Calcul du potentiel k¨ ahl´erien K 3 associ´e ` a la structure

Expression du potentiel k¨ahl´erien Kˆ3 sur la surface de niveau Wk^s3

En notant d^c3 l’op´erateur : d^c3 := I3◦d◦I₃⁻¹, o`u I3 agit sur les formes diff´erentiellesφde degr´ensurTM^k par :

∀X1, . . . , Xn∈T(x,X)TM^k,(I3φ)(X1, . . . , Xn) := (−1)ⁿφ(I3X1, . . . , I3Xn), p3 : Wk^s3 → Wk^s3/G^C la projection naturelle, et q3 : Wk^s3 → W^k la projection sur la surface de niveau W^k := µ⁻₁¹(₂ⁱ Tr )∩µ⁻₂¹(0)∩µ⁻₃¹(0), la structure symplectiqueω3 v´erifie :

p^∗₃ω3((x, X)) =dd^c3K(q3(x, X)),

o`u :K((y, Y)) = <sup>1</sup><sub>4</sub> Tr (y<sup>∗</sup>y+Y<sup>∗</sup>Y −k<sup>2</sup>Id). Bien que la projectionq3ne soit pas explicite, il est possible d’´evaluer le potentiel k¨ahl´erien ˆK3:=K◦q3 associ´e `a la structure complexe I3 en un point de la vari´et´e stable Wk^s3 en utilisant un invariant des orbites sous G^C. En identifiant g⁰ et g via la trace de sorte que µ3((x, X)) =X^∗x+x^∗X et en posant :

µ4((x, X)) :=x^∗x+X^∗X.

on a :

µ3(expia.(x, X)) = coshiaµ4(x, X) sinhia+ sinhiaµ4(x, X) coshia + coshiaµ3(x, X) coshia+ sinhiaµ3(x, X) sinhia, µ4(expia.(x, X)) = coshiaµ4(x, X) coshia+ sinhiaµ4(x, X) sinhia

+ coshiaµ3(x, X) sinhia+ sinhiaµ3(x, X) coshia.

Ainsi :

(µ3+µ4)(expia.(x, X)) = expia(µ3+µ4) expia, (µ3−µ4)(expia.(x, X)) = exp−ia(µ3−µ4) exp−ia, et :

(µ²₄−µ²₃)(expia.(x, X)) = exp(ia)(µ²₄((x, X))−µ²₃((x, X))) exp(−ia).

Pour expia.((x, X)) =q3((x, X)), il vient :

µ4(q3((x, X))) = exp(ia)(µ²₄((x, X))−µ²₃((x, X)))¹²exp(−ia), et :

Kˆ3((x, X))= 1 4 Tr

µ²₄((x, X))−µ²₃((x, X))¹₂

−k²Id . Proposition 1.4.28 Pour tout (x, X)∈ Wk^s3,

Kˆ3((x, X)) = k² 4 Tr

Id + 4

k⁴(xX^∗Xx^∗−Xx^∗Xx^∗) ¹₂

− Id

! . 2Preuve de la proposition1.4.28 :

PuisqueWk^s3 ⊂µ⁻₁¹(₂ⁱk²)∩µ⁻₂¹(0), pour tout (x, X)∈ Wk^s3,x^∗x−X^∗X =k² Id etX^∗x=x^∗X. Ainsi :

µ²₄((x, X))−µ²₃((x, X)) =x^∗xx^∗x+x^∗xX^∗X+X^∗Xx^∗x+X^∗XX^∗X

−x^∗Xx^∗X−x^∗XX^∗x−X^∗xx^∗X−X^∗xX^∗x

=x^∗x(X^∗X+k²) +x^∗xX^∗X+X^∗Xx^∗x +(x^∗x−k²)X^∗X−x^∗Xx^∗X

−x^∗XX^∗x−X^∗xx^∗X−X^∗xX^∗x

=k⁴+ 4x^∗xX^∗X−4x^∗Xx^∗X.

