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TH` ESE DE DOCTORAT

pr´esent´ee par

Alice Barbara TUMPACH

pour obtenir le grade de

Docteur de l’´ Ecole Polytechnique

Sp´ecialit´e MATH´ EMATIQUES Sujet :

Vari´et´es k¨ ahl´eriennes et

hyperk¨ ahl´eriennes de dimension infinie

Th`ese pr´esent´ee le mardi 26 juillet 2005, devant la commission d’examen compos´ee de : MM Anton ALEKSEEV membre du jury

Olivier BIQUARD rapporteur

Paul GAUDUCHON directeur de th`ese

Tudor RATIU rapporteur

Alan WEINSTEIN pr´esident du jury

Tilmann WURZBACHER rapporteur.

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Remerciements

Pour m’avoir ouvert son puits de science, c’est bien sˆur Paul Gauduchon que je dois remercier en premi`ere place. Sa culture, son enthousiasme pour les math´ematiques et sa gentillesse ont donn´e `a ces quatre ann´ees une richesse par- ticuli`ere. Toujours dispos´e `a parler de ses propres recherches mais aussi de tout autre sujet math´ematique ou d’ordre g´en´eral, il m’a consacr´e de nombreuses heures de discussions dont je tire encore beaucoup de mati`ere aujourd’hui. Pen- dant quatre ans, il m’a permis de m’initier avec plaisir `a la recherche tout en me laissant la libert´e dont j’avais besoin pour mener `a bien ce travail. Pour toutes ces raisons, je lui suis infiniment reconnaissante.

Je remercie chaleureusement Olivier Biquard pour les questions qu’ils a pos´ees et les impr´ecisions qu’il a soulev´ees en rapportant cette th`ese. Son regard fut pr´ecieux et le texte final lui doit de consid´erables am´eliorations. La discus- sion engag´ee avec lui autour de cette th`ese durant les semaines qui ont pr´ec´ed´e la soutenance m’a apport´e un regain de motivation pour approfondir mon tra- vail. Enfin, je lui sais gr´e d’avoir fait le d´eplacement le jour de la soutenance.

Je remercie sinc`erement Tudor Ratiu pour son travail efficace et pr´ecis en tant que rapporteur et pour son d´eplacement le jour de la soutenance. L’int´erˆet qu’il a port´e `a mon travail et ses encouragements ont ´et´e d’un grand r´econfort `a cette ´etape critique qu’est la fin de th`ese. Enfin, comme il m’accueillera `a partir du mois d’octobre 2005 dans son laboratoire `a Lausanne, je tiens `a lui exprimer ici toute ma gratitude et l’impatience avec laquelle j’attends de pouvoir pour- suivre mes travaux au sein de son ´equipe.

Vielen Dank an Tilmann Wurzbacher daf¨ur, daß er mit solcher Aufmerksam- keit das Manuskript durchlas, und dabei sogar noch meine franz¨osischen Recht- schreibfehler entdeckte und verbesserte. Auch wegen der zu seltenen, trotzdem aber bereichernden Gespr¨ache, die wir ¨uber die Jahre zusammen f¨uhren durften, bleibe ich ihm besonders dankbar.

Merci `a Anton Alekseev pour avoir accept´e de faire partie du jury, pour s’ˆetre d´eplac´e et pour m’avoir fait travailler sur ma th`ese bien apr`es la soutenance.

Many thanks go to Alan Weinstein who agreed to preside over the thesis committee, and did so in flawless French.

Je me dois de remercier l’´Ecole Polytechnique pour m’avoir offert un cadre de travail id´eal, ainsi que le CMLS pour avoir financ´e ma participation `a de

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nombreuses conf´erences, chose sans laquelle cette th`ese n’aurait pas pu voir le jour. Je remercie ´egalement l’Universit´e Paris 7 pour avoir financ´e trois ann´ees de cette th`ese et l’Universit´e d’Orsay pour avoir financ´e mon monitorat pendant trois ans ainsi qu’une ann´ee de 1/2 ATER.

Aux secr´etaires et aux informaticiens du CMLS/CPHT j’exprime ma grati- tude pour leur aide et leur accueil chaleureux.

Je remercie tous ceux, membres du jury, parents, amis, qui, malgr´e cette date estivale, ont pris la peine de venir assister `a cette soutenance.

Dˇekuji m´e rodinˇe, ˇze respektovala moje rozhodnut´ı vˇenovat se matematice, tˇrebaˇze to bylo pro ni neoˇcek´avan´e. Haf, haf, slurp Kaˇcence, haf.

Merci `a Fran¸cois pour ses questions pr´etendument na¨ıves auxquelles je ne sais toujours pas r´epondre, et pour avoir mis son talent et sa finesse au service de la r´edaction de cettevielsprachige Danksagung.

Obrigado a G´erard, parceiro de cena, que contribu´ıo de v´arias maneiras : n˜ao s´o me aprendeu a sabeduria e a dominar o stress, mas tambem me deu uma aj´uda log´ıstica essential ao desenvolvimento da defesa e do copo.

Alekse$i, spasibo tebe za beskoneqnye diskussii “ za izn~” voobwe i o vnutrenney politike Rossii v qastnosti. Grazie allo stupendissimo e affascinante Domenico per la simpatia, la maestria informatica, e la modestia.

Merci `a Pascal pour son rire qui traverse les murs, sa bonne humeur `a toute

´epreuve, et ses poissons.

Vielen Dank an Christian f¨ur seine einj¨ahrige Gesellschaft, unsere mathema- tische Gespr¨ache und seine Musik.

Je remercie sinc`erement Huaji pour sa sympathique compagnie, sa g´en´erosit´e et sa constante disposition `a offrir son aide. Pour les discussions que nous avons eues, je lui sais gr´e.

Aux autres th´esards — et tout sp´ecialement aux th´esardes ! — de maths et de physique qui ont accompagn´e ces quatre ann´ees pass´ees au centre j’exprime ma sympathie.

A tous ceux que, pour une raison ou une autre, je ne peux nommer ici` et qui ont contribu´e `a leur mani`ere `a la r´edaction de cette th`ese, j’exprime ma gratitude.Obrigado a todas as pessoas que por qualquer raz˜ao n˜ao pude nomear aqu´ı.

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If...

(. . .)

If you can bear to hear the truth you’ve spoken Twisted by knaves to make a trap for fools Or watch the things you gave your life to, broken, And stoop and build’em up with worn-out tools ; If you can make one heap of all your winnings And risk it on one turn of pitch-and-toss, And lose, and start again at your beginnings And never breathe a word about your loss ; If you can force your heart and nerve and sinew To serve your turn long after they are gone, And so hold on when there is nothing in you, Except the Will which says to them :“Hold on !”

(. . .)

If you can fill the unforgiving minute With sixty seconds’ worth of distance run, Yours is the Earth and everything that’s in it, And – which is more – you’ll be a man, my son ! Rudyard Kipling1

1 Extrait de la plaque comm´emorative en l’honneur de Raymond Croland (17.05.1913-08.04.1945), agr´eg´e pr´eparateur de zoologie (1938-1944), commandant des forces fran¸caises combattantes, d´ecor´e `a titre posthume, arrˆet´e par la Gestapo au deuxi`eme ´etage de l’ ´Ecole normale sup´erieure de Physique, rue Lhomond, le 14 f´evrier 1944, d´eport´e et mort en Allemagne.

