Détermination des paramètres optimaux

Il y a beaucoup de paramètres que l’on peut optimiser. La figure suivante rappelle l’ensemble de ceux-ci.

Fig 4.22: Rappel des paramètres système considérés.

Pour limiter le nombre de paramètres à optimiser, nous en avons fixé certains. Ainsi, le capteur considéré à une distance Dc = 54, 8mm fixe est composé de 150 × 150 pixels et induit un niveau de bruit de 1% de sa dynamique. Le SOCL considéré a la même évolution focale, en fonction de λ, que dans la partie 4.2.5.

Il nous reste donc à définir la mosaïque de filtres, le diamètre d’ouverture Φd et le paramètre de régularisation α, en fonction de la profondeur des objets à estimer.

Rappelons que QD(Dp) ne prend en compte que les réponses des filtres spectraux considérés et pas leur disposition sous forme de mosaïque. Ce critère a été déterminé à partir d’équations établies après un démosaïçage. C’est pourquoi, comme nous l’avons dit dans la partie 4.2.2, la disposition des filtres dans la mosaïque considérée est a déterminer indépendamment des autres paramètres. Rappelons les répartitions optimales obtenues pour les différentes tailles des superpixels considérées.

Fig 4.23: Répartitions optimales de superpixels composés de 2×2, 2×3 et 3×3 filtres spectraux gaussiens, régulièrement distribués sur la gamme spectrale d’estimation [400nm; 750nm].

En considérant que les filtres spectraux utilisés sont régulièrement répartis sur la gamme de longueur d’onde considérée λ ∈ [400nm; 750nm], il reste à déterminer le nombre de filtres, le diamètre d’ouverture Φd et le paramètre de régularisation α à utiliser pour obtenir les meilleures estimations possibles.

Pour évaluer ces paramètres, il faut utiliser des propriétés de la fonction QD(Dp) qui permettent de garantir une bonne estimation de la profondeur, mais aussi de l’image couleur EDOF souhaitée. Pour déterminer celles-ci, nous nous sommes inspirés des tra-vaux effectués par Zhou et al. [108]. Ces propriétés sont présentées dans les deux parties suivantes.

Optimisation pour l’estimation Z

D’après l’évolution de QD(Dp) figure 4.21 et les différents tests effectués dans la par-tie 4.2.5, nous pouvons mettre en évidence deux caractéristiques de cette fonction qui peuvent être utilisées pour garantir une bonne estimation de la profondeur réelle de l’ob-jet considéré.

Nous avons pris en compte le minimum de cette fonction, noté Dmin pour la suite. Il nous permet d’évaluer le biais d’estimation de profondeur obtenu. Puis, pour garantir un écart type minimum de cette estimation, nous avons aussi pris en compte la différence

QD(Dmin− ∆D) − QD(Dmin) à cette profondeur Dmin. Cette différence étant inverse-ment proportionnelle à l’écart type de l’estimation effectuée.

Pour obtenir les meilleures estimations de profondeur possibles, il faut donc utiliser des valeurs de paramètres qui font tendre Dmin vers la profondeur réelle D considérée et qui maximisent la différence QD(Dmin− ∆D) − QD(Dmin).

Optimisation pour l’estimation 2D

Pour effectuer une bonne estimation de l’image couleur EDOF de la scène considérée, il faut avant tout que la profondeur soit estimée efficacement. C’est-à-dire que les conditions précédentes soient respectées.

Cependant, en plus de celles-ci, nous avons aussi observé l’évolution de la valeur don-née par QD(Dmin), avec Dmin qui doit tendre vers D. En favorisant les solutions qui minimisent QD(Dmin), on favorise aussi l’estimation de l’image couleur EDOF souhaitée. En effet, si l’on se reporte à l’expression 4.44 de QD(D), on remarque que la différence quadratique entre l’image filtrée estimée Ifest et l’image filtrée reconstituée F PDminIDmin

gest

doit diminuer lorsque l’estimation IDmin

À partir de ces conditions, on peut mettre en évidence les paramètres système per-mettant de tendre vers une bonne estimation 2D+Z.

Mise en évidence des paramètres optimaux

Pour mettre en évidence les paramètres système permettant d’effectuer les meilleures estimations possibles, nous avons tracé les évolutions de la profondeur Dmin, de QD(Dmin) et de la différence QD(Dmin− ∆D) − QD(Dmin), obtenues pour différentes valeurs de paramètres et différentes profondeurs réelles D. Notons que pour chaque profondeur réelle

D, Dmin est calculée par un algorithme de descente de gradient, appliqué à la fonction

QD(Dp) selon la profondeur probable Dp.

Influence des filtres spectraux

Dans cette partie, nous fixons le diamètre d’ouverture de notre système à Φd = 10, 9mm soit un nombre d’ouverture fnum � 4.9 et nous utilisons le paramètre de ré-gularisation suivant α = ^2.552

σ²_i . Avec un bruit de 1% (σb = 2.55) et σ2

i = 0.0051 déterminé par le calcul équation 4.42.