En conjuguant par x^∗−1 vu comme op´erateur de H+ dans Imx on obtient le

r´esultat. 2

Expression du potentiel k¨ahl´erien K3 sur T Grres en fonction de la courbure

Th´eor`eme 1.4.29 La forme symplectique ω3 de T Grres poss`ede un potentiel k¨ahl´erien globalement d´efini surT Grres donn´e par :

K3((P, V)) = ^k₄² Tr

(Id + 4V^∗V)¹² − Id

=k²gGr(h(I1RI1V,V)V, V), o`u h(u) := ¹_u √

1 +u−1 . Preuve du th´eor`eme1.4.29 :

Lorsque (x, X) appartient `a la surface de niveauW^k,x^∗X= 0 et : Kˆ3((x, X)) =^k₄² Tr

Id +_k⁴4xX^∗Xx^∗1₂

− Id

=^k₄² Tr

( Id + 4V^∗V)¹² − Id . Le r´esultat provient alors des identit´es :

gGr(I1RI1V,VV, V) =1

4<Tr (4V^∗V)² , et :

gGr (I1RI1V,V)^jV, V

=1

4<Tr (4V^∗V)^j+1

et du fait quep^∗₃ω3=dd^c3Kˆ3=dd^c3p^∗₃K3=p^∗₃dd^c3K3carp3estI3-holomorphe.

Expression du potentiel k¨ahl´erien K3 sur O^C en fonction des angles caract´eristiques

Dans ce paragraphe, nous retrouvons l’expression du potentiel k¨ahl´erienK3

donn´ee dans [BG3] en fonction des angles caract´eristiques. Pour cela, nous uti-lisons une section de l’applicationψdonn´ee dans la d´emonstration du th´eor`eme 1.4.26.

D’apr`es le th´eor`eme 1.4.26, tout couple (P, Q) appartenant `aGr_res⁰ ×Gr^∗_res⁰ avec P∩Q={0} repr´esente un point de l’orbite complexifi´ee. Un ant´ec´edent de (P, Q) par l’applicationψ:Wk^s3 → O^Cest donn´e par :

x=k(IdP+¹₂A)g_|H+

X =−^k2Ag_|H+, (1.3)

o`uAest un op´erateur de Hilbert-Schmidt deP dansP<sup>⊥</sup> dontQ<sup>⊥</sup>est le graphe (d´etermin´e modulo l’action `a droite deGl(P)), et o`ugest un op´erateur unitaire uniquement d´etermin´e `a partir des bases canoniques dePetQ. Remarquons que les valeurs propres{ai, i∈N}deA sont ind´ependantes de l’op´erateurAchoisi pour repr´esent´er le couple (P, Q). Dans le cas o`u cet op´erateur est g´en´erique, c’est-`a-dire lorsque toutes les valeures propresai sont distinctes, il est possible de d´efinir des paires de droites caract´eristiques{li, l_i⁰}, i∈ N, comme suit. La droite complexeliest la droite deP espace propre de l’op´erateurA_∗Aassoci´e `a la valeur propreai, etl_i⁰est la droite complexe deQ^⊥image delipar l’op´erateur IdP+A. L’angleθi form´e par les deux droites complexeslietl⁰_iest d´efini par :

cosθi=|hei, e⁰_ii|, o`uei est un g´en´erateur unitaire deli et o`u

e⁰_i:= ei+A(ei)

|ei+A(ei)|. L’angleθi est reli´e `a la valeur propreai par :

cosθi= 1 p1 +a²_i.

Cette derni`ere expression a un sens mˆeme dans le cas non g´en´erique, et permet de d´efinir de mani`ere biunivoque les anglesθi∈]−^π2,+^π₂[.

Remarque 1.4.30 L’orbite d’un couple de sous-espaces (P, Q) deGr⁰_res×Gr^∗_res⁰ sous l’action naturelle de Gl2(H) est caract´eris´ee par la dimension de P ∩Q.

L’orbite d’un couple de sous-espaces (P, Q) sous l’action deU²(H) surGr⁰_res× Gr_res^∗0 est caract´eris´ee par l’ensemble des angles caract´eristiquesθi.

La proposition 1.4.28 permet d’exprimer le potentiel k¨ahl´erienK3sur l’orbite complexifi´e en fonction des valeurs propresai deA^∗Aou des anglesθientre les droites caract´eristiques.

