concentration déduit des ts de N 1 déduit des ts de ( )_ le polymère PEO WSR 301 1000 0.00385 0.00349 500 0.00385 0.00339 250 0.0027 0.0024 125 0.0026 0.00197 le polymère PEO WSR 60k 1000 0.00062
Tab. 6.2: Paramètre du modèle d'haltère hookéen déduit des ts des mesures rhéologiques de
la viscosité et de la contrainte normale pour le PEO 301 WSR (Figs. 6.2 a et 6.2 b) avec les équations (6.6) et (6.7) du modèle d'haltère hookéen. Notons, que le modèle d'haltère hookéen est
pour N
1 et
identique au modèle Oldroyd-B.
constante : dans les expériences, la viscosité commence à décroître à des cisaillements un peu plus faibles que ceux à partir desquels une contrainte normale signi cative peut être détectée. L'hypothèse d'une viscosité constante mène ainsi à une légère sous estimation du temps de relaxation.
6.3 La viscosité élongationnelle
6.3.1 La viscosité élongationnelle déduite du modèle FENE
En connaissant les paramètres b et pour les solutions de PEO, il est maintenant
possible de calculer la viscosité élongationnelle d'après le modèle FENE (équations (6.3) et (6.4). Nous avons présenté les résultats pour les concentrations en PEO de 125 ppm, 250 ppm, 500 ppm et 1000 ppm sur la gure 6.3. On constate qu'en dessous d'un certain taux d'élongation, approximativement donné par l'inverse du temps de relaxation des
polymères, les résultats sont similaires à ceux d'un uide newtonien : e
= 3. Dans le
voisinage du point _ =1=2, on observe une augmentation abrupte de la viscosité élonga-
tionnelle. Pour des taux d'élongation encore plus élevés, toutes les chaînes de polymères sont étirées et la viscosité élongationnelle sature à une valeur qui peut être deux ou trois ordres de grandeur plus élevée que la valeur de la viscosité (cf g. 5.5).
Sur la gure 6.4, on voit une comparaison de
edéduite du modèle FENE et du modèle
d'haltère hookéen avec les paramètres des tableaux 6.1 et 6.2 pour une solution de PEO à 1000 ppm. A très faible taux d'élongation, les résultats des deux modèles sont en bon accord, mais la prédiction du modèle d'haltère hookéen diverge à _ = 1=(2)_ comme
90 CHAPITRE 6. LA VISCOSITÉ ÉLONGATIONNELLE 1 10 100 1000 10000 cisaillement (1/s) vi sc os it é (m P as ) (a) -20 0 20 40 60 80 100 120 100 1000 10000 cisaillement (1/s) cont ra int e norm al e (P a) (b)
Fig. 6.2: a) La viscosité en fonction du cisaillement pour les solutions de PEO de 1000 ppm
(N), 500 ppm (), 250 ppm (H) et de 125 ppm (). Les traits représentent un t des donnés ( )_ avec l'équation (6.6) du modèle d'haltère hookéen. b) La contrainte normale en fonction
du cisaillement pour les solutions de PEO de 1000 ppm (N), 500 ppm (), 250 ppm (H) et de
125 ppm (). Les traits représentent un t avec l'équation (6.7) du modèle d'haltère hookéen.
discuté avant. Ce modèle n'est donc pas adapté à décrire la viscosité élongationnelle dans une gamme de cisaillements plus large.
6.3.2 Les mesures rhéologiques
()_Les mesures rhéologiques sont eectues sur un rhéomètre du type jets opposés [62, 36] (opposed jet ou opposed nozzle rheometer). La méthode des jets opposés est la seule techniques rhéologique adaptée à la détermination de
e
( )_ pour des solutions diluées de
polymères [36]. Nous décrivons ici brièvement le fonctionnement d'un tel rhéomètre (Fig. 6.5). Un rhéomètre à jets opposés consiste en deux tuyères opposées séparées d'une faible distance et entourées de liquide. Quand le liquide est aspiré par les tuyères, un écoulement élongationnel stationnaire avec point d'arrêt est créé. Les problèmes majeurs de cette méthode sont d'un coté le fait que le polymère reste très peu de temps dans l'écoulement élongationnel. Ceci à pour conséquence qu'on n'atteint souvent pas de régime stationnaire. D'autre part un polymère qui passe proche du point d'arrêt demeure plus longtemps dans l'écoulement qu'un polymère qui passe plus loin de ce point.
Pour déterminer e
()_ , on mesure ensuite le coupleM sur un bras exible de longueur Lnécessaire pour maintenir une distance constante entre les deux tuyères. En supposant
6.3. LA VISCOSITÉ ÉLONGATIONNELLE 91 0.001 0.01 0.1 1 10 100 10 100 1000 104 vi sc os it é é longa ti onne ll e (P as ) taux d'élongation (1/s)
Fig. 6.3: La viscosité élongationnelle d'après le modèle FENE avec le paramètres découlant des
ts des données rhéologiques ( )_ et N 1
( )_ (tableau 6.1) pour 125 ppm (), 250 ppm (- -),
500 ppm (;;) et 1000 ppm (;).
surface R 2
oùR est le rayon des tuyères donne la diérence de contraintes zz ; xx [62] : zz ; xx = M LR 2 (6.9) On peut dé nir un taux d'élongation apparent [62] :
_ a = 2Q R 2 d (6.10) où Q est le débit et d la distance entre les deux tuyères. La viscosité élongationnelle e (_)=( zz ; xx )=_
a découle ensuite de ces deux équations.
