1.3 Approche utilisée
2.1.3 Système optique
Cette partie détaille la méthode utilisée pour simuler la réponse d’un système optique à un point dans l’espace objet. De plus, nous avons pris en compte les caractéristiques de mise au point d’un système optique, la longueur d’onde émise par le point objet considéré et les caractéristiques du capteur d’image utilisé.
Notre modèle est basé sur l’utilisation d’un système optique dont le comportement est similaire à celui d’une lentille mince. Dans ce cadre, nous définissons tout d’abord des équations de base, d’optique géométrique, nous permettant d’interpréter rapidement la réponse d’un système en fonction de ces paramètres et d’une scène donnée. Puis, nous utilisons ces équations avec une méthode d’optique de Fourier pour calculer la réponse impulsionnelle de notre système, en prenant en compte la diffraction. Cette réponse im-pulsionnelle étant déterminée dans le plan image avec un échantillonnage plus fin que celui effectué par le capteur utilisé, nous appliquons un sous-échantillonnage (méthode de binning) pour déterminer la réponse impulsionnelle dans l’espace image capteur.
Optique géométrique
Tout d’abord, nous considérons, dans notre application, que les conditions de Gauss sont respectées, ce qui nous permet de considérer le système optique utilisé comme une lentille mince.
Fig 2.11: Schéma du système optique considéré
avec D la distance du point objet considéré, Dc la distance du capteur, Df la distance de focalisation des rayons provenant de l’objet, φd le diamètre du diaphragme (ou pupille de sortie) du système optique et φt le diamètre du cercle dit de confusion qui se forme sur le plan image. f� est la focale du système optique.
Nous utilisons ce schéma pour déterminer la dispersion des rayons provenant d’un même point objet sur le plan image. Ainsi, l’ensemble des rayons projetés sur le plan image forme un disque dont le diamètre φt donne une information sur la distance de fo-calisation Df des rayons provenant du point A. φt donne une information sur le niveau d’étalement d’un point objet sur l’image (flou image), en fonction des paramètres système. Nous cherchons à déterminer l’expression de φt dans la suite de cette partie.
La focale f� permet de définir la distance de focalisation Df de notre système en fonction de la distance D de l’objet considéré. Celle-ci est définie, dans notre cas, par l’équation suivante, qui utilise l’indice de réfraction du matériau n et les rayons de courbure
R1 et R2 des dioptres optiques de la lentille mince simulée.
f� = 1
(n − 1)� 1
R1 −R12� (2.13) De plus, en fonction de la figure 2.11, on peut déterminer l’expression de φt.
φt φd = |Df − Dc| Df ⇔ φt= φd � � � � �1 −DfDc � � � � � (2.14)
La valeur absolue |Df − Dc| étant utilisée pour conserver des valeurs positives de φt. Pour compléter l’expression de φt, nous utilisons la relation de conjugaison de Snell-Descartes (pour une lentille mince). Avec H et H�, deux points confondus avec le centre optique de la lentille mince considérée.
1 H�A� − 1 HA = 1 H�F� ⇒ V al Alg´eb 1 Df + 1 D = 1 f� (2.15)
Cela nous permet d’exprimer φten fonction des paramètres du système et de la distance de l’objet. φt= φd· Dc � � � � � 1 Dc+ 1 D− 1 f� � � � � � (2.16)
On a donc une loi d’évolution de φtpermettant de déterminer si le système est focalisé (φt = 0) ou non sur le plan image, en fonction de D et des paramètres système. Notons qu’en réalité, lorsque l’on focalise dans l’espace image, φtne peut rigoureusement pas être égal à zéro. En effet, si l’on prend en compte les phénomènes de diffraction, lorsqu’un système est focalisé, une tache image résiduelle, appelée tache d’Airy, se forme. Celle-ci
possède un diamètre φdif fλ qui s’exprime comme suit. Un système optique soumis à la diffraction ne peut donc rigoureusement pas définir un point objet pour une résolution image inférieure au diamètre φdif fλ (Limite de résolution optique).
φdif fλ = 2.44 · λ
φd · f� (2.17)
L’expression de φt équation 2.16 est utilisée, dans la partie suivante, pour déduire rapidement le niveau de mise au point d’un système d’imagerie donné.
