mais surtout pour les exp´eriences, o`u l’ouverture du compartiment de fluide 1 ne se fait pas de fa¸con parfaitement instantan´ee. Notre objectif ici est donc de montrer que notre mod`ele explique qualitativement les ph´enom`enes mis en ´evidence en laboratoire (passage de liquide sous-jacent au-dessus de la plaque fl´echie), et que les ordres de grandeur obtenus num´eriquement sont coh´erents avec les donn´ees exp´erimentales.

Sur la Figure 5.6, un profil de plaque `a un temps quelconque est repr´esent´e avec une forte exag´eration verticale. Cela nous permet de bien visualiser la forme de la plaque, caract´eris´ee par un bombement flexural `a l’approche de la charge. Ce bombement est induit par la force de rappel hydrostatique li´ee `a la diff´erence de densit´e entre les milieux de part et d’autre

0 10 20 30 40 50 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 x (cm) z(cm) Fluide 2 Fluide 1

Fig. 5.6: Profils de la plaque ´elastique et du fluide 1 repr´esent´es avec une forte exag´eration

verticale, `a un temps t quelconque, pour un calcul effectu´e avec comme param`etres ρ1 =

1000 kg.m−₃

, ρ2 = 1100 kg.m−₃

, η1 = 20 Pa.s, ρ = 1296 kg.m−₃

, hp = 300 µm, L = 56.5 cm, W = 20 cm, E = 1.23 GPa, et ν = 0.4.

de la plaque ´elastique (fluide 2/air). Le mod`ele ´elastique classique, avec hypoth`ese de petits d´eplacements, donne une expression analytique de la position du sommet du bombement (maximum de w) et de sa longueur d’onde (e.g., Caldwell et al., 1976). Les deux sont de l’ordre d’un param`etre flexural δp qui s’exprimerait ici :

δp= Ah3 p ρ2g !1₄ .

La flexure ´elastique de la plaque n’affecte donc celle-ci que sur une distance finie, de l’ordre de δp, au-del`a du point o`u la d´eflexion passe de n´egative `a positive. Pour les valeurs de pa-

ram`etres de la Figure 5.6, δp est d’environ 5 cm.

Sur la Figure 5.7, nous montrons la situation `a un temps t1 proche de l’instant initial, et

quelques secondes plus tard, pour les mˆemes param`etres que ceux de la Figure 5.6. Puisque la flexure de la plaque n’est ressentie qu’`a une distance finie de la charge qui la cr´ee, nous ne repr´esentons qu’une partie de la plaque. Les ´echelles verticales et horizontales sont les mˆemes (pas d’exag´eration comme sur la Figure 5.6). Nous observons qu’au temps t1, la base

du fluide 1 est sous l’extr´emit´e de la plaque. Quelques secondes apr`es, la charge est ´etal´ee sur une distance plus importante, l’extr´emit´e de la plaque est remont´ee, mais la base du fluide 1

t + 9s₁ t₁ x (cm) -5 0 -5 0 z(cm) 55 45 35 25 z(cm)

Fig. 5.7: Profils de la plaque ´elastique et du fluide 1 `a deux temps diff´erents, pour les mˆemes valeurs de param`etres que sur la Figure 5.6. La plaque ´elastique remonte, mais la couche de fluide 1 en bout de plaque s’amincissant, sa base finit par ˆetre au dessus de l’extr´emit´e de la plaque. La plaque va alors ˆetre immerg´ee dans du fluide 2 et s’y enfoncer.

5.3. FLEXURE D’UNE PLAQUE LI ´EE `A L’ ´ETALEMENT D’UN FLUIDE 83

se situe au-dessus : alors, la plaque est chevauch´ee par du fluide sous-jacent.

La Figure 5.8 pr´esente l’´evolution au cours du temps de diff´erentes variables, pour le calcul qu’illustrent les figures 5.6 et 5.7. Pour la repr´esentation de l’avanc´ee xo du front du fluide 1,

l’origine du rep`ere est diff´erente de celle de l’axe Ox d´efini pour la plaque. xo correspond en

fait `a la distance sur laquelle s’´etend le fluide 1. Ici, le changement de rep`ere effectu´e se traduit donc par x → L − x. Nous proc´ederons toujours ainsi par la suite lorsque nous traiterons de l’avanc´ee du fluide 1 (ou du continent). La repr´esentation dans un graphique logarithmique de xo en fonction de t n’a pas permis de mettre en ´evidence une loi d’´echelle du mˆeme type que

celle caract´erisant l’avanc´ee d’un fluide visqueux sur un plan horizontal. L’´etalement se fait ici diff´eremment selon les param`etres utilis´es dans les calculs (notamment, selon les propri´et´es des plaques ´elastiques).

Les autres variables dont l’´evolution temporelle est montr´ee sont la profondeur wL de

Fig. 5.8: ´Evolution temporelle de a) la position du front b) la profondeur wL de l’extr´emit´e

plongeante de la plaque c) la diff´erence entre cette profondeur wL et celle de la base du

continent d) le volume de fluide (en rouge : volume total, en noir : volume s’´etalant sur la plaque). Les valeurs des param`etres sont les mˆemes que pour les figures 5.6 et 5.7. Les courbes

sont trac´ees en pointill´es `a partir de l’instant o`u du fluide sous-jacent se met `a chevaucher la

l’extr´emit´e de la plaque, la diff´erence ∆h entre cette profondeur et celle de la base du fluide 1 au-del`a de la plaque (voir Figure 5.5), et le volume de fluide 1 (volume total et volume chevauchant la plaque). Nous notons sur la Figure 5.8 que le volume total de fluide (repr´esent´e en rouge, graphe d) est bien conserv´e. La majeure partie de ce volume s’´etale sur la plaque ; le reste repose sur le fluide 2 entre l’extr´emit´e de la plaque et sa position initiale x = L. La quantit´e de fluide sur la plaque (en noir sur le graphe d) croˆıt l´eg`erement au cours du temps ; la plaque remonte (graphe b), et donc l’espace libre au-del`a de son extr´emit´e se r´eduit (voir aussi Figure 5.7). La remont´ee de la plaque r´esulte du fait que la charge de fluide est distribu´ee sur une distance de plus en plus grande. Deux effets antagonistes sont donc en jeu : la r´epartition du fluide sur une distance croissante tend `a faire remonter la plaque, mais conduit aussi `a une l´eg`ere augmentation du volume de fluide sur la plaque, ce qui pourrait accentuer la d´eflexion. Ce dernier effet n’est visiblement pas dominant, puisque nous n’observons pas de plong´ee de la plaque. Comme le montrent les figures 5.8c et 5.7, l’interface entre les fluides 1 et 2, initialement situ´ee en dessous de l’extr´emit´e plongeante de la plaque, passe `a partir d’un certain moment au dessus. D´ebute alors une phase que nous ne mod´elisons pas, au cours de laquelle une partie de la plaque se trouve immerg´ee dans du fluide 2. Une fois qu’une longueur finie de plaque est ainsi dans du fluide 2, la plaque va plonger sous l’effet de son propre poids puisque sa densit´e est sup´erieure `a celle du fluide 2. Ceci correspond `a la phase 3 observ´ee dans notre premi`ere s´erie d’exp´eriences (Section 4.3.1). Sa mod´elisation impliquerait de d´eterminer la position de deux fronts (fluides 1 et 2), et devrait tenir compte du fait que le fluide 1 se propage en partie sur la plaque et en partie sur du fluide 2.