3.4 Mesure du facteur de qualit´e
3.4.2 Viscosim´etrie rapide
. Cette condition impose aussi , car on a
. Dans ce cas, le d´ecalage de la fr´equence de r´esonance est faible et son expression devient :
Avec ces deux conditions, on peut montrer que la raie a une forme lorentzienne pr`es du pic :
pour
La m´ethode appropri´ee pour d´eterminer la largeur `a mi-hauteur du pic consiste alors `a ajuster la r´eponse en fr´equence du viscosim`etre `a une courbe lorentzienne.
3.4.2 Viscosim´etrie rapide
Lors d’une exp´erience de fusion rapide, la vitesse de relaxation de l’aimantation impose une cadence d’acquisition des donn´ees ´elev´ee. Comme nous l’avons vu au paragraphe pr´ec´edent, la mani`ere la plus naturelle pour mesurer le facteur de qualit´e du fil vibrant consisterait `a balayer la fr´equence d’excitation autour de la fr´equence de r´esonance, et `a mesurer la largeur du pic `a mi-hauteur. Cependant, cette m´ethode est trop lente pour les mesures de viscosit´e pendant
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VISCOSIMETRIE´ une exp´erience de fusion rapide : pour obtenir un rapport signal sur bruit raisonnable, on doit int´egrer la tension mesur´ee aux bornes du fil (apr`es d´emodulation) pendant 0,1 s. Sachant qu’il faut d´ecouper la gamme de fr´equence balay´ee en
intervalles pour ajuster correctement une lorentzienne, la dur´ee totale d’une mesure est
s. Cette dur´ee n’est pas compl`etement n´egligeable compar´ee `a la vitesse `a laquelle la viscosit´e de l’ He liquide varie pendant une exp´erience (typiquement
s).
Pour faire des mesures rapides, il est plus facile d’enregistrer l’amplitude des oscillations du fil `a une fr´equence donn´ee. En principe, les composantes en phase et en quadrature de cette amplitude contiennent toute l’information, car on connaˆıt la forme th´eorique du pic de r´esonance. Une solution serait de mesurer la phase de l’amplitude `a r´esonance qui est directement proportionnelle au facteur de qualit´e. L’inconv´enient de cette m´ethode est qu’elle n´ecessite un dispositif pour suivre la fr´equence de r´esonance qui change lorsque la viscosit´e varie. La solution que nous avons adopt´ee est plus simple : elle consiste `a mesurer les composantes en phase et en en quadrature de la r´eponse de l’oscillateur excit´e `a une fr´equence fixe.
Nous allons voir que, lorsque le fluide est peu visqueux, il existe une fr´equence fixe
qui correspond toujours `a la mi-hauteur du pic de r´esonance. La r´eponse en phase d’un fil vibrant excit´e `a la fr´equence
est donc proportionnelle `a son facteur de qualit´e. Dans un deuxi`eme temps, nous allons mettre en ´evidence une propri´et´e plus g´en´erale, dans la limite des r´esonances ´etroites : Il existe une quantit´e ind´ependante de la fr´equence d’excitation qui est proportionnelle `a la largeur du pic de r´esonance. Cette propri´et´e n’est pas limit´ee aux fluides peu visqueux. C’est celle que nous avons exploit´ee pour effectuer nos mesures rapides.
Pic de r´esonance dans un fluide peu visqueux :
Lorsque la viscosit´e du fluide augmente, le pic de r´esonance s’´elargit tout en se d´ecalant vers les basses fr´equences. Dans un fluide peu visqueux, la r´esonance a une propri´et´e particuli`ere : La fr´equence correspondant `a la mi-hauteur du pic est fixe (cf. figure 3.8) :
Plac¸ons-nous `a la fr´equence correspondant `a la r´esonance du fil dans un fluide sans viscosit´e. Le pic de r´esonance n’est pas ´elargi, mais la fr´equence est d´ecal´ee par rapport `a la r´esonance dans le vide :
3.4 Mesure du facteur de qualit´e 69
1 0 6 0 0 1 0 7 0 0 1 0 8 0 0 1 0 9 0 0 1 1 0 0 0
w
(Hz) phase/Q (unitŽs arbitraires)
w
FIG. 3.8 – Pics de r´esonance normalis´es par le facteur de qualit´e : Dans le r´egime peu visqueux, le
d´ecalage de la fr´equence par rapport `a
est ´egal `a la demi-largeur du pic.