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Table des mati` eres

1 Quotients k¨ahl´eriens et hyperk¨ahl´eriens dans le cadre bana-

chique 11

1.1 Introduction . . . 11

1.2 G´en´eralit´es sur les quotients k¨ahl´eriens et hyperk¨ahl´eriens dans le cadre banachique . . . 14

1.2.1 Quotient k¨ahl´erien . . . 14

1.2.2 La vari´et´e stable . . . 17

1.2.3 Potentiel k¨ahl´erien sur le quotient . . . 22

1.2.4 Exemple de la vari´et´e desp-plans (p <+∞) . . . 28

1.2.5 Quotient hyperk¨ahl´erien . . . 29

1.2.6 Exemple de l’espace cotangent de la vari´et´e des p-plans (p <+∞) . . . 31

1.3 La Grassmannienne restreinte comme quotient k¨ahl´erien . . . 37

1.3.1 Introduction . . . 37

1.3.2 Actions de groupes . . . 38

1.3.3 Le quotient k¨ahl´erien . . . 40

1.3.4 Bases de Schauder . . . 45

1.3.5 La vari´et´e stableMsk . . . 52

1.3.6 Potentiel k¨ahl´erien de la grassmanienne restreinte . . . 56

1.4 Structure hyperk¨ahl´erienne du cotangent de la Grassmanienne restreinte et de la complexification de la Grassmannienne restreinte 59 1.4.1 Introduction . . . 59

1.4.2 La structure hyperk¨ahl´erienne de TMk . . . 60

1.4.3 Les trois applications moments . . . 62

1.4.4 La surface de niveauWk . . . 63

1.4.5 La r´eduction hyperk¨ahl´erienne . . . 67

1.4.6 L’identification de la vari´et´e complexeWks1/GC avec l’es- pace cotangent deGrres0 . . . 70

1.4.7 Calcul du potentiel k¨ahl´erien associ´e `a la structure com- plexeI1 . . . 72

1.4.8 L’identification de la vari´et´e complexeWks3/GCavec l’or- bite complexifi´ee deGr0res . . . 76

1.4.9 Calcul du potentiel k¨ahl´erien K3 associ´e `a la structure complexeI3 . . . 80

2 Orbites coadjointes affines desL-groupes 85 2.1 Introduction . . . 85

2.2 L-groupes etL-alg`ebres . . . 87

(8)

2.2.1 D´efinitions, propri´et´es et exemples . . . 87

2.2.2 Syst`emes de racines desL-alg`ebres complexes . . . 91

2.2.3 Classification desL-alg`ebres simples . . . 95

2.3 Orbites coadjointes affines . . . 97

2.3.1 G´en´eralit´es sur les orbites coadjointes affines . . . 97

2.3.2 Orbites k¨ahl´eriennes desL-groupes simples de type com- pact . . . 100

2.4 Orbites hermitiennes sym´etriques . . . 102

2.4.1 Introduction . . . 102

2.4.2 Classification des orbites coadjointes affines hermitiennes sym´etriques irr´eductibles de type compact . . . 103

2.4.3 Description des orbites coadjointes affines hermitiennes sym´etriques de type compact et de leurs injections dans une grassmannienne . . . 107

2.4.4 Sous-alg`ebres ab´eliennes maximales et racines fortement orthogonales . . . 111

2.5 Th´eor`eme de Mostow . . . 116

2.5.1 Introduction . . . 116

2.5.2 La vari´et´eP des op´erateurs auto-adjoints d´efinis positifs deGl2(H) . . . 116

2.5.3 Sous-espaces totalement g´eod´esiques deP . . . 120

2.5.4 Projection orthogonale de P sur un sous-espace totale- ment g´eod´esique . . . 123

2.5.5 Preuve du th´eor`eme de Mostow pourGl2(H) . . . 125

2.5.6 Th´eor`eme de Mostow pour unL-groupe semi-simple . . 127

2.6 Structure hyperk¨ahl´erienne de l’orbite complexifi´eeOCDd’une or- bite coadjointe affine hermitienne sym´etriqueODd’unL-groupe semi-simple de type compact et deT0OD . . . 129

2.6.1 Fibration de l’orbite complexifi´ee au-dessus de l’orbite de type compact . . . 129

2.6.2 Structure hyperk¨ahl´erienne de l’orbite complexifi´ee . . . . 132

2.6.3 Identification de l’orbite complexifi´ee avec l’espace tan- gent de l’orbite de type compact . . . 134

2.6.4 Expression de la m´etrique hyperk¨ahl´erienne de l’espace tangent de l’orbite de type compact . . . 136

A Structures g´eom´etriques sur les vari´et´es banachiques 143 A.1 G´eom´etrie diff´erentielle dans le cadre banachique . . . 143

A.1.1 Diff´erentielle d’une application entre deux espaces de Ba- nach . . . 143

A.1.2 Vari´et´es banachiques . . . 144

A.1.3 Morphismes de vari´et´es, espace tangent et application tan- gente . . . 149

A.1.4 Les briques de la th´eorie . . . 150

A.1.5 Sous-vari´et´es banachiques . . . 152

A.1.6 Groupes de Lie et alg`ebres de Lie banachiques . . . 157

A.1.7 Fibr´es vectoriels et fibr´es principaux . . . 158

A.1.8 Champs de vecteurs . . . 160

A.1.9 Formes diff´erentielles . . . 163

A.1.10 Calcul de Lie . . . 164

(9)

A.1.11 Le th´eor`eme de Frobenius . . . 166

A.1.12 Connexions . . . 166

A.2 Vari´et´es banachiques riemanniennes . . . 169

A.2.1 D´efinition et exemples . . . 169

A.2.2 Connexion de Levi-Civita . . . 170

A.2.3 G´eod´esiques . . . 171

A.3 Vari´et´es banachiques symplectiques . . . 172

A.3.1 D´efinitions et exemples . . . 172

A.3.2 La structure symplectique canonique d’un cotangent . . . 174

A.3.3 La structure symplectique canonique d’une orbite coadjointe175 A.3.4 Exemples deGr(p) etGrres . . . 176

A.3.5 Le Th´eor`eme de Darboux . . . 177

A.3.6 Application moment . . . 178

A.4 Vari´et´es banachiques presque-complexes . . . 179

A.4.1 D´efinitions . . . 179

A.4.2 Le Th´eor`eme de Newlander-Nirenberg . . . 179

A.4.3 Fonctions analytiques et holomorphes sur un espace de Banach . . . 180

A.4.4 La connexion de Chern . . . 181

A.5 Vari´et´es banachiques k¨ahl´eriennes . . . 184

A.5.1 D´efinitions et exemples . . . 184

A.5.2 Potentiel k¨ahl´erien . . . 186

A.6 Vari´et´es banachiques hyperk¨ahl´eriennes . . . 187

A.6.1 D´efinitions et exemples . . . 187

A.6.2 Potentiel hyperk¨ahl´erien . . . 189

B G´eom´etrie des espaces homog`enes 191 B.1 D´efinitions . . . 191

B.2 Connexion homog`ene . . . 191

B.3 Exemples . . . 193

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Chapitre 1

Quotients k¨ ahl´ eriens et hyperk¨ ahl´ eriens dans le cadre banachique

1.1 Introduction

Une vari´et´e k¨ahl´erienne de dimension finie est une vari´et´e riemannienne munie d’une structure complexe orthogonale parall`ele pour la connexion de Levi-Civita. En associant la m´etrique riemannienne avec la structure complexe, on obtient une forme symplectique, appel´ee forme de K¨ahler. Une vari´et´e hy- perk¨ahl´erienne de dimension finie est une vari´et´e munie d’une m´etrique rieman- nienne g et de trois structures complexes I, J, K telles que : IJK = −1, et telles que g soit k¨ahl´erienne par rapport `a chacune des structures complexes.

