7.1 Résultats à viscosité effective constante
7.1.4 Influence des paramètres
ρ α
qui va augmenter au fur et à mesure que l’érosion se produit.On remarque aussi que le terme en cosinus diminue, au maximum, le débit total érodé d’à peu près 7%.
7.1.4 Influence des paramètres
Tableau 7-2 : Paramètres de référence pour les applications numériques.
Variation de la hauteur d’entrée et de la pente.
Nous étudions tout d’abord les effets de la variation de la hauteur d’entrée, en gardant la même contrainte d’équilibre ; si on multiplie la hauteur d’entrée par 2, on divisera le sinus de l’angle de pente par 2 afin de garder la même valeur de la contrainte au sol d’équilibre, et de
τ
. Pour ces calculs le rapport de la distance d’érosion sur la hauteur d’entrée est gardé constant et égal à 200.A:
α
= ° , + =:+A ( , $ =:+> < A::: ? @(ρ
= , < =>;: ? @(ρ
= Cµ µ ρ
= , C :+::;µ
= +ρ
%= 'µ
, +' =A + < Dτ τ
= , =:+A !@(CHAPITRE 7. RESULTATS A SURFACE LIBRE
134
Nous présentons ces résultats sur la Figure 7.15, les débits totaux érodés ont été divisés une première fois par le débit d’entrée de l’écoulement, puis par leurs valeurs obtenues avec les paramètres de références (c'est-à-dire en fait la valeur du débit total érodé, dépendant de la valeur de K, où h =0.1=he(ref)). Les valeurs correspondantes de Qe*(ref(K)), donc pour he=0.1, se voient sur la Figure 7.14.
Figure 7.15 : Variation du débit total érodé en fonction de la hauteur d’entrée.
Nous n’avons pu faire de calcul avec une valeur de he/he(ref) supérieure à l’unité, il aurait en effet fallu diminuer l’angle de pente du même rapport. Or il s’avère que pour des angles inférieurs à 10°, le profil ne s’établit pas (le calcul diverge).
Sur cette figure les écarts sont très faibles ; ainsi à
! α =
, les débits érodés restent globalement constants, même si l’augmentation de la pente (donc la diminution de la hauteur d’entrée) a tendance a légèrement les augmenter.Nous étudions maintenant l’influence de l’inclinaison du sol, en gardant la valeur de référence pour la hauteur d’entrée et une valeur constante pour la contrainte critique du sol,
τ =A;: .
.Figure 7.16 : Variation du débit totale érodé en fonction de la pente pour 4 valeurs de K,
τ =
A;: . .CHAPITRE 7. RESULTATS A SURFACE LIBRE
(Avec la valeur de la contrainte critique choisie
τ =
A;: . , il n’y a pas érosion pour des angles de pente inférieurs à 10°, la contrainte pariétale d’équilibre obtenue étant inférieure à 150 Pa.)Les débits érodés augmentent bien sur avec l’inclinaison du sol ; le terme source lié à la gravité augmentant d’autant l’accélération de l’écoulement.
Nous n’avons pu pour cette figure présenter des calculs avec des valeurs de K supérieurs à 2 s/m, des décollements de l’écoulement se produisant.
Nous présentons Figure 7.17 l’évolution du débit total érodé en fonction du rapport +
τ τ
. Ces calculs ont été réalisés à pente et profil initial de vitesse fixés, en faisant varier la valeur de la contrainte critique du sol. Ces résultats sont semblables à la Figure 7.9, (même s’il existe une légère augmentation de l’érosion due à la masse volumique des sédiments, plus importante ici). Là encore, l’écoulement est très sensible aux phénomènes de décollement, lorsque l’érosion augmente.Figure 7.17 : Débit total érodé fonction de
τ
, pour plusieurs valeurs de K. Remarque à propos des Figure 7.9 et Figure 7.17 :Ces deux figures représentent l’évolution du débit total érodé en fonction du rapport
τ τ
+ . Pour obtenir ces courbes, nous avons, à conditions hydrauliques fixées, fait varier la valeur de la contrainte critique. Nous aurions pu procéder différemment : fixer la contrainte critique du sol et faire varier le débit d’entrée de l’écoulement (par l’intermédiaire de he). Ainsi, pour chaque débit d’entrée, ou hauteur d’entrée, nous aurions obtenu une contrainte au sol d’équilibre (qui augmente avec le débit d’entrée) différente, qui nous aurait permis de tracer des courbes équivalentes à celles présentées.Mais puisque le débit total érodé est adimensionné par la hauteur d’entrée he, et que cette hauteur intervient aussi dans la valeur de
τ
+ , les résultats sont alorsCHAPITRE 7. RESULTATS A SURFACE LIBRE
136
indépendants de he. Ainsi, les deux approches de calcul précédentes sont équivalentes ; on obtiendrait exactement les mêmes courbes.
