Nous déterminons la viscosité élongationnelle des mesures rhéologiques de ( )_ et
de N 1
( )_ de plus pour un autre polymère : le polymère PEO WSR N60K, de masse
moléculaire plus faible. Ce résultat sera ensuite comparé à des mesures rhéologiques di- rectes de
e
()_ . Cela permet de tester la validité de cette procédure. Malheureusement,
une contrainte normale signi cative peut être détectée seulement pour des concentrations supérieures à 1000 ppm. Les résultats des mesures rhéologiques ainsi que les ts avec les équations (6.1) et (6.2) de modèle FENE pour cette concentration et n
1 sont montrés
sur les gure 6.7 a et 6.7 b. Comme auparavant, le modèle FENE décrit les deux courbes de façon satisfaisante. Les paramètres et b découlant des ts sont présentés dans le
6.4. LE POLYMÈRE PEO WSR N60K 95 1 10 100 1000 104 vi sc os it é (m P as ) cisaillement (1/s) (a) -10 0 10 20 30 40 50 60 100 1000 104 cont ra int e norm al e (P a) cisaillement (1/s) (b)
Fig.6.7: a) La viscosité en fonction du cisaillement pour les solutions de PEO de 1000 ppm
(). Les traits représentent un t des données ( )_ avec l'équation (6.1) du modèle FENE
pour b = 4000 (;) et b = 50 (- -). b) La contrainte normale en fonction du cisaillement
pour une solutions de PEO WSR N60K de de 1000 ppm (). Le traits représentent un t avec
l'équation (6.2) du modèle FENE pour b=4000 (;) et b=50 (- -).
(M w
=210
6) que pour le polymère PEO WSR301 ( M
w
=410
6). Ceci indique que le
polymère plus court (PEO WSR N60K) est moins exible et a un rayon de gyration r g
plus faible. En utilisant un modèle simple pour la chaîne des polymères [9], une modi - cation de M
w d'un facteur 2 devrait mener à un changement de r
g d'approximativement
un facteur p
2. Le temps de relaxation de Zimm est diminué de ; 1= p 2 3 , ce qui mène à
Zimm = 0:0007. De nouveau, ceci est en bon accord avec le résultat obtenu par les ts
du modèle FENE. L'expression analytique pour b de Doyle et al. [32] (équation (6.11))
donne une dépendance linéaire de b en fonction de M
w. Le paramètre
b obtenu pour le
PEO WSR301 devrait donc être le double de celui obtenu pour le PEO WSR 60K. Ceci est en accord avec nos expériences où nous trouvons un rapport 2.5.
Les prédictions pour la viscosité élongationelle sont comparées avec les résultats des mesures rhéologiques
e
()_ sur la gure 6.6. Comme auparavant, les données expérimen-
tales sont plus petites que la prédiction du modèle FENE. Un bon accord peut être obtenu en diminuant la valeur de b à 50. On observe par contre que les ts des données
rhéologiques pour ( )_ etN 1
( )_ s'ajustent moins bien pour cette valeur deb plus petite,
contrairement à ce qui était le cas pour le PEO WSR301. Ceci est dû au fait que ceux-ci sont, pour le polymère moins exible, plus sensibles à la valeur de b.
96 CHAPITRE 6. LA VISCOSITÉ ÉLONGATIONNELLE
6.5 Conclusion
Nous avons déterminé la viscosité élongationnelle des solutions diluées de PEO par deux méthodes diérentes. Premièrement, nous avons déduit la viscosité élongationnelle des mesures de contrainte normale. Pour cela, nous utilisons une équation constitutive dans le cadre du modèle FENE-P pour calculer la viscosité et la contrainte normale en cisaillement. Ces résultats peuvent être comparés à des mesures rhéologiques en cisaille- ment a n de déterminer les paramètres ajustables de l'équation constitutive, qui sont une amplitude b et un temps de relaxation . Ensuite, la solution de l'équation constitutive
pour un écoulement d'élongation donne la viscosité élongationnelle en fonction du taux d'élongation_. Deuxièmement, la viscosité élongationnelle à été mesurée sur un rhéomètre
à jets opposés.
