2.3 Déconvolution d’image
2.3.4 Validité des hypothèses formulées a priori
Nous décrivons dans un premier temps quelques propriétés des images naturelles que notre système d’imagerie est susceptible d’acquérir. Puis nous présentons succinctement la validité des différentes hypothèses a priori, testées dans la partie précédente.
Statistique d’images naturelles
De nombreux algorithmes de vision par ordinateur utilisent les propriétés spatiales ou spectrales d’images pour faire des hypothèses a priori sur celles-ci. Dans notre cas, les a priori effectués sont issus de modèles statistiques d’images que notre système est susceptible d’acquérir. Toutes nos hypothèses sont données sous forme d’une densité de probabilité, dépendante de la variable à estimer, que l’on intègre directement dans l’ex-pression du terme fprior, définie dans la partie précédente. Ces hypothèses permettent, dans des problèmes de déconvolution, de converger vers la solution la plus réaliste.
De nombreuses recherches ont montré que les images prises par un système d’imagerie
"Pinhole" possèdent certaines régularités caractéristiques dans l’espace de Fourier. Nous
nous intéressons en particulier à la répartition du spectre de puissance de ces images. En effet, des études présentées par Burton et Moorhead[16] et Weiss et Freeman[104] montrent que le spectre de puissance suit une loi en 1/fα avec α ∼ 2 (ou avec α ∼ 1 pour l’amplitude du spectre de puissance [RMS]).
La figure suivante représente la densité spectrale de puissance moyenne d’une série d’images dites naturelles. On voit clairement sur celle-ci la loi d’évolution en 1/f. Cette caractéristique peut être utilisée pour définir une hypothèse a priori sur l’image à estimer, si celle-ci peut être considérée comme une image naturelle.
Cependant, comme cela est illustré dans cette figure, pour le cas d’images naturelles ou fabriquées artificiellement, la distribution du spectre de puissance présente un biais en fonction de la catégorie de scène considérée. (Cf. travaux de Baddeley et al. [8] et Torralba et Oliva [101].)
C’est pourquoi Torralba et Oliva [101] ont proposé un modèle plus précis pour modé-liser le spectre de puissance moyen de différentes catégories d’images.
E�|I(f, θ)|2�� As(θ)
fαs(θ) (2.89)
où θ est l’orientation fréquentielle considérée. As(θ) est une modulation en amplitude et
αs(θ) un exposant permettant de moduler l’évolution fréquentielle du spectre modélisé.
Torralba et Oliva [101] montrent aussi que ce modèle peut être utilisé pour suivre la
statistique d’images vues à différentes échelles. Cette notion intervient, par exemple, pour des scènes observées à différentes distances.
Hypothèses a priori spatiales
Nous avons distingué, dans ce qui suit, trois cas basés sur différentes formes du critère de régularisation Γ, vu précédemment. Rappelons, comme énoncé dans la partie 2.3.3, que l’hypothèse a priori utilisée considère une répartition gaussienne de l’élément ΓIg.
Cas 1 : Γ = Id :
Cette hypothèse considère une répartition gaussienne centrée de Ig.
p(Ig) ∝ exp � − 1 2σ2 i � � �Ig � � �2 � (2.90) avec σ2 i la variance de Ig considérée.
Appelée "Ridge Regression" en statistique, cette hypothèse introduit un biais sur l’es-timation de Ig (alors que les paramètres obtenus par moindres carrés sont normalement non biaisés). Cependant, cet inconvénient est compensé par le fait que cette hypothèse favorise la réduction de la variance de l’estimation Igest et même de l’erreur quadratique moyenne �Ii− HIgest�2. Ceci est une illustration du fait qu’un estimateur biaisé, mais de faible variance, peut être plus performant qu’un estimateur sans biais, mais de forte
va-riance. Ainsi, la "Ridge Regression" s’inscrit dans le cadre d’un compromis "biais-variance" comme le montre Johansen [53]. Cette méthode est la plus simple à implémenter.
De plus, ce modèle considère que Ig a une répartition gaussienne centrée, ce qui n’est en réalité pas le cas. On voit cela directement sur les histogrammes d’images naturelles.
Fig 2.39: À gauche, deux images naturelles et, à droite, l’histogramme leur correspondant.
La répartition de celles-ci n’est clairement pas gaussienne centrée. D’autres sont a priori plus proches de la réalité, par exemple le "Gaussian Image Prior" correspondant au cas suivant.
Cas 2 : Γ = D :
Cet a priori, appelé "Gaussian Prior model", considère une répartition gaussienne cen-trée de DIg. p(Ig) ∝ exp � − 1 2σ2 i � � �DIg � � �2 � (2.91)
avec D un opérateur matriciel de gradient, organisé de manière à calculer la dérivée ou le filtrage passe-haut, respectivement, de l’image spatiale Ig ou de l’image fréquentielle ˆIg
selon l’espace de travail. Sous cette forme, on émet l’hypothèse d’une répartition gaus-sienne du gradient d’une image. Ce modèle est régulièrement utilisé, car il est simple et relativement efficace, comme on peut le remarquer sur les histogrammes obtenus dans ce cas.
Fig 2.40: "Gaussian Prior model" pour différentes images
Cependant, rigoureusement, la répartition du gradient est centrée, mais pas gaussienne. De plus, avec cette méthode, le résultat final de déconvolution est fortement dépendant du choix de σi.
