Valorisation des emprunts obligataires et construction de la courbe des tauxla courbe des taux

Pour la valorisation d’un emprunt obligataire, nous aurons besoin de savoir la relation entre son revenu et le capital initialement investi, ce qui s’exprime par le taux d’int´erˆet. En effet , il existe de nombreux types de taux d’int´erˆets, le taux d’int´erˆet pour une p´eriode d’investissement refl`ete le rendement d’un investissement simple et il est donn´e comme un int´erˆet pour la p´eriode, Quant au taux d’actualisation, il s’utilise pour l’appr´eciation des investissements moyennant l’actualisation des flux, les taux d’actualisation `a des ´ech´eances standards forment ce qu’on appelle la courbe de taux, cette derni`ere est tr`es importante pour l’analyse et l’appr´eciation du rendement et du risque des investissements. Les courbes de taux sont utilis´ees pour l’´evaluation des instruments financiers d’une mˆeme classe de risque et elles repr´esentent une base uniforme pour le calcul et la comparaison de diff´erents instruments financiers, ce qui permet de d´efinir le rendement r´eel et le profit potentiel.

Il existe plusieurs types de courbe de taux, nous nous limitons dans notre ´etude `a deux types principaux :

ˆ Courbe des taux de rendements actuariels : cette courbe est construite `a partir des taux de rendement des obligations par l’´etat en l’occurrence les bons de tr´esor, sur le march´e obligataire, elle fournit des informations sur la performance des flux de la tr´esorerie, on l’appelle aussi courbe des taux de rendement `a maturit´e

ˆ Courbe des taux z´ero-coupon : elle regroupe les taux de rendements actuariels des titres z´ero-coupon, en effet les titres z´ero-coupon sont des titres qui procurent `a leur d´etenteur un flux unique et ce `a l’´ech´eance de ce flux. Egalement chaque courbe de taux pr´esente les taux d’int´erˆet dans deux classes d’´ech´eance :

ˆ les taux d’int´erˆet `a court terme(pour des p´eriodes inf´erieurs `a un an) r´esultent du march´e mon´etaire, `a savoir les titres d’´etat et les d´epˆots, et les transactions sur des contrats `a terme sur des taux d’int´erˆet. Ces instruments financiers n’admettent pas de paiements interm´ediaires et forment directement les taux d’actualisation.

ˆ Les taux d’int´erˆet `a long terme r´esultent du march´e des obligations, ces types d’instruments requi`erent des paiements interm´ediaires, des coupons, c’est la raison pour laquelle la proc´edure de calcul, au vu de la fixation des taux d’actualisation, s’av`ere n´ecessaire.

Valorisation des obligations :

Au Maroc, BAM publie r´eguli`erement une courbe de taux de rendement qui prend en compte les op´erations du march´e secondaire les plus r´ecentes. Les taux publi´es sont, pour chaque ´ech´eance, des taux moyens pond´er´es par les prix. Les rendements sont exprim´es par des taux mon´etaires pour les maturit´es inf´erieures ou ´egales `a 364 jours et par des taux actuariels pour les maturit´es sup´erieures ou ´egale `a 365 jours. Les calculs des taux d’int´erˆets comprennent l’interpolation et la transformation des taux.

Nous pr´esentons dans le tableau ci-dessous, les taux moyens pond´er´es de la BAM

`

a la date de valorisation.

Table 3.2 – les taux moyens pond´er´es de BAM `a 27/05/2019

Nous expliciterons les ´etapes de calcul utilis´ees ci-dessous.

Etape1. interpolation lin´eaire :

Afin de valoriser une obligation, nous avons besoin de d´eterminer son taux de rendement, soit le taux d’actualisation correspondant `a sa maturit´e r´esiduelle, et ce par interpolation lin´eaire, `a partir de la courbe de taux qui pr´evaut au moment de la valorisation de l’obligation. Les taux d’actualisation peuvent ˆetre obtenus `a partir de la courbe de taux comme une fonction des dur´ees des p´eriodes d’int´erˆet.

