symplectomorphismes, i.e. tel que∀g∈G,g∗ω=ω. Une applicationµ :M →g0 est une application moment pour l’action deGsi :
∀a∈g,∀x∈M,∀X∈TxM, hdµx(X),ai=iXaω(X),
o`u h,i est le produit de dualit´e entreg et g0, et Xa est le champ de vecteurs engendr´e par l’action infinit´esimale de l’´el´ementade l’alg`ebre de Lie deG.
Proposition A.3.13 Soit θ une orbite coadjointe d’un groupe de Lie bana-chiqueG. Alors l’injection canoniqueµde θdansg0 est une application moment pour l’action coadjointe deGsurθ.
2Preuve de la propositionA.3.13 :
On a pour tout ´el´ementξde l’orbiteθ, pour toutη=−ξ◦adbdeTξθ, et tout adansg:
hdµ(η),ai =hη,ai=−ξ◦adb(a)
=ξ([a,b]) = Ω(ξa, η) =iξaΩ(η).
biholomorphique `a un ouvert d’un espace de Banach complexe est donn´e par I.
Patyi dans [Pat], ce qui implique que le th´eor`eme de Newlander-Nirenberg n’est pas vrai en toute g´en´eralit´e dans le cadre banachique, et constitue une diff´erence importante avec le cas de la dimension finie.
Th´eor`eme A.4.4 (Newlander-Nirenberg) Une structure presque-complexe analytique r´eelleJ sur une vari´et´e banachique analytique r´eelleM est int´egrable si et seulement si le tenseur de Nijenhuis est nul.
Preuve du th´eor`eme A.4.4 :
SoitJCl’extensionC-lin´eaire deJ au fibr´e vectoriel complexeTCM :=T M⊗R C, etT(1,0)M (resp.T(0,1)M) le sous-fibr´e deTCMconstitu´e des espaces propres deJCrelativement `a la valeur propre +i(resp.−i). On a :TCM =T(1,0)M ⊕ T(0,1)M en somme directe topologique, les projections pr1et pr2 sur le premier et deuxi`eme facteur ´etant donn´ees par :
pr1 : TCM → T(1,0)M X 7→ 12(X−iJX) pr2 : TCM → T(0,1)M
X 7→ 12(X+iJX) On a les ´equivalences suivantes :
N ≡0 ⇔[T(1,0)M, T(1,0)M]⊂T(1,0)M
⇔[T(0,1)M, T(0,1)M]⊂T(0,1)M.
Le probl`eme ´etant local on peut supposer queM est un ouvert d’un espace de BanachE. Soitx0 ∈M et MC l’ouvert de l’espace de Hilbert complexifi´eEC form´e des ´el´ements de la formex+iy avec x, y ∈ M. D’apr`es le th´eor`eme de Frobenius, pour toutxdans un voisinage dex0 deMC, il existe localement des sous-vari´et´esM(1,0)x et M(0,1)x de MC respectivement tangentes aux distribu-tionsT(1,0)M et T(0,1)M. L’op´erateurJC laissant les distributionsT(1,0)M et T(0,1)M invariantes, on en d´eduit qu’il existe un diff´eomorphismeJC-´equivariant envoyant un voisinage de x0 dans MC sur le produit d’un ouvert de M(1,0)x0 et d’un ouvert de M(0,1)x0 . Puisque la projection pr1 est un isomorphisme JC -lin´eaire, on en d´eduit l’existence d’un diff´eomorphisme local JC-´equivariant de la vari´et´e r´eelleM sur un ouvert de la vari´et´e complexeM(1,0)x0 .
A.4.3 Fonctions analytiques et holomorphes sur un espace de Banach
D´efinition A.4.5 Un polynˆome homog`ene de degr´eqsur un espace de Banach E (r´eel ou complexe) `a valeur dans un espace de BanachF est la restriction `a la diagonale d’une fonction q-lin´eaire deEq dansF.
