Backtesting pour la valalidation de la mod´ elisation de la VaRVaR

La validation du mod`ele VaR est la partie la plus importante pour l’obtention de l’autorisation d’utiliser le mod`ele pour d´eterminer les exigences en fonds propres de la banque.

en effet, le mod`ele VaR ne peut ˆetre valid´e par BAM qu’apr`es r´ealisation d’un backtesting visant `a d´eterminer si le nombre de fois o`u le PL est sup´erieur `a la VaR est en accord avec le niveau de confiance choisi.

(a) Description du backtesting :

Le Backtesting confronte la VaR calcul´ee aux pertes effectivement r´ealis´ees sur le portefeuille sur une p´eriode relativement longue. Cette m´ethode permet de v´erifier l’ad´equation des mod`eles VaR par rapport `a ce qui se passe en r´ealit´e.

Les gestionnaires de risques mettent en place un processus de backtesting r´egulier, fiable, constant, document´e et examin´e par l’audit interne. Ce backtesting s’effectue quotidiennement, sur la base de la VaR `a un jour et sur un intervalle de confiance de 99% et sur une p´eriode minimale de 250 jours ouvrables

(b) D´emarche `a suivre :

Deux approches de backtesting peuvent ˆetre utilis´ees :

ˆ Un backtesting r´eel qui consiste `a comparer, pour chaque jour ouvrable, la VaR calcul´ee sur la base des positions en fin de journ´ee `a la variation sur un jour de la valeur du portefeuille r´eellement constat´ee `a la fin du jour ouvrable suivant ;

ˆ Un backtesting hypoth´etique qui consiste `a comparer, pour chaque jour ouvrable, la VaR calcul´ee sur la base des positions en fin de journ´ee `a la

variation sur un jour de la valeur du portefeuille du jour ouvrable suivant, en supposant que les positions restent inchang´ees.

Dans notre application on va se contente de faire la premi`ere approche, et pour y proc´eder, nous fixons, de prime `a bord, la p´eriode de temps sur laquelle est effectu´e le test.

ensuite, nous allons relever `a partir de nos observations historiques, les VaR et les profits et pertes journali`eres durant toute la p´eriode et proc´eder `a la comparaison des valeurs obtenues jour par jour et relever ensuite le nombre d’exceptions ou de violations : c’est `a dire le nombre de fois ou la perte r´eelle d´epasse la VaR estim´ee.

(c) Interpr´etation du r´esultat du test :

Le nombre d’exceptions acceptable d´epend du niveau de confiance auquel est calcul´ee la VaR. en effet, selon les directives du comit´e de Bˆale, si nous testons une VaR `a 99%, on doit s’attendre `a ce que les rendements quotidiens du portefeuille d´epassent la VaR une fois sur 100. Les autorit´es du Bˆale exigent un backtest sur 250 jours d’historique, au minimum. Sur ces 250jours, le nombre de d´epassements ou exceptions devrait ˆetre de l’ordre de 2,5 = 0,01 ∗ 250. Si le nombre d’exceptions est signicativement plus ´elev´e, la VaR et par cons´equent , les risques, sont sous-estim´es. Inversement, si le nombre d’exceptions est signicativement plus faible, la VaR est surestim´ee, autrement dit le fond est trop conservatif.

Soit PLt la distribution des pertes et profits `a l’instant t et posons la Bernoulli d´efinie de la fa¸con suivante :

(P(P L_t = 1) = p P(P L_t = 0) = 1−p

Soit n le nombre de jours sur lesquels nous effectuons le Backtesting. Pour n = 250 et p = 0.01 le nombre des exceptions est compris approximativement entre 1 et 4. Par cons´equent les instances de surveillance acceptent les mod`eles dont le nombre des exceptions est inf´erieur ou ´egal `a 4. Cependant si ce nombre est

´elev´e, une p´enalit´e sera appliqu´ee d’o`u l’imposition d’une charge suppl´ementaire aux exigences en fonds propres.

(d) Tests relatifs au backtesting :

Si le graphe du backtesting n’est pas significativement clair pour donner une interpr´etation, on peut faire recours `a des tests statistique :

(i) Tests unilat´eraux :

Consid´erons un horizon temporel d’un jour et un seuil de confiance de X%. Si le mod`ele de la VaR est fiable, la probabilit´e que la VaR soit d´epass´e est p = 1−X. Supposons maintenant que l’on dispose d’observations sur n jours et que la VaR ait ´et´e d´epass´ee `a m reprises avec m/n > p. Pour savoir si nous devons rejeter le mod`ele ou pas, consid´erons deux hypoth`eses alternatives :

(

H0 La probabilit´e d’une exception est ´egale `a p H1 La probabilit´e d’une exception est sup´erieure `a p

A partir des propri´et´es de la loi binomiale, nous ´ecrivons la probabilit´e que la VaR soit d´epass´ee durant m jours ou plus :

n

X

k=m

n!

n!(n−k)!P^k(1−P)^n−k (2.1) Un seuil de confiance couramment utilis´e dans les tests statistiques est 5%. Si la probabilit´e de d´epassement de la VaR `a m reprises ou plus est inf´erieure `a 5%, nous rejetons H0.