On observe que les données expérimentales pour la contrainte normale et la viscosité sont bien décrites par les équations du modèle FENE avec seulement deux paramètres ajustables. Dans le régime dilué, etbsont indépendants de la concentration en polymères
des solutions. En utilisant les paramètres découlant des ts de ( )_ et N 1
( )_ , on peut
calculer la viscosité élongationnelle. Ce résultat est comparé aux résultats pour la viscosité élongationnelle obtenue par des mesures rhéologiques.
A cisaillement élevé où la viscosité élongationnelle se stabilise sur un plateau, on con- state que les résultats expérimentaux sont d'une ordre de grandeur plus petits que la prédiction du modèle FENE. Lors de la détermination des paramètres etb, la valeur de peut être déterminée avec précision, tandis que les ts sont peu sensibles à la valeur de b. Ceci est dû au fait que le PEO est un polymère très exible. Pour de tels polymères, la
viscosité n'est presque pas rhéo uidi ante et la contrainte normale croît à peu près quadra- tiquement avec le cisaillement. Un tel comportement est prédit par le modèle Oldroyd-B. Ce modèle découle du modèle FENE dans la limiteb !1et ne contient que le paramètre . Ceci explique pourquoi une modi cation de b a peu d'in uence sur les ts des données
rhéologiques. La détermination debest donc entachée d'erreur signi cative. La valeur deb
calculée d'après un modèle moléculaire s'avère être encore plus élevée que celle découlant des ts des données rhéologiques en cisaillement. Cette méthode est en eet connue pour donner des valeurs trop élevés pour b. La détermination de b reste ainsi di cile. La vis-
cosité élongationnelle étant proportionelle à b, ceci induit une erreur signi cative sur la
détermination de la viscosité élongationnelle et constitue ainsi le problème majeur de cette méthode. Notons qu'il n'est pas possible de déterminer la viscosité élongationelle dans le cadre du modèle Oldroyd-B, car ce modèle prédit une divergence non physique de cette viscosité à cisaillement ni. Il est donc essentiel de déterminer b. En tenant compte
6.5. CONCLUSION 97
ode rhéologique de la viscosité élongationnelle, l'accord entre la viscosité élongationnelle découlant du modèle FENE et des mesures rhéologiques apparaît favorable pour les solu- tions de PEO. Il semble que la détermination de la viscosité élongationnelle à partir des mesures de N
1 et de
permet d'obtenir une bonne estimation de l'ordre de grandeur de
cette quantité.
Ce serait intéressant de réaliser des expériences dans des solutions de polymères semi- exibles, pour lesquelles on devrait trouver des valeurs plus faibles du paramètrebque dans
les solutions de PEO, polymère extrêmement exible. Dans cette limite, la détermination de b devrait être plus exacte, ce qui permettra de prédire la viscosité élongationnelle avec
plus de précision. En passant des polymères peu exibles à des polymères très exibles, on pourrait obtenir des informations supplémentaires sur le comportement de b en fonction
de la exibilité. Ceci pourrait ainsi permettre, par extrapolation, d'obtenir une meilleure précision sur cette valeur pour les polymères très exibles. Ceci nous mènera vers une meilleure détermination de la viscosité élongationnelle dans ces polymères très exibles.
Troisième partie
La loi de Darcy pour un uide
rhéo uidi ant
Dans une cellule de Hele-Shaw, la loi de Darcy (équation (1.1)) relie le gradient de pression appliqué entre l'entrée et la sortie à la vitesse des doigts visqueux. Comme nous l'avons vu dans le paragraphe 1.2, elle est l'une des équations de base permettant de décrire l'instabilité de Saman-Taylor. Elle est donc nécessaire pour tout traitement théorique de l'instabilité dans le cadre d'une approche à deux dimensions. Dans la plupart des cas, la même approche est choisie pour les uides non-newtoniens. Dans ce chapitre, nous allons discuter les modi cations nécessaires de cette loi pour l'adapter à un uide rhéo uidi ant. Cet étude est aussi présentée dans Lindner et al. [56].
