Le quotient k¨ ahl´erien

L’espace affineM^kest naturellement munie de la structure faiblement k¨ahl´erienne (g, I, ω) plate suivante :

gx(X, Y) =<TrX^∗Y Ix(Y) =iY

ωx(X, Y) = gx(iX, Y) ==TrX^∗Y pour toutx∈ M^k et tousX, Y ∈TxM^k.

Proposition 1.3.4 L’action deGsurM^k donn´ee par : g.x=x◦g⁻¹,

o`u x∈ M<sup>k</sup> et g ∈G, est hamiltonnienne relativement `a la structure symplec-tique ω, d’application momentG-´equivariante :

µ : M^k −→ g⁰

x 7−→ (a7→ 2ⁱ Trx^∗xa),

o`ug<sup>0</sup> est le dual continu de l’alg`ebre de Lie g={a∈L¹(H+) t.q.a^∗=−a} de G. De plus, µest invariante sous l’action du groupeU^1,2.

2Preuve de la proposition 1.3.4 :

Remarquons d’abord que l’application momentµest bien d´efinie surM^k, car x^∗x appartient `a l’ensemble des op´erateurs born´es de H+ dans H+, not´e B(H+), et a appartient `a L¹(H+). Elle est C^∞ car l’application de M^k dans B(H+) associant `a xl’´el´ementx^∗xestC^∞et :

k|Tr (A.)k|=kAk,∀A∈B(H+).

L’action infinit´esimale de l’alg`ebre de Liegest donn´ee, pour toutx∈ M^k et touta∈g, par :

a.x=−x◦a De plus, pour toutx∈ M^k et toutX∈TxM^k,

dµ^a_x(X) = ⁱ₂( TrX^∗xa+ Tr x^∗Xa)

= ⁱ₂( TrX^∗xa+ Tr ax^∗X) carx^∗X ∈B(H+) et a∈L¹(H+),

= ⁱ₂( TrX^∗xa− Tr (xa)^∗X)

=−=TrX^∗x◦a

==TrX^∗(a.x) =−=Tr (a.x)^∗X Ainsi :

dµ^a_x(X) =ia.xω(X)

L’invariance sous U^1,2 est claire. V´erifions laG-´equivariance de µ.G agit surg⁰par la repr´esentation coadjointe est d´efinie, pour toutg∈Get toutξ∈g⁰ par :

Ad^∗(g).ξ : g → R

a 7→ ξ( Ad(g⁻¹)(a)).

Ainsi :

µ^a(g.x) = ⁱ₂ Tr (x◦g⁻¹)^∗(x◦g⁻¹)a

= ⁱ₂ Tr gx^∗xg⁻¹a carg∈ U(H+)

= ⁱ₂ Tr x^∗xg⁻¹ag carx^∗xg⁻¹a∈L¹(H+)

=µ^Ad(g−1)(a)(x)

2 Proposition 1.3.5 Pour toutk∈R^∗, la surface de niveauN^k :=µ⁻¹(₂ⁱk² Tr) est une sous-vari´et´e r´eelle deM^k, stable par G.

Lemme 1.3.6 La surface de niveau N^k s’identifie `a : {x∈ M^k| x^∗x=k².IdH+}. MPreuve du lemme1.3.6 :

La trace identifie isom´etriquement le dual continu (complexe) deg^C=g⊕ig= L¹(H+) `aB(H+) par :

Tr : B(H+) −→˜ L¹(H+)⁰ A 7−→ (B 7→ TrAB).

En particulier, l’ensemble desA∈B(H+) tels que pour toutB∈g, Tr (AB)∈ Rs’identifie au dual continu (r´eel) deg. Ainsi :

iTr x^∗xa =ik² Tra ∀a∈g

⇔ x^∗x=k².IdH+

M Lemme 1.3.7 Le groupe de LieU^1,2agit transitivement sur la surface de niveau N^k.

MPreuve du lemme1.3.7 : Tout ´el´ement :

x= x+

x₋

∈ N^k

d´efinit une famille orthogonale libre de norme|k|deHpar le biais de ses vecteurs colonnes et s’obtient `a partir de :

xk=

k.Id 0

par l’action d’un ´el´ement : U = 1

k.

x+ A x₋ B

∈ U(H),

o`u A

B

est d´efini par une base (hilbertienne) orthogonale de norme |k| de Imx^⊥. La relation d’orthogonalit´e entre Imxet Im x^⊥ implique en particu-lier :

x^∗₊A+x^∗₋B= 0,

ce qui, associ´e aux conditions x+ ∈ k.IdH+ +L¹(H+) etx₋ ∈ L²(H+, H₋),

implique queA∈L²(H+). AinsiU ∈ U^1,2. M

2Preuve de la proposition 1.3.5 : Montrons que l’applicationR-lin´eaire :

γ : M^k → k².IdH++ Sym¹(H+), x 7→ x^∗x

o`u Sym¹(H+) d´esigne le sous-espace vectoriel r´eel ferm´e deL¹(H+) form´es des op´erateurs auto-adjoints deH+, est une submersion. Le fait qu’elle soitC^∞est clair, et pour toutx∈ N^k,

dγx : TxM^k → Sym¹(H+) X 7→ X^∗x+x^∗X

est surjective : quel que soit Y ∈ Sym¹(H+), X := _2k¹2xY est un ant´ec´edent deY appartenant `a TxM^k.