Th´eor`eme 1.4.31 La forme symplectiqueψ¯<sup>−1∗</sup>ω3d´efinie sur l’orbite complexifi´ee O<sup>C</sup>et associ´ee `a la structure complexe naturelle deO^Cv´erifieψ¯^−1∗ω3=dd^c3K3

avec :

K3((P, Q)) =k² Tr

(IdP +A^∗A)¹² − IdP

,

o`u A est tel que Im(IdP +A) = Q^⊥. En notant ai les valeures propres de l’op´erateurA^∗A, et θi les angles caract´eristiques, il vient :

K3((P, Q)) =k²P

i∈N

p

1 +a²_i −1

=k²P

i∈N

1 cosθi −1 Preuve du th´eor`eme1.4.31 :

D’apr`es la d´emonstration de la proposition 1.4.28, le potentiel ˆK3est donn´e en un point (x, X) de la surface stableWk^s3 par :

Kˆ3((x, X)) = Tr

k⁴+ 4x^∗xX^∗X−4x^∗Xx^∗X¹₂

−k² Id . Pour (x, X) donn´e par :

x=k(IdP +¹₂A)g_|H+

X =−^k2Ag_|H+, il vient :

Kˆ3((x, X)) =k²Tr

( IdP+g^∗A^∗Ag)¹² − IdP

,

ce qui apr`es conjuguaison parg donne le r´esultat.

Remarque 1.4.32 Le couple (x, X) donn´e par 1.3 appartient `aWk^s3 mais non

`aWk^s1. Bien que sa projection sur la surface de niveau soit donn´ee en terme de AetA^∗par l’action de

e^4ia= IdH++g^∗A^∗Ag

(cf la d´emonstration du th´eor`eme 1.4.26), il n’est pas facile d’obtenir une ex-pression simple du potentiel ˆK1 en termes de l’orbite complexifi´ee.

Chapitre 2

Orbites coadjointes affines des L ^∗ -groupes

2.1 Introduction

En dimension finie, les orbites (co-)adjointes d’un groupe de Lie compact semi-simple poss`edent une structure naturelle de vari´et´es k¨ahl´eriennes, la com-pacit´e du groupe n’intervenant que pour d´efinir un produit scalaire invariant sur l’alg`ebre de Lie du groupe par le biais de la forme de Killing d´efinie n´egative.

Lorsqu’on passe aux groupes de Lie banachiques, la notion d’orbite (co-)adjointe apparaˆıt trop restrictive et doit ˆetre ´elargie en la notion d’orbite (co-)adjointe affine, qui lui est ´equivalente en dimension finie, mais ne l’est plus en dimension infinie. Ceci est `a relier au fait que les d´erivations d’une alg`ebre de Lie de di-mension infinie ne sont pas toutes int´erieures. En particulier, la grassmannienne restreinte d’un espace de HilbertH est une orbite (co-)adjointe affine du groupe unitaireU2(H), mais pas une orbite (co-)adjointe au sens classique du terme.

La seconde particularit´e du cadre banachique est que les orbites coadjointes (affines) ne poss`edent pas n´ecessairement de structure naturelle de vari´et´es, mais d`es lors qu’elles en poss`edent une, elles sont faiblement symplectiques. La structure de vari´et´e d’une orbite coadjointe est conditionn´ee par l’existence d’un suppl´ementaire topologique de l’alg`ebre de Lie du stabilisateur d’un point. En particulier pour lesL^∗-groupes, formant une classe de groupes de Lie hilbertiens aux propri´et´es alg´ebriques semblables `a celles des groupes de Lie de dimension finie, toute orbite coadjointe affine poss`ede une structure naturelle de vari´et´e fortement symplectique.

Ce second chapitre est consacr´e `a la g´en´eralisation des constructions de m´etriques hyperk¨ahl´eriennes obtenues par O. Biquard et P. Gauduchon dans [BG1], [BG2] et [BG3], plus pr´ecis´ement, `a la construction de structures hy-perk¨ahl´eriennes sur les complexifications des orbites coadjointes affines hermi-tiennes sym´etriques des L^∗-groupes semi-simples de type compact (le terme compact est ici utilis´e par analogie `a la situation en dimension finie pour noti-fier l’existence d’un produit scalaire invariant). Il est organis´e en trois parties.

La premi`ere est consacr´ee `a la classification des orbites coadjointes affines her-mitiennes sym´etriques des L^∗-groupes simples de type compact , ainsi qu’`a la th´eorie des racines fortement orthogonales qu’il a fallu d´evelopper dans ce cadre.

