Variation de la constante A’

Comme nous l’avons dit la constante A’ est relative au temps caractéristique de la turbulence, elle est liée dans la formule du nombre de Schmidt à un terme toujours positif. Ainsi augmenter A’, augmentera la valeur du nombre de Schmidt, donc la diffusion dans la couche (et vice versa).

Nous prenons les valeurs des paramètres du Tableau 6-5, pour un sol horizontal (avec la même rugosité de paroi que précédemment) avec

==+: A: −D (

Figure 6.46 : Vitesse de régression du sol en fonction de x**, pour plusieurs valeurs de A’,

==+: A: −D (

On retrouve alors les mêmes effets, pour les mêmes raisons, lorsqu’on diminue A’, que lorsqu’on augmente le diamètre des particules érodées.

CHAPITRE 6. RESULTATS A HAUTEUR D’EAU INFINIE DANS UN ECOULEMENT A VITESSE CONSTANTE

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Cela se comprend bien sur la Figure 6.47. Plus A’ est faible et plus la fraction massique de sédiments est importante prés du sol, pour y*<0.1 ; cette tendance s’inversant dans la partie supérieure de la couche.

Figure 6.47 : Comparaison des profils de fraction massique à x**=2700.

6.3 Conclusion

Comparaisons générales des résultats :

Dans ce chapitre, nous avons donc présenté les résultats de notre modélisation du phénomène d’érosion, dans le cas d’un écoulement de type couche limite à vitesse extérieure constante, pour deux modèles de viscosité effective.

Nous avons ainsi pu mettre en évidence un ensemble de phénomènes, qualitativement semblables pour les deux modèles de viscosité effective.

En effet :

- l’érosion (l’injection de matière à travers l’interface solide/fluide) provoque une diminution de la contrainte à la paroi exercée par le fluide. (A cette diminution due à l’érosion elle même, s’ajoute la diminution naturelle due à l’épaississement de la couche limite) ;

- un débit local érodé trop important peut, par l’action des forces de gravité perpendiculaires à l’écoulement, provoquer un décollement de la couche limite (cela fut surtout observé pour les écoulements à viscosité effective constante) ;

- sur sol horizontal, l’érosion est finie, c'est-à-dire qu’elle s’effectue sur une distance limitée (le débit total érodé résultant l’est donc aussi) ;

- l’inclinaison du sol (dans le sens de l’écoulement), pour des sédiments plus lourds que l’eau, augmente les distances d’érosion et les débits érodés ;

- pour un jeu de paramètres donnés, et des sédiments plus lourds que l’eau, il existe un angle d’inclinaison du sol (appelé ici angle critique) qui délimite deux régimes d’érosion très distincts. Pour des valeurs de pente inférieures à cet angle, comme

CHAPITRE 6. RESULTATS A HAUTEUR D’EAU INFINIE DANS UN ECOULEMENT A VITESSE CONSTANTE

pour un sol horizontal, l’érosion est finie, en quantité et en longueur ; alors que pour des angles supérieurs, après une décroissance normale, l’érosion s’amplifie pour ne jamais s’arrêter. Rappelons ici, que ces phénomènes s’expliquent par l’accélération des profils de vitesse à l’intérieur de la couche, due à la gravité ; - la concentration préférentielle des sédiments (de densité supérieure à l’eau) près de la paroi accroît les distances et débits érodés, cet effet étant plus marqué pour des pentes du sol non nulles. Cela augmente en effet, localement près de la paroi, la quantité de mouvement, et l’accélération de l’écoulement si le sol est incliné.

Quelques différences existent tout de même quant aux résultats obtenus par ces deux modèles de viscosité, mais elles sont principalement attribuables au comportement propre de ces modèles. Ainsi :

- les profils de vitesse (accélérés ou non), les profils de concentrations ont des formes très différentes ;

- les distances d’érosion sont beaucoup plus longues pour le modèle à longueur de mélange (voir Tableau 6-4), la décroissance de la contrainte pariétale d’un écoulement turbulent étant beaucoup plus lente qu’un écoulement « pseudo-turbulent » (ou laminaire) ;

- les profils de vitesse du modèle à longueur de mélange sont beaucoup moins sensibles aux phénomènes de décollement ;

- sur sol horizontal, augmenter la densité des sédiments érodés augmente les débits érodés pour le modèle à longueur de mélange, alors que cela les diminue pour une viscosité constante. Cela est certainement à relier à la forme des profils de vitesse, la quantité de mouvement est en effet, relativement, beaucoup plus importante près de la paroi dans le cas des profils turbulents (Longueur de mélange).

Une comparaison vraiment quantitative des résultats des deux modèles n’est ni vraiment nécessaire, ni vraiment possible (nous en avons déjà parlé).

Particularités du modèle à longueur de mélange : Viscosité effective :

Dans ce modèle, la viscosité effective locale est calculée à partir de la masse volumique locale du mélange. Aussi, nous avons vu que pour des débits érodés relativement importants, de sédiments plus lourds que l’eau, l’augmentation de la viscosité, due à la présence des sédiments, augmente de façon non négligeable la contrainte à la paroi, et donc l’érosion.