D´efinition A.4.6 Une fonctionf d’un ouvert de E dans F est analytique si pour toutxdeE, il existe un voisinage ouvertVdexet une s´erie convergeante de la forme :
+∞
X
q=0
Pq,
o`u lesPq sont des polynˆomes homog`enes de degr´eqdeEdansF, avec rayon de convergenceR >0 tels que pour tout y dans l’intersection de V avec la boule de rayonRcentr´ee enx, on a :
f(y) =
+∞
X
q=0
Pq(y−x).
Dans ce cadre, la formule de Cauchy, le principe du maximum, le lemme de Schwarz et l’unicite du prolongement analytique sont valables. On trouvera dans le livre de T. Franzoni et E. Vesentini ([FV]) quelques d´etails sur cette th´eorie.
A.4.4 La connexion de Chern
D´efinition A.4.7 Soit (M, J) une vari´et´e banachique presque-complexe. L’op´erateur Jinduit un op´erateur de carr´e−1 sur lesn-formes diff´erentielles surM, ´egalement not´eJ, et d´efini par :
∀φ∈Γ(M,ΛnT0M),∀x∈M,∀X1, . . . , Xn∈TxM, (Jφ)x(X1, . . . , Xn) := (−1)nφ(JX1, . . . , JXn), d’inverse :
(J−1φ)x(X1, . . . , Xn) =φ(JX1, . . . , JXn),
ainsi qu’un op´erateur diff´erentieldc sur les formes diff´erentielles sur M d´efini par :
dc :=J◦d◦J−1.
D´efinition A.4.8 SoitCl’op´erateur agissant sur les formes diff´erentielles par :
∀φ∈ΛnT0M,∀X1, . . . , Xn ∈Γ(T M),
Cφ(X1, . . . , Xn) :=
n
X
j=1
φ(X1, . . . , JXj, . . . , Xn).
Une forme diff´erentielleφde degr´enest dite de type (p, q) siCφ= (p−q)iφ.
On note Λp,qM l’ensemble des formes de type (p, q). On a : ΛnT0M⊗RC= X
p+q=n p≥0, q≥0
Λp,qM.
En particulier, le fibr´eT0M⊗Cse d´ecompose en : T0M⊗C= Λ(1,0)M⊕Λ(0,1)M,
o`u Λ(1,0)M (resp. Λ(0,1)M) est le sous-fibr´e de T0M ⊗C constitu´e des sous-espaces propres deJ pour la valeur propre−i(resp. +i).
D´efinition A.4.9 SoitM un ouvert d’un espace de Banach r´eelB muni d’un op´erateurJ de carr´e−1,MCl’ouvert de l’espace de BanachBCobtenu `a partir deB en ´etendant le corps des scalaires `a C,JC l’extensionC-lin´eaire de J, et x∈ M. En notant pr1 (resp. pr2 ) la projection de TxMC sur Tx(1,0)M (resp.
Tx(0,1)M ) associant `a un vecteur tangent X le vecteur 12(X −iJCX) (resp.
1
2(X +iJCX), on d´efinit deux op´erateurs∂ et ¯∂ agissant sur les fonctionsC∞ surM `a valeurs complexes par :
∂f =dCf◦pr1,
∂f¯ =dCf◦pr2,
o`udCf est l’extensionC-lin´eaire de df. En particulier, on a : d=∂+ ¯∂,
∂∂¯= 2i1ddc,
∂2= ¯∂2= 0,
∂◦∂¯+ ¯∂◦∂= 0.
D´efinition A.4.10 Une structure pr´e-holomorphe sur un fibr´e vectoriel com-plexe E au-dessus d’une vari´et´e complexe M est la donn´ee d’un op´erateur diff´erentiel ¯∂d’ordre 1 agissant sur les sections deEet `a valeurs dans les sections de Λ(1,0)M⊗CE, i.e. tel que :∀σ∈Γ(E),∀f ∈ C∞(M, C),
∂(f.σ) =¯ f.∂σ¯ + ¯∂f.σ,
On noted∂¯ l’op´erateur diff´erentiel induit par ¯∂ sur les formes diff´erentielles : d∂¯ : Λp,qM → Λp,q+1M
D´efinition A.4.11 Une structure pr´e-holomorphe ¯∂est dite formellement int´egrable si
d∂¯◦d∂¯= 0.