Optique de Fourier et Diffraction
Nous rappelons dans cette partie les principes de base de la diffraction et d’optique de Fourier que nous avons utilisés pour simuler la réponse diffractive d’un système optique. Ces rappels sont effectués à partir des références suivantes [41], [11], [43], [26], [15]. Le but de cette partie est de définir une procédure de calcul de l’image acquise par un système d’imagerie donné, prenant en compte la diffraction.
Commençons par décrire les équations de base utilisées pour le calcul de la diffraction.
Théorie de la diffraction scalaire :
Nous considérons une onde plane monochromatique, dans un champ scalaire, avec
U(p, λ) = A(p, λ). exp(−jφ(p, λ)).
u(p, λ, t) = Re {U(p, λ). exp(−2jπvt)} (2.18) où p est une position spatiale, t le temps et λ la longueur d’onde considérée.
On se place dans le cas d’une lumière monochromatique se propageant d’un plan source selon (ξ, η) vers un plan d’observation parallèle selon (x, y).
Fig 2.12: Schéma de propagation d’une onde d’un plan source à un plan d’observation parallèle. Cette figure est empruntée à [43]
avec Σ une aire du plan source qui peut représenter l’étendue d’une source lumineuse ou une ouverture éclairée par une source lumineuse. Ces deux cas sont représentés par un champ U1(ξ, η, λ) émis selon l’aire Σ du plan source.
Le résultat de la propagation de U1(ξ, η, λ) jusqu’au plan d’observation est donné par le champ U2(x, y, λ). On peut prédire celui-ci en utilisant la solution de Diffraction de
Rayleigh-Sommerfeld suivante, valable si z � λ, ce qui est notre cas. U2(x, y, λ) = z jλ �� Σ U1(ξ, η, λ)exp(jkr12) r212 dξdη (2.19) où k = 2π
λ est le nombre d’onde exprimé dans l’espace libre, z est la distance entre les deux plans considérés et r12 = �z2+ (x − ξ)2+ (y − η)2 la distance entre une position sur le plan source et une position sur le plan d’observation.
Notons que cette équation vient du principe de Huygens-Fresnel, qui suppose que
U1(ξ, η, λ) agit comme une infinité de sources ponctuelles fictives positionnées selon chaque position (ξ, η) appartenant à Σ. Chacune de celles-ci produit une onde sphérique dont les contributions sont sommées selon Σ, pour chaque position (x, y) sur le plan d’observation. La diffraction obtenue en (x, y) est donc le résultat de l’interférence des ondes diffusées par l’ensemble des points sources fictifs appartenant à Σ.
Dans le cas général, l’équation 2.19 est une intégrale de superposition. Dans le cas de plans parallèles, qui est celui que nous considérons, celle-ci devient une intégrale de convolution (équation 2.20) ou un produit dans l’espace de Fourier (équation 2.21). Notons que la convolution est effectuée selon les coordonnées du plan d’observation. Nous ver-rons par la suite que le modèle convolutif généralement utilisé pour modéliser la réponse impulsionnelle d’un système optique vient directement de l’équation suivante.
U2(x, y, λ) =��
Σ
U1(ξ, η, λ)h(x − ξ, y − η, λ)dξdη (2.20)
T F(x,y){U2(x, y, λ)} = TF(ξ,η){U1(ξ, η, λ)} .H(fx, fy, λ) (2.21) On identifie ainsi la réponse impulsionnelle de Rayleigh-Sommerfeld dans le plan d’ob-servation (équation 2.22) ou la fonction de transfert de Rayleigh-Sommerfeld dans l’espace de Fourier du plan d’observation (équation 2.23).
h(x, y, λ) = z jλ exp(jkr) r2 (2.22) H(fx, fy, λ) = exp�jkz�1 − (λfx)2− (λfy)2� (2.23) avec r = √z2+ x2 + y2.
Cependant, le modèle convolutif équation 2.20 est difficile à mettre en œuvre par si-mulation, à cause de la racine carrée présente dans l’expression de r. Pour utiliser un algorithme efficace et rapide permettant de calculer la réponse d’un système optique en prenant en compte la diffraction, l’équation 2.19 doit encore être simplifiée. C’est là le rôle des deux approximations de Fresnel et de Fraunhofer que nous considérons ci-après.
