Résultats avec la méthode par MAP

Pour effectuer des simulations de reconstruction 2D+Z, il y a une multitude de pa-ramètres à définir. Le modèle système établi nous permet de simuler l’image mosaïque acquise dans le cas d’un objet plan dont on peut définir la profondeur et la texture. Pour appliquer celui-ci, nous devons aussi définir la distance de focalisation et l’ouverture du SOCL considéré, ainsi qu’une mosaïque de filtres et des paramètres capteur. Cela fait donc beaucoup de combinaisons de paramètres que nous ne pouvons pas toutes tester.

En outre, le temps de calcul nécessaire pour appliquer le processus d’inversion matriciel équation 4.35, est d’environ 25 secondes pour une image de 200 × 200 pixels et pour une seule profondeur probable testée. Ainsi, en considérant par exemple un domaine de profondeurs probables Ω défini entre 0, 8m et 2, 5m par pas de 5mm, cela nous donne donc 340 profondeurs à tester, ce qui correspond à environ 2 h et 20 min de calculs. Il n’est donc pas envisageable, afin de déterminer les points de fonctionnement optimaux de notre système, d’effectuer ce type de calcul pour chaque combinaison de paramètres possible.

C’est pourquoi nous avons plutôt effectué des tests permettant de mettre en évidence l’influence de chaque paramètre sur les estimations 2D+Z obtenues.

Pour ce faire, nous commençons par un exemple d’estimation 2D+Z obtenue dans le cas de paramètres système non optimaux, afin d’illustrer les résultats que l’on pourrait obtenir avec un tel système d’imagerie 2D+Z.

Premiers résultats

Nous avons considéré, pour ce premier test, un capteur d’image constitué de 300×300 pixels de Tp = 9, 9µm de large. Celui-ci induit un bruit gaussien centré additif, dont l’écart type est de 1% de sa dynamique. Soit σb = 2, 55 dans cette simulation, puisque les images traitées ont des valeurs comprises entre 0 et 255.

Sur ce capteur a été simulée une mosaïque de filtres constituée à partir d’un superpixel de 3×3 filtres fi(l). La répartition de ceux-ci est illustrée dans la figure 4.7. La réponse de chacun de ces filtres, pondérée par la sensibilité qe (l) du capteur considéré, est illustrée dans la figure suivante.

Fig 4.10: Transmissions des neuf filtres spectraux fi(l) utilisés, pondérés par la sensibilité spectrale qe (l) du capteur considéré.

De plus, nous avons simulé un SOCL à une distance capteur Dc = 54, 8mm. Celui-ci est considéré dans notre modèle comme une lentille mince composée, dans cette simulation, d’un matériau N-BK7 dont l’indice de réfraction n dépend de λ, selon la loi représentée dans la figure suivante. Ce qui induit un système optique dont la focale dépend elle aussi de λ, comme illustré dans cette figure.

Fig 4.11: Indice et focale spectrale du SOCL considéré.

Notons que cette loi focale est calculée à partie de l’équation 3.5, du chapitre précédent.

Pour cette première simulation, le diamètre de l’ouverture circulaire de ce système optique vaut Φd = 15mm. Ce qui en fait un système ouvert à f�� 3, 53 pour λ = 550nm. Ainsi, avec l’ensemble de ces paramètres, on peut tracer l’évolution du diamètre du cercle de confusion d’un tel SOCL, sur le plan capteur considéré. Celle-ci est proportionnelle à la quantité de flou qui serait présente dans l’image acquise, en fonction de la distance de

l’objet et de la longueur d’onde considérées.

Fig 4.12: Évolution du diamètre du cercle de confusion du SOCL considéré, en fonction de différentes distances objet D ∈ [0, 8m; 3m] et pour différentes longueurs d’ondes λ ∈ [400nm; 750nm]. Chaque courbe de couleur étant associée à une longueur d’onde.

Le SOCL simulé sera donc focalisé sur le plan capteur, pour λ = 400nm lorsque

D� 0, 95m et λ = 750nm lorsque D � 2, 75m.

