Expression de la m´etrique hyperk¨ ahl´erienne de l’espace

D’apr`es le paragraphe 2.6.2 et l’identification donn´ee en 2.6.3, l’espace tan-gentTO<sup>D</sup> de l’orbite de type compact poss`ede une structure hyperk¨ahl´erienne G-invariante, not´ee ´galement g. Le but de ce paragraphe est d’exprimer la m´etrique hyperk¨ahl´erienne ainsi obtenue en termes de l’espace tangent deO^D. Rappelons l’expression de la m´etrique hyperk¨ahl´erienne g deO^CD d´efinie en 2.6.2. L’espace tangent `a O<sup>C</sup>D en un point y = AdD(e<sup>ia</sup>)(x), o`u xappartient `a O<sup>D</sup>eta`amx, este^ia(mx⊕imx)e^−ia. Il est identifi´e `amx⊕imxpar l’application ρd´efinie dans la proposition 2.6.3 par :

ρ: mx⊕imx → TyO^CD

c 7→ X^c.

L’espace verticalVy :=ρ(imx) est le noyau deπ, etρse restreint en un isomor-phisme demxdans l’espace horizontalHy:=ρ(mx). Pour toutydeOD^C et tous cetd demx, on a :

g(X^c, X^d) = g(X^ic, X^id) =c<hX^c(y), X^d(π(y))i, g(X^c, X^id) = 0.

La m´etrique g estG-invariante et son expression, en un pointy=e^iaDe^−ia− D de la fibreπ⁻¹(0) au-dessus de 0, est la suivante :

g(X^c, X^d) = g(X^ic, X^id) =c<h[c, e^iaDe^−ia],[d, D]i. (2.4) Par suite, pour touscetddem, il vient :

g(X^c, X^d) =c<h[c,cosh(x)(ad(ia))(D)],[d, D]i

=c<h[c, D],[d, D]i+c<h[c,^cosh(x)_x2 (ad(ia))([ia,[ia, D]])],[d, D]i

=c³<hc,di+c²<h[c,^cosh(x)_x2 (ad(ia))([a, Ia])],[d, D]i

=c³<hc,di+c³<h−I[^cosh(x)_x2 (ad(ia))([a, Ia]),c],di

=c³<hc,di+c³<hI[^cosh(x)_x2 (ad(ia))([Ia,a]),c],di.

Les lemmes suivants expriment l’op´erateur Ih

cosh(x)

x² (ad(ia))([a, Ia]), .i de m dansmen fonction deV =f1(a) =I^{sinh x}_x (ad(ia))Ia.

Lemme 2.6.7 Pour touta de m, on a : cosh(x)−1

x² (ad(ia)) ([Ia,a]) =I

√1 +x²−1

x² (ad(iV)) [IV, V]. (2.5) MPreuve du lemme2.6.7 :

Par continuit´e des op´erateurs en question et densit´e des sous-alg`ebres ab´eliennes maximales engendr´ees par un syst`eme maximal de racines fortement orthogo-nales, il suffit de v´erifier l’´equation (2.5) pouraappartenant `a une sous-alg`ebre ab´elienne maximaleAengendr´e par une basexα, α∈Ψ, o`u Ψ est un syst`eme maximal de racines fortement orthogonales. En reprenant les notations utilis´ees dans la d´emonstration du th´eor`eme 2.6.6, il vient :

V =X

α∈Ψ

vαxα, et

a=X

α∈Ψ

aαxα=1 2

X

α∈Ψ

argsinh(2vα)xα. Pourϕ(x) = ^cosh(x)_x2 ⁻¹, on a :

ϕ(x)(ad(ia))([Ia,a]) =P

α∈Ψϕ(2aα)[aαyα, aαxα]

=P

α∈Ψ

cosh(2aα)−1

(2aα)² [aαyα, aαxα]

=P

α∈Ψ1

4(cosh(argsinh(2vα)−1)[yα, xα]

=P

α∈Ψ

√1+(2vα)²−1

(2vα)² [vαyα, vαxα]

=^√1+x_x2²⁻¹(ad(iV)) [IV, V]

M Lemme 2.6.8 Pour toutV ∈m, et toute fonction analytique positiveϕ, on a :

ϕ(x²) (ad(iV)) [IV, V] =ϕ(x) (IRIV,V) (V).