Si la p´eriode tk ne co¨ıncide pas avec les points d’int´erˆets, le taux r_k correspondant peut ˆetre d´efini moyennant la courbe de taux par une interpolation lin´eaire de deux valeurs de taux avoisinantes, par la formule suivante :

r_k = r(t₀, t_k) = r(t₀, t_i) + r(t₀, t_i+1)−r(t₀, t_i)∗∆(t_i, t_k)

∆(ti, ti+1) Pourt_i< t_k < t_i+1 Avec :

— ∆(t_i, t_j) est la p´eriode du temps entre et exprim´ee en jours

— r(t₀, t_i) est le taux sur la p´eriode de t₀ `at_i

Pour ce faire on utiliser un code VBA Excel qui nous permet de faire l’interpolation lin´eaire `a partir de la fonction INTEPOLEX. Ci-dessous le code utiliser :

Figure 3.1 – Code VBA-Excel pour l’interpolation lin´eaire

Voici un aper¸cu des taux in fine `a la date de valorisation : 27/05/2019 pour les maturit´es enonc´es et pour les maturit´es interm´ediaires obtenus par interpolation lin´eaire : Les taux in fine d´efinis au 27/05/2019

Table 3.3 – Les taux in fine d´efinis au 27/05/2019 Etape 2 : transformation des taux :

Tous les points de la courbe de taux doivent avoir la mˆeme base d’int´erˆet pour pouvoir interpoler entre eux, d’o`u la n´ecessit´e de convertir les taux mon´etaires en taux actuariels pour trouver les taux sup´erieurs `a 1 an, et inversement, nous avons besoin de convertir les taux actuariels en taux mon´etaires pour trouver les taux inf´erieurs `a 52 semaines.

La conversion du taux mon´etaire en taux actuariel se fait selon la formule suivante : ta =

1 + t_m×n 360

³⁶⁵n

−1

Inversement, la conversion du taux actuariel en taux mon´etaire se fait comme suit : t_m =

(1 +t_a)³⁶⁵ⁿ −1

∗360 n O`u :

— t_m : le taux mon´etaire.

— t_a : le taux actuatiel.

— n : le nombre de jours de placement.

Etape 3 : Construction des taux Z´ero Coupon par la m´ethode de BootStrapping : Sur le court terme, les paiements sont g´en´eralement de type z´ero coupon. en effet, pour le moins d’un an, il n’y a pas de flux interm´ediaires, le nominal et les int´erˆets sont vers´es `a l’´ech´eance.

Le taux z´ero coupon et le taux actuariel sont donc ´egaux pour les maturit´es inf´erieures `a un an.

Lorsque l’on raisonne sur le plus d’un an, il intervient des versements d’int´erˆets interm´ediaires, des coupons, g´en´eralement annuels. Il faudra alors reconstituer la courbe z´ero coupon pas `a pas, soit segment pas segment de maturit´e. C’est le principe du Bootstrap.

Pour le segment de la courbe allant de 1 an `a 2 ans, on choisit un titre de maturit´e 2 ans qui verse deux flux :

Figure 3.2 – Sch´ema repr´esentant la m´ethode du BooStrapping entre t0 et t1 O`u :

— ZC_t1 : Le taux z´ero-coupon 1 an.

— ZC_t2 : Le taux z´ero-coupon 2 ans.

— r_t2 : Le taux de rendement 2 ans.

Le facteur d’actualisation du premier flux est connu puisque le taux z´ero coupon 1 an est le taux de rendement 1 an. Le facteur d’actualisation du second flux, fonction du taux z´ero coupon 2 ans, sera solution de l’´equation suivante :

1

(1+r_t2)+ 1

(1+r_t2)² = 1

(1+ZC_t1) + 1 (1+ZC_t2)² Le taux z´ero coupon 2 ans s’exprime donc comme suit :

ZCt2 = ( 1

De proche en proche, on calcule le taux z´ero coupon pour une maturit´e N comme suit :

Grace `a ses relations, on d´efinit l’ensemble des taux z´ero coupon pour toutes les maturit´es , Voici un aper¸cu des taux z´ero coupon `a la date de valorisation 27/05/2019.

Table 3.4 – Les taux z´ero coupon `a la date 27/05/2019

On remarque que la courbe des taux z´ero coupon amplifie les caract´eristiques de la courbe in fine dont elle est extraite. Le graphique ci-dessous confirme bien ce constat.

Figure 3.3 – repr´esentation graphique de la courbe des TZC la courbe in fine

3.2 Mod´ elisation de la VaR pour un portefeuille