La seconde partie est consacr´ee `a la d´emonstration du th´eor`eme de Mostow pour unL^∗-groupe semi-simple de type compact. Dans la troisi`eme partie, nous uti-lisont ces deux ingr´edients pour construire une structure hyperk¨ahl´erienne sur les orbites complexifi´ees des orbites coadjointes affines hermitiennes sym´etriques des L<sup>∗</sup>-groupes simples de type compact, grˆace `a la fibration de l’orbite com-plexifi´ee au dessus de l’orbite de type compact, puis sur l’espace (co-)tangent de ces orbites de type compact.

Dans les sections 2.2 et 2.3, nous exposons les r´esultats connus sur les L^∗ -groupes et lesL^∗-alg`ebres, ainsi que l’´etude de leurs orbites coadjointes affines effectu´ee par K.H. Neeb dans [Nee1]. En section 2.4, nous int´eressons aux orbites coadjointes affines hermitiennes sym´etriques des L<sup>∗</sup>-groupes semi-simples de type compact. La classification des espaces hermitiens sym´etriques de dimension infinie a ´et´e obtenue par W. Kaup dans [Kau2] sur la base d’une caract´erisation alg´ebrique des vari´et´es banachiques complexes simplement connexes et sym´etri-ques en termes de triplets de Jordan hermitiens. Nous donnons la classification des orbites coadjointes affines hermitiennes sym´etriques desL<sup>∗</sup>-groupe simples de type compact, g´en´eralisant la d´emonstration de la classification des espaces hermitiens sym´etriques de dimension finie de J. Wolf ([Wol2]), bas´ee sur la no-tion de racine de type non-compact. Ce r´esultat montre a posteriori que tout espace hermitien sym´etrique irr´eductible est une orbite coadjointe affine d’un L<sup>∗</sup>-groupe. Chacune des orbites irr´eductibles obtenue est l’analogue en dimen-sion infinie d’une orbite coadjointe affine hermitienne sym´etrique compact ap-partenant `a l’une des familles infinies classiques. L’espace projectif d’un espace de Hilbert, la grassmanienne desp-plans d’un espace de Hilbert avecp <+∞, ainsi que la grassmannienne restreinte en sont des exemples.

Le th´eor`eme de Mostow auquel nous faisions r´ef´erence s’´enonce comme suit.

SoientGun groupe de Lie connexe compact semi-simple, dont l’alg`ebre de Lie gse d´ecompose eng=k⊕m, o`u kest l’alg`ebre de Lie d’un sous-groupe ferm´e KdeG, etG<sup>C</sup>le groupe de Lie connexe d’alg`ebre de Lieg^C=g⊕ig. AlorsG^C est hom´eomorphe au produitG×expim×expik. La d´emonstration de Mostow utilise la compacit´e deGet nous en donnons une g´en´eralisation en section 2.5 au cas o`uGest unL<sup>∗</sup>-groupe semi-simple de type compact, bas´ee sur la compl´etude de son alg`ebre de Lie.

L’orbite complexifi´ee d’une orbite coadjointe affine O hermitienne sym´e-trique d’un L^∗-groupeG semi-simple de type compact d’alg`ebre de Lie g, est d´efinie comme l’orbite de n’importe quel point de O sous l’action coadjointe affine du L<sup>∗</sup>-groupe complexe connexeG<sup>C</sup>, d’alg`ebre de Lieg⊕ig. En section 2.6, nous montrons qu’une telle orbite complexifi´ee est fibr´ee au dessus de l’or-bite de type compact, et poss`ede une structure de vari´et´e hyperk¨ahl´erienne.

Puis nous construisons un isomorphisme de vari´et´es fibr´ees entre cette orbite complexifi´ee et l’espace tangent de l’orbite de type compact. Finalement, nous explicitons la m´etrique hyperk¨ahl´erienne induite sur l’espace tangent de l’orbite de type compact. Nous retrouvons ainsi, comme cas particulier, la structure hyperk¨ahl´erienne de l’orbite complexifi´ee de la grassmannienne restreinte et de l’espace (co-)tangent de la grassmannienne restreinte ´etablie dans le chapitre premier.

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