11.3.1 Bulles dans un capillaire
Bonnet al. [13] ont eectué une étude dans un système plus simple : ils ont étudié le
déplacement de bulles d'air de longueur nie dans un capillaire circulaire rempli par des solutions de PEO. Cette situation est comparable à un doigt dans une cellule de Hele Shaw,
11.3. EXPÉRIENCES AVECDES BULLES D'AIR 157
qui peut être vu comme une bulle in nie se déplaçant dans un capillaire rectangulaire. Le système de bulles dans le capillaire circulaire permet de visualiser assez facilement le lm de uide restant entre la bulle d'air et la paroi du capillaire. De plus, Bretherton [16] a déterminé une expression analytique (équation (1.17)) de l'épaisseur t
B de ce lm dans la
limite des faibles nombres capillairesCa : t B R =0:643(3Ca) 2=3 (11.4) où R est le rayon du capillaire. Cette loi a été introduit dans le chapitre 1. Pour la
géométrie simple du capillaire circulaire, la connaissance de l'épaisseur de ce lm donne la largeur des bulles.
Bonn et al. [13] ont étudié l'évolution de l'épaisseur de ce lm en fonction de la
vitesse des bulles pour diérents concentrations de PEO en solution. La gure 11.3 montre
Fig.11.3: La forme de l'extrémité de deux bulles, à une vitesseU =45 cm/s, dans une solution
de Xanthane (8 ppm, haut) et dans une solution de PEO (50 ppm, bas) d'après Bonn et al. [13]. La viscosité des deux solutions est identique et très proche de celle de l'eau. L'épaisseur du lm de la bulle dans la solution de Xanthane est identique à celle dans l'eau tous paramètres étant égaux par ailleurs. Au contraire, on observe un épaississement dramatique du lm pour les bulles dans la solution de PEO.
deux bulles à vitesse égale, dans une solution de PEO (50 ppm) et dans une solution de Xanthane (8 ppm). Les deux solutions ont quasiment la même viscosité, très proche de celle de l'eau. La forme de la bulle observée dans la solution de Xanthane est identique à celle observée sous les mêmes conditions mais pour de l'eau. On constate, que la bulle dans la solution de PEO est étroite et allongé tandis que la bulle dans la solution de Xanthane occupe presque tout le capillaire. Les auteurs ont comparé les résultats exacts de l'épaisseur t en fonction de la vitesse avec la loi de Bretherton (équation 11.4). Ils
158 CHAPITRE 11. LE FLUIDE ÉLASTIQUE
montrent que cette loi est en bon accord avec les résultats obtenus pour de l'eau et la solution de Xanthane. Pour les solutions de PEO, on observe des épaisseurs beaucoup plus larges, en désaccord avec la loi de Bretherton. Cette épaisseur augmente avec la vitesse et la concentration des solutions.
Bonnet al.[13] expliquent cet épaississement du lm par la contrainte normale qui se
manifeste dans les solutions de PEO cisaillées. Le cisaillement se manifeste principalement dans le lm entre la bulle et la paroi, et entraîne une contrainte normale élevée qui exerce une pression supplémentaire sur le lm. Cette pression supplémentaire comprime la bulle, qui devient plus allongée, et augmente ainsi le rayon de courbure à la pointe de la bulle. Bonnet al.[13] proposent de déterminer la valeur de la contrainte normale en la
comparant avec la pression capillaire supplémentaire induite par ce changement du rayon de courbure : P c = 2 R;t ; 2 R (11.5) où R est le rayon du capillaire et t l'épaisseur du lm. Dans ce calcul, le lm très n
déjà formé pour les bulles dans l'eau est négligé. La contrainte normale découle main- tenant de : N
1
=P
c. En supposant des conditions à l'interface rigide, Bonn
et al. [13]
peuvent calculer le cisaillement dans le lm en fonction de la vitesse des bulles _ U=t.
L'hypothèse de conditions à l'interface rigide est justi ée par le fait qu'on observe une diminution de 14 % de la tension de surface pour les solutions de PEO par rapport à celle de l'eau. Ceci indique qu'une couche de polymères est adsorbée à l'interface des bulles, et peut ainsi entraîner des conditions à l'interface rigide [55]. Il est maintenant possible d'obtenir des résultats sous la forme N
1
( )_ à partir des mesures de t(U). Ces résultats
sont du même ordre de grandeur que ceux obtenus par des mesures rhéologiques [13]. Dans le cas du doigt de Saman-Taylor dans la cellule de Hele-Shaw, un mécanisme similaire pourrait aussi créer un épaississement du lm de mouillage restant entre le doigt et les parois. Cet épaississement du lm pourrait entraîner un changement de la largeur des doigts, et ainsi être responsable de l'élargissement observé dans les solutions de PEO. Nous allons par la suite tester cette hypothèse.
11.3.2 Bulles dans la cellule de Hele-Shaw
Dans l'expérience des bulles dans le capillaire, la contrainte normale, qui induit l'é- paississement du lm, a pour origine un cisaillement élevé dans ce dernier. La présence d'un tel cisaillement est moins évidente pour un doigt dans la cellule de Hele-Shaw, car l'arrière du doigt est immobile. Nous avons donc eectué une étude de bulles nies se déplaçant dans la cellule de Hele-Shaw. Pour cela, dans la cellule de Hele-Shaw, nous créons un écoulement des solution de PEO dans lequel nous injectons de l'air de sorte
11.4. L'ÉPAISSEUR DU FILM 159
que de longues bulles se forment. Ces bulles sont ensuite entraînés par l'écoulement. Nous considérons seulement des bulles dont la longueur vaut au moins 5 fois la largeur, a n de ne pas avoir d'eet de taille nie. Nous avons réalisé des expériences dans des solutions de PEO (50 ppm et 250 ppm) à diérentes vitesses. Les résultats obtenus pour les bulles ainsi que pour les doigts sont présentés sur la gure 11.2. On constate que la largeur relative des bulles rapportée à la largeur du canal, en fonction de la vitesse, est identique à celle observée pour les doigts. On peut donc supposer un cisaillement identique dans le lm de mouillage restant entre l'air et la paroi dans les deux cas. Ceci nous mène à l'hypothèse que l'épaisseur de ce lm pourrait aussi être augmentée dans le cas d'un doigt qui croit en cellule de Hele-Shaw, similaire a ce qui a été observé pour les bulles. Par la suite, nous essayerons de mesurer l'épaisseur de ce lm.