Rugosités de paroi :

Cela est bien connu (Schlichting 1960, Cousteix 1989), pour un même écoulement, plus un sol est rugueux (plus la taille des particules le constituant est importante), plus la contrainte pariétale exercée par le fluide sur celui-ci est importante.

Ainsi, dans le cas particulier où la contrainte critique du sol est gardée constante (ainsi que les autres paramètres), augmenter la rugosité du sol augmente

CHAPITRE 6. RESULTATS A HAUTEUR D’EAU INFINIE DANS UN ECOULEMENT A VITESSE CONSTANTE

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fortement les débits érodés et distances d’érosion, Tableau 6-6. Cet effet est surtout marqué lorsqu’on passe d’un régime hydrauliquement lisse à un régime hydrauliquement rugueux. Ce résultat n’a pas vraiment de sens physique, en effet pour un matériau donné (de densité supérieure à l’eau), il est clair que plus les sédiments seront gros, plus la contrainte critique nécessaire à leur mise en mouvement sera grande (voir Chapitre 1, contrainte critique de Shields).

Diffusion différentielle (sédiments plus lourds que l’eau) :

Nous avons présenté ici un modèle pour le flux de diffusion des sédiments, lié non seulement au gradient de concentration, mais aussi au gradient de pression orthogonal, par l’intermédiaire de deux temps caractéristiques. Cette approche est beaucoup plus physique que celle consistant à ajouter, à l’équation de conservation de la masse des sédiments, la vitesse de chute d’une particule isolée (voir équation (2.54)).

L’utilisation de ce modèle reste tout de même relativement délicate. Nous avons en effet vu que seuls des diamètres de l’ordre de 10e-4 m permettaient d’obtenir des résultats satisfaisants ; de plus pour des distances d’érosion assez longues, ou lorsque le profil de vitesse est localement accéléré dans la couche, la diminution, globale ou locale, des gradients de vitesse entraîne la divergence de nos calculs. Il apparaît donc que l’hypothèse utilisée ici, « production égale dissipation », n’est vérifiée que dans certaines configurations, pour une gamme très réduite des valeurs des paramètres. Aussi, il serait nécessaire de développer un modèle de diffusion non local, pour étudier des configurations plus générales.

Cette approche nous a tout de même permis de montrer que la concentration préférentielle des sédiments près de la paroi (attention il ne s’agit pas de dépôt), avait une influence très importante sur l’érosion. En effet, l’augmentation de la viscosité, et de la quantité de mouvement localement près de la paroi, augmente de façon non négligeable les débits et distances d’érosion. Cet effet s’accentuera d’avantage si l’inclinaison du sol est non nulle.

Ainsi, grâce aux résultats de notre modélisation de l’érosion, dans cette configuration d’écoulement de type couche limite, nous avons pu mettre en évidence qu’il existait de forts couplages entre les phénomènes. Pour résumer cela, nous pouvons dire que :

L’écoulement, lorsqu’il érode un sol, modifie celui-ci, mais est aussi modifié par le flux local de matière érodé. Les sédiments, une fois érodés, sont transportés par le fluide, et, cette présence agit sur l’écoulement ; qui va à son tour agir sur les phénomènes d’érosion. Il existe donc un fort couplage entre l’écoulement, l’érosion (en tant que phénomène local) et le transport des sédiments par l’écoulement ; la pente du sol (en tant que terme source positif de l’équation de quantité de mouvement) jouant alors un rôle très important (moteur) dans ces interactions.

CHAPITRE 7. RESULTATS A SURFACE LIBRE

Chapitre 7

Résultats à surface libre

Nous présentons dans ce chapitre les résultats d’écoulements à surface libre, dans une configuration très simple. Nous nous donnons en effet un profil initial d’entrée, pour une hauteur donnée, et nous laissons ce profil s’écouler sur un sol d’inclinaison constante avec les abscisses. Comme dans le chapitre précédent, nous commencerons par le modèle à viscosité effective constante, puis à longueur de mélange.

Dans une situation d’écoulement permanent, pour une pente donnée, et sans érosion, il existe, à débit fixé, un profil de vitesse d’équilibre indépendant de la coordonnée longitudinale. Nous utiliserons ce profil comme profil initial de notre calcul avec érosion. Dans ces conditions nous verrons que pour des valeurs « raisonnables » des paramètres, les contraintes à la paroi obtenues sont de l’ordre de la centaine de Pascals ! Prendre alors une contrainte critique du sol de l’ordre de celle de Shields aurait provoqué une érosion énorme. Aussi, on fera varier cette contrainte critique comme n’importe quel autre paramètre ; on a vu dans le premier chapitre que la valeur de Shields, correspondant au décollement d’une particule sphérique posée sur des particules semblables, était sûrement très sous-estimée pour un sol réel, compacté, composé de différents matériaux de différentes tailles.

CHAPITRE 7. RESULTATS A SURFACE LIBRE

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