Il ne nous reste plus qu’à définir les propriétés d’un objet plan, pour pouvoir simuler l’image mosaïque qui serait acquise avec un tel système. Cette simulation étant effectuée à partir de l’équation système 3.11 du chapitre précédent. Pour ce test, nous avons considéré un objet à D = 1, 8m, ayant la texture suivante.

Fig 4.13: Objet plan simulé à D = 1, 8m.

Pour simuler cet objet dans le cadre de notre équation système 3.11. Nous avons utilisé une profondeur de D = 1, 8m, pour calculer la réponse impulsionnelle PSFD

considéré. Nous avons aussi utilisé une image multispectrale EDOF ig(n, m, l) de la base de données de Foster et al. [37].

Ce qui nous a permis d’obtenir, par simulation, l’image mosaïque suivante.

Fig 4.14: Image mosaïque simulée pour un objet plan à D = 1, 8m et les paramètres système donnés précédemment.

Dans cette image, le bruit capteur a une influence non négligeable.

Il nous faut encore définir les valeurs des paramètres σb et σi ainsi que de la matrice ˆΓ du critère de régularisation utilisé équation 4.35.

Notons que l’ensemble de nos estimations par MAP ont été réalisées en utilisant une matrice ˆΓ définie équation 4.33, dont les éléments diagonaux ont étés calculés de la manière suivante. ˆγ (fn, fm, l) = � ¹ E ˆig ��_� �ˆi_g(fn, f_m, l)^��_�^2� (4.42) Cette matrice ˆΓ est déterminée à partir d’un calcul d’espérance mathématique, selon les images multispectrales de la base de Foster et al. [37] qui ne sont pas utilisées dans la texture de l’objet considéré.

Après avoir calculé cette matrice, la valeur du paramètre σi est déterminée en analy-sant la répartition statistique de l’événement ΓIgp équation A.7, selon des images Igp indé-pendantes de la texture de l’objet considéré. Nous avons donc calculé la valeur moyenne

σi = 0, 0051 et avons défini le paramètre restant σb = 2, 55, selon l’écart type du bruit capteur.

Avant d’appliquer notre procédure d’estimation, il ne reste qu’à définir un domaine de profondeurs probables Ω ∈ [0, 8m; 3m] et un pas d’échantillonnage de 1cm de celui-ci. Ce qui induit 220 valeurs de profondeurs probables à tester. Soit 220 exécutions du processus d’inversion simplifié équation 4.35 et du critère de coût équation 4.39. Puis la reconstruc-tion de l’image couleur EDOF finale à partir de l’équareconstruc-tion 4.41.

Dans ces conditions, l’application complète de cet algorithme d’estimation 2D+Z par MAP a nécessité un temps de calcul d’environ trois heures. La carte de profondeur obtenue à partir de celui-ci est la suivante.

Fig 4.15: Carte de profondeur estimée selon différentes hypothèses objet et pour un objet réel simulé à D= 1, 8m.

Dans cette figure sont représentées des cartes de profondeurs estimées selon différentes hypothèses. En effet, nous pouvons considérer plusieurs hypothèses sur la profondeur de l’objet observé.

Comme nous l’avons dit dans la partie 4.2.3, nous pouvons considérer que l’objet observé est un unique plan. Dans ce cas, la profondeur de celui-ci est déterminée en minimisant la fonction de coût R^�Dp,|ID

fest, σb, σi, IDp

gest �

donnée équation 4.38, selon les profondeurs probables Dp testées.

Cette fonction ne dépend que de Dp. La figure suivante présente l’évolution de celle-ci selon les profondeurs probables testées et appartenant au domaine Ω ∈ [0, 8m; 3m] défini.

Fig 4.16: Évolution du critère d’erreur R^�Dp,|ID

fest, σb, σi, I^Dp

gest

�

en fonction des profondeurs probables testées Dp.

Le minimum de cette fonction est atteint pour la profondeur la plus probable Dest = 1, 74m que l’on peut comparer à la profondeur réelle D = 1, 8m. Ce résultat est illustré dans la partie droite de la figure 4.15 précédente. Il est relativement bon puisque l’erreur effectuée n’est que de 6cm, pour une amplitude de profondeurs probables testées de 2, 2m selon Ω. Comme nous l’avons évoqué dans la partie 4.2.3, ce résultat est obtenu selon l’hypothèse d’un unique plan objet.