Approximation de Fresnel :
L’approximation de Fresnel sur l’expression de r12, s’effectue différemment au numéra-teur (équation 2.24) et au dénominanuméra-teur (équation 2.25) de l’équation 2.19 (cf. [43]). Cette approximation considère que la propagation du champ de chaque source fictive n’est pas sphérique, mais parabolique. Elle est valable sur une gamme de distances z plus étroite que pour la solution de Rayleigh-Sommerfeld, comme illustré figure 2.13.
r12 ≈ z � 1 + (x − ξ)2 z2 + (y − η)2 z2 � (2.24) r12 ≈ z (2.25)
Par cette approximation, on obtient l’équation suivante, dite de diffraction de Fresnel. U2(x, y, λ) = exp(jkz) jλz �� Σ U1(ξ, η, λ) exp � jk 2z � (x − ξ)2+ (y − η)2� � dξdη (2.26)
Avec cette approximation, la diffraction est toujours modélisée par une convolution, de la forme de l’équation 2.20, dont la réponse impulsionnelle est donnée par l’équation 2.27 et la fonction de transfert équation 2.28.
h(x, y, λ) = exp(jkz) jλz exp � jk 2z(x2+ y2) � (2.27) H(fx, fy, λ) = exp(jkz) exp�jπλz(f2 x + f2 y)� (2.28)
Nous utilisons une deuxième approximation, qui permet de faire apparaître des opé-rations algorithmiques encore plus simples pour le calcul de diffraction.
Approximation de Fraunhofer :
L’approximation de Fraunhofer, dite de "champ lointain", s’énonce comme suit. Nous considérons celle-ci valable dans notre cas.
z � � k(ξ2+ η2) 2 � max (2.29)
Ce qui permet d’obtenir l’équation dite de diffraction de Fraunhofer.
U2(x, y, λ) = ejkz
jλze
j2zk(x2+y2)��
Σ
U1(ξ, η, λ)e−j2πλz(xξ+yη)dξdη (2.30)
Comme on peut le remarquer, celle-ci effectue la transformée de Fourier selon (ξ, η) du champ source U1(ξ, η, λ) au facteur multiplicatif ejkz
jλzej k
2z(x2+y2) près. Cela permet de relier les fréquences spatiales (fξ, fη) du champ source aux coordonnées spatiales (x, y) du plan d’observation.
fξ→ x
λz, fη → y
λz (2.31)
Par conséquent, si les conditions de simulation le permettent, il est très pratique d’uti-liser cette approximation pour effectuer rapidement des calculs de diffraction.
Selon les hypothèses considérées, la formule de diffraction obtenue est valable dans une certaine gamme de distances z. Ainsi, comme cela est illustré figure 2.13, la solution de
Rayleigh-Sommerfeld, valable pour z � λ, est étendue sur une grande plage de distances.
L’inconvénient de cette solution est lié à la complexité de son calcul. Vient ensuite l’ap-proximation de Fresnel, valable pour NF ≈ 1 et l’approximation de Fraunhofer, valable pour NF � 1. Avec NF = w2
λz un critère de validité défini à partir de w qui est le rayon d’une source circulaire Σ. Ces conditions de validité sont données par Goodman [43].
Fig 2.13: Distance de validité, par rapport au plan source, des différentes hypothèses utilisées pour le calcul de diffraction. Cette figure est empruntée à [26]
Dans le développement du modèle généralisé d’un système d’imagerie composé d’une lentille mince parfaite, on considère qu’un point source dans l’espace objet induit, en sortie de la pupille dite de sortie (exit pupil) figure 2.14, une onde sphérique parfaite qui converge vers un point image, à une distance zi (cf. [43]). Cette distance peut être déterminée, en optique géométrique, à partir de l’équation 2.15. Ce type de système est dit limité par la diffraction.
Fig 2.14: Schéma d’un système d’imagerie utilisé pour les calculs suivants. Cette figure est empruntée à [43]
Calcul de la fonction de transfert cohérente d’un système optique limité par la diffraction :
Goodman [43] montre que l’on peut simuler l’image dite "cohérente" d’une scène, vue
à travers un système d’imagerie limité par la diffraction, à partir de l’équation suivante.
Ui(u, v, λ) = h(u, v, λ) �u,v Ug(u, v, λ) (2.32) avec h(u, v, λ) la réponse du système d’imagerie simulé dans l’espace image d’un point dans l’espace objet. Notons que cette réponse impulsionnelle est centrée sur le point image idéal déterminé par projection du point objet correspondant, par optique géométrique (cf. partie 2.1.1). Ainsi, la contribution de chaque point objet est projetée dans l’espace image, pour donner l’image cohérente Ug(u, v, λ) puis est convoluée par h(u, v, λ), pour obtenir l’image cohérente Ui(u, v, λ) vue à travers le système optique considéré.