Une vari´et´e hyperk¨ahl´erienne est donc munie de trois forme de K¨ahler,ω12, et ω3, et le choix d’une des structures complexes, par exempleIpermet de d´efinir une structure symplectique complexe par : Ω =ω2+iω3.

D. Kaledin et B. Feix ont montr´e ind´ependamment dans [Kal] et [Fei], que, une vari´et´eN munie d’une m´etrique k¨ahl´erienne gN ´etant donn´ee, il existe une m´etrique hyperk¨ahl´erienne g d´efinie sur un voisinage de la section nulle deTN, compatible avec la structure symplectique holomorphe naturelle de l’espace co- tangent, et telle que la restriction de g `aN soit gN, unique si l’on suppose queg estS1-invariante. D. Kaledin utilise pour sa d´emonstration la notion de vari´et´e de Hodge, alors que B. Feix utilise des techniques twistorielles. Cependant les exemples explicites de m´etriques hyperk¨ahl´eriennes sont peu nombreux.

O. Biquard et P. Gauduchon construisent dans [BG1] la m´etrique hyper- k¨ahl´erienne des espaces cotangents des espaces hermitiens sym´etriques, et dans [BG2] la m´etrique hyperk¨ahl´erienne des orbites coadjointes de type compact sym´etriques d’un groupe de Lie complexe semi-simple, et ´etablissent des for- mules pour les potentiels k¨ahl´eriens, permettant d’obtenir une expression expli- cite de la m´etrique. Dans [BG3], ces mˆemes auteurs identifient ces structures hyperk¨ahl´eriennes, montrant ainsi que l’espace cotangent et l’orbite complexe sont les deux facettes d’un mˆeme objet hyperk¨ahl´erien qui apparaissent selon la struture complexe distingu´ee. Ces r´esultats reposent sur une th´eorie fine des

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racines des espaces hermitiens sym´etriques, `a savoir la th´eorie des racines for- tement orthogonales, qui exprime les propri´et´es sp´ecifiques de la courbure d’un espace hermitien sym´etrique.

La grassmannienne restreinteGrresest un exemple d’espace hermitien sym´e- trique de dimension infinie. Nous montrons qu’il peut ˆetre obtenu comme quo- tient k¨ahl´erien `a partir d’une vari´et´e banachique non hilbertienne. La partie symplectique de ce r´esultat a ´et´e montr´ee ind´ependamment par T. Wurzbacher (non publi´e, mais expos´e `a plusieurs reprises, en particulier dans [Wur2]). Dans un second temps, nous construisons une structure hyperk¨ahl´erienne sur l’espace (co-)tangent deGrres telle que la restriction `a la section nulle soit la structure k¨ahl´erienne deGrres. Pour cela un quotient hyperk¨ahl´erien est utilis´e.

La th´eorie du quotient symplectique a ´et´e initi´ee par J.E. Marsden et A.

Weinstein dans [MW1]. Elle a ´et´e utilis´ee en dimension finie notamment pour construire de nouvelles vari´et´es symplectiques. Des applications en dimension infinie sont fournies par J.E. Marsden et T. Ratiu dans [MR] qui d´eveloppent l’id´ee de V.I. Arnold selon laquelle les ´equations du mouvement d’un fluide s’in- terpr`etent comme les ´equations des g´eod´esiques d’un groupe de Lie de dimen- sion infinie. Un autre exemple de r´eduction symplectique en dimension infinie est donn´e dans [MW3] en relation avec l’´equation de Maxwell-Vlasov (un expos´e extensif de l’histoire et des applications de la r´eduction symplectique est donn´e dans [MW2]). La r´eduction k¨ahl´erienne et la r´eduction hyperk¨ahl´erienne sont des raffinements de cette th´eorie. Une version de dimension infinie bas´ee sur l’´etude des´equations de Nahmest utilis´ee par P.B. Kronheimer dans [Kro1] et [Kro2] pour ´etablir la structure hyperk¨ahl´erienne des orbites coadjointes semi- simples maximales et nilpotentes d’un groupe de Lie semi-simple complexe (de dimension finie), r´esultats qui furent ensuite g´en´eralis´es par O. Biquard dans [Biq] et A.G. Kovalev dans [Kov] au cas d’une orbite g´en´erale.

Dans [Kac], V.G Kac regroupe les groupes et alg`ebres de Lie de dimension infinie en 4 classes (d’intersection non vide) :

1) les groupes de diff´eomorphismes d’une vari´et´e et les alg`ebres de Lie de champs de vecteurs associ´ees ;

2) les groupes (resp. alg`ebres) d’applications lisses d’une vari´et´e dans un groupe de Lie de dimension finie (resp. dans l’alg`ebre de Lie associ´ee) ;

3) les groupes de Lie et alg`ebres de Lie classiques d’op´erateurs sur un espace de Hilbert ou un espace de Banach ;

4) les alg`ebres de Kac-Moody.

Les exemples de r´eduction en dimension infinie cit´es pr´ec´edemment concernent les deux premi`eres classes de groupes. Nous pr´esentons un exemple de r´eduction k¨ahl´erienne et un exemple de r´eduction hyperk¨ahl´erienne mettant en jeu des groupes de la troisi`eme classe.

Dans la section 1.2, nous exposons les g´en´eralit´es sur les quotients k¨ahl´eriens et hyperk¨ahl´eriens dans le cadre banachique en mettant l’accent sur la surface stable associ´ee `a une surface de niveau, ainsi que la th´eorie du potentiel k¨ahl´erien sur un quotient issue de la th´eorie de pr´equantisation de Kostant-Souriau. Nous illustrons ces g´en´eralit´es par l’exemple de la grassmannienneGr(p) desp-plans (p < +∞) d’un espace de Hilbert pour le quotient k¨ahl´erien et de l’espace cotangent de Gr(p) pour le quotient hyperk¨ahl´erien. Ces exemples sont parti- culi`erement simples car les m´etriques qui rentrent en jeu sont fortement rie- manniennes, ce qui garantit l’existence d’un suppl´ementaire topologique `a tout sous-espace vectoriel ferm´e.

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Dans la section 1.3, nous r´ealisons chaque composante connexe de la grass- manienne restreinteGrrescomme quotient k¨ahl´erien d’un espace de Banach plat Mkpar un groupe de Lie banachiqueG, et nous retrouvons par ce biais la struc- ture de vari´et´e hilbertienne deGrres(plus pr´ecis´ement la famille `a un param`etre r´eelkde structures hilbertiennes proportionnelles deGrres issue des identifica- tions possibles deGrresavec une orbite adjointe d’un groupe de Lie banachique), ainsi que le potentiel k¨ahl´erien obtenu par injection de Pl¨ucker. La n´ecessit´e d’introduire un espace de Banach plutˆot qu’un espace de Hilbert d´ecoule de l’expression de l’application moment, faisant intervenir la trace d’un op´erateur.