MPreuve du lemme2.6.8 :

Avec les notations introduites pr´ec´edemment, on a : IRIV,V =I[IV, V] =IX

α∈Ψ

[vαyα, vαxα] =IX

α∈Ψ

v²_α(−2i)hα,

et (IRIV,V)V =IP

α∈Ψv_α²(−2i)[hα, vαxα]

=IP

α∈Ψv_α²(−2i)(−2i)vαyα

=−IP

α∈Ψ(2vα)²vαyα

=P

α∈Ψ(2vα)²vαxα

Ainsi, il vient :

(IRIV,V)ⁿ(V) =X

α∈Ψ

(2vα)²ⁿvαxα. Par cons´equent, pour tout fonction positive ϕ, on a :

ϕ(x²) (ad(iV)) [IV, V] =ϕ(x) (IRIV,V) (V).

M Notations 2.6.9 On note g_O la m´etrique k¨ahl´erienne canonique de l’orbite adjointe affine de type compactO^D dont l’expression en 0 est donn´ee par :

g_O(X^c, X^d) =c<h[c, D],[d, D]i=c³<hc,di.

Cette m´etrique est fortement k¨ahl´erienne, ce qui implique que la connexion de Levi-Cevita ∇ est bien d´efinie. En un point V de l’espace tangent TO^D, TV(TO^D) se d´ecompose en HorV⊕VerV, o`u VerV est l’espace tangent `a la fibre de la projection canonique pde T(TO^D) dans TO^D, et o`u HorV est l’espace horizontal associ´e la connexion∇. Pour toutV de la fibrep<sup>−1</sup>(x), avecx∈ O<sup>D</sup>, on identifie naturellement VerV `a imx, et HorV `a mxpar la diff´erentielle de p.

On note g₀la m´etrique obtenue en transportant la m´etrique g_OdeO^Dsur HorV

et VerV et en demandant que HorV et VerV soient perpendiculaires.

Th´eor`eme 2.6.10 La m´etrique hyperk¨ahl´erienne g de l’espace tangentTO<sup>D</sup> se d´eduit de la m´etrique g<sub>0</sub> au moyen de l’endomorphisme dont la d´ecomposition par blocs relative `a la somme directeTV(TO^D) =HorV ⊕VerV est :

AV 0 0 A⁻_V¹

avec

AV =Id+IRIϕ(x)(IRIV,V)(V),ϕ(x)(IRIV,V)(V), o`u

ϕ(x) = √

1 +x−1 x

¹2

. Preuve du th´eor`eme 2.6.10 :

L’identification Υ deO^CDavecTO^D commute aux projectionsπ:OD^C → O^Det p:TO^D→ O^D. Ainsi la diff´erentielle de Υ transporte l’espace verticalVy sur l’espace vertical VerV, o`u V = Υ(y). L’espace horizontal Hy est identifi´e `a mx

parρ⁻¹ et HorV est identifi´e `a mx pardp. ParG-invariance de la m´etrique, on peut supposer quey appartient `a la fibreπ⁻¹(0). D’apr`es l’´equation (2.4), pour tousc,d dem, on a :

g (ρ(c), ρ(d)) =c<h[c, e^iaDe^−ia],[d, D]i

=c<h[c,cosh(x)((ad)(ia))(D)],[d, D]i

=c<h[c, D],[d, D]i+c<h[^cosh(x)_x2 ⁻¹((ad)(ia))[ia,[ia, D]],c],[D,d]i

=c³<hc,di+c³<h[^cosh(x)−1_x2 ((ad)(ia))[a, Ia],c], Idi

=c³<hc,di+c³<hI[^cosh(x)_x2 ⁻¹((ad)(ia))[Ia,a],c], Idi.

D’apr`es le lemme 2.4.24, il vient :

g (ρ(c), ρ(d)) =c³<hc,di+c³<hI[[Ia⁰,a⁰],c],di. avec

a⁰=

√1 + x²−1 x²

!¹₂

(ad(ia))(a).

D’apr`es les lemmes 2.6.7 et 2.6.8, il vient :

g (ρ(c), ρ(d)) =c³<h Id +IRIϕ(x)(IRIV,V)(V),ϕ(x)(IRIV,V)(V)

c,di, o`u ϕ(x) = √

1+x−1 x

¹₂

. On en d´eduit que pour tous c et d de m, le produit scalaire des rel`evements horizontauxc<sup>H</sup> et d<sup>H</sup> appartenant `a HorV est ´egal `a :

g(c^H,d^H) = g₀(AVc,d) avec

AV = Id +IRIϕ(x)(IRIV,V)(V),ϕ(x)(IRIV,V)(V), o`u

ϕ(x) = √

1 + x−1 x

¹2

,

ce qui d´emontre le th´eor`eme dans les directions horizontales. De plus, l’orthogo-nalit´e des distributionsHy etVyimplique l’orthogonlit´e des distributions HorV

et VerV. La m´etrique g se d´eduit donc de g₀ au moyen d’un op´erateur de la forme :

A 0

0 B

,

o`u B caract´erise la m´etrique dans les directions tangentes aux fibres de la pro-jectionp. Remarquons que pour touscetd deim, on a :

g(ρ(c), ρ(d)) = g(ρ(−ic), ρ(−id)).