Notons, de plus, que Ug(u, v, λ) est la projection géométrique (cf. partie 2.1.1) dans l’espace image du champ Uo(ξ, η, λ) de l’espace objet. On obtient alors la relation suivante, entre ces deux champs.
Ug(u, v, λ) = 1 |M|Uo � u M, v M, λ � (2.33) où, M = −zi
zo est le grandissement entre le plan objet et le plan image (cf. partie 2.1.1).
Goodman [43] montre aussi que la réponse h(u, v, λ) est donnée, dans le cas général,
par le calcul de la diffraction de Fraunhofer de la fonction P (x, y, λ) de la pupille de sortie du système, illustrée figure 2.14. On obtient alors l’expression de h(u, v, λ).
h(u, v, λ) = exp(jkzi)
jλzi
��
P(x, y, λ)e−jλzi2π(ux+vy)
dxdy (2.34)
Pour rendre les simulations d’images cohérentes (équation 2.32) plus simples, on passe dans l’espace de Fourier.
Ui(u, v, λ) = T F−1{T F {h(u, v, λ)} T F {Ug(u, v, λ)}} (2.35) Ce passage dans l’espace de Fourier permet de transformer une convolution par un produit terme à terme, mais aussi de profiter d’une propriété de la réponse impulsionnelle
cohérente h(u, v, λ). En effet, comme le montre Goodman [43], celle-ci étant calculée à partir de la diffraction de Fraunhofer qui est assimilée à une transformée de Fourier de
P(x, y, λ), la transformée de Fourier effectuée sur h(u, v, λ) revient au changement de variable suivant :
x→ −λzifu ; y → −λzifv (2.36) Ce qui permet d’obtenir directement l’expression de H(fu, fv, λ) = T Fu,v{h(u, v, λ)}.
H(fu, fv, λ) = P (−λzifu,−λzifv, λ) (2.37) où H(fu, fv, λ) est la fonction de transfert cohérente et zi la distance entre la pupille de sortie et le plan image.
Calcul de la fonction de transfert incohérente d’un système optique limité par la diffraction :
Afin de simuler un système d’imagerie réel, nous devons considérer un éclairage inco-hérent, provenant de la scène considérée. Dans ce cas, on peut travailler avec la notion d’intensité image et utiliser l’équation suivante, déterminée à partir de l’équation 2.32. Celle-ci est en relation directe avec l’intensité intégrée par un capteur d’image.
ii(u, v, λ) = �� |h(u, v, λ)|2 |h(u, v, λ)|2dudv
� �� �
P SF(u,v,λ)
�(u,v)ig(u, v, λ) (2.38)
où le terme P SF (Point Spread Function) est la réponse impulsionnelle du système op-tique considéré, ig(u, v, λ) est l’intensité de l’image nette (ou image EDOF) qui serait obtenue sur le plan image considéré, avec un système d’imagerie "Pinhole" (cf. partie 2.1.1) et ii(u, v, λ) l’image qui a subi l’influence du système optique considéré. Notons la normalisation effectuée pour obtenir la P SF , qui exprime une notion de conservation de l’énergie provenant d’un point dans l’espace objet et projetée dans l’espace image.
Pour calculer ii(u, v, λ) plus simplement, on peut passer dans l’espace de Fourier.
ˆii(fu, fv, λ) = T F � |h(u, v, λ)|2� �� |h(u, v, λ)|2dudv � �� � OT F(fu,fv,λ) ˆig(fu, fv, λ) (2.39)
où le terme OT F (Optical Transfert Function) représente la réponse fréquentielle du système considéré. De plus, la fonction H(fu, fv, λ) = T Fu,v{h(u, v, λ)} peut être utilisée dans l’expression de OT F , par l’intermédiaire de l’égalité suivante :
|h (u, v, λ)|2 =���T F−1{H (fu, fv, λ)}���2 (2.40) On déduit de celle-ci l’expression suivante :
OT F (fu, fv, λ) = T F
�
|T F−1{H (fu, fv, λ)}|2�
��
|T F−1{H (fu, fv, λ)}|2dudv (2.41) Ainsi, en utilisant l’expression suivante de l’autocorrélation CHH, on peut remarquer que OT F se détermine par un calcul d’autocorrélation normalisée de H(fu, fv, λ).