Cas 3 : Γ = 1
A1/2 :
Cet a priori considère une répartition gaussienne centrée dans l’espace de Fourier, du rapport Iˆg A1/2. p(Ig) ∝ exp � − 1 2σ2 i � � � Iˆg A1/2 � � �2 � (2.92) avec, A = Eˆ Ig ��� �ˆIg � � �2 �
la densité spectrale de puissance moyenne d’images de références ˆIg, exprimées dans l’espace de Fourier.
Avec cet a priori, la répartition en 1/f des images naturelles est prise en compte, grâce à la forme de A. Dans ce cas, l’hypothèse émise, comme dans les travaux de Zhou
et al. [109], considère que le rapport ˆIg
A1/2 est un bruit gaussien centré, de variance σi, à déterminer par l’analyse d’images d’une base de données de référence.
Pour vérifier cela, nous avons tout d’abord calculé la DSP moyenne sur une base d’images1.
Fig 2.41: Logarithme de la DSP calculée sur une base d’images.
Puis, en appliquant l’hypothèse considérée, on obtient les répartitions suivantes, qui sont fortement gaussiennes et centrées.
Fig 2.42: Rapport entre les parties réelle et imaginaire de deux images tests exprimées dans l’espace de Fourier et de la DSP moyenne calculée.
Cette hypothèse est plus efficace que les deux autres et est aussi plus stable vis-à-vis du paramètre σi. Elle est utilisée par Zhou et al. [109] dans un problème de déconvolution d’image.
Dans ce chapitre, nous établissons un modèle matriciel linéaire du système chroma-tique que nous avons décidé d’employer. Ce modèle est utilisé pour simuler des images qui seraient acquises dans le cas d’un objet plan et pour déterminer les algorithmes d’es-timation 2D+Z décrits dans le chapitre 4.
Dans un premier temps, nous détaillons les modèles utilisés pour chaque élément de notre système, illustré dans la figure suivante. Puis, nous les regroupons dans un modèle général, exprimé de manière analytique et sous forme matricielle.
Fig 3.1: Décomposition système.
Cette décomposition illustre les trois principaux éléments du système d’imagerie chro-matique considéré. Dans notre modélisation, la scène est considérée comme un objet plan, situé à une distance D. Nous appellerons image mosaïque l’image acquise à partir d’un tel système.
3.1 Simulation de scène
Toutes nos simulations sont effectuées en considérant un objet plan de surface "lamber-tienne", à une distance D et perpendiculaire à l’axe optique du système. Ce plan réfléchit les rayons lumineux provenant d’une source d’éclairage et projette ceux-ci à travers un système d’imagerie "Pinhole", sur un plan image, à une distance Dc. Ce plan image est discrétisé spatialement par un capteur monochromatique.
Fig 3.2: Simulation d’un plan dans l’espace objet perpendiculaire à l’axe optique du système et projeté sur un capteur.
Ainsi, en considérant le modèle de formation d’image vu dans la partie 2.1.1 et la dis-crétisation effectuée par un capteur, on obtient l’image multispectrale discrète ig(n, m, l).
ig(n, m, l) = rg(n, m, l)e(l)
π (3.1)
avec rg(n, m, l) l’image de la réflectance spectrale de l’objet observé et e(l) l’éclairement spectral de cette surface par une source d’éclairage.
Pour nos simulations, les images ig(n, m, l) utilisées sont issues de la base de Foster
et al. [37], en considérant un éclairement spectral uniforme. Notons qu’en considérant
des plans objet et image parallèles, on peut appliquer à l’image ig(n, m, l) le modèle de système optique soumis à la diffraction établi dans la partie 2.1.3 du chapitre 2.
Dans la partie suivante, nous modélisons l’intégration spectrale effectuée par le capteur utilisé et la mosaïque de filtres disposée sur celui-ci.
3.2 Mosaïque de filtres + capteur
Nous proposons un modèle prenant en compte l’intégration spectrale effectuée et le bruit de mesure additionnel introduit par le capteur d’image utilisé. De plus, nous ajoutons l’influence d’une mosaïque de filtres disposée sur celui-ci.
3.2.1 Modèle
En combinant les différents modèles vus dans le chapitre 2, on peut établir l’expression de l’image mosaïque capteur s(n, m).
s(n, m) = Nfq−1 � q=0 N�fr−1 r=0 cf aq,r(n, m) .∆λ. Nλ � l=1 fq,r(l) .qe (l) .ig(n, m, l) + η (n, m) (3.2)
avec ce modèle, on peut simuler l’image mosaïque telle qu’elle serait acquise par le cap-teur considéré. Celle-ci est obtenue dans le cas d’un objet plan dont la texture est définie par l’image multispectrale ig(n, m, l) utilisée et pour Nfq × Nfr filtres spectraux disposés selon un superpixel donné. Chaque filtre étant noté fq,r(l), avec l l’indice de longueur d’onde et q, r les coordonnées discrètes du filtre lui correspondant dans le superpixel.
Nλ est le nombre de bandes de longueurs d’ondes prises en compte. Dans nos calculs, les images multispectrales utilisées sont réparties sur une gamme de longueurs d’ondes visible [400nm; 750nm] et discrétisées selon Nλ = 31 bandes spectrales.
La partie suivante donne le modèle permettant de simuler le système optique chroma-tique longitudinal utilisé. Nous illustrons, de plus, les propriétés de celui-ci que l’on utilise pour estimer les images 2D+Z de scène.