2.5 Cellule prototype
2.5.3 Homog´en´eit´e thermique
). Au 5.1, o`u le probl`eme est trait´e en d´etail, nous montrons que, compte tenu de la mauvaise diffusivit´e de spin et du relativement court dans notre cellule, ces gradients ne sont pas n´egligeables. Nous avons donc essay´e de r´ealiser la fente la plus petite possible en prenant
=0,2 mm.
2.5.3 Homog´en´eit´e thermique
Comme nous ne mesurons pas la viscosit´e et la temp´erature exactement au mˆeme endroit, nous devons veiller `a minimiser les gradients thermiques dans la cellule. La pr´esence du fritt´e garantit en principe une bonne homog´en´eit´e thermique. Cependant, la cellule prototype que nous avons d´ecrite diff`ere de l’exemple du 2.3 par deux aspects : D’une part, la fente peut perturber l’homog´en´eit´e thermique; d’autre part, la cellule ´etant refroidie par le haut, des gradients thermiques verticaux peuvent apparaˆıtre. Nous commencerons par traiter le probl`eme des gradients initiaux engendr´es par la fusion. Puis nous estimerons l’amplitude des gradients cr´e´es par la relaxation de l’aimantation.
Gradients initiaux
Au temps de relaxation des gradients initiaux dans le fritt´e ( 0,4 s vers 100 mK), nous devons ajouter la contribution de la fente. En supposant en premi`ere approximation que la temp´erature est fix´ee par le fritt´e, le temps de thermalisation d’une fente de largeur
=0,2 mm est estim´e `a s.
Les chiffres que nous venons de discuter correspondent au temps de relaxation des gradients transverses. Dans le cas o`u la conduction thermique des parois de la cellule est bien meilleure que celle du composite fritt´e- He, le temps de relaxation des gradients verticaux d´epend principalement des parois. Pour savoir si la conduction des parois est un facteur limitant, nous pouvons estimer le temps de diffusion vertical en supposant que les gradients transverses sont n´egligeables. Dans cette hypoth`ese, pour une cellule de 1cm de long avec des parois en argent massif, dont la conduction thermique est typiquement 300 fois meilleure que celle de l’argent fritt´e, le temps de thermalisation vertical est
s. Ce chiffre, qui infirme notre hypoth`ese initiale, montre seulement que nous ne sommes pas limit´es par la longueur de la cellule.
2.5 Cellule prototype 51 DT L L Q Q Q Q Q Q Q Parois fente frittŽ 3He R R R R R ka ka ka ka ka k3 k3 k3 k3 k3 k3 x 0
FIG. 2.7 – Profil de temp´erature dans la cellule : La relaxation des spins produit peu de gradients
thermiques dans la fente. Ceux-ci se trouvent principalement dans le fritt´e. Dans le circuit thermique, est la conductivit´e de l’ He, est la conductivit´e de l’argent fritt´e, et
est la r´esistance de Kapitza.
Chaleur relax´ee par les spins
Compte tenu des temps que nous venons d’estimer, la relaxation des gradients thermiques initiaux ne devrait pas poser de probl`eme pendant nos exp´eriences. En revanche, la relaxation de l’aimantation engendre des gradients pendant toute la dur´ee de l’exp´erience. De ce fait, il est imp´eratif de disposer d’un thermom`etre `a l’int´erieur de la fente pour mesurer pr´ecis´ement la temp´erature de l’ He pr`es du viscosim`etre; un thermom`etre ancr´e sur les parois de la cellule fournirait des indications erron´ees puisque la temp´erature du centre de la cellule est plus ´elev´ee que celle des parois pendant la d´epolarisation.
Pour faire une mesure de temp´erature correcte, il faut de plus placer le thermom`etre int´erieur judicieusement dans la fente. Pour cela, nous devons pr´eciser la forme des gradients thermiques dans la cellule pendant la relaxation de l’aimantation : Nous verrons au chapitre 4 que les temps de relaxation internes `a la cellule sont tr`es inf´erieurs `a
. Comme au 2.3 nous pouvons donc calculer les gradients thermiques dans un mod`ele statique, en supposant pour simplifier que la chaleur est lib´er´ee uniform´ement dans la cellule. Les r´esistances thermiques intervenant dans le probl`eme sont repr´esent´ees sur la figure 2.7 :
52
2
CONTRAINTES EXPERIMENTALES´ est la conductivit´e de l’ He,est la conductivit´e de l’argent fritt´e, et
est la conductance de Kapitza par unit´e de volume de liquide. est la chaleur lib´er´ee lors de la relaxation de l’aimantation par unit´e de volume de liquide. La diff´erence de temp´erature entre un thermom`etre situ´e `a l’abscisse et les parois est donn´ee par :
(2.1) o`u #
est la longueur caract´eristique sur laquelle la chaleur lib´er´ee diffuse dans l’ He avant de passer dans le fritt´e (la r´esistance thermique de l’ He et la r´esistance de Kapitza ´etant ´egales sur cette ´echelle de longueur).