L’identification de l’espace quotient avec la grassmannienne restreinte (et non avec un sous-ensemble de celle-ci) repose sur l’existence d’une base canonique associ´ee `a chaque ´el´ement deGrreset d´efinissant un ´el´ement de la surface stable.

La r´esolution des ´equations d´efinissant la surface stable est ´egalement pr´esent´ee.

Remarquons que l’action transitive d’un groupe de Lie banachique sur la sur- face de niveau permet d’obtenir `a peu de frais l’existence des suppl´ementaires topologiques garantissant le caract`ere diff´erentiable des vari´et´es ´etudi´ees.

Dans la section 1.4, nous construisons le quotient hyperk¨ahl´erien de l’espace tangentTMkpar le groupeG, et nous l’identifions soit `a l’espace (co-)tangent de la grassmannienne restreinte, soit `a l’orbite complexifi´ee deGrres, en fonction de la structure complexe choisie. L’identification se fait dans les deux cas par le biais de la surface stable associ´ee `a la structure complexe distingu´ee. Pour chaque valeur du param`etre k, la structure hyperk¨ahl´erienne obtenue ´etend une des structures k¨ahl´eriennes de la grassmannienne restreinte. Notons que deux struc- tures hyperk¨ahl´eriennes de la famille obtenue sont essentiellement diff´erentes (non proportionnelles). Signalons ´egalement que l’action naturelle du groupe de Lie banachique sur la surface de niveau n’est pas transitive. D’autre part, nous exprimons le potentiel k¨ahl´erien associ´e `a la structure complexe naturelle de l’espace cotangent de la grassmannienne restreinte en fonction de la courbure de Grres. Le potentiel k¨ahl´erien associ´e `a la structure complexe naturelle de l’orbite complexifi´ee est ´egalement explicit´e. Nous en donnons une expression en fonction de la courbure de Grres, et une autre en fonction des angles ca- ract´eristiques d’un couple de sous-espaces appartenant `a l’orbite complexifi´ee.

Ces formules de potentiels g´en´eralisent au cas de la dimension infinie les for- mules obtenues par O. Biquard et P. Gauduchon dans le cadre de la dimension finie.

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1.2 G´ en´ eralit´ es sur les quotients k¨ ahl´ eriens et hyperk¨ ahl´ eriens dans le cadre banachique

1.2.1 Quotient k¨ ahl´ erien

Soit Mune vari´et´e banachique surK=RouC, munie d’une forme faible- ment symplectique ω, et d’une action diff´erentiable d’un groupe de Lie bana- chiqueG(surK) d’alg`ebre de Lieg.

D´efinition 1.2.1 Une application moment pour l’action d’un groupe de Lie banachique Gsur une vari´et´e banachiqueM est une application diff´erentiable µd´efinie surM`a valeurs dans le dual continug0degsatisfaisant la condition :

x(a) = +iXaω,

pour toutxdeMet touta deg, o`uXad´esigne le champ de vecteurs engendr´e par l’´el´ementade l’alg`ebre de Liegvia l’action infinit´esimale du groupe. L’ac- tion deGsurMest ditehamiltoniennelorsqu’il existe une application moment G-´equivariante, i.e. telle que pour toutxdeMet toutg deG,

µ(g.x) = Ad(g)(µ(x)).

o`u Ad d´esigne l’action coadjointe deGsurg0.

D´efinition 1.2.2 Une valeur r´eguli`ere de l’application moment est un ´el´ement ξdeg0tel que pour toutxappartenant `aµ1(ξ),dµx :TxM →g0est surjective, et telle que Kerdµx poss`ede un suppl´ementaire topologique.

Remarque 1.2.3 Siξest une valeur r´eguli`ere deµ alorsµ1(ξ) est une sous- vari´et´e deM, appel´ee surface de niveauξ. Si, de plus,µestG-´equivariante et si ξest un ´el´ement Ad(G)-invariant deg0, alors la vari´et´eµ1(ξ) est stable sous l’action deGet on peut consid´erer l’espace quotientµ1(ξ)/G.

Dans la suite, ξd´esigne une valeur r´eguli`ere Ad(G)-invariante d’une appli- cation momentµassoci´ee `a l’action de GsurM. Rappelons quelques r´esultats classiques sur la topologie et la g´eom´etrie des espaces quotients. Les propositions 1.2.4, 1.2.5 et 1.2.6 sont respectivement la proposition 3 chap.III paragraphe 4.2 de [Bou2], la proposition 6 chap.III paragraphe 4.3 de [Bou2] et la proposition 10 chap.III paragraphe 1.5 de [Bou3], modulo changements de notations.

Proposition 1.2.4 ([Bou2]) SiGagit proprement sur une vari´et´eN, l’espace quotient N/G muni de la topologie quotient est s´epar´e.

Proposition 1.2.5 ([Bou2]) Si Gagit librement surN, l’action de GsurN est propre si et seulement si le grapheC de la relation d’´equivalence d´efinie par Gest ferm´e dans N × N et l’application canonique C →Gcontinue.

Proposition 1.2.6 Soitξest une valeur r´eguli`ereAd(G)-´equivariante de l’ap- plication moment. Si, pour tout x dans µ1(ξ), il existe un suppl´ementaire topologiqueHx dansTxµ1(ξ)de l’espace tangent `a l’orbite dex, alors l’espace quotientµ1(ξ)/G poss`ede une unique structure de vari´et´e banachique telle que la projection sur le quotient π :µ1(ξ)→µ1(ξ)/G soit une submersion.

(15)

Remarque 1.2.7 Soit b une forme bilin´eaire anti-sym´etrique continue sur un espace de BanachBtelle quebr´ealise une injection ˜bdeBdans son dual continu B0 par ˜b(X) :=b(X, .), X ∈B. Pour tout sous-espace vectorielAde B on a l’inclusion :

A¯⊂ Abb

,

mais pas l’´egalit´e en g´en´eral. L’´egalit´e signifie que toute forme lin´eaire continue qui s’annule surAb est de la forme ˜b(X) pour unX ∈A, ce qui constitue une propri´et´e particuli`ere de l’espace vectorielAen question (cf [MW1]).

Proposition 1.2.8 Si µ−1(ξ)/Gest une vari´et´e banachique, la condition : TxG.x=

TxG.xωω

pour tout x∈µ−1(ξ)assure queµ−1(ξ)/G est une vari´et´e faiblement symplec- tique.

2Preuve de la proposition1.2.8 :

Siµ1(ξ)/Gest une vari´et´e banachique et siGagit par symplectomorphismes, on d´efinit une 2-formeωredsur le quotient par :

ωred,[x](X, Y) :=ωx( ˜X,Y˜),

pour tousX,Y appartenant `a T[x]µ1(ξ), o`u πX˜ =X et πY˜ =Y. Remar- quons que pour tout x∈ µ1(ξ) l’espace tangent Txµ1(ξ) est exactement le noyau de la diff´erentielledµx de sorte que pour touta∈g, la 1-formeiXaω est nulle surµ1(ξ). Puisque l’espace tangent en x`a l’orbite sous G, TxG.x, est engendr´e par{Xa(x),a∈g}, on en d´eduit que :

Txµ1(ξ) =TxG.xω et

TxG.x⊂Txµ−1(ξ)ω.

