M´ethodologie de mod´elisation du risque march´e
2.2 Risque G´ en´ eral
2.2.1 Value at Risk(VaR)
a des ´ev`enements affectant l’´emetteur et se situant souvent au-del`a des hypoth`eses de calcul de la VaR ou comme le risque de d´efaut, li´e en particulier `a la d´efaillance soudaine de l’´emetteur.
La possibilit´e d’utiliser les mod`eles internes pour la mesure du risque sp´ecifique a donc ´et´e assortie par le Comit´e de Bˆale de conditions suppl´ementaires. Pour utiliser les estimations r´esultant de la mod´elisation du risque sp´ecifique, il faut en effet que ces mod`eles soient en mesure d’expliquer ex ante la variation historique de la valeur du portefeuille et d’appr´ehender les concentrations dans la composition du portefeuille. Ils doivent ´egalement faire preuve de leur fiabilit´e dans un environnement adverse ainsi qu’ˆetre valid´es par des contrˆoles ex post.
Ce chapitre traitera la m´ethodologie d’´evaluation de risque du march´e dans le cadre des ICAAP, et il sera organis´e autour de trois parties, les deux premi`eres montre le cadre th´eorique de l’analyse des risques de march´e g´en´eral et sp´ecifique. et Pour La derni`ere partie, nous allons ´elaborer un outil tr`es recommand´e dans l’ICAAP :Stress Testing
2.2 Risque G´ en´ eral
2.2.1 Value at Risk(VaR)
2.2.1.1 D´efinition de la VaR
La Value et Risk (VaR) est une tentative de synth´etiser en un seul nombre le risque total d’un portefeuille d’atifs financiers.
J.P. Morgan est consid´er´e comme pionnier de la VaR. Or son PDG, Dennis Weartherstone, ´etait m´econtent des rapports de risque volumineux qu’il recevait chaque jour,contenant de nombreux d´etails sur les grecques pour les diff´erentes expositions, mais tr`es peu d’information utile pour la direction. Il a donc demand´e `a ses collaborateurs un document plus simple, centr´e sur l’exposition totale de la banque sur 24 heures, mesur´ee sur la base du portefeuille du march´e global. C’est ainsi qu’ils ont pu produire un rapport VaR en adoptant la th´eorie du portefeuille de Markowitz.
Or la VaR est une mesure attractive car elle est facilement compr´ehensible. Cette mesure pose une question simple : Dans quelle mesure la valeur d’un portefeuille peut-elle se d´egrader ?
2.2.1.2 Propri´et´es de la VaR
La VaR est croissante avec un niveau de confiance et un horizon de d´etention.
Il est d´emontr´e que V aR,h = √
h×V aR,1 . Ainsi Nous calculerons d´esormais la VaR sur un jour et celle sur 10 jours est obtenue en multipliant la premi`ere par racine de 10.(Scaling Factor)
La VaR permet donc de donner une vision globale du risque march´e d’un portefeuille.
Pour interpr´eter le chiffre VaR, trois ´el´ements s’av`erent indispensables :
Il est essentiel de d´eterminer la p´eriode de d´etention h ou holding period qui correspond `a la p´eriode sur laquelle la variation de la valeur du portefeuille est mesur´ee ; elle d´epend surtout de la fr´equence de recomposition du portefeuille et de la liquidit´e des actifs financiers qui y sont contenus.
Le niveau de confiance 1−α du chiffre VaR, qui correspond `a la probabilit´e de ne pas d´epasser cette mesure de risque. Donc, plus ce niveau est important, plus la VaR sera ´elev´ee. Ce niveau de confiance d´epend de l’aversion au risque du d´etenteur du portefeuille.
Pour le calcul de la VaR, nous devons sp´ecifier les facteurs de march´e qui affectent la valeur du portefeuille. Ces facteurs d´ependent du type de march´e consid´er´e. Le calcul de la VaR d´epend alors de la m´ethodologie utilis´ee.
2.2.1.3 Les approches du calcul de la VaR
G´en´eralement, on a le choix entre trois familles de m´ethodes :
— La VaR analytique (ou param´etrique) ;
— La VaR historique (ou non param´etrique) ;
— La VaR Mont´e Carlo.
(i) VaR historique : Les outils de gestion du risque actuellement d´evelopp´es par les banques et par les Soci´et´e financi`ere s’inspirent des trois m´ethodes pr´ec´edemment mentionn´ees.
Ainsi, la m´ethode de simulation historique est principalement utilis´ee parla Chase Manhattan Bankdans leur produit Charisma TM
Statpro recommande aussi cette m´ethode en certifiant que : Le mod`ele de simulation historique, d´ej`a tr`es populaire dans la banque d’investissement, gagnera rapidement en reconnaissance dans les soci´et´es de gestion grˆace `a sa grande pertinence.