Ainsi, en faisant varier le nombre de filtres spectraux utilisés et la profondeur objet réelle D, nous obtenons les résultats suivants :

Fig 4.24: Évolution de Dmin, QD(Dmin) et QD(Dmin− ∆D)−QD(Dmin) en fonction de D et du nombre de filtres spectraux utilisés.

D’après l’évolution de Dmin, le biais d’estimation de notre algorithme est le plus faible au centre de la gamme de focalisation spectrale objet du système considéré � [1m; 2, 75m] pour λ ∈ [400nm; 750nm]. Les objets situés dans cette gamme seront donc les mieux estimés. Le nombre de filtres utilisés n’a pas une influence significative sur ce biais.

Par contre, c’est dans le cas de neuf filtres que QD(Dmin− ∆D) − QD(Dmin) est le plus important, dans la zone où le biais est le plus faible. C’est donc dans ce cas que les estimations de profondeur seront les meilleures. Néanmoins, c’est aussi dans ce cas que

QD(Dmin) est le plus élevé (estimation de l’image couleur EDOF la moins bonne). Pour un bon compromis d’estimation 2D+Z, la meilleure solution consisterait à utiliser plutôt six filtres spectraux avec le superpixel 2 × 3 optimal illustré figure 4.23.

Influence de l’ouverture

Nous présentons les résultats obtenus pour neuf filtres spectraux, deux niveaux de bruit 0, 83%, 1, 5% et différents nombres d’ouvertures fnum (fnum = f�(550nm)/Φd).

Fig 4.25: Évolution de Dmin, QD(Dmin) et QD(Dmin− ∆D) − QD(Dmin) pour neuf filtres spectraux, un niveau de bruit de 0, 83% et différentes ouvertures système fnum, en fonction de D.

Fig 4.26: Évolution de Dmin, QD(Dmin) et QD(Dmin− ∆D) − QD(Dmin) pour neuf filtres spectraux, un niveau de bruit de 1, 5% et différentes ouvertures système fnum, en fonction de D.

Le biais d’estimation Dmin−D varie de manière significative en fonction fnum. Celui-ci est minimum au centre de la gamme de focalisation spectrale objet du système considéré ([1m; 2, 75m] pour λ ∈ [400nm; 750nm]). Pour effectuer des estimations de profondeurs avec un faible biais et sur la plus grande gamme de profondeur possible, il faut théorique-ment utiliser le diamètre d’ouverture Φddonnant le plus faible nombre d’ouverture fnum = 1, 5. Par contre, on constate que c’est dans ce cas que QD(Dmin− ∆D) − QD(Dmin) est le plus faible. Cette différence étant inversement proportionnelle à la variance de l’esti-mation de profondeur effectuée. Le meilleur compromis entre la gamme d’estil’esti-mation de profondeur (faible biais) et l’écart type des estimations obtenues serait donc d’utiliser une

ouverture intermédiaire proche de fnum � 6, 5. Celle-ci étant aussi un bon compromis pour l’estimation de l’image couleur EDOF, d’après l’évolution de QD(Dmin).

Dans ce cas, le meilleur compromis serait l’utilisation d’une ouverture intermédiaire autour de fnum � 6, 5. Ceci est valable pour les deux niveaux de bruit testés dans cette partie.

Influence du bruit

Nous présentons maintenant les résultats obtenus pour neuf filtres spectraux, deux nombres d’ouvertures fnum = 4, 9, fnum = 8, 2 et différents niveaux de bruit. Le sys-tème employé ayant toujours la gamme de focalisation objet suivante [1m; 2, 75m] pour

λ ∈ [400nm; 750nm].

Fig 4.27: Évolution de Dmin, QD(Dmin) et QD(Dmin− ∆D) − QD(Dmin) pour neuf filtres spectraux, une ouverture système fnum= 4.9 et différents niveaux de bruit, en fonction de D.

Fig 4.28: Évolution de Dmin, QD(Dmin) et QD(Dmin− ∆D) − QD(Dmin) pour neuf filtres spectraux, une ouverture système fnum= 8.2 et différents niveaux de bruit, en fonction de D.

Le biais d’estimation Dmin − D varie en fonction σb. On voit clairement que pour effectuer des estimations de profondeurs avec un faible biais et sur la plus grande gamme de profondeur possible, il faut que le bruit soit le plus faible possible. De plus, d’après ces courbes, c’est un faible bruit qui permet d’obtenir la meilleure estimation de l’image couleur EDOF souhaitée (ce qui est logique). Par contre, on constate que pour un faible

bruit QD(Dmin− ∆D) − QD(Dmin) est aussi très faible. Cette différence étant inverse-ment proportionnelle à l’écart type de l’estimation de profondeur effectuée. Pour que les estimations se fassent efficacement, il est donc préférable que le bruit capteur ne soit pas négligeable dans le cas de la méthode d’estimation par MAP que nous proposons.