On a alorsπωred|µ−1(ξ)et la fermeture deωimplique la fermeture deωred. Le noyau de ωred en un point [x] est πTxµ1(ξ)ω. Pour que ωred soit une forme symplectique, il faut queTxµ1(ξ)ω =TxG.x, c’est-`a-dire que

TxG.x=

TxG.xωω

.

2 Remarque 1.2.9 Si la vari´et´eMest munie d’une m´etrique g faiblement rie- mannienne G-invariante, l’existence d’une tranche G-invariante H permet de d´efinir une m´etrique faiblement riemannienne gred sur le quotient µ1(ξ)/G par :

gred,[x] : T[x]µ1(ξ)/G×T[x]µ1(ξ)/G → R

(X, Y) 7→ gx( ˜X,Y˜),

pour toutx∈µ1(ξ), o`u ˜X(resp. ˜Y) est l’unique vecteur deHxtel queπ( ˜X) = X (resp.π( ˜Y) =Y). Remarquons que dans le cas faiblement riemannien, si TxG.xg d´esigne l’orthogonal deTxG.x dansTxµ1(ξ), on a bien :

TxG.x∩TxG.xg ={0}, mais en g´en´eral pas :

TxM=TxG.x⊕TxG.xg

(16)

Dans le cas o`uω et g sont reli´ees par une structure complexe formellement int´egrable I, i.e. si l’endomorphisme G-´equivariant I d´efini par g(IX, Y) = ω(X, Y) v´erifieI2=−1 et

N(X, Y) := [X, Y] +I[X, IY] +I[IX, Y]−[IX, IY] = 0,

pour tousX et Y appartenant `a TxM, o`u N d´esigne le tenseur de Nijenhuis, on a le th´eor`eme suivant :

Th´eor`eme 1.2.10 Soit M une vari´et´e banachique k¨ahl´erienne munie d’une action propre et hamiltonienne d’un groupe de Lie banachique G respectant la structure k¨ahl´erienne. Si l’espace tangent `a l’orbite d’un point xappartenant `a la surface de niveauµ1(ξ)d’une valeur r´eguli`ere Ad(G)-invariante de l’appli- cation momentµ v´erifie :

TxG.x⊕TxG.xg =Txµ−1(ξ),

alors le quotient k¨ahl´erienM//G:=µ1(ξ)/Gest une vari´et´e k¨ahl´erienne lisse.

Preuve du th´eor`eme 1.2.10 : La condition

TxG.x⊕TxG.xg =Txµ1(ξ) implique que

TxG.xωω

=TxG.x, ce qui est ´equivalent `a

TxG.xgg

=TxG.x.

Dans le cas o`u ces conditions sont v´erifi´ees, l’orthogonal Hx := TxG.xg de TxG.x dansTxµ1(ξ) fournit une trancheG-´equivariante qui permet de d´efinir une structure de vari´et´e diff´erentiable sur le quotientµ1(ξ)/G, qu’une metrique faiblement riemannienne. Pour d´efinir la structure complexe sur le quotient, remarquons que :

IHx=I(TxG.x) ⊂Txµ−1(ξ) = (TxG.x)ω.

D’autre part,IHxest orthogonal `aTxG.x. Ainsi l’espaceHxest stable parIet permet de d´efinir une structure presque-complexeIred sur le quotient par :

Ired : T[x]µ1(ξ)/G → T[x]µ1(ξ)/G X 7→ πIxX,˜

o`uπest la projection sur le quotient et o`u ˜X est l’unique ´el´ement deHxqui se proj`ete surX. De plus, pour tous champs de vecteursX et Y surµ1(ξ)/G, la projectionπv´erifie :

[X, Y] =π [ ˜X,Y˜]

,

o`u ˜X (resp. ˜Y) est le champ de vecteur horizontal (i.e. v´erifiant ˜X(x)∈Hx) tel queπ( ˜X) =X (resp.π( ˜Y) =Y), et la d´efinition de Ired s’´ecrit :

IredπX˜ =πIX.˜

(17)

L’int´egrabilit´e formelle deI implique alors l’int´egrabilit´e formelle deIred car le tenseur de Nijenhuis deIreda pour expression :

N(X, Y) := [X, Y] +Ired[X, IredY] +Ired[IredX, Y]−[IredX, IredY]

[ ˜X,Y˜] +Iredπ[ ˜X, IY˜] +Iredπ[IX,˜ Y˜]−π[IX, I˜ Y˜]

(N( ˜X,Y˜)).

pour tousX,Y appartenant `aT[x]µ1(ξ) et tous rel`evements horizontaux ˜X et

Y˜.

D´efinition 1.2.11 La vari´et´e µ1(ξ)/G munie des structures riemanniennes gred, symplectique ωred et complexe Ired obtenues par ce proc´ed´e est appel´ee quotient k¨ahl´erien de la vari´et´e initialeMpar le groupeG.

1.2.2 La vari´ et´ e stable

D´efinition et propri´et´es de la vari´et´e stable

Soit (M, ω,g, I) une vari´et´e banachique (faiblement) k¨ahl´erienne, munie d’une action hamiltonienne d’un groupe de Lie banachique G pr´eservantω,g etI, etξune valeur r´eguli`ere de l’application momentµ, telles que le quotient µ1(ξ)/Gposs`ede une structure naturelle de vari´et´e (faiblement) k¨ahl´erienne.

D´efinition 1.2.12 Si l’action de Gsur M s’´etend en une action holomorphe d’un groupe de Lie banachique complexeGCd’alg`ebre de LiegC :=g⊕ig, alors on peut d´efinir la vari´et´e stableMsassoci´ee `a la surface de niveauµ1(ξ) par :

Ms :={ x∈ M | ∃ g∈GC, g.x∈µ1(ξ)}.

Remarque 1.2.13 Toute alg`ebre de Lie banachique n’est pas l’alg`ebre de Lie d’un groupe de Lie, comme le montre par exemple W. Van Est et Th.J. Kor- thagen dans [EK].

On supposera dans la suite que :

TxM=Tx−1(ξ))⊕I.TxG.x.

C’est une hypoth`ese naturelle qui sera v´erifi´ee dans les exemples que nous

´etudions dans cette th`ese. Elle implique en particulier que l’espace tangent `a Ms en x est TxM et donc que Ms est un ouvert de M. En g´en´eral,Ms ne recouvre pasM. Des exemples o`uMs=Msont donn´es dans [Kro1], [Kro2] et [Biq].

Proposition 1.2.14 SiGCposs`ede une d´ecomposition polaire de la formeGC= exp(ig).G, alors, pour toutx∈µ1(ξ), on a :

GC.x∩µ1(ξ) =G.x.

2Preuve de la proposition1.2.14 :

Supposons qu’il existe g ∈ GC tel que g.x ∈ µ1(ξ). Comme µ1(ξ) est G- invariant et que GC = expig.G, il suffit de consid´erer le cas o`u g = expia ,

(18)

M

x G.x

µ−1(ξ) expig.x

GC.x

Fig.1.1 – L’orbite dexsousGC intersecte la surface de niveau selonG.x a∈g. Consid´erons la fonctionh :R→R d´efinie parh(t) =µ((expita).x)(a).