Nous eectuons nos mesures sur un rhéomètre Rheometrics Fluids Analyser (RFX) de Rheometric Sienti c avec des tuyères de deux rayons diérentes, R =0:5mm et R = 0:25 mm, au département Chemical Engineering de l'université de Leuven, Belgique. Le
temps de relaxation de polymères PEO étant très court ( 1 ms), nous pensons qu'on
atteint un état stationnaire lors des expériences de jets opposés avec ce polymère. Comme les écoulements réels créés dans le rhéomètre ne sont pas purement élongationnels [36] et des eets d'inertie peuvent intervenir [36] nous utilisons, comme lors des mesures de la contrainte normale (paragraphe 5.2.4), les résultats obtenues pour de l'eau pure comme référence.
92 CHAPITRE 6. LA VISCOSITÉ ÉLONGATIONNELLE 0,01 0,1 1 10 100 10 100 1000 104 vi sc os it é é longa ti onne ll e (P a s ) taux d'élongation (1/s)
Fig. 6.4: La viscosité élongationnelle d'après le modèle FENE (équations (6.3) et (6.4)) avec
les paramètre du tableau 6.1 (;) et d'après le modèle d'haltère hookéen (équation (6.8)) avec les
paramètres du tableau 6.2 pour 1000 ppm (- -).
6.3.3 Comparaison
Dans ce paragraphe, nous allons comparer les résultats de viscosité élongationnelle déduits du modèle FENE aux résultats expérimentaux obtenus à l'aide du rhéomètre RFX. On voit cette comparaison pour une solution de PEO à 250 ppm sur la gure 6.6. On constate que la viscosité élongationnelle découlant du modèle FENE atteint une valeur de plateau à taux d'élongation élevé qui est 10 fois plus élevée que les données rhéologiques. En considérant les erreurs importantes sur la détermination de b et les
mesures rhéologiques, cet accord semble favorable. A taux d'élongation élevé, la viscosité élongationelle découlant du modèle FENE est proportionelle à etb. En considérant que
la détermination de est très précise, tandis que celle de b est entachée d'une erreur
importante nous essayons de faire varier ce dernier pour obtenir un bon accord entre les valeurs rhéologiques et la prédiction du modèle FENE. On voit sur la gure 6.6 qu'on obtient un bon accord pour b = 1000. Notons que les ts de N
1 et de
montrés sur les
gures 5.5 et 5.9 ne changent eectivement à peine quandb varie deb =10000àb=1000.
Les ts pour b = 1000 ne sont pas montrés car ils coïncident sur les gures en fait avec
les ts avec b=10000.
Le problème majeur de la détermination de
eà partir des ts des mesures rhéologiques
de etN
1 est donc le fait que ceux ci sont peu sensibles à
6.3. LA VISCOSITÉ ÉLONGATIONNELLE 93
.
d R L + couple M débit QFig. 6.5: Le rhéomètre à jets opposés. Deux tuyères de rayon R opposées sont séparées d'une
distanced. Lorsque le liquide qui les entoure est aspiré par les tuyères avec un débitQun écoule-
ment élongationnel stationnaire avec un point d'arrêt se forme. La viscosité élongationelle cause une force sur les tuyères qui est déterminée par des mesures du couple M sur un bras exible de
longueur L nécessaire pour maintenir une distance d constante entre les deux tuyères.
très exibles.
Nous essayons donc de déterminer b encore d'une autre façon. Doyle et al. [32] pro-
posent de calculer b à partir d'un modèle moléculaire en supposant que la chaîne de
polymère consiste en diérents segments, dont chacun a une longueur dite longueur de Kuhn. On trouve : b = 6M w sin 2 C 1 M 0 (6.11) où = 109:5
est l'angle du tétraèdre et M
0 la masse moléculaire d'un monomère. Le
paramètre C
1 est le nombre caractéristique d'unités de monomères dans une longueur de
Kuhn. Cette quantité est tabulée pour la plupart des polymères et peut sinon être obtenue par diusion de lumière. Pour le PEO WSR301, C
1 vaut 3.8 [72] et on trouve
b=96000.
Cette valeur est beaucoup plus élevée que la valeur b = 10000 obtenue par les ts des
données rhéologiques ( )_ etN 1
( )_ . On voit sur la gure 6.6 le résultat pour la viscosité
élongationelle du modèle FENE avec b =96000. Due à la proportionnalité de e à
b, on
observe que la valeur calculée de bmène à des résultats pour la viscosité élongationelle qui
sont maintenant deux ordres de grandeur plus larges que les données rhéologiques e
( )_ .
La méthode de Doyle et al. [32] pour calculer b a été discutée par Sridharet al. [84] qui
conclurent qu'elle surestime de façon signi cative la valeur obtenue pour b, ce qui est en
accord avec nos observations.
94 CHAPITRE 6. LA VISCOSITÉ ÉLONGATIONNELLE 0.001 0.01 0.1 1 10 100 10 100 1000 104 vi sc os it é é longa ti onne ll e (P as ) taux d'élongation (1/s)
Fig.6.6: Mesures rhéologiques de la viscosité élongationnelle pour une solution de PEO WSR301
de 250 ppm () et de PEO WSR N60K (N). Les traits représentent e
()_ déduite du modèle FENE
(équations (6.3) et (6.4)) pour le PEO WSR301 et b=10000 (;), b=1000 (;;) et b=96000
(- ;) et pour le PEO WSR N60K et b=4000 (- -) et b=50 ().
polymères très exible et introduit ainsi une erreur signi cative pour la viscosité élonga- tionnelle découlant du modèle FENE. Malgré ces di cultés et tenant compte du fait que la détermination de la viscosité élongationnelle est très di cile [42] pour des solutions diluées de polymères, l'accord sur
e
( )_ par les deux méthodes (mesures de( )_ etN 1
()_
et mesures rhéologiques directes) semble favorable.