Il n’est clairement pas possible, avec cette méthode d’estimation, d’obtenir à la fois un faible biais et un faible écart type sur une grande gamme de profondeurs. Le but étant que les estimations soient robustes, il faut donc un bruit capteur non négligeable dans les images utilisées, qui induise automatiquement un biais dans les estimations obtenues.

Ouverture optimale en fonction du niveau de bruit

En considérant l’utilisation de neuf filtres et un objet à une profondeur de D = 1, 8m proche de la profondeur centrale de focalisation de notre système ([1m; 2, 75m] pour

λ ∈ [400nm; 750nm]), nous cherchons à mettre en évidence d’éventuelles valeurs opti-males pour le nombre d’ouverture fnum et le bruit capteur de notre système. Les courbes suivantes ont été obtenues pour différents niveaux de bruit et différentes ouvertures.

Fig 4.29: Évolution de QD(Dmin) et QD(Dmin− ∆D) − QD(Dmin) pour neuf filtres spectraux, une profondeur objet de D = 1, 8m et différents niveaux de bruit σb, en fonction du nombre d’ouverture fnum.

La différence QD(Dmin− ∆D) − QD(Dmin) admet un maximum qui dépend du bruit capteur considéré. C’est-à-dire qu’il existe un nombre d’ouverture pour lequel l’écart type de l’estimation d’un objet à une profondeur D = 1, 8m, est minimal. Par interpolation, le nombre d’ouverture optimal pour obtenir le plus faible écart type de mesure est de

f_num = 6, dans le cas du bruit capteur de 1% considéré dans les résultats illustrés dans la partie 4.2.5.

estimations de profondeurs à partir de notre algorithme par MAP. Puis nous les avons comparées aux interprétations effectuées précédemment avec QD(D).

Comparaison des résultats obtenus par MAP

Nous avons considéré, comme précédemment, un capteur positionné à une distance

Dc = 54, 8mm fixe, composé de 150 × 150 pixels et ayant un niveau de bruit de 1% de sa dynamique. Le SOCL utilisé a la même évolution focale, en fonction de λ, que dans la partie 4.2.5. Dans ce cas, celui-ci a la gamme de focalisation spectrale objet suivante [1m; 2, 75m] pour λ ∈ [400nm; 750nm]. Nous considérons aussi l’utilisation de neuf filtres spectraux et d’un diamètre d’ouverture de 8, 9mm (fnum = 6).

Dans ce cas, nous avons obtenu les résultats suivants.

Fig 4.30: Estimations de profondeurs et écarts types obtenus avec notre algorithme par MAP pour neuf filtres spectraux, un nombre d’ouverture de fnum= 6 et un bruit capteur de 1%, en fonction de différentes profondeurs D.

On constate que les moyennes des estimations obtenues sont comparables à l’évolution de Dmin, dans les figures 4.27 et 4.28. De même, l’écart type obtenu peut être comparé à

QD(Dmin− ∆D) − QD(Dmin) dans ces mêmes figures 4.27 et 4.28. En notant que l’écart type est inversement proportionnel à cette différence.

critère d’erreur dit RMSE (Root Mean Square Error). Celui-ci est obtenu par la somme du biais au carré et de la variance de l’estimation de profondeur obtenue.

Fig 4.31: RMSE des estimations obtenues avec notre algorithme par MAP, dans le cas d’un superpixel de 3 × 3 filtres, pour une ouverture fnum= 6 et un bruit capteur de 1%.

Pour les paramètres système considérés dans cette partie, nous pouvons donc annon-cer une précision de profondeur minimum de 6cm pour un objet à environ 1, 9m et une précision de 10cm pour des objets dans la gamme [1, 4m; 2m].

Les estimations obtenues avec notre algorithme par MAP sont cohérentes avec le critère d’optimisation établi QD(Dp). Avec ce critère, nous pouvons valider les interprétations effectuées dans cette partie. Ce qui nous permet d’affirmer, d’après celles-ci, qu’il n’existe pas de paramètres système qui optimisent à la fois la gamme d’estimation de profondeur possible (faible biais de profondeur), l’écart type de ces estimations et la qualité de l’image couleur EDOF estimée.

Avec une telle méthode, il faut donc déterminer le meilleur compromis entre les para-mètres système et l’application souhaitée.

Dans le but d’améliorer au maximum les estimations obtenues avec une telle méthode, nous avons pu mettre en place un second algorithme d’estimation 2D+Z à partir de l’équation générale d’inversion 4.13, établie dans la partie 4.2.1.

En se rapportant à cette équation, nous avons considéré, selon les hypothèses utilisées, qu’il existe une matrice de passage linéaire permettant d’estimer l’image multispectrale EDOF d’une scène à partir d’une image mosaïque de celle-ci. C’est en prenant en compte cette opération que nous avons mis en place un autre algorithme d’estimation 2D+Z plus directe.