Ceci revient au fait que la m´ethode de simulation historique de la VAR pr´esente de fait que la m´ethode de simulation historique de la VAR pr´esente de nombreux avantages :
— La facilit´e de mise en œuvre et d’interpr´etation des r´esultats.
— L’emploi de techniques simples qui n´ecessitent peu de calculs.
— La non exigence d’hypoth`eses pr´ealables sur la forme de la distribution.
— L’adaptation `a des gestions en constante ´evolution en n´ecessitant uniquement de nouvelles fonctions pricing.
— La large couverture des actifs simples ou exotiques, lin´eaires ou non, liquides ou non.
— L’int´egration de chaque facteur de risque de fa¸con homog`ene avec tous les autres.
L’approche th´eorique de la simulation historique de la VAR
La m´ethode de simulation historique utilise les r´ealisations pass´ees des facteurs de risque elle permet ainsi d’estimer la distribution des variations de la valeur de portefeuille pour l’horizon sur lequel on calcule la VAR par les observations de ces variations `a partir des donn´ees historiques.
le calcul de la VaR historique se base sur l’hypoth`ese suivante : la distribution des rendements observ´ee `a partir des donn´ees historiques se reproduira
`
a l’avenir .
Statistiquement parlant, cette hypoth`ese se traduit par la stationnarit´e historique des rendements des actifs ou des facteurs de risque.
en r´ealit´e, cette hypoth`ese est rarement v´erifi´ee.
Concr`etement, cette m´ethode consiste `a recueillir N rendements historiques pour chacun des titres constituant un portefeuille, puis valoriser en t0 le portefeuille pour chaque datet = [t0−1, . . . , t−N].
On obtient ainsi N − 1 valeurs de la fonction des pertes et profits (PL) qu’on assimile `a des pertes mˆeme si certaines d’entre elles sont des gains.
Ces valeurs vont permettre la construction implicite d’une distribution empirique `a partir de laquelle on peut extraire le quantile d’ordre a. Pour ce faire, il suffit de ranger les N − 1 pertes potentielles {L1, L2, . . . , LN−1} tel que : proc`ede par une interpolation lin´eaire.
La VaR historique s’´ecrit donc de la fa¸con suivante : V aRh,α=
(|L(N α)| si Nα est entier
L(n∗)+ (Nα−n∗)(Ln∗+1−L(n∗)) si non Avec : n∗ = [N ×α] la partie enti`ere de N ×α
la m´ethode historique permet de tenir compte des caract´eristiques r´eelles de la distribution statistique des facteurs de risque tel que :
— I ’asym´etrie entre les parties gauche et droite de la distribution correspondante aux chocs n´egatifs et positifs.
— Les changements de la volatilit´e associ´es `a des successions de p´eriodes calmes et agit´ees.
— L’importance des ´ev´enements rares.
en pratique, les banques appliquent cette m´ethode sur un pass´e relativement r´ecent afin de ne consid´erer que les conditions de march´e actuelles.
la d´etermination de la VAR Monte Carlo, au seuil (1−α)% passe par les ´etapes qu’on sch´ematise comme suit :
Figure 2.1 – les ´etapes de calcul de la VaR historique (ii) VaR Param´etrique
Cette m´ethode, mise en place par la banque JP Morgan, s’est r´epandue `a travers le monde sous l’impulsion de sa filiale RiskMetrics. La m´ethode variance-covariance, aussi connue sous le nom de m´ethode analytique, s’est vite impos´ee comme le standard de calcul de la VaR du fait des facilit´es de d´eveloppement disponibles dans les progiciels informatiques.
Les hypoth`eses de calcul retenues pour cette m´ethode ont ´et´e vivement critiqu´ees.
en effet, cette m´ethode repose sur l’hypoth`ese que les variations des facteurs du risque suivent une loi normale et utilise les propri´et´es statistiques de ce type pour estimer la VaR. L’objectif de cette m´ethode est d’estimer la variance du portefeuille
`
a partir des variances et des corr´elations standardis´ees pour certaines ´ech´eances et certains produits. Pour d´eterminer la VaR, il faut prendre en compte les corr´elations entre les facteurs de risque standards, c’est la matrice variance-covariance.
Les hypoth`eses de cette m´ethode sont :
— La stationnarit´e des actifs ;
— L’hypoth`ese de normalit´e des rendements ;
— Une d´ecomposition lin´eaire des prix des actifs en facteurs de risques.
Dans certains cas, ces hypoth`eses ne refl`etent pas la r´ealit´e, ainsi
— L’hypoth`ese de normalit´e n’est pas empiriquement justifier se de normalit´e n’est pas empiriquement justifi´ee parfois sous-estimant ainsi les ´ev´enements rares.