Avant d'aborder l'étude de la loi de Darcy, nous décrirons le montage expérimental utilisé lors de toutes les expériences de digitation visqueuse présentées dans la suite.
7.1 Le montage expérimental
Les expériences de digitation visqueuse sont eectuées dans une cellule de Hele-Shaw rectangulaire (Fig. 7.1) qui consiste en deux plaques de verre séparées d'un intervalle de faible épaisseur. Les dimensions du canal ainsi formé sont variables : la largeur peut prendre les valeursW =2cm,W =4cm etW =8cm et l'épaisseur entre les plaques peut
varier de b =0:125 mm à b =1mm. La longueur de canal est de l =75 cm. L'épaisseur
des plaques de verre est de 1.5 cm a n d'éviter une déformation des plaques au cours de l'expérience. Nous disposons de plus d'une petite cellule de Hele-Shaw de longueur
l =27 cm, dont les autres dimensions sont similaires à la cellule décrite ci-dessus. Cette
cellule ne sera utilisée que pour les expériences dans les uides à seuil (chapitre 10). Le canal est rempli avec le uide complexe de viscosité . Ce uide est ensuite poussé
102 CHAPITRE 7. LA LOIDE DARCY POURUN FLUIDE RHÉOFLUIDIFIANT CCD p p0 b ∆l w W
Fig.7.1: La cellule de Hele-Shaw constituée par deux plaques de verre séparées d'un intervalle
dont l'épaisseurbest faible devant sa largeur W. Cette cellule est remplie avec le uide complexe
de viscosité qui est ensuite poussé avec de l'air. La tension de surface entre les deux uides
est désignée par. Une caméra permet d'enregistrer le mouvement du doigt, dont on peut ensuit
déterminer la largeur relative =w=W en fonction de sa vitesse U. Des mesures de la pression
appliquée p permettent de déterminer le gradient de pression entre l'entrée et la sortie de la
cellule : rp=(p;p 0
)=l.
avec de l'air comprimé dont on néglige la viscosité. La tension de surface entre les deux uides est désignée par . La croissance du doigts est enregistrée par une caméra reliée
à un magnétoscope. On peut suivre le mouvement du doigt le long de la cellule avec la caméra. Un chronomètre a che le temps sur les enregistrements au cours de l'expérience. On détermine ainsi la largeur des doigtswen fonction de leur vitesseU. La largeur relative
des doigts est dé nie comme : =w=W.
De plus, il est possible de déterminer le gradient de pression appliqué. Ce gradient de pression est dé ni comme : rp =p=l. La pression p de l'air comprimé qui pousse la
solution de polymères est déterminée à l'aide d'une colonne d'eau. Ceci permet d'obtenir une précision de 0.01 bar. La sortie de la cellule est à la pression atmosphérique p
0. Dans
le doigt, la pression peut être considérée comme étant constante et égale à la pression appliquée p, ce qui donne p =p
0
;p. l est la distance entre la pointe du doigt et la
sortie de la cellule (voir gure 7.1).
Notons que la pression appliquéepest maintenue constante au cours d'une expérience
pendant que l diminue quand le doigt avance dans la cellule. Le gradient de pression
augmente donc lors d'une expérience. D'après le loi de Darcy (équ. (1.1)) dont nous allons tester la validité pour les uides non-newtoniens dans ce chapitre, la vitesse des
7.2. LA LOI DE DARCYPOUR UN FLUIDE NEWTONIEN 103
doigts U est proportionelle au gradient de pression rp. Une augmentation de rp au
cours de l'expérience entraîne donc une accélération du doigt. Nous avons véri é que les résultats ainsi obtenus sont identiques à ceux obtenus en régime de vitesse stationnaire, sous condition de ne pas considérer les résultats obtenus très proche de la sortie (10cm)
où le gradient de vitesse diverge.