50% le taux de remplissage du fritt´e.
Dans cette expression, les deux premiers termes correspondent `a l’´el´evation de temp´erature dans les pores du fritt´e. Les trois derniers donnent la contribution suppl´ementaire de la chaleur lib´er´ee dans la fente elle-mˆeme. Seul le dernier d´epend de la position lat´erale du thermom`etre, et varie entre 0 et . Comme et
, ce terme est toujours largement inf´erieur `a la contribution de la diffusion dans le fritt´e. Ainsi, le centrage du thermom`etre dans la fente a peu d’importance. En revanche, des gradients thermiques verticaux peuvent fausser notre mesure de temp´erature.
Pour estimer l’importance de ces gradients thermiques verticaux, nous nous plac¸ons dans le meilleur cas :
i La source de chaleur fournie par la relaxation de l’aimantation, bien qu’´eventuellement r´epartie non-uniform´ement dans la cellule, a le mˆeme profil dans chaque “tranche”. ii La r´esistance transverse effective du fritt´e rempli d’ He est uniforme selon l’axe de la
cellule.
iii La conduction des parois est bien meilleure que celle du fritt´e.
En simplifiant le probl`eme thermique r´eparti, nous pouvons repr´esenter cette situation `a l’aide du sch´ema ´electrique ´equivalent de la figure 2.8:
Dans ce sch´ema,
correspond `a la r´esistance verticale du fritt´e impr´egn´e d’ He, et
prend en compte la diffusion dans la fente, la r´esistance de Kapitza, et la conduction dans le fritt´e. L’hypoth`ese (iii) nous permet de n´egliger la diffusion verticale dans le fritt´e
Rparois Rverticale RlatŽrale RlatŽrale Viscosim•tre Thermom•tre T=0 Qspins Qspins 2Qspins Qspins
FIG. 2.8 – Sch´ema ´electrique ´equivalent au probl`eme thermique : Si
, la diff´erence de temp´erature entre le thermom`etre et le viscosim`etre est impos´ee par le profil de temp´erature le long des parois.
de la fente, et la diff´erence de temp´erature entre le thermom`etre et viscosim`etre est impos´ee par le profil de temp´erature le long des parois.
Reprenons la g´eom´etrie d´ecrite plus haut : Dans un compartiment fritt´e de 4 mm de diam`etre et de hauteur
=1 cm contenant 0,06 cm d’ He, la puissance lib´er´ee au d´ebut de la relaxation des spins est
W pour un =70 s. Si la conduction verticale ´etait assur´ee par le fritt´e seul, le gradient vertical serait
0,3 K. Avec des parois de mˆeme section de conductivit´e thermique 300 fois meilleure, le gradient vertical sur toute la longueur de la cellule vaut seulement 1 mK. Ainsi, l’emploi de parois dont la conductivit´e thermique est tr`es ´elev´ee permet de minimiser la diff´erence de temp´erature entre le thermom`etre et viscosim`etre pendant la relaxation de l’aimantation, bien que la conduction verticale du fritt´e soit m´ediocre.
Nous reviendrons en d´etail sur ces probl`emes d´elicats: Le 4.5 illustre comment ils se manifestent pendant nos exp´eriences. La partie 5.2 est consacr´ee `a la simulation num´erique des gradients thermiques dans la cellule.
CHAPITRE 3 :
Viscosim´etrie
57
3
VISCOSIMETRIE´
Le viscosim`etre que nous avons utilis´e est un fil m´etallique courb´e en demi-cercle plong´e dans l’ He liquide. Ce fil peut ˆetre excit´e `a r´esonance et le fluide environnant amortit ses oscillations. Dans le 3.1 nous rappelons les r´esultats classiques concernant le comportement m´ecanique du fil vibrant ; on trouvera un traitement plus d´etaill´e dans le premier appendice de [Carless83].
