2.4 Orbites hermitiennes sym´etriques
2.4.3 Description des orbites coadjointes affines hermitiennes
et telle que les sommes partielles γ1+· · ·+γj, 1 ≤j ≤k, soient des racines ([Bou]). Ainsi l’espace vectorielVγ est engendr´e par :
v= [eγk,[eγk−1,[eγk−2, . . . ,[eγ2, eγ1]. . .]]].
L’orbite ´etant irr´eductible, [D, eβ] =δβiceβavecδβ= +1 (resp.−1) siVβ⊂m+
(resp.m−). Ainsi :
[D, v] = card({i, γi=β})δβicv.
Puisque ad(kC) pr´eserve kC, m+ et m−, on en d´eduit que pour γ ∈ A ∩ R+, card({i, αi=β}) = 0 et pourγ∈ B∩R+, card({i, αi=β}) = 1. Par cons´equent
β est de type non-compact. M
Corollaire 2.4.13 Soit O = G/K une orbite coadjointe affine hermitienne sym´etrique irr´eductible d’un L∗-groupe G, et g = k⊕m la d´ecomposition de Cartan associ´ee o`ugetkd´esigne respectivement les alg`ebres de Lie deGetK.
Alors il existe une suite croissante{gn}n∈Nde sous-alg`ebres de Lie de dimension finie degde mˆeme type A, B, C ou D et une suite croissante{kn}n∈N de sous-alg`ebres de Lie dektelles que :
1. g=∪gn
2. k=∪kn
3. Pour toutn∈N, l’orthogonalmn de kn dansgn v´erifie : [kn,mn]⊂mn [mn,mn]⊂kn, de sorte que(gn,kn)est une paire sym´etrique.
4. les orbites coadjointesOn:=Gn/Kn o`uGn estKn sont les sous-groupes de Lie de G d’alg`ebres de Lie gn et kn respectivement, forme une suite croissante d’orbites hermitiennes sym´etriques irr´eductibles telle queO =
∪On.
Ainsi, pour classifier les orbites coadjointes affines des L∗-groupes simples de type compact, il suffit de connaˆıtre les racines simples de type non-compact des alg`ebres de Lie simples de dimension finie. Une racine simple d’une alg`ebre de Lie simple de dimension finie est de type non-compact si elle apparaˆıt avec un coefficient +1 dans l’´ecriture de la plus grande racine. La liste des racines non-compactes des alg´ebres de Lie simples de type A, B, C, ou D de dimension finie est donn´ee dans le tableau 2.2 ([Lie] ou [Wol2]).
Preuve du th´eor`eme2.4.1 :
Cette classification r´esulte directement du tableau 2.2 et du fait que toute racine de type non-compact φ d´etermine une paire sym´etrique (g,k) o`u k est la L∗ -alg`ebre dont le diagramme de Dynkin est obtenu en supprimantφdu diagramme de Dynkin deg(k est l’orthogonal de l’espace vectoriel ferm´e engendr´e par les
eφ+α).
2.4.3 Description des orbites coadjointes affines
com-Type B :
Seulesα1,α2etαnsont de type non-compact.
α4 αn−2
α2 Type D : Type A :
Type C :
αn−1 α5
α1
α3
Seuleα1est de type non-compact.
α1 α3 αn−2 αn
αn−1 αn−3
αn−2 Seuleαnest de type non-compact.
α1 α3 αn
αn−1
αn−3
α2
α2
Toute racineαiest de type non compact.
α3
αn−3
αn−2 αn−1
αn
α2
α1
αn
Tab.2.2 –Racines simples de types non-compactes des groupes de Lie simples de dimension finie de type A, B, C, D.
pact, et de leurs identifications avec des orbites adjointes affines hermitiennes sym´etriques irr´eductibles.
L’injection naturelle du L∗-groupe G dans le groupe unitaire d’un espace de Hilbert complexeH, induit une injection deG/Kdans une grassmannienne complexe, holomorphe pour la structure complexeIdeG/K. En particulier, les espaces homog`enesZ(H) :=O2+(H,R)/U2(HJ0) etL(H) :=Sp2(H,H)/U2(H+) s’injectent holomorphiquement dans la grassmannienne restreinte d’un espace de Hilbert polaris´eH =H+⊕H−. L’injection naturelle duL∗-groupe complexe GC, complexifi´e deG, dans le groupe lin´eaire de H, induit une injection holo-morphe deGC/KCdans l’orbite complexifi´ee de la grassmannienne en question, pour la structure complexe i. Ainsi les complexificationsZ(H)C et L(H)C de Z(H) etL(H) sont des sous-vari´et´es complexes, donc k¨ahl´eriennes, de l’orbite complexifi´ee OC de la grassmannienne restreinte, pour la structure complexe I3. Le potentiel k¨ahl´erienK3 associ´e `a la structure complexe I3, calcul´e dans la section 1.4.9 du chapitre 1, se restreint en un potentiel k¨ahl´erien surZ(H)C et L(H)C. La m´etrique obtenue sur Z(H)C (resp. L(H)C) se restreint en la m´etrique k¨ahl´erienne de Z(H) (resp. L(H)). Nous montrerons dans la section 2.6 que cette m´etrique est hyperk¨ahl´erienne, et nous expliciterons la structure complexe qui ´etent la structure complexeI.