Au pointxk= k.Id

0

, un suppl´ementaire topologique de

Kerdγxk=

X+

X₋

∈TxkM^k, X₊^∗ +X+= 0

est :

W =

Y+

0

∈TxkM^k, Y₊^∗−Y+= 0

.

Grˆace `a l’action transitive deU^1,2 surN^k, on conclut qu’en tout pointx=U.xk

avec U ∈ U^1,2, Ker dγx = U( Kerdγxk) poss`ede un suppl´ementaire

topolo-gique, `a savoirU(W). 2

Th´eor`eme 1.3.8 L’espace quotient N<sup>k</sup>/G poss`ede une structure naturelle de vari´et´e fortement k¨ahl´erienne.

Notations 1.3.9 On notera π :N^k→ N^k/G, x7→[x] la projection naturelle.

Preuve du th´eor`eme 1.3.8 :

Montrons que G agit proprement sur N^k. D’apr`es la proposition 1.2.5, puisque Gagit librement sur N^k, il suffit de montrer que le grapheC ⊂ N^k× N^k de la relation d’´equivalence d´efinie par G est ferm´e dansN^k × N^k et que l’applicationf deC dansGqui au couple (x, y) associe l’unique ´el´ementg∈G tel que y = x◦g⁻¹, est continue. Soit {(xn, yn)}n∈N une suite d’´elements de C convergeant vers (x_∞, y_∞)∈ N^k× N^k et {gn}n∈N la suite d’´el´ements de G d´efinie paryn =xn◦g_n⁻¹. Puisquexn v´erifiex^∗_nxn=k² Id , on a :

g_n⁻¹= 1

k²x^∗_nxng⁻¹_n = 1 k²x^∗_nyn.

Par continuit´e du produit, on en d´eduit que{gn}n∈Nconverge versg_∞v´erifiant g_∞⁻¹:= _k¹2x^∗_∞y_∞. En utilisant les conditions d’appartenance `aM^kdex_∞ety_∞, on montre facilement que x^∗_∞y_∞ ∈k²IdH++L¹(H+). De plus, l’ensemble des

´el´ements unitaires formant un ferm´e deB(H+), l’´el´ementx^∗_∞y_∞appartient `aG.

AinsiC est ferm´e etf : (x, y)7→(_k¹2x^∗y)⁻¹ est continue (mˆeme diff´erentiable).

On en d´eduit que l’espace quotientN^k/Gest s´epar´e. En particulier, l’orbite d’un pointx∈ N^k est ferm´ee et l’espace tangentTxG.x est un sous-espace vectoriel ferm´e deTxM^k.

La structure de vari´et´e riemannienne deN^k/Gprovient du fait que l’espace tangent `a l’orbite de x poss`ede un suppl´ementaire topologique dans TxN^k, `a savoir :

Hx =







Y =

Y+

Y₋

, Y+∈L¹(H+),

Y₋ ∈L²(H+, H₋), Y^∗x+x^∗Y = 0, Y^∗x= 0







=TxG.x^⊥g.

qui fournit une trancheG-´equivariante (en fait constante), i.e. v´erifiant : Hx.V⁻¹ =Hx.V⁻¹.

Les projections associ´ees `a la d´ecomposition en somme directe explicit´ees par : p1 : TxN^k −→ TxG.x

Y 7−→ k¹²xx^∗Y p2 : TxN^k −→ Hx

Y 7−→ Y −k¹²xx^∗Y

sont des application lin´eaires continues de L¹(H+)×L²(H+, H₋) et G-´equi-variantes.

De plus, Gpr´eservant la m´etrique g, on peut d´efinir une m´etrique rieman-nienne gredsurN^k/Gpar :

gred,[x] : T[x]N^k/G×T[x]N^k/G → R

(X, Y) 7→ gx( ˜X,Y˜),

o`u ˜X (resp. ˜Y) est d´efini comme l’unique ´el´ement deHx qui se projette surX (resp. surY), appel´e rel`evement horizontal de X (resp. deY).

Pour montrer que g_redidentifieT[x]N^k/G`a (T[x]N^k/G)⁰ et d´efinit ainsi une m´etrique fortement riemannienne, il suffit de consid´erer l’espace tangent en [xk] car l’action du groupeU^1,2 est transitive et pr´eserve g. Or en [xk], g_red est la m´etrique standard deL²(H+, H₋) et r´ealise bien un isomorphisme entre l’espace tangent et son dual.