D´efinition A.4.12 Un fibr´e vectoriel complexe sur une vari´et´e complexeM est dit holomorphe s’il existe un ensemble complet de trivialisations holomorphes.
Le th´eor`eme de Newlander-Nirenberg dans le cas analytique a pour cons´equen-ce le th´eor`eme suivant :
Th´eor`eme A.4.13 (Koszul-Malgrange) Un fibr´e vectoriel complexe E sur une vari´et´e complexeM, muni d’une structure pr´e-holomorphe∂¯et poss´edant un ensemble complet de trivialisations analytiques r´eelles, est un fibr´e holomorphe si et seulement si :
d∂¯◦d∂¯= 0.
Th´eor`eme A.4.14 SoitEun fibr´e vectoriel complexe sur une vari´et´e complexe M muni d’un produit scalaire hermitien h r´ealisant pour tout x ∈ M un iso-morphisme C-antilin´eaire entre l’espace vectoriel complexe Ex et son dual E0x, et∂¯ une structure pr´e-holomorphe surE. Alors il existe une unique connexion
∇ sur le fibr´eE, appel´ee connexion de Chern, telle que : 1. ∇ : Γ(E)→Γ(T0M⊗CE)estC-lin´eaire,
2. ∇ pr´eserveh,
3. ∀σ∈Γ(E),∀X ∈T M,∇0,1X σ := 12(∇Xσ+i∇JXσ) = ¯∂Xσ.
Preuve du th´eor`emeA.4.14 :
Soitτ :E→E0 l’isomorphismeC-antilin´eaire induit parh, et ¯∂E0 la structure pr´e-holomorphe surE0 induite par ¯∂ :
∀s∈Γ(E0),∀x∈Γ(E),
∂¯E0(s)(x) = ¯∂(s(x))−s( ¯∂x).
Alors la connexion d´efinie par :
∇= ¯∂+τ−1◦∂¯E0◦τ
convient.
Proposition A.4.15 SiE est un fibr´e complexe de rang 1, muni d’une struc-ture pr´e-holomorphe formellement int´egrable ∂¯ sur une vari´et´e complexe M et σune section locale sans z´ero v´erifiant ∂σ¯ = 0, l’expression de la connexion de Chern est :
∇Xσ= (∂Xlogh(σ, σ)).σ,
pour tout X appartenant `a T M, et pour toute section σ de E. La courbure de la connexion de Chern a pour expression :
R∇=∂∂¯logh(σ, σ) = 1
2iddclogh(σ, σ).
2Preuve de la propositionA.4.15 :
Soitσune section locale deE dans le noyau de ¯∂ et ne s’annulant pas. Soits la section duale du fibr´eE0 d´efinie par :s(σ) = 1. On a :
∂¯E0s= ¯∂(s(σ))−s( ¯∂σ) = 0.
L’applicationτ : Γ(E)→Γ(E0) a pour expression :
∀σ0∈Γ(E), τ(σ0) =h(σ0, σ).s, ainsi :
∂¯E0τ(σ) = ¯∂E0h(σ, σ).s= ¯∂h(σ, σ).s, et :
∇σ=∂σ=τ−1◦∂¯E0τ(σ) =h(σ,σ)1 ∂h(σ, σ).σ=∂logh(σ, σ).σ.
On a :
R∇= −d∇◦d∇
=−d∂◦d∂−d∂¯◦d∂¯−d∂◦d∂¯−d∂¯◦d∂. La structure pr´e-holomorphe ´etant formellement int´egrable, on a :
d∂¯◦d∂¯= 0,
ce qui implique :
d∂◦d∂ =τ−1◦d∂¯◦d∂¯◦τ = 0.
Ainsi la courbureR∇ est de type (1,1), et pour toute sectionσdans le noyau de ¯∂ il vient :
Rσ =−d∂◦d∂¯σ−d∂¯◦d∂σ
=−d∂( ¯∂σ)−d∂¯(∂logh(σ, σ).σ)
=−∂∂¯logh(σ, σ).σ−∂logh(σ, σ).∂σ¯
=−∂∂¯ logh(σ, σ).σ
= +∂∂¯logh(σ, σ).σ.
2