Or, la carte de profondeur d’une scène réelle n’est que très rarement un plan. En ef-fet, il est généralement plus réaliste de considérer que celle-ci peut varier, selon chaque pixel image considéré (n, m). C’est la raison pour laquelle nous avons introduit le critère équation 4.40, présenté également dans la partie 4.2.3. Celui-ci est identique au critère

R^�Dp,|ID

fest, σb, σi, IDp

gest �

utilisé précédemment, mais il est cette fois calculé et minimisé indépendamment selon chaque position pixel (n, m). Ce qui permet d’obtenir l’estimation d’une carte de profondeur Dest(n, m) pixel par pixel. Néanmoins, la carte de profondeur estimée selon ce critère n’est pas précise, comme illustré à gauche dans la figure 4.15. Dans ce cas, la moyenne de Dest(n, m) est de 1, 834m, ce qui est relativement bon par rapport à la profondeur réelle D = 1, 8m, mais son écart type est de 0, 341m. Celui-ci est trop im-portant par rapport au fait que l’objet réel simulé est un plan. L’hypothèse d’une carte de profondeur variant pixel par pixel, de manière indépendante, est donc trop contraignante pour que les estimations effectuées convergent toutes vers la même profondeur.

C’est pourquoi nous avons introduit une hypothèse intermédiaire qui nous a permis d’obtenir l’estimation de la partie centrale de la figure 4.15. Celle-ci est basée sur le fait que la profondeur de la scène considérée ne varie pas par pixel, mais par plans de petites tailles. Dans ce cas, la carte de profondeur estimée est obtenue de la même manière qu’avec l’équation pixel par pixel 4.40. Sauf que, cette fois, le critère à minimiser est calculé à

partir de la différence totale obtenue selon des voisinages de 21 × 21 pixels, centrés en chaque (n, m) et prélevés dans les images à comparer.

Les résultats obtenus avec cette hypothèse sont bien meilleurs, surtout du point de vue de l’écart type de Dest(n, m). En effet, avec celle-ci, la moyenne de Dest(n, m) est de 1, 762m et l’écart type de 0, 06m. On a donc une précision d’environ 10cm, pour un objet situé à 1, 8m dont la texture est représentative de celle que l’on pourrait réellement acquérir avec un tel système.

Nous devons ensuite reconstituer l’image couleur EDOF correspondante, à partir de l’équation 4.41. Comme nous l’avons dit précédemment, les images multispectrales iDt

gest à utiliser pour recomposer celle-ci ne sont pas celles utilisées pour estimer la profondeur. En effet, il est plus efficace, au sens des moindres carrés, de la reconstituer avec les images multispectrales obtenues par le processus d’inversion équation 4.35, à partir d’images fil-trées ifest estimées avec la méthode de démosaïçage la plus efficace. C’est-à-dire celle qui prend en compte la profondeur testée Dt et le bruit capteur, figure 4.8.

On obtient ainsi l’image couleur EDOF estimée suivante, que l’on peut comparer à sa version originale par un calcul de PSNR.

Fig 4.17: Image couleur EDOF originale et estimée.

L’image estimée est d’une qualité relativement correcte. Dans celle-ci, des artéfacts couleurs sont certainement dus à la sous-évaluation de la profondeur réelle de la scène considérée. Cette sous-évaluation étant elle même due au bruit présent dans l’unique image mosaïque utilisée et à des artéfacts liés au processus d’inversion utilisé.

Pour déterminer l’influence des différents paramètres algorithmiques et système utili-sés, nous avons analysé les estimations de profondeurs obtenues en faisant varier ceux-ci.

Influence des paramètres

L’ensemble des analyses menées dans cette partie ont été effectuées sur des estima-tions obtenues dans le cadre de l’hypothèse de petits plans objets présentés précédemment.