Sur la vari´et´e quotientN^k/G, on d´efinit la 2-forme altern´eeωred par : ωred,[x] : T[x]N^k/G×T[x]N^k/G → R

(X, Y) 7→ ωx( ˜X,Y˜),

Puisqueω restreinte `a la sous-vari´et´eN^k est ferm´ee, il en est de mˆeme de ωred

carω_|Nk =π^∗ωredet dω_|Nk =dπ^∗ωred=π^∗dωred= 0. Montrons que le noyau deω_|Nk enx∈ N^k est exactement l’espace tangent `a l’orbite dex. Par l’action transitive de U^1,2 laissant ω invariant, il suffit de le v´erifier pour x = xk. Il vient :

TxkNk^⊥ω =

Y ∈TxkM^k, Im TrY^∗X = 0, ∀X ∈TxkM^k | X₊^∗ +X+= 0

=

Y+

0

∈TxkM^k | Im TrY₊^∗X+= 0, ∀ X+∈L¹(H+) | X₊^∗ +X+= 0

. De plus, le sous-espace vectoriel deL¹(H+) des ´el´ements anti-hermitiens est un sous-espace isotrope maximal. En effet :

=TrY₊^∗X+= 1

2i( TrY₊^∗X+− Tr X₊^∗Y+) = 1

2i Tr (Y₊^∗+Y+)X+

et :

=TrY₊^∗X+= 0 ∀X+∈L¹(H+) t.q.X₊^∗ +X+= 0

⇔ Tr (Y₊^∗+Y+)X+= 0 ∀X+∈L¹(H+) t.q.X₊^∗ +X+= 0

⇔ Tr (Y₊^∗+Y+)X+= 0 ∀X+∈L¹(H+) ( par C-lin´earit´e de la trace )

⇔ Y₊^∗+Y+= 0 ( car la trace identifieB(H+) etL¹(H+)⁰) Ainsi :

TxkNk^⊥ω=

Y = Y+

0

∈TxkM^k, Y₊^∗+Y+ = 0

=TxkG.xk.

Comme l’espace tangent `aN^kenxkestTxkG.xk⊥ωet queTxkG.xk⊂TxkG.xk⊥ω, on conclut que :

TxkNk^⊥ω∩TxkN^k =TxkG.xk.

Il reste `a montrer que la forme symplectique ωred r´ealise un isomorphisme de T[x]N<sup>k</sup>/Gsur (T[x]N<sup>k</sup>/G)<sup>0</sup>, mais ceci est clair en [xk] car alorsT[xk]N<sup>k</sup>/G s’iden-tifie `aL²(H+) etωred`a la forme symplectique standard deL²(H+). Par l’action transitive deU^1,2, il en est de mˆeme en tout pointx∈ N^k.

Reliant ω `a la m´etrique g via la structure complexe I, l’espace tangent TxN^k apparaˆıt comme le sous-espace vectoriel ferm´e (I.TxG.x)^⊥g deTxM^k et, en chaque pointx⁰de l’orbiteG.x, l’espace horizontalHx⁰ est l’orthogonal pour g dansTx§^k deTxG.x⊕I.TxG.x. AinsiHxa la propri´et´e d’ˆetre stable sousIet G-´equivariant. LaG-´equivariance deIpermet alors de d´efinir :

Ired : T[x]N^k/G → T[x]N^k/G X 7→ π_∗IxX,˜

o`u ˜X est le rel`evement horizontal de X en TxN^k. Il reste `a montrer que la structure presque complexe ainsi d´efinie est int´egrable, i.e. que le tenseur de NijenhuisN est nul. SoitX etY deux ´el´ements deT[x]N^k/G. On a :

N(X, Y) = [X, Y] +Ired[X, IredY] +Ired[IredX, Y]−[IredX, IredY].

Soit ˜X et ˜Y les rel`evements horizontaux de X et Y. Comme ˜X et ˜Y sont des champs de vecteurs G-invariants, leur crochet [ ˜X,Y˜] est G-invariant et se projette sur [X, Y]. En utilisant la d´efinition de Ired, on a ainsi :

N(X, Y) =π_∗[ ˜X,Y˜] +Iredπ_∗[ ˜X, IY˜] +Iredπ_∗[IX,˜ Y˜]−π_∗[IX, I˜ Y˜]

=π_∗(N( ˜X,Y˜)) = 0.

La d´emonstration du th´eor`eme 1.3.8 permet de d´eduire le corollaire suivant que nous utiliserons au paragraphe 1.3.6 pour le calcul du potentiel k¨ahl´erien :

Corollaire 1.3.10 Le G-fibr´e principal π :N^k → N^k/G, x 7→[x] est naturel-lement muni d’une connexion G-invariante ∇˜, caract´eris´ee par la donn´ee des espaces horizontaux :

Hx=

Y+

Y₋

, Y+∈L¹(H+), Y₋ ∈L²(H+, H₋), Y^∗x= 0

.

Dans le document TH`ESE DE DOCTORAT pr´esent´ee par (Page 40-45)