Une partie importante de ce chapitre est consacr´ee aux effets de taille finie. Ces effets, qui interviennent lorsque le rayon du fil est comparable `a la taille du milieu fluide, ont ´et´e particuli`erement handicapants pour l’interpr´etation des mesures de viscosit´e dans la premi`ere cellule. Dans la derni`ere partie, nous d´ecrivons la m´ethode que nous avons utilis´ee pour mesurer l’amortissement du fil vibrant pendant les exp´eriences de fusion rapide.
3.1 Le viscosim`etre `a fil vibrant
La d´eformation du fil
au cours du temps est d´ecrite par une superposition de modes propres de la forme (o`u
est l’abscisse curviligne le long du fil).
La th´eorie de l’´elasticit´e permet de d´eterminer les modes de flexion avec, en particulier :
y(x,t)
x
58
3
VISCOSIMETRIE´- La forme du premier mode :
- Sa fr´equence naturelle :
- L’´equation du mouvement de ce mode en pr´esence d’une force excitatrice
: (3.1) avec :
: module d’Young du fil
: rayon du fil
: masse volumique
: amplitude du mode de vibration
=
: force excitatrice par unit´e de longueur projet´ee sur le premier mode
=
: masse lin´eique du fil
Cette derni`ere ´equation montre que le fil se comporte comme un oscillateur harmonique. Dans le vide, la r´eponse en fr´equence d’un tel syst`eme pr´esente un pic de r´esonance, la largeur du pic ´etant fix´ee par l’amortissement intrins`eque du fil.
Dans un liquide, un fil oscillant `a la pulsation
est soumis de plus `a une force de frottement visqueux. Dans le r´egime des petites oscillations ( ), cette force est proportionnelle `a la masse de fluide d´eplac´ee
. Le point important est qu’elle poss`ede des composantes en phase et en quadrature avec le mouvement du fil d´ecrites par des coefficients positifs sans dimension et
qui d´ependent de la viscosit´e du fluide :
(3.2)
La solution de l’´equation du mouvement (3.1) est alors :
(3.3)
3.1 Le viscosim`etre `a fil vibrant 59 w Hz mV 10800-12 10820 10840 10860 10880 10900 10920 10940 -8 -4 0 4 8 12 16 Liquide Vide
FIG. 3.2 – Effet des forces hydrodynamiques : La fr´equence de r´esonance diminue et le pic est ´elargie.
Sur cette expression, on voit que l’effet de la viscosit´e est de deux ordres :
- La composante r´eactive tend `a diminuer la fr´equence de r´esonance :
(3.4)
- La dissipation visqueuse introduit un amortissement suppl´ementaire qui se traduit par un ´elargissement du pic de r´esonance (c’est-`a-dire diminue le facteur de qualit´e ) (cf. figure 3.2) : (3.5)
A ce stade, on peut discuter l’avantage d’utiliser un fil courb´e plutˆot qu’un fil droit :
- La fr´equence de r´esonance naturelle d’un fil courb´e ne d´epend que de sa g´eom´etrie et des caract´eristiques m´ecaniques du mat´eriau. Dans le cas d’un fil droit, elle d´epend aussi de sa tension ; dans la pratique, la fr´equence de r´esonance d’un fil droit est difficile `a contrˆoler du fait des contractions thermiques.
- En toute rigueur, les modes de d´eformations transverses d’un fil droit sont deux fois d´eg´en´er´es (cf. 3.3). Si le fil n’est pas parfait, la d´eg´en´erescence est lev´ee et on peut observer deux pics de r´esonance si la force excitatrice ne co¨ıncide pas exactement avec une direction propre du fil. Lorsque les pics sont rapproch´es, il devient plus difficile de mesurer le facteur de qualit´e des r´esonances. Ce probl`eme n’intervient pas avec un fil courb´e car les modes de d´eformation dans le plan du fil ont des fr´equences beaucoup plus ´elev´ees que les d´eformations hors du plan.
60
3
VISCOSIMETRIE´y
w
FIG. 3.3 – R´eponse m´ecanique d’un fil droit : Si la d´eg´en´erescence entre les deux modes est lev´ee, on
observe deux pics de r´esonance qui peuvent se m´elanger.
La mesure de la r´eponse en fr´equence du fil vibrant permet de remonter aux coefficients et
grˆace aux ´equations (3.4) et (3.5). Examinons en d´etail comment ceux-ci donnent alors acc`es `a la viscosit´e du fluide.