Ces deux figures peuvent donc être interprétées de deux façons : elles représentent, soit l’évolution de l’érosion à conditions hydrauliques fixées pour différents matériaux (contraintes critiques), soit l’évolution de l’érosion pour un matériau sous différentes conditions hydrauliques.
Nous ne présentons pas l’influence de la distance d’érosion et de la viscosité, mais il est clair que l’érosion augmente avec ces paramètres.
7.2 Résultats du modèle à longueur de mélange
7.2.1 Calcul sans érosion
Nous rappelons pour cette partie, l’expression de l’équation de quantité de mouvement, et la définition de la longueur de mélange :
= H I H "I ! ( ( (
ρ ρ µ ρ α
∂ + ∂ = ∂ ∂ −∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (7.11))
( )
H I G= " ! ( ( " (α ρ ρ
∂ = ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ (7.12) A@ =A (
& =κ( −
(7.13) Rappel :κ
=:+D<;Afin de permettre une comparaison plus aisée entre les modèles de longueur de mélange et à viscosité constante, nous prendrons ici les mêmes conditions hydrauliques que précédemment : même débit d’entrée, et même inclinaison du sol. Pour prendre le même débit d’entrée le plus simple est de prendre le même profil (d’équilibre) d’entrée que pour le cas à viscosité constante, c’est ce que nous pensions faire. Malheureusement, si l’on prend ce profil parabolique en entrée, ce n’est pas le profil d’équilibre dans ce cas, et l’écoulement décolle très rapidement lors de l’établissement du profil. Ce phénomène est dû à l’action du dernier terme de l’équation (7.12). En effet sans ce terme l’écoulement converge parfaitement vers son profil d’équilibre. Afin d’éviter ces problèmes, nous mettons comme profil initial un profil logarithmique de même débit d’entrée que le profil d’équilibre précédent. Avec un tel profil, les résultats sont exactement les mêmes avec ou sans le dernier terme de (7.12). On peut donc penser que le terme
(
G=) )
( "
ρ
CHAPITRE 7. RESULTATS A SURFACE LIBRE
influence sur l’établissement de l’écoulement, sauf si le profil d’entrée est parabolique, car dans ce cas ce terme empêche la convergence du profil vers son équilibre (la convergence du profil vers l’équilibre dépend donc du choix du profil initial).
Il existe à ce niveau un paramètre supplémentaire à choisir, la longueur caractéristique des rugosités de la paroi (la viscosité étant calculée grâce au modèle à longueur de mélange, il n’est plus nécessaire de fixer sa valeur par la constante a). Nous présentons sur la Figure 7.18 l’évolution de la contrainte à la paroi pour trois longueurs de rugosité. Nous prenons comme profil d’entrée un profil logarithmique de même débit et la même inclinaison du sol que les valeurs définies au Tableau 7-1.
Figure 7.18 : Comparaison de la contrainte pariétale en fonction de x* = x/0.1, pour trois longueurs de rugosité.
Sur cette figure, la contrainte est adimensionnée grâce à la vitesse d’entrée à la surface définie au Tableau 7-1, cela permet une comparaison directe avec la Figure 7.2.
Contrairement à la Figure 7.2, on est loin de l’équilibre au départ, ainsi, la contrainte au sol croit plus longtemps pour atteindre une valeur d’équilibre à une distance, qui diminue avec l’augmentation des rugosités, à peu près égale à 400 fois la hauteur d’entrée. Plus la longueur des rugosités est importante et plus la contrainte pariétale l’est aussi.
Nous présentons sur la figure suivante les profils de vitesse d’équilibre, respectivement à viscosité constante et à longueur de mélange pour trois longueurs de rugosité, pour le même débit d’entrée.
CHAPITRE 7. RESULTATS A SURFACE LIBRE
138
Figure 7.19 : Comparaison des profils d’équilibre, viscosité constante et longueur de mélange avec trois longueurs de rugosité.
Sur la Figure 7.19, les vitesses et ordonnées ont été adimensionnées par la vitesse et la hauteur d’équilibre du profil parabolique. On voit clairement que la hauteur d’équilibre des profils avec la longueur de mélange est beaucoup plus faible qu’avec la viscosité constante, à débit donné. On remarque aussi l’importance des effets de la rugosité ; plus les tailles de rugosité sont importantes plus la vitesse diminue et plus l’épaisseur de l’écoulement augmente. Cela se comprend bien, plus le sol est rugueux et plus l’écoulement est freiné.
Nous présentons ces mêmes profils de vitesse adimensionnés, comme défini en (7.9) , Figure 7.20.
Nous prendrons dorénavant une longueur caractéristique de rugosité égale à 0.001 mètre, qui représente à peu près le diamètre moyen des grains érodés.
CHAPITRE 7. RESULTATS A SURFACE LIBRE