Les grassmaniennes Gr(p) etGrres
Pour p < +∞, la grassmannienne des p-plans d’un espace de Hilbert est d´ecrite en Annexe A, et sa structure k¨ahl´erienne a ´et´e obtenue au paragraphe 1.2.4 du chapitre 1 par quotient k¨ahl´erien. Nous renvoyons le lecteur `a l’An-nexe A pour une description de l’injection de Pl¨ucker deGr(p) dans un espace projectif complexe. Pour tout k 6= 0, Gr(p) s’identifie `a l’orbite adjointe de
p,k := ikprP ∈ u2(H), o`u P est un p-plan de r´ef´erence et prP la projection orthogonale sur P, et pour tous k, l tel que (k, l) 6= (0,0), `a l’orbite adjointe affine de 0 pour la d´erivation [p,k,l, .], avecp,k,l:=ikprP−ilprP⊥.
La grassmannienne des sous-espaces vectoriels de codimensionp <+∞d’un espace de Hilbert est isomorphe `a Gr(p) par l’application qui `a un sous-espace vectorielP0 de codimensionpassocie son orthogonal.
La grassmannienne restreinte Grres d’un espace de Hilbert polaris´ee H = H+⊕H− fait l’objet du chapitre 1, paragraphe 1.3. L’injection de Pl¨ucker de Grresdans un espace projectif a ´et´e ´etablie par A. Pressley et G. Segal dans [PS]
et est d´ecrite en Annexe A. Pour tousk, ltel que (k, l)6= (0,0),Grres s’identifie
`
a l’orbite adjointe affine de 0 pour la d´erivation [k,l, .], aveck,l=ikpr+−ilpr−, o`u pr± d´esigne la projection orthogonale surH±.
La grassmannienne des 2-plans orient´es d’un espace de Hilbert r´eel La grassmannienne Gror(2, H) des 2-plans orient´es d’un espace de Hilbert r´eelH est l’espace homog`eneO+2(H,R)/(SO(P0)×O+2(P0⊥)), o`u P0 est un 2-plan orient´e de r´ef´erence et o`uO+2(H,R) est la composante connexe de l’identit´e du groupe orthogonal O2(H,R). Un ´el´ement P de Gror(2, H) est un 2-plan naturellement muni d’une structure complexeJP. Pour tout k6= 0,Gror(2, H) s’identifie `a l’orbite adjointe dekJP0∈o2(H,R). La structure complexe naturelle de Gror(2, H) consiste `a composer un ´el´ement X de l’espace tangent en un pointP, identifi´e `a l’espace des op´erateurs r´eels de P dans son orthogonal, par l’op´erateurJP−1.
La grassmannienne Gror(2, H) s’identifie comme vari´et´e complexe `a la co-nique C de l’espace projectifP(HC), o`uHCest l’espace de Hilbert complexifi´e deH :
C:={(z1:. . .:zn :. . .)∈P(HC),X
i∈N
z2i = 0}.
L’identification se fait par le biais de l’application qui `a une base orthonorm´ee orient´ee{u, v}deP associe la droite de HC engendr´ee paru+iv.
Proposition 2.4.14 L’application
f1: Gror(2, H) → P(HC) vect{u, v} 7→ C(u+iv)
est une injection holomorphe de Gror(2, H) dans P(HC), et un isomorphisme de vari´et´es k¨ahl´eriennes de Gror(2, H)surC.
2Preuve de la proposition2.4.14 :
Soient {u, v} une base orthonorm´ee orient´ee deP ∈ Gror(2, H), et [zi]i∈N les coordonn´ees homog`enes deC(u+iv) relativement au choix d’une base ortho-norm´ee deH index´ee parN. On a :
X
i∈N
zi2=X
i∈N
u2i −X
i∈N
vi2+ 2iX
i∈N
uivi= 0,
o`uui(resp.vi) sont les coordonn´ees deu(resp.v). Ainsi l’image deGror(2, H) parf1appartient `a C.