— L’hypoth`ese de stationnarit´e des rendements est limit´ee lorsqu’il s’agit du traitement des march´es instables, ´etant donn´e que les volatilit´es et corr´elations varient fortement lorsque les march´es sont perturb´es, particuli`erement quand I
‘horizon de temps est long.
— L’hypoth`ese que toutes les d´ependances existantes entre les facteurs de risque soient contenues dans la matrice variance covariance n’est pas toujours possible, car cette matrice pr´esente elle-mˆeme des limites tant au niveau de son estimation qu’au niveau de sa pr´evision.
— La VAR param´etrique s’applique seulement aux instruments lin´eaires, dont le rendement varie lin´eairement avec les variations relatives du facteur de risque.
quant aux instruments financiers non lin´eaires (options), elle lui ajuste une approximation lin´eaire mais qui ne s’av`ere pas tr`es r´ealiste.
La non-conformit´e des hypoth`eses `a la r´ealit´e dans quelques situations, n’entrave gu`ere le d´eroulement de la VAR Param´etrique, mais seulement nous pr´evient de faire attention lors de l’interpr´etation des r´esultats.
Ainsi, le cœur de la m´ethode des variances-covariances est le calcul de l’´ecart-type du portefeuille qu’on obtient grˆace `a la matrice des variances-covariances. Une fois l’´ecart-type du portefeuille obtenu, on calcul la VaR par la formule suivante :
V aRh,α =Zαp
VtΣVtT −µVtT Avec :
— Zα : la loi normale centr´ee r´eduite d’ordre α
— Vt : le vecteur des flux par maturit´e
— µ: le vecteur moyen des rendements des prix z´ero coupon
— Σ : matrice variance covariance des rendements des prix
Cette m´ethode est plus difficile `a mettre en œuvre dans le cas de portefeuille compos´e d’instruments non lin´eaires et en dimension ´elev´ee.
La d´etermination de la VAR Monte Carlo, au seuil (1−α)% passe par les ´etapes qu’on sch´ematise comme suit :
Figure 2.2 – les ´etapes de calcul de la VaR param´etrique (iii) VaR de Mont´e Carlo
La simulation Monte Carlo est prˆon´ee par le groupe bancaire Bankers Trust qui l’utilise dans la commercialisation du Maroc 2020T M.
A ce propos, Bankers Trust affirme que : La sim´ethode de Monte Carlo est la m´ethode la plus connue dans la g´en´eration des sc´enarios, permettant ainsi de calculer la VAR lorsque les autres m´ethodes n’y parviennent pas et ceci pour diff´erents instruments contenus dans le portefeuille.
Ainsi, la VAR Monte Carlo est d’une grande utilit´e pour pallier aux difficult´es qu’on peut rencontrer, lors de notre ´etude de la VAR historique, `a savoir :
— Le pass´e qui peut ne plus se produire : Augmenter la p´eriode d’observation pour l’estimation des distributions des rendements des facteurs de risque peut
inclure l’erreur de non stationnarit´e des lois consid´er´ees.
— La n´ecessit´e d’une longue p´eriode de donn´ees historique qui n’est pas toujours disponible : Ces exigences en mati`ere de donn´ees sont essentielles pour obtenir une distribution la plus pr´ecise possible, mais ils peuvent poser probl`eme, particuli`erement lorsque des instruments financiers sont r´ecents ou proviennent de march´es ´emergents et donc on ne peut disposer de suffisamment de donn´ees.
— Le mˆeme poids accord´e par la m´ethode historique pour toutes les donn´ees, anciennes ou r´ecentes : Or, les donn´ees les plus r´ecentes jouent un rˆole plus important dans l’estimation.
— La d´ependance de la VAR Historique des donn´ees : Ceci rend l’estimation du quantile, locale et par la suite sa vitesse de convergence faible. Il faut stocker donc un tr`es grand nombre d’observations afin d’am´eliorer cette estimation et pouvoir tenir compte des ´ev´enements extrˆemes.
— La difficult´e de choisir la longueur de I ‘historique, utilis´ee pour le calcul de la VaR Historique : D’une part, l’observation des ´ev´enements rares n´ecessite un grand nombre de donn´ees, et d’autre part, la prise en compte des donn´ees trop anciennes peut affaiblir la pertinence des estimations.
— L’incapacit´e de la VAR historique de prendre en consid´eration les ´ev´enements futurs plausible si ceux-ci n’apparaissent pas dans le pass´e.
