Dans le paragraphe précédent, les masses volumiques des deux phases étant égales, les termes sources de l’équation de quantité de mouvement étaient nuls. Ainsi, la répartition spatiale des sédiments dans l’écoulement n’avait aucune influence sur celui-ci (traceurs). Nous allons maintenant étudier l’influence du gradient de pression longitudinal (incluant tous les termes sources), dû à la différence des masses volumiques des deux phases, à la gravité, et de la répartition des sédiments dans la couche fluide.
Comme nous l’avons vu, le gradient de pression suivant x est le terme source de l’équation de quantité de mouvement. Il est nécessaire de connaître sa valeur pour que le problème soit parabolique, et que l’on puisse résoudre les équations en avançant par itérations dans la direction x. Nous avons vu que son expression, exprimée grâce aux conditions extérieures à la couche, était :
! " ! A ( (
ρ
ρ ρ α ρ α
∞ρ
∂ ∂ ∂ −∂ = ∂ − − ∂ − (6.11)Le terme source de l’équation de quantité de mouvement peut alors s’écrire :
( )
! " ! A ( /ρ ρ ρ α ρ α ρ
(ρ
∞ ∂ ∂ = ∂ + − − ∂ − (6.12)Par choix, nous avons pris la vitesse extérieure constante en x. Dans ce cas, en observant les termes composant le terme source, on peut prédire différentes évolutions de l’écoulement. Pour un écoulement sur sol horizontal, le seul terme pouvant être non nul est le dernier, si
ρ ρ≠
bien sur. Ainsi, quand l’érosion débute, on suppose que la masse volumique des sédimentsρ > ρ
, un gradient de masse volumique suivant x va apparaître. Dans ce cas là, le terme source sera négatif, ralentissant l’écoulement, voire même provoquant un décollement de couche limite (ce qui arrêtera la résolution numérique d’ailleurs).Sur un sol incliné par contre, à ce terme s’ajoutera le deuxième terme qui lui sera positif. Il existera ainsi une compétition entre ces deux termes, qui suivant les conditions ralentiront ou accéléreront l’écoulement.
Regardons tout d’abord l’effet de la masse volumique des sédiments, pour une érosion sur sol horizontal.
Nous présentons respectivement Figure 6.12 et Figure 6.13 les variations des vitesses de régression du sol, et des contraintes à la paroi en fonction de x*, pour deux valeurs de la masse volumique des sédiments (
ρ C
est le rapport de la masse volumique des sédiments sur celui de l’eau).CHAPITRE 6. RESULTATS A HAUTEUR D’EAU INFINIE DANS UN ECOULEMENT A VITESSE CONSTANTE
Figure 6.12 : Comparaison de la vitesse de régression du sol, fonction de x* pour deux
ρ
C, =:+A s/m.Figure 6.13 : Comparaison de la contrainte au sol, fonction de x* pour deux
ρ
C,:+A
= s/m.
Avant que l’érosion ne commence la contrainte à la paroi est évidemment la même quelque soit la masse volumique des sédiments ; de ce fait, la première valeur du débit local érodé sera elle aussi semblable pour les deux valeurs de
ρ
C. Par contre la vitesse de régression du sol, définie en (6.7) dépend de la masse volumique du sol, prise ici égale à la masse volumique des sédiments considérés. Ainsi, la toute première valeur de Vs* pour CA
ρ
= sera égale à 2.7 fois celle deC =+E
ρ
= (voir Figure 6.12). Théoriquement, si la contrainte à la paroi décroissait de la même façon avec x*, quelque soitρ
C, le rapport initial entre les vitesses de régression deρ
C =A etρ
C ==+E resterait constant et égal à 2.7 jusqu’à dstop, et les débits totaux érodés seraient les mêmes.Or on voit clairement sur la Figure 6.13 que la courbe
ρ
C ==+E, comparée à la courbe CA
CHAPITRE 6. RESULTATS A HAUTEUR D’EAU INFINIE DANS UN ECOULEMENT A VITESSE CONSTANTE
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brusque de la contrainte, est due à une diminution de la vitesse, sous l’effet du terme source (6.12), négatif. En effet, l’apparition des premiers sédiments érodés dans le fluide provoque de forts gradients positifs suivant x de la masse volumique du mélange. Ces gradients de masse volumique (et donc de concentration en sédiments), importants au début de l’érosion, auront ensuite des effets négligeables (sous l’action de la diffusion et de la diminution du débit local érodé).
Il apparaît donc, à travers cet exemple, que l’augmentation de la masse volumique des sédiments diminue la vitesse de régression du sol et le débit total érodé.
Nous présentons Figure 6.14 l’évolution du débit total érodé en fonction de la masse volumique des sédiments, pour deux valeurs de K.
Figure 6.14 : Débit total érodé, fonction de
ρ C
pour deux valeurs de K. On voit bien, pour K=0.1 s/m, la diminution de Qe* avecρ C
(le débit érodé diminue de 20% entreρ C=A
etρ C==+E
), expliquée par les deux figures précédentes. Par contre pour K=0.01 s/m (donc aussi tous les K inférieurs), la variation de la masse volumique des sédiments n’a pratiquement pas d’influence sur le débit total ; la quantité de matière érodée est trop faible pour modifier l’écoulement.Nous n’avons pu, sur cette dernière figure présenter des résultats pour des K supérieurs à 0.1 s/m. En effet pour des valeurs de >:+A @ , et de
ρ > ρ
, l’érosion provoque de très forts gradients de concentrations, qui par l’intermédiaire du terme source, provoquent un décollement de la couche limite ; la résolution numérique s’arrête alors. Pour illustrer cela, nous présentons, Figure 6.15, le profilde vitesse juste avant le décollement pour =A+: !@( et <
AA:: ? @(
ρ
= . On voitd’ailleurs que le décollement se produit à une distance très proche du début de l’érosion (dstart=(x**=15)).
CHAPITRE 6. RESULTATS A HAUTEUR D’EAU INFINIE DANS UN ECOULEMENT A VITESSE CONSTANTE
Figure 6.15 : Comparaison de deux profils de vitesse, sans et juste avant le décollement de la couche limite.
Ce phénomène de décollement nous empêche de conserver comme valable les hypothèses de Couche Limite, et ne nous permet pas de tester les valeurs de K supérieures ou égales à l’unité, pour notre choix de
ρ C
et de sol horizontal.Cette forte sensibilité de l’écoulement au décollement est en fait liée au choix que nous avons fait quant à la vitesse extérieure de l’écoulement, supposée constante. Une augmentation de cette vitesse avec x permettrait en effet de contre balancer cet effet de décollement. Nous reviendrons sur ce point par la suite.