Erosion de sédiments de même densité que l’eau

Rappelons l’équation de quantité de mouvement complète pour ce type d’écoulement : H I =

H I H I ! " !

( " ( ( ( (

ρ ρ µ ρ α α ρ

∂ ₊ ∂ ₌ ∂ ∂ _{+ −} ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ^(7.7)

Cette équation possède deux termes sources,

ρ

!

α

qui sera toujours positif (pente non nulle), l’autre terme source étant négatif quand la masse volumique du mélange, et ou l’épaisseur de l’écoulement, augmentent. Nous avons vu, Chapitre 4, que ce dernier terme source pouvait être décomposé en la somme de deux termes. Un moyen de connaître l’effet de chaque terme est alors d’effectuer des calculs d’érosion de sédiments de même masse volumique que l’eau, nous verrons ainsi l’effet seul de l’augmentation de l’épaisseur de l’écoulement dû à l’apport du débit érodé (le terme

ρ

!

α

restant constant pour tout x). Des sédiments érodés plus lourds que l’eau permettront alors de voir l’effet de l’augmentation de la masse volumique locale du mélange.

Nous reprenons les valeurs des paramètres présentés Tableau 7-1, avec trois valeurs de K : =:+A @ , =A+: @ et K infini. Nous prendrons une valeur de la contrainte critique du sol

τ

égale à trois quarts de la contrainte d’équilibre sans érosion

τ

=< D

τ

₊ ; il est clair que si

τ

>

τ

₊ , il n’y a jamais érosion.

On définit : CC C + '

ρ

τ

= = (7.8)

qui est la vitesse de régression du sol adimensionnée par la vitesse de frottement d’équilibre au sol ^C . Avec les valeurs des paramètres choisis, on a

C

:+DA< @

= .

Nous présentons Figure 7.3, cette vitesse de régression du sol en fonction de x*, pour trois valeurs de K.

CHAPITRE 7. RESULTATS A SURFACE LIBRE

126

Figure 7.3 : Vitesse de régression du sol fonction x* pour 3 cas (K = 0.1, K=1.0, K infini).

Comme on le voit sur les courbes ci-dessus, le débit local érodé (ou la vitesse de régression du sol) décroît assez fortement au début de l’érosion (suivant les valeurs de K) jusqu’à x*=30, puis après avoir atteint un minimum, ré augmente à partir de x*=50.

Nous présentons Figure 7.4 l’évolution des contraintes au sol correspondantes à la figure précédente.

Figure 7.4 : Evolution de la contrainte au sol en fonction de x*, pour 3 cas (K = 0.1, K=1.0, K infini).

On voit Figure 7.4, comme précédemment, que le début de l’érosion provoque une chute de la contrainte au sol. Puis après avoir atteint une valeur minimum (pour les cas où K n’est pas infini), la contrainte raugmente ensuite avec x* (la contrainte au sol restant constante, égale à la valeur critique pour K infini).

CHAPITRE 7. RESULTATS A SURFACE LIBRE

Le résultat important, et la principale différence avec le cas où la hauteur d’eau est infinie, est que dans cette configuration l’érosion ne se produit pas sur une distance finie, mais sur toute la longueur de l’écoulement considérée. En effet comme nous l’avons vu sur les deux figures précédentes, après une diminution au début l’érosion va constamment augmenter avec x ; on se situe en fait tout de suite dans le régime d’érosion illimitée.

Les calculs présentés précédemment ont été refaits en supprimant le terme en

" !α

de quantité de l’équation de mouvement (le terme le plus à droite de (7.7)). Ces résultats sont alors très peu différents de ceux présentés ; on remarque cependant une augmentation, tant locale que globale, du débit érodé, mais elle reste inférieure à 4%. Les effets de ce terme, dus ici seulement à l’augmentation de l’épaisseur de l’écoulement sont donc relativement faibles pour les valeurs des paramètres choisis. Par contre si les débits érodés localement sont très importants (la contrainte critique est faible par rapport à la contrainte au sol d’équilibre, ou K est grand) le terme en

" !α

deviendra lui aussi important (surtout au tout début de l’érosion) et provoquera soit des oscillations de la contrainte au sol (compétition entre le terme source positif et ce terme), soit carrément un décollement de l’écoulement (voir Figure 7.9).

Après la diminution de la contrainte au sol due à l’érosion, on a vu que celle-ci raugmentait (ou du moins la vitesse de régression du sol pour K infini). Cette augmentation s’explique par l’augmentation du débit de l’écoulement dû à l'apport de matière érodée. Nous présentons Figure 7.5 l’évolution de l’épaisseur de l’écoulement en fonction de x*, et des profils de vitesse Figure 7.6.

CHAPITRE 7. RESULTATS A SURFACE LIBRE

128

Figure 7.6 : Evolutions des profils de vitesse, non adimensionné, K = 1.0 s/m.

On définit :

( )

( )

C C L @ H I , = ( = ( (7.9)

Figure 7.7 : Profils de vitesse adimensionnés, K infini.

Sur la figure ci-dessus, les vitesses et les ordonnées sont adimensionnées comme en (7.9), pour le calcul d’érosion avec K infini. Ainsi, au bout d’une certaine distance, qui se situe dans la zone ou la contrainte pariétale raugmente, les profils de vitesse avec érosion atteignent un nouveau profil d’équilibre différent de celui sans érosion. Ces résultats ont été obtenus avec K infini, aussi, il est évident que pour des K inférieurs, ces deux profils d’équilibre sont beaucoup moins différenciés. Ainsi, l’épaisseur, et le débit de l’écoulement augmentent avec x*, Figure 7.5 ; or l’écoulement conserve pratiquement son profil d’équilibre (ou du moins un profil

CHAPITRE 7. RESULTATS A SURFACE LIBRE

d’équilibre) alors qu’il érode ; la contrainte au sol augmente donc elle aussi (en relation avec l’épaisseur).

Nous présentons Figure 7.8 l’évolution des profils de fraction massique de sédiments ; nous avons gardé les mêmes valeurs des paramètres que précédemment et K = 1.0 s/m.

Figure 7.8 : Profils de fraction massique de sédiments, K = 1.0 s/m.

Les profils de fraction massique à surface libre sont bien sur très différents de ceux à hauteur d’eau infini. Tout d’abord les sédiments diffusent dans toute l’épaisseur de l’écoulement, jusqu’à la surface. Ensuite la quantité d’eau pure dans l’écoulement étant limitée au débit d’entrée, l’érosion va très rapidement amener les fractions massiques à des valeurs très importantes. Les fractions massiques de sédiments restent plus importantes au niveau de la paroi, car l’érosion en amènent constamment et la diffusion n’est pas immédiate.

Afin d’avoir un ordre d’idée de l’importance des débits érodés, nous définissons le débit total érodé sur la distance

=::

, adimensionné par le débit d’entrée de fluide :

=::

C :

2

ρ

= = (7.10)

La Figure 7.9 représente le débit érodé total défini en (7.10) en fonction du rapport entre la contrainte critique et la contrainte au sol d’équilibre. Un résultat à remarquer est la variation linéaire du débit total érodé en fonction de la valeur de la contrainte critique. Par contre, comme dit précédemment, pour des K importants ou des contraintes critiques faibles, il peut y avoir décollement de l’écoulement ; les points fléchés avec l’inscription « décollement » sont les derniers points accessibles

CHAPITRE 7. RESULTATS A SURFACE LIBRE

130

aux calculs, le décollement se produisant pour une contrainte critique légèrement plus faible.

Figure 7.9 : Débit total érodé en fonction de

τ

pour plusieurs K.

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