rapport `a la fr´equence :
Or, au paragraphe pr´ec´edent, nous avons vu que, dans la limite du fluide peu visqueux, les composantes r´eactive et dissipative de la force hydrodynamique avaient la mˆeme amplitude :
L’´equation pr´ec´edente montre que, dans ce r´egime, la fr´equence
correspond toujours `a la mi-hauteur du pic :
Cette conclusion peut ˆetre formul´ee autrement : le d´ecalage de la fr´equence par rapport `a
est ´egal `a la demi-largeur du pic. Ainsi, la r´eponse en phase du fil vibrant excit´e `a la fr´equence
donne directement acc`es au facteur de qualit´e.
Cette propri´et´e est int´eressante pour l’acquisition des donn´ees, mais elle est limit´ee au cas des fluides peu visqueux. C’est une g´en´eralisation de cette m´ethode que nous avons utilis´ee. Elle fait l’objet du paragraphe suivant.
Mesure rapide des r´esonances ´etroites :
Dans la pratique, nous n’avons pas toujours affaire `a un fluide peu visqueux. La m´ethode d´ecrite dans le paragraphe pr´ec´edent est alors incorrecte. Nous allons montrer ici que, si la
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VISCOSIMETRIE´ r´esonance est ´etroite, il existe une quantit´e ind´ependante de la fr´equence d’excitation
mais proportionnelle `a la largeur du pic de r´esonance :
Lorsqu’on excite le fil `a une fr´equence quelconque
au voisinage du pic, la tension induite `a ses bornes s’´ecrit (cf. 3.3) :
avec pr´efacteur constant. Notons:
On constate que la quantit´e
est ind´ependante de la fr´equence d’excitation et qu’elle s’identifie `a la largeur `a mi-hauteur du pic:
La d´ependance en fr´equence de la r´eponse de l’oscillateur n’apparaˆıt que dans
, qui mesure le d´ecalage entre la fr´equence de r´esonance et la fr´equence d’excitation:
Insistons sur le fait que ces relations sont valables mˆeme en dehors du r´egime peu visqueux, la seule condition requise ´etant de travailler avec une r´esonance ´etroite.
On peut repr´esenter la r´eponse du viscosim`etre excit´e `a une fr´equence
fixe par un point dans le plan
. Lorsque la viscosit´e change, ce point se d´eplace sur une droite dans le plan
dans le r´egime peu visqueux, o`u le d´ecalage de la fr´equence est ´egal `a la demi-largeur du pic :
L’ordonn´ee `a l’origine de la droite, c’est-`a-dire la limite `a viscosit´e nulle (
), mesure l’´ecart entre la fr´equence d’excitation
et la fr´equence
. Cette repr´esentation est fort utile pour connaˆıtre “l’´etat” du viscosim`etre (c’est-`a-dire sa fr´equence de r´esonance dans un fluide sans viscosit´e). Au-del`a du r´egime peu visqueux, la relation entre
et
n’est plus lin´eaire.
invX (Hz) invY (Hz) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 0 10 20 30 40 50 60 70 80 2(w-w¥)
FIG. 3.9 – R´eponse du viscosim`etre dans le plan
/
: Le viscosim`etre est excit´e `a fr´equence fixe. Sa r´eponse est repr´esent´ee par un point dans le plan
. Lorsque la viscosit´e change, ce point se d´eplace sur une droite. L’extrapolation de cette droite `a
) donne l’´ecart entre la fr´equence d’excitation et la fr´equence
.
Ainsi, pendant une exp´erience de fusion rapide, il nous suffit de mesurer les deux composantes de la tension aux bornes du fil vibrant excit´e `a une fr´equence fixe pour acc´eder au facteur de qualit´e de la r´esonance. Nous choisissons de pr´ef´erence une fr´equence proche de
pour que la tension induite ait des composantes en phase et en quadrature approximativement proportionnelles au facteur de qualit´e.
CHAPITRE 4 :
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