CHH(fu, fv, λ) = H (fu, fv, λ)�(fu,fv)H(fu, fv, λ) = T F����T F−1{H (fu, fv, λ)}���2� (2.42)
OT F (fu, fv, λ) = CHH(fu, fv, λ)
CHH(0, 0, λ) (2.43)
Pour calculer l’image obtenue à travers un système optique limité par la diffraction, dans le cas d’une scène objet plane, on peut donc utiliser l’une des deux équations sui-vantes : ii(u, v, λ) = T F−1{OT F (fu, fv, λ)Ig(fu, fv, λ)} (2.44) ii(u, v, λ) = |T F−1{H(fu, fv, λ)}|2 �� |T F−1{H (fu, fv, λ)}|2 dudv � �� � P SF(u,v,λ) �(u,v)ig(u, v, λ) (2.45)
ig(u, v, λ) étant l’image EDOF de la scène plane considérée, qui permet de définir la texture de celle-ci dans nos simulations.
Pour pouvoir effectuer des simulations d’images à partir de ces équations, il faut cal-culer H(fu, fv, λ) à partir de l’équation 2.37. Pour ce faire, il faut donc disposer d’une
expression de la fonction pupille P (x, y).
Fonction de transmission d’une lentille :
On considère un système composé d’une lentille mince, limitée par la diffraction. Dans ce cas, comme nous l’avons vu précédemment, un point dans l’espace objet est associé à un point image idéal, comme illustré dans la figure suivante. Ainsi, idéalement, il se produit une onde parfaitement sphérique se propageant de la pupille de sortie vers le point image idéal correspondant.
Fig 2.15: Schéma pour le calcul de la fonction de transmission d’une ouverture simple. Cette figure est empruntée à [43]
Pour prendre en compte le fait que le système simulé ne focalise plus sur le plan image à la distance zi (défocalisation), il faut ajuster la fonction de pupille P (x, y, λ) pour qu’elle modifie la courbure de l’onde sphérique idéale sortant de la pupille de sortie.
Jusqu’à présent, nous avons utilisé la fonction pupille de sortie P (x, y, λ) sans déve-lopper son expression. On prendra en compte, pour la suite, l’expression suivante :
P(x, y, λ) = Ap(x, y) exp [−jkW(x, y)] (2.46) où Ap(x, y) est une fonction binaire représentant une ouverture de la pupille de sortie, que l’on considère circulaire, de diamètre φd. W (x, y) est une fonction de phase qui va modifier la forme de l’onde sphérique de référence (cf. figure 2.15) pour la faire converger, avant ou après le plan, à la distance zi.
Dans le cas idéal, la fonction de phase vaut W (x, y) = 1, ce qui implique une conver-gence sphérique jusqu’à la distance zi.
Pour simuler un défaut de focalisation (défocalisation) de notre système d’imagerie, il faut ajouter un terme à W (x, y) qui va modifier la fonction originale de phase pour converger à une distance za différente de zi.
W(x, y) = 2z1
i
(x2+ y2) − 2z1
a
(x2+ y2) (2.47)
La fonction de phase est, dans ce cas, un terme d’erreur de phase entre l’onde sphé-rique idéale ("Gaussian reference sphere", figure 2.15) qui converge jusqu’au point image, à la distance zi, et une onde parabolique (introduisant le défaut de focalisation de notre système) qui converge à la distance za.
Ainsi, si za = zi, le terme de phase devient unitaire et, à partir de la pupille de sortie, une onde sphérique parfaite se propage pour converger sur le point image, à la distance
zi. Le système simulé est dit soumis à la diffraction limite (cf. tache d’Airy, dans la partie 2.1.3). L’image alors obtenue est dite, à la limite de diffraction.
En se plaçant maintenant dans le cas za�= zi, on considère un défaut de focalisation. La réponse impulsionnelle h(x, y, λ) calculée prend ainsi en compte le fait que le système si-mulé focalise à la distance za, mais est toujours exprimée sur le plan image à la distance zi.
En utilisant la fonction de transmission P (x, y, λ) équation 2.46, avec l’expression de la fonction de phase eqP haseLentille équation 2.47 et la relation de conjugaison équation 2.15 d’une lentille simple, on obtient la fonction de transmission d’une lentille mince.
P(x, y, λ) = Ap(x, y) exp � −jk � 1 2 � 1 D+ 1 zi − 1 f� �� x2+ y2��� (2.48)
avec za = Df la distance de focalisation, f� la focale de la lentille et D la distance du point objet considéré.