R´eciproquement, soientz= [zi]i∈N un ´el´ement deC,u=<z et v==z. La condition d’appartenance dez `a C implique que la norme de uest ´egale `a la
norme devet que le produit scalaire deuetv est nul. On obtient ainsi un plan r´eelP = vect{u, v}, naturellement orient´e paru∧v.
Au voisinage d’un point P ∈Gror(2, H), f1 se r´eduit `a l’application qui `a un ´el´ement X = (aij)i∈N,j=1,2 de l’ouvert UP form´e des applications lin´eaires r´eelles de P dans P⊥, associe l’application C-lin´eaireY = (ai1+iai2)i∈N de C(u+iv) dans le complexifi´e de P⊥. On en d´eduit que f1 est diff´erentiable.
De plus, X ◦JP−1 = iY, ce qui prouve que f1 est holomorphe. La m´etrique k¨ahl´erienne deGror(2, H) ´etant donn´ee par la trace, elle provient ´egalement de la m´etrique k¨ahl´erienne de P(HC), et ceci permet de conclure que Gror(2, H) s’identifie `a la sous-vari´et´e k¨ahl´erienneCdeP(HC). 2 La vari´et´e des structures complexes orthogonales et pr´eservant l’orien-tation d’un espace de Hilbert r´eel
SoientHun espace de Hilbert r´eel, etJ0une structure complexe orthogonale pour le produit scalaire (., .) deH, i.e. v´erifiant
(J0X, J0Y) = (X, Y).
L’espace homog`eneO+2(H,R)/U(HJ0), o`uHJ0 est l’espace de Hilbert complexe obtenu en munissant l’espace de Hilbert r´eel H de la structure complexe J0, et o`u O+2(H,R) est la composante connexe de l’identit´e de O2(H,R), est la vari´et´e Z(H) des structures complexes J surH, orthogonales pour le produit scalaire (., .), et proche de la structure complexe distingu´eeJ0. Pour toutk6= 0, Z(H) s’identifie `a l’orbite adjointe affine de 0 de o2(H,R) pour la d´erivation [kJ0, .]. En notantH+(resp.H−) l’espace propre de valeur propre +i(resp.−i) de l’extention C-lin´eaire de J0 `a l’espace de Hilbert complexe HC = H⊕iH, Z(H) s’injecte dans la grassmannienne restreinte de l’espace de Hilbert polaris´e HC = H+⊕H− par l’application qui `a une structure complexe J associe le sous-espacePJ deHCform´e des vecteursX de type (1,0) relativement `aJ, i.e.
v´erifiantJX=iX.
Proposition 2.4.15 L’application
f2: Z(H) → Grres
J 7→ PJ
est une injection holomorphe de Z(H) dans Grres, et un isomorphisme de vari´et´es k¨ahl´eriennes deZ(H)sur la sous-vari´et´e complexeGrgC deGrresform´ee des sous-espaces isotropes pour l’extentionC-lin´eairegCdu produit scalaire(., .).
2Preuve de la proposition 2.4.15 :
Etant donn´es une structure complexe´ J deZ(H), et deux ´el´ementsX et Y de PJ, on a :
gC(X, Y) =gC(JX, JY) =gC(iX, iY) =−gC(X, Y), doncPJ estgC-isotrope.
R´eciproquement, ´etant donn´e un sous-espacegC-isotropeP, l’endomorphisme J deH qui `aX associe l’unique vecteurY tel queX−iY appartienne `aP, est une structure complexe de H orthogonale pour (., .).
La d´erivation [kJ0, .] de laL∗-alg`ebreo2(H,R) s’´etend en la d´erivation [k,k, .]
de laL∗-alg`ebreu2(H), (o`uk,k:=ikpr+−ikpr−), ce qui implique
l’identifica-tion de vari´et´es k¨ahl´eriennes. 2
La vari´et´e des sous-espaces Lagrangiens d’un espace de Hilbert com-plexe
SoitH un espace de Hilbert complexe etJ un endomorphismeC-antilin´eaire sur H de carr´e −1. L’espace homog`ene L(H) := Sp2(H,H)/U2(H+) est la vari´et´e des espaces lagrangiens pour la 2-forme symplectique complexe Ω d´efinie par Ω(X, Y) = hX, JYi, proche d’un sous-espace lagrangien de r´ef´erenceH+. En notantH− =JH+ et pr± la projection orthogonale sur H±, L(H) s’iden-tifie `a l’orbite adjointe affine de 0 desp2(H,H) pour la d´erivation [k,k, .], avec k,k =ipr+−ipr−. De ce fait,L(H) s’identifie `a une sous-vari´et´e k¨ahl´erienne de la grassmannienne restreinte.