(ii) Test de couverture non-conditionnelle : Test de KUPIeC

KUPIeC a d´evelopp´e un test de rapport de vraisemblance log-likelihood ratio

afin de pouvoir rejeter ou de retenir le mod`ele de la VaR. en effet, Kupiec a construit en 1995 un test de couverture non conditionnelle qui permet de tester si le nombre de violations enregistr´ees exc`ede ou non le taux de couverture.

Soit N le nombre de fois o`u la perte du portefeuille et sup´erieur `a la VaR dans un ´echantillon de taille T. Id´ealement le rapport N/T doit ˆetre ´egale au quantile de gauche p. Le tableau suivant indique les r´egions d’acceptation pour diff´erentes valeurs du quantile et de la taille T :

Table 2.1 – les r´egions d’acceptation pour le test de KUPIeC

L’hypoth`ese de couverture non-conditionnelle est v´erifi´ee si la probabilit´e de r´ealisation d’une perte en exc`es par rapport `a la Value-at-Risk anticip´ee est

´egale au taux de couverture. Ainsi, les pr´evisions de la Value-at-Risk pour un taux de couverture de α% ne doivent pas conduire `a plus de α% de violations.

Soit :

I_t =

1 si r_t < V aR_t 0 si non

Avec It une fonction indicatrice permettant de comparer les rentabilit´es observ´ees et les Value-at-Risk estim´ees, rt correspond `a la rentabilit´e observ´ee en t etV aR<sub>t</sub>, la value-at-risk estim´ee en t `a partir de l’ensemble d’information disponible en t-1. Cette fonction indicatrice est aussi appel´ee hit function . Le test de KUPIeC est alors construit sur l’hypoth`ese H0 suivante : H0 : e(I<sub>t</sub>) = p o`u p le taux de couverture retenu.

La statistique de KUPIeC est donn´ee par :

LR_uc = −2Ln[ (1−P)^n−m P^m ] + 2Ln[ (1− m

n)^n−m (m

n)^m ] χ² (1) o`u m est le nombre de violations observ´ees sur n jours. Le rapport correspond au taux d’´echec. Si la statistique calcul´ee LRuc est inf´erieure au χ<sup>2</sup> (1) alors l’hypoth`ese H0 est retenue : les pr´evisions effectu´ees respectent l’hypoth`ese de

couverture non conditionnelle.

(iii) Test de concentration : Test de Christoffersen

Christoffersen a montr´e que le probl`eme de d´etermination de la validit´e du mod`ele de la VaR peut se r´eduire `a d´eterminer si la s´equence des violations satisfait la propri´et´e d’ind´ependance telles que les violations de la VaR `a des dates diff´erentes doivent ˆetre ind´ependamment distribu´ees. Ainsi, It(p) est ind´ependante de It+k(p) quelle que soit k diff´erente de z´ero

Christoffersen a regroup´e ces deux propri´et´es en un seul crit`ere : la s´equence de violations It(p) doit ˆetre ind´ependante et identiquement distribu´ee selon une loi de Bernoulli de param`etre p. Si l’une des propri´et´es n’est pas v´erifi´ee, alors le mod`ele n’est pas valide. Au cas o`u ces deux hypoth`eses auraient ´et´e confirm´ees, on parle de couverture conditionnelle.

Christoffersen suppose que It(p) est mod´elis´e par une chaˆıne de Markov admettant pour matrice des probabilit´es de transition la matrice suivante :

Π =

π₀₀ π₀₁ π₁₀ π₁₁

Ou π` ij =Pr(It(p) = jI_t−1(p) =i

Le test de Christoffersen est un test du rapport de vraisemblance dont la statistique du test est donn´ee comme suit :

L_{IN D} = 2Ln((1−π00)ⁿ⁰⁰(π00)ⁿ⁰¹(1−π11)ⁿ¹⁰(π11)ⁿ¹¹)−2Ln((1−π)^n00+n00(π)^n01+n11 o`u :

— njk est le nombre d’observations de valeur j suivies par la valeur k et les probabilit´es telles que j et k peuvent prendre les valeurs 0 et 1.

— π est la probabilit´e d’occurrence d’une exception dont la formule est la suivante :

π = n01+n11

n₀₀+n₀₁+n₁₁

La statistique LIND, est asymptotiquement distribu´ee selon la loi χ²(1).