C’est à partir de cette fonction de pupille et de l’équation 2.45 que l’on peut calculer la P SF ou l’OT F d’un système optique focalisé ou non sur un plan image considéré à zi.
Prise en compte de la discrétisation d’un capteur d’image :
Pour effectuer des simulations à partir des fonctions énoncées précédemment, il faut considérer le problème sous sa forme discrète. Pour que les simulations soient valables, il faut donc respecter la condition de Shannon suivante.
2f0 ≤ fN ⇔ ∆u ≤ 2φλzdi (2.49)
où fN = 1
2∆u est la fréquence de Nyquist, avec ∆u la taille d’un échantillon dans l’espace image utilisé. f0 = φd
2λzi
la fréquence de coupure cohérente (cf. [43]).
Si on se place dans le cas d’une image carrée échantillonnée et de largeur L = M∆u, avec M le nombre d’échantillons sur la largeur de l’image, on obtient l’inégalité suivante.
L≤ M2φλzid
(2.50)
Cette inégalité est utilisée, avant chaque simulation, pour déterminer le nombre d’échan-tillons nécessaires afin de calculer correctement la réponse impulsionnelle ou la fonction de transfert d’un système.
Dans notre cas, L est donnée par la taille du capteur d’image considéré. Connaissant les autres paramètres du système, on peut déterminer le nombre d’échantillons M mini-mum, en fonction de l’inégalité 2.50.
Notons que dans le cas d’un système d’imagerie réel, contenant un capteur d’image, l’échantillon ∆u utilisé pour le calcul d’une réponse impulsionnelle est différent de l’échan-tillonnage effectué par le capteur d’image, suivant la taille pixel Tp. En effet, l’échantillon nécessaire pour le calcul de diffraction est généralement plus petit que l’échantillon pixel. Il faut définir une procédure permettant de calculer la P SF ou l’OT F selon l’échantillon-nage capteur.
Pour ce faire, comme illustré figure 2.16, nous avons décidé, dans nos simulations, de calculer tout d’abord la P SF (ud, vd, λ) selon les coordonnées discrètes de (u, v) détermi-nées avec une taille d’échantillon carrée ∆u. Puis nous effectuons une étape de "binning" (sommation de plusieurs pixels) sur quatre échantillons ∆u (dans notre exemple). Ainsi, après cette étape de "binning", on obtient la réponse impulsionnelle du système, limitée par la diffraction P SF (n, m, λ) exprimée dans l’espace image, selon les coordonnées discrètes
(n, m) du capteur. Dans cet exemple, nous avons donc fait en sorte que : Tp = 4∆u
Fig 2.16: Procédure utilisée pour calculer l’image capteur vue à travers un système optique limité par la diffraction.
Notons que l’étape de "binning" doit être réalisée dans l’espace image, sur la réponse impulsionnelle P SF (ud, vd, λ) calculée.
Dans la partie suivante, nous illustrons les résultats obtenus à partir des équations précédentes.
Exemple de simulation :
Nous traitons en exemple le calcul de la P SF et de l’OT F d’un système optique composé d’une lentille mince idéale. Nous exprimons ces deux composantes pour l’échan-tillonnage ∆u optimal et pour un échanl’échan-tillonnage capteur donné, dans des conditions de défocalisation sur le plan image.
Nous nous plaçons dans le cas d’un système d’imagerie ayant les paramètres suivants.
Fig 2.17: Paramètres du système simulé.
Dans cette configuration, on peut calculer l’évolution du diamètre du cercle de confu-sion Φt
Tp
exprimé en pixels, permettant de voir directement sur combien de pixels va s’étendre la P SF (n, m, λ) exprimée selon l’échantillonnage capteur, pour des objets à différentes distances. Ainsi, pour les paramètres donnés et pour des distances objets D allant de 60cm à 4m, on obtient la courbe suivante :
Fig 2.18: Diamètre du cercle de confusion du système simulé, exprimé en nombre de pixel pour différentes profondeurs objets D.
On peut voir directement, grâce à cette courbe, la distance objet pour laquelle le sys-tème focalise sur le capteur. Dans notre cas, D = 1, 7m est cette distance.
Pour calculer la P SF (n, m, λ), il faut tout d’abord déterminer la taille de l’échan-tillon ∆u à utiliser pour que la condition de Shannon, équation 2.49, soit respectée. La