On a h(0) = h(1) = ξ(a). D’apr`es le th´eor`eme de Rolle, il existe t0 ∈]0,1[ tel que :

0 =h0(t0) =dyµ(ia.y)(a) =−ωy(ia.y,a.y) =ka.yk2,

o`uy = exp(it0a).x. Ainsi a.y = 0 et exp(iaR) fixey, donc ´egalementx. On en

d´eduit que exp(iaR).x∩µ1(ξ) ={x}. 2

(19)

Dans toute la suite on supposera que GC poss`ede une d´ecomposition polaire.

Proposition 1.2.15 Si G agit librement sur µ1(ξ), alors GC agit librement surMs.

2Preuve de la proposition1.2.15 :

Soientx∈µ1(ξ),u∈Get a∈gtels que exp(ia)u.x=x. Comme : exp(iaR).(ux)∩µ−1(ξ) ={ux},

on aux=x, etu=e. De plus, d’apr`es la d´emonstration de la proposition 1.2.14, la condition exp(ia).x= ximplique que exp(iaR) stabilise x, d’o`u a.x= 0 et

a= 0. 2

Proposition 1.2.16 Si G agit librement sur µ1(ξ), pour tout y de Ms, il existe un unique ´el´ement g(y) de expig tel que g(y).y appartienne `a µ1(ξ).

L’applicationg :Ms→expigest lisse et permet de d´efinir une projection lisse qde la surface stable Mssur la surface de niveau µ1(ξ)par :

q(y) =g(y).y.

De plus, siξest AdG-invariante, la projectionq estG-´equivariante.

2Preuve de la proposition1.2.16 :

Soity∈ Mseta,b∈gtels que expia.yet expib.yappartiennent `aµ1(ξ).

D’apr`es la proposition 1.2.14, il existe u ∈ G tel que expia.y = uexpib.y.

D’apr`es la proposition 1.2.15, GC agit librement sur Ms. On en d´eduit que expia = uexpib. Par unicit´e de la d´ecomposition polaire, il en d´ecoule que expia= expibetu= Id, d’o`u la d´efinition deget q.

Montrons que l’application :

g : Ms → expig y 7→ g(y)

est lisse. PuisqueGCagit de mani`ere diff´erentiable sur Ms, on en d´eduira que qest lisse ´egalement. Consid´erons l’application suivante :

φ : expig× Ms → M ( expia, y) 7→ expia·y,

qui envoie expig× MssurMs. (Rappelons que expigh´erite d’une structure de vari´et´e banachique de son identification avec l’espace homog`eneGC/G.) Nous allons montrer queφest transverse `aµ−1(ξ) (voir paragraphes 5.11.6 et 5.11.7 de [Bou3] pour une definition de cette notion), il en d´ecoulera que le sous-ensemble

φ1 µ1(ξ)

= { (g(y), y), y ∈ Ms}

est une vari´et´e lisse de expig× Ms. La diff´erentiabilit´e de l’application g sera alors cons´equence de la diff´erentiabilit´e de la projectionp1 : expig× Ms → expigsur le premier facteur. La diff´erentielle deφau point (expia, y) de expig× Msest :

(dφ)(expia,y) ((Rexpia)(ib), Z)

:=ib·(expia·y)⊕(expia)(Z).

(20)

Remarquons que, pour tout ´el´ement (expia, y) deφ1 µ1(ξ) , on a : (dφ)(expia,y)(0×TyMs) = TxMs

o`u x := expia·y, ainsi (dφ)(expia,y) est surjective. Il reste `a montrer que le sous-espace

(dφ)(expia,y)1 Tx−1(ξ))

admet un supplementaire ferm´e. Pour cela, notons que l’espace tangentTyMs est isomorphe `a

(exp(−ia)) Tx µ1(ξ)

⊕ (exp(−ia))(ig·x). Ainsi l’espace tangent

T(expia,y)(expig× Ms) = Texpia(expig)×TyMs est isomorphe `ag×Tx µ−1(ξ)

×ggrˆace `a l’isomorphismesuivant :

 : g×Tx µ1(ξ)

×g → Texpia(expig)×TyMs

(b, W , c) 7→ (Rexpia)(ib), (exp(−ia))(W) + (exp(−ia))(ic·x) . L’´el´ement (b, W,c) appartient `a (dφ)(exp1 ia,y) d`es que ib·x+W +ic·x ∈

Tx µ1(ξ)

. PuisqueGagit librement surM, on en d´eduit que le sous-espace (dφ)(expia,y)1 Tx1(ξ))

est

{(b, W,−b), b∈g, W ∈Tx µ−1(ξ) }. Par cons´equent,

{(b,0,b), b∈g} est un suppl´ementaire topologique qui convient.

Soity ∈ Ms et a∈gtel que expia =g(y). LaG-´equivariance de µet la G-invariance deξ implique :

µ(u. expia. y) = Ad(u)(ξ) =ξ,

pour toutuappartenant `aG. Commeu. expia= exp Adu(ia).u, on a : q(u.y) =u.q(y).

2 Proposition 1.2.17 Si G agit librement et proprement sur µ1(ξ), alors GC agit (librement et) proprement surMs.

2Preuve de la proposition 1.2.17 :

D’apr`es la proposition 1.2.15,GCagit librement surMs. D’apr`es la proposition 1.2.5,GC agit proprement surMssi et seulement si le graphe ˜C de la relation d’´equivalence d´efinie parGCest ferm´e dansMs×Msest l’application canonique C˜dansGC est continue.

(21)

Montrons que ˜C est ferm´e dans Ms× Ms. NotonsC le graphe de la rela- tion d’´equivalence d´efinie par l’action deGsur µ1(ξ). Soit{(yn, vn·yn)}n∈N

une suite d’´el´ements de ˜C, qui converge vers un ´el´ement (y, z) de Ms× Ms. D’apr`es la proposition 1.2.14 et la continuit´e de la projection q, la suite {(q(yn), q(vn·yn))}nNappartient `aC et converge vers (q(y), q(z)). Comme Cest ferm´e dansµ1(ξ)×µ1(ξ), on en d´eduit queq(z) =u·q(y) pour un udansG. Alorsz=g(z)−1ug(y)·y. Ainsi ˜Cest ferm´e dansMs×Ms. Montrons que l’application canonique ˜ιde ˜C dansGC est continue. Soitι l’application canonique deC dansG. On a :

˜

ι(y, z) 7→ g(z)1◦ι(q(y), q(z))◦g(y),

et la continuit´e de ˜ι est cons´equence de la continuit´e des applicationsι, get q.

2

x = q(y) = g(y) · y exp ig · x

Vari´et´e stable M

s

y

Surface de niveau µ

1

(ξ)

Fig.1.2 –Il existe une projection G-´equivarianteq de la vari´et´e stableMs sur la surface de niveauµ1(ξ)(proposition 1.2.16).