La multiplication par −i ´echange Vy et Hy et induit une structure complexe sur l’espace tangent enV `a TO^D, qui se d´eduit deg0 au moyen d’un endomor-phismeI3´echangeant HorV et VerV, i.e dont l’expression selon la d´ecomposition TV(TO^D) = HorV ⊕VerV est de la forme :

I3=

0 C D 0

.

Rappelons que la structure symplectique ω = g(i., .) associ´ee `a la structure complexeideO^CD a pour expression :

ω ρ(X^c), ρ(X^d)

=c= hρ(X^c), π_∗ρ(X^d)i − hρ(X^d), π_∗ρ(X^c)i ,

o`u cetd appartiennent `a m⊕im. On en d´eduit que la forme symplectique sur TO^Dassoci´ee `a la structure complexe I3 est la partie imaginaire de la 2-forme de Liouvilleω3 :

ω3(c,d) =c= hc^V,d^Hi − hd^V,c^Hi

=c< hic^V,d^Hi − hid^V,c^Hi ,

o`ucet dappartiennent `a HorV ⊕VerV et o`uc<sup>H</sup> (resp.c<sup>V</sup>) d´esigne la projection de csur HorV (resp. VerV). La formeω3 se d´eduit de g<sub>0</sub> au moyen de l’endo-morphisme dont la d´ecomposition par blocs relativement `a la somme directe TV(TO^D) = HorV ⊕VerV est

0 i i 0

.

L’´equation g(I3., .) =ω3(., .) impose les conditions suivantes sur les op´erateurs A,B, Cet D:

A 0

0 B

0 C

D 0

=

0 i i 0

,

i.eAC=ietBD=i. D’autre part la conditionI₃²=−1 imposeCD=−1. On en d´eduit queB =A⁻¹, et queI3 est repr´esent´e par :

I3=

0 iA⁻¹ iA 0

.

Proposition 2.6.11 La m´etrique g est l’unique m´etrique hyperk¨ahl´erienne sur TO^Dse restreignant en la m´etrique k¨ahl´erienne deO^D, compatible avec la forme symplectique naturelle provenant de l’identification T^∗O^D 'TO^D, et rendant les distributions horizontales HorV et verticales VerV perpendiculaires.

2Preuve de la proposition 2.6.11 :

Une m´etrique v´erifiant les conditons impos´ees est repr´esent´ee par rapport `a la m´etrique g₀ par un op´erateur de la forme

g =

A 0 0 A⁻¹

, o`uAdoit v´erifier :

(X^v.(AI))V −R_V,(A−1I)X= 0

(cf [BG1]). Cette derni`ere ´equation se r´eduit, dans chaque direction radiale, `a une ´equation diff´erentielle ordinaire, d’o`u l’unicit´e. 2 Remarque 2.6.12 Via l’identification de l’espace tangent de la grassmannienne restreinte T Grres avec l’espace tangent d’une orbite adjointe adjointe affine comme d´ecrit en 2.4.3, on retrouve la famille de m´etriques hyperk¨ahl´eriennes de T Grres d´ecrites au chapitre 1.

x x

ρ

c

−ic imx

−i

mx

TO_D

Υ

π

⁻¹

(x) p

⁻¹

(x)

VerV

Vy

V

Hy y HorV

c^V

O^C_D ρ(c)

Fig. 2.1 – L’expression de la m´etrique hyperk¨ahl´erienne de TO^D se d´eduit de l’expression de la m´etrique hyperk¨ahl´erienne de OD^C

Annexe A

Structures g´ eom´ etriques sur les vari´ et´ es banachiques

Le lecteur trouvera dans cet appendice les bases de la g´eom´etrie sur les vari´et´es banachiques et l’´etude des exemples les plus naturels. Pour plus de d´etails sur les notions abord´ees, nous renvoyons le lecteur `a [Lan], [Car], [Bou], [Bou2] et [Bou3]. Les r´esultats d´ecrits ici sont classiques, mais ne figurent pas toujours dans la litt´erature. En particulier, on trouvera en A.1.5 exemple 2 et 3, une d´emonstration de l’´equation (7.5.3) de [PS] utilis´ee pour d´efinir l’injection de Pl¨ucker de la grassmanienne restreinteGrresdans l’espace projectif (proposition 7.5.2 de [PS]). Nous invitons le lecteur int´eress´e par l’injection de Pl¨ucker `a consulter ´egalement [SpVa].

A.1 G´ eom´ etrie diff´ erentielle dans le cadre bana-chique

A.1.1 Diff´ erentielle d’une application entre deux espaces

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