L’approche th´eorique de la simulation de Monte Carlo de la VAR
A la diff´erence de la VAR historique, la VAR Monte Carlo se base sur des rendements simul´es des facteurs de risques afin de pailler au probl`eme de la non stationnarit´e des rendements historiques de ces facteurs.
La validit´e de cette approche est conditionn´ee par l’hypoth`ese suivante : les rendements simul´es suivent une loi de distribution param´etrique connue (g´en´eralement une loi normale) dont on estime les param`etres `a partir des donn´ees historiques .
On remarque que la r´ealisation de cette hypoth`ese est fond´ee sur deux points essentiels :
— Attribuer aux rendements simul´es une distribution normale.
— estimer les param`etres de la distribution (Vecteur moyen, Matrice variance covariance).
◦ G´en´eration des vecteurs pseudo al´eatoire
La r´ealisation de la distribution normale des rendements simul´es, repose sur le fait de construire des vecteurs al´eatoires dont la distribution est connue.
Mais comme il s’av`ere difficile de consid´erer des vecteurs al´eatoires qui doivent r´eussir tous les tests empiriques, on se limite aux vecteurs pseudo al´eatoires.
On g´en`ere ainsi 1000 ´echantillons de vecteurs pseudo al´eatoires (u[1]k , . . . , u[1000]k ) suivant une loi uniformeUmultivari´ee(0,1) grˆace `a la fonction ALeA d’excel avecK = 1, . . . , N : les composantes de chaque vecteur.
On applique la transformation inverse sur chaque composante u[i]k , du vecteur pseudo al´eatoire u[i],(i = 1, . . . ,1000) afin d’obtenir les vecteurs (z[1]k , . . . , zk[1000]) issus de la loi multinomiale standardNM ultivan´ee(0,1).
Cette transformation ce fait par le moyen de la fonction :
LOI.NORMALe.STANDARD.INVeRSe du logiciel excel.
◦ estimation des param`etres de la distribution
en disposant de la base des donn´ees des facteurs de risque, on calculeles rendements historiques, dont on tire le vecteur (µ) et la matrice variance covariance (Σ).
De ces deux r´esultats, on d´etermine les rendements simul´es qui suivent une loi multinormaleNmultivari´ee(0,1) d´ecrits par la relation suivante :
Rsimul[i] e´=Cz[i]+µ o`u C : la matrice de factorisation de Cholesky de Σ tel que (Σ = CCT)
la d´etermination de la VAR Monte Carlo, au seuil (1−α)% passe par les ´etapes qu’on sch´ematise comme suit :
Figure 2.3 – les ´etapes de calcul de la VaR de Monte Carlo
On note que les deux premi`eres m´ethodes utilisent les donn´ees du pass´e pour estimer les variations potentielles de la valeur du portefeuille. On suppose donc que le futur se comporte comme le pass´e : il faut donc faire l’hypoth`ese que la s´erie temporelle des valeurs du portefeuille est stationnaire. C’est la raison pour laquelle l’approche Value-at-Risk n’est utilis´ee que dans les conditions normales du march´e hors chocs macro´economiques ou politiques.
2.2.1.4 Avantages et inconv´enients de la VaR
La VaR pr´esente plusieurs avantages qui expliquent son succ`es. Tout d’abord c’est un indicateur synth´etique qui donne une ´evaluation du risque d’un portefeuille quels que soient les actifs qui le composent. Le fait de disposer d’un indicateur synth´etique unique permet ´egalement les comparaisons entre portefeuilles.
Ensuite c’est un indicateur lisible et facile `a interpr´eter, mˆeme par des non sp´ecialistes, bien que la m´ethode de calcul soit tr`es complexe. Cela en fait un vecteur de communication, aussi bien interne qu’externe, permettant de dialoguer avec le management ou les autorit´es de r´egulation.
La principale limite de la VaR r´eside dans le fait que quelle que soit la m´ethode utilis´ee, les donn´ees inject´ees dans l’algorithme de calcul proviennent toujours plus ou moins des valeurs de march´e constat´ees dans le pass´e, qui ne sont pas n´ecessairement un reflet des ´evolutions futures possibles du portefeuille. C’est pourquoi on utilisera aussi
des m´ethodes de stress-testing, qui consistent `a simuler sur le portefeuille des sc´enarios
catastrophe imaginaires ou issus d’´episodes de crise connus.
Une autre limite r´eside dans le grand nombre d’hypoth`eses plus ou moins simplificatrices que l’on doit faire pour parvenir `a construire la distribution de probabilit´e. C’est pourquoi on v´erifie a posteriori la m´ethode en comparant les VaR calcul´ees par le pass´e avec les fluctuations effectivement constat´ees sur le portefeuille.
Cette m´ethode, appel´ee backtesting, permet d’affiner le mod`ele de calcul de la VaR.