Th´eor`eme 1.2.18 Soit M une vari´et´e banachique k¨ahl´erienne munie d’une action lisse et hamiltonienne d’un groupe de Lie banachique G, agissant libre- ment et proprement surM en pr´eservant la structure k¨ahl´erienne. Supposons que l’action de G sur M s’´etende en une action holomorphe d’un groupe de Lie complexeGC=G·expig. Soitξ une valeur r´eguli`ere Ad(G)-invariante de l’application moment µ. Si pour tout x de µ1(ξ), l’orthogonal (TxG.x)g de TxG.x dansTx µ1(ξ)

satisfait

TxM = TxG.x ⊕ (TxG.x)g ⊕ I(TxG.x),

(22)

alors l’espace quotientMs/GC est une vari´et´e banachique complexe isomorphe

`

a la vari´et´e k¨ahl´erienne lisse M//G:=µ1(ξ)/Gcomme vari´et´e complexe. De plus, l’existence d’un atlas holomorphe sur M implique l’existence d’un atlas holomorphe surMs/GC, donc sur M//G.

Preuve du th´eor`eme 1.2.18 :

D’apr`es les propositions 1.2.15 et 1.2.17,GC agit librement et proprement sur Ms. La diff´erentiabilit´e de l’appliaction g et la tranche G-equivariante H de µ1(ξ) donn´ee par Hx := (TxG.x)g, permettent de d´efinir une tranche G- equivariante deMs, ´egalement mont´eeH, par :

Hy:=g(y)1 Hq(y)

⊂TyMs,

pour toutydansMs. L’espace tangentTyMsadmet la d´ecomposition suivante : TyMs=Hy⊕Ty GC.y

.

D’apr`es la proposition 1.2.6, il suit queMs/GCadmet une unique structure de vari´et´e banachique (r´eelle) telle que l’application quotient soit une submersion.

Puisque pour tout ´el´ementydeMs,Hq(y)estI-invariant, et puisque l’action deGCsurMest holomorphe, pour toutydeMs, le sous-espaceHy deTyMs estI-invariant etMs/GCh´erite d’une structure de vari´et´e complexe.

De plus, puisque la structure complexe du quotient Ms/GC provient de la structure complexe deM, l’injection naturelleµ−1(ξ),→ Msinduit un isomor- phisme de vari´et´es complexes entreµ−1(ξ)/Get Ms/GC.

Enfin, Ms´etant un ouvert deM, l’existence de cartes holomorphes surM permet d’appliquer la proposition 1.2.6 au quotient holomorpheMs/GC, et d’en d´eduire l’existence de cartes holomorphes surMs/GC.

1.2.3 Potentiel k¨ ahl´ erien sur le quotient

Soit (M, ω,g, I) une vari´et´e k¨ahl´erienne banachique, munie d’une action d’un groupe de Lie banachiqueG, d’alg`ebre de Lieg, pr´eservantω,g etIet qui s’´etend en une action holomorphe d’un groupe de Lie complexe GC d’alg`ebre de Lie gC = g⊕ig. Supposons qu’il existe sur M un potentiel k¨ahl´erien G- invariant globalement d´efini, c’est-`a-dire une fonctionKd´efinie surMtelle que ω = ddcK, o`u l’op´erateur dc est d´efinit par dc := IdI1 et o`u I agit sur les n-formes diff´erentiellesφpar :

(Iφ)x(X1, . . . , Xn) := (−1)nφ(IX1, . . . , IXn).

pour toutxdeM, et tousX1, . . . , Xn deTxM. Alors l’action de Gest hamil- tonienne (cf Appendice ) d’application momentµd´efinie par :

µ(x)(a) := +dKx(IXa),

o`uxappartient `aMet aappartient `ag. En outreµestG-´equivariante.

Lemme 1.2.19 SiKest un potentiel k¨ahl´erien globalement d´efini sur(M, ω, I), alors le fibr´e trivial (holomorphe) L=M ×Cmuni de la connexion de Chern

∇ associ´ee au produit scalaire hermitien h surL donn´e par h(σ(x), σ(x)) :=

e2K(x), o`u σ est la section canonique σ(x) = (x,1), pr´equantifie M au sens o`uR=iω.

(23)

MPreuve du lemme1.2.19 :

Etant donn´ee une section holomorphe σ, l’expression de la courbure de la connexion de Chern est donn´ee par :

R= 1

2iddclogh(σ, σ),

(cf appendice). Ainsi le produit scalaire hermitien v´erifieddclogh(σ, σ) =−2ω=

−2ddcKc’est-`a-dire logh=−2K+φ, o`uφest un ´el´ement du noyau deddc que

l’on a pris nul ici. M

Dans la suite, on se donne une valeur r´eguli`ere ξ de l’application moment µ, telle que le quotient µ1(ξ)/G poss`ede une structure naturelle de vari´et´e k¨ahl´erienne.

Le but de ce paragraphe est d’expliciter un potentiel k¨ahl´erien sur le quotient µ−1(ξ)/Gen construisant un fibr´e holomorphe hermitien en droites complexes ( ˆL,h) au dessus deˆ µ1(ξ)/G`a partir du fibr´e (L, h), qui pr´equantifieµ1(ξ)/G.

Le lemme pr´ec`edent ´etablit le lien entre un produit scalaire hermitien sur un fibr´e trivial et un potentiel globalement d´efini. Si le pull-back du fibr´e quantifiant ( ˆL,h) sur la vari´et´e stableˆ Ms est un fibr´e hermitien trivial, alors le pull-back du produit scalaire hermitien ˆhpermet d’´ecrire un potentiel globalement d´efini surMs.

L’id´ee de la quantification induite est de d´efinir le fibr´e sur le quotient comme l’ensemble des classes d’´equivalence du fibr´e initial restreint `a la surface de niveau sous une action ad´equate du groupe G. Pour d´efinir une connexion sur le quotient µ−1(ξ)/G, on a besoin d’une connexion auxiliaire sur le fibr´e π :µ−1(ξ)→µ−1(ξ)/Gafin de pouvoir relever un champ de vecteurs tangents au quotient en un champ de vecteurs tangents `a la surface de niveau. La dis- tribution horizontaleHx, x ∈ M, utilis´ee pour d´efinir la structure de vari´et´e de µ−1(ξ)/G fournit une telle connexion, que l’on notera ˜∇. La d´eriv´ee cova- riante par rapport `a un vecteur tangentX d’une section du fibr´e sur le quotient sera alors d´efinie comme la d´eriv´ee covariante de la sectionG-invariante corres- pondante par rapport au rel`evement horizontal deX. Le point important dans cette construction est que l’action du groupe sur l’espace total du fibr´e initial est dict´ee par le covecteur choisi pour d´efinir la surface de niveau.

On pourrait en effet penser que l’action deGsur le fibr´e trivialL=M ×C donn´ee par :

g.(x, zx) = (g.x, zg.x),

convient. Pour cette action, la d´eriv´ee par rapport `a un vecteur verticalXa,a∈ g, d’une sectionG-invarianteσest :

Xaσ =∂Xalogh(σ, σ)σ

=−2∂XaK(x).σ

=−(dKx(Xa) +idKx(IXa)).σ

=−iµa(x).σ.

(24)

σ0

σ

µ1(ξ)

Xaσ0=−iµa(x).σ0

Fig.1.3 –La section canonique σ0poss`ede une d´eriv´ee covariante non nulle sur la surface de niveau ξ6= 0.

Si l’on essaie d’expliciter la courbure de la connexion obtenue par le proc´ed´e pr´ec´edemment d´ecrit, on obtient :

RX,Yˆ ˆσ =∇X˜Y˜σ− ∇Y˜X˜σ− ∇[X,Y^]σ

=RX,˜Y˜σ+∇[ ˜X,Y˜]σ− ∇[X,Y^]σ

=iω( ˜X,Y˜)σ+∇[ ˜X,Y˜][X,Y^]σ

=iωred(X, Y)σ+∇Xaσ ( pour una∈g)

=iωred(X, Y)σ−iµaσ.

L’action deGsur le fibr´e total pr´ec´edente permet de quantifier le quotient dans le cas o`u la surface de niveau est l’image r´eciproque de 0 par µ. Si ce n’est pas le cas, il faut adapter l’action du groupeGpour que la d´eriv´ee covariante d’une sectionG-invariante au-dessus de la surface de niveauµ−1(ξ) soit nulle. L’action degsur Γ(L) ad´equate est :

∀σ∈Γ(L),∀a∈g, a.σ=−∇Xaσ−iµaσ+iξ(a).σ.

Elle correspond `a l’action de l’alg`ebre de Lie sur l’espace total du fibr´e donn´ee par l’application qui `a un ´el´ementa∈gassocie le champ de vecteurs ˆXasur L dont la valeur en un pointζ∈Lau dessus dex∈ Mest :

a(ζ) = ˜Xa(ζ) +iµa(x).T(ζ)−iξ(a).T(ζ),

o`u ˜Xa(ζ) est le rel`evement horizontal enζ deXa pour la connexion triviale et T est le champ de vecteur vertical donn´e parT(ζ) =ζ.

Cependant cette action ne s’int`egre pas toujours en une action du groupe G. La condition d’int´egrabilit´e est que l’applicationa 7→ξ(a) soit (`a i pr`es) la d´eriv´ee d’un caract`ere de G. Supposons que tel est le cas, et notons χ l’homo- morphisme deGdansS1tel que la diff´erentielledχ(e) en l’´el´ement neutreede

(25)

Gsoit −iξ. L’homomorphisme χ s’´etend en un homomorphisme de groupe de GC dans C, not´e ´egalement χ. L’action correspondante deGet GC surL est donn´ee par :

g.(x, zx) = (g.x, χ(g)−1.zx), (1.1) ce qui permet d’obtenir une action sur Γ(L) par :

(g.σ)(x) :=g(σ(g−1.x)),

o`u σ ∈ Γ(L), g ∈ GC, et x ∈ M. Dans le cas o`u iξ est la diff´erentielle d’un caract`ereχ, on a la d´efinition suivante :

D´efinition 1.2.20 On d´efinit le fibr´e en droites complexes ˆLde baseµ−1(ξ)/G en restreignant le fibr´e trivialL`a la sous-vari´et´e r´eelleµ−1(ξ) et en quotientant par l’action de Gdonn´ee par 1.1. La fibre de ˆL au-dessus d’un ´el´ement [x] ∈ µ−1(ξ) est :

L([x]) = [(x, zˆ x)],

o`u (x, zx) ∼ (g.x, χ(g)1zx). Les sections de ˆL s’identifient aux sections G- invariantes deL|µ−1(ξ) :

Γ( ˆL) = Γ(L)G,

c’est-`a-dire aux sectionsσ(x) = (x, zx) du fibr´e trivial Γ(L−1(ξ)) v´erifiant : zg.x=χ(g)−1zx.

Le potentiel K ´etant G-invariant, il en est de mˆeme du produit scalaire hermitien h, qui permet donc de d´efinir un produit scalaire hermitien sur le quotient :

D´efinition 1.2.21 On d´efinit un produit scalaire hermitien ˆhsur ˆLpar : ˆh(ˆσ1,ˆσ2) =h(σ1, σ2),

o`u σi, i= 1,2 est la sectionG-invariante deL|µ−1(ξ)relevant ˆσi. De plus on a la proposition-d´efinition suivante :

Proposition 1.2.22 Etant donn´ee une sectionG-invarianteσdu fibr´eL|µ−1(ξ)

d´efinissant un ´el´ementσˆ∈Γ( ˆL), et un champ de vecteursX surµ1(ξ)/Gdont le rel`evement horizontal par rapport `a la connexionG-invariante∇˜ est not´eX˜, l’identit´e :

∇ˆXσˆ :=∇X˜σ,

d´efinit une connexion surL, respectantˆ ˆh, et ind´ependante de la connexion G- invariante∇˜.

2Preuve de la proposition1.2.22 :

On a bien : ˆ∇Xˆh=∇X˜h= 0, car∇pr´eserveh. Soit ˜X1le rel`evement deX par rapport `a une autre connexionG-invariante. On a : ˜X1= ˜X+Xa, aveca∈g.

Siσest G-invariante, alors :

Xaσ=−a.σ−iµaσ+iξ(a).σ= 0,

(26)

de sorte que ∇X˜σ = ∇X˜1σ. V´erifions que pour toute section G-invariante σ l’´el´ement∇X˜σest bienG-invariant. Pour touta∈gon a :

a.∇X˜σ =−∇XaX˜σ−iµaX˜σ+iξ(a)∇X˜σ

=−∇X˜Xaσ− ∇[Xa,X]˜σ−RXa,X˜σ

=−iω(Xa,X˜)σ= 0.

2 Proposition 1.2.23 Le fibr´e hermitien en droites complexes( ˆL,ˆh,∇ˆ)pr´equantifie µ1(ξ)/Gau sens o`uRˆ =iωred.

2Preuve de la proposition 1.2.23 :

Pour tous X et Y champs de vecteurs surµ−1(ξ)/G, et toute section ˆσ de ˆL d´efinissant une sectionG-invarianteσdeL−1(ξ), on a :

RX,Yˆ ˆσ =∇X˜Y˜σ− ∇Y˜X˜σ− ∇[X,Y^]σ

=iω( ˜X,Y˜)σ+∇[ ˜X,Y˜][X,Y^]σ

=iωred(X, Y)σ,

car [ ˜X,Y˜]−[X, Y^] est un ´el´ement tangent `a l’orbite deGet, pour touta∈g, l’identit´e

a.σ=−∇Xaσ−iµaσ+iξ(a).σ= 0

implique que la d´eriv´ee covariante de σpar rapport `a tout vecteur vertical est

nulle. 2

Corollaire 1.2.24 Le fibr´e en droite complexe hermitien ( ˆL,ˆh) est formelle- ment int´egrable et la connexion ∇ˆ est la connexion de Chern.

2Preuve du corollaire 1.2.24 :

La courbure de ˆL´etant de type (1,1), le fibr´e est formellement int´egrable pour la structure complexe d´efinie par l’op´erateur ¯∂ := ˆ∇0.1. De plus, ˆ∇estC-lin´eaire et pr´eserve ˆh. C’est donc la connexion de Chern associ´ee. 2

Il s’agit maintenant de ramener le fibr´e quantifiant ( ˆL,h) d´efini surˆ µ1(ξ) sur la vari´et´e stableMs. Rappelons que l’on a une submersion holomorphe :

p : Ms → µ1(ξ)/G et une projection :

q : Ms →µ1(ξ), ainsi qu’une application :

g : Ms →expig telle que pour toutxdeMs,g(x).x=q(x).

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