Nous avons fait des simulations en considérant cette fois un capteur d’image de 150 × 150 pixels de Tp = 9, 9µm de large. Celui-ci est de plus faible résolution, afin de réduire le temps de calcul nécessaire à l’exécution de l’ensemble des tests de cette partie. Le SOCL considéré a la même focale spectrale que pour la simulation précédente, celle-ci est illustrée figure 4.11. Le domaine de profondeur probable est le même Ω ∈ [0, 8m; 3m]. Par contre, le pas utilisé est cette fois de 2cm, soit 110 profondeurs probables testées.

Nous avons effectué des simulations pour trois objets plans ayant la même texture, mais disposés respectivement à 1, 1m, 1, 8m et 2, 5m. Nous avons testé deux superpixels différents, composés de 2 ×2 et 3×3 filtres différents. Leurs répartitions étant celles illus-trées figure 4.7. Nous avons aussi considéré deux ouvertures de f�= 3, 5 et f� = 7, 4, ainsi que deux écarts types de bruit additif capteur à 1% et 0, 7% de la dynamique. Enfin, nous avons appliqué notre algorithme d’inversion en utilisant deux valeurs de régularisation σg

définis à 1% et 0, 7% de cette dynamique.

En effectuant toutes les simulations à partir de toutes les combinaisons des paramètres précédents possibles, nous avons obtenu les résultats d’estimation représentés sur les deux figures suivantes.

Fig 4.18: Profondeurs estimées dans le cas d’un superpixel de 2 × 2 filtres et d’un bruit capteur de 1%, selon différentes valeurs de régularisation et ouvertures.

Fig 4.19: Profondeurs estimées dans le cas d’un superpixel de 3 × 3 filtres et d’un bruit capteur de 1%, selon différentes valeurs de régularisation et ouvertures.

Selon ces résultats, nous constatons que la profondeur des objets plans considérés est mieux estimée lorsque l’on utilise un nombre plus important de filtres spectraux. De plus, les meilleures estimations sont obtenues, quel que soit le superpixel considéré, lorsque le paramètre de régularisation utilisé est inférieur au niveau du bruit capteur et pour la plus grande ouverture testée pour le SOCL utilisé.

Pour interpréter ces résultats, nous avons aussi utilisé les courbes suivantes. Celles-ci représentent l’évolution du critère d’erreur R^�D_p,|ID

fest, σ_b, σ_i, IDp

gest �

calculé à partir de l’équation 4.38, selon chaque profondeur probable testée.

Fig 4.20: Évolutions du critère d’erreur R^�Dp,|ID

fest, σb, σi, I^Dp

gest

�

obtenues pour différentes combinaisons de paramètres.

On constate dans la figure obtenue selon deux superpixels différents, que R^�Dp,|ID

fest, σb, σi, IDp

gest �

a une pente plus importante avec un superpixel 3 × 3 (neuf filtres spectraux différents), qu’avec un superpixel 2×2 (quatre filtres spectraux différents). Il y a donc plus de chances d’estimer la bonne profondeur de l’objet considéré avec neuf filtres spectraux. Ces résul-tats sont vrais quels que soient les autres paramètres utilisés. Comme nous l’avons dit précédemment, nous estimons la profondeur de l’objet considéré à partir des artéfacts qui apparaissent lorsque l’on cherche à inverser l’influence du SOCL utilisé. Ce sont donc les artéfacts apparaissant lors du passage de l’espace SOCLs à EDOF s figure 4.1 que nous souhaitons exploiter à partir d’un critère de coût pour estimer D. Il faut donc que les images de l’espace SOCLs soient bien estimées pour que les artéfacts du passage SOCLs à EDOF s ne soient liés qu’à l’inversion de la réponse impulsionnelle du SOCL considéré. Or, ces images sont mieux estimées avec un superpixel 3 × 3, qu’avec superpixel 2 × 2. C’est ce qui explique des pentes plus importantes de R^�Dp,|ID

fest, σb, σi, IDp

gest �

avec un superpixel 3 × 3.

D’après la figure présentant les résultats obtenus pour des objets à différentes pro-fondeurs, on constate que les pentes de R^�Dp,|ID

fest, σb, σi, IDp

gest �

obtenues pour Dp < D

constaté que cette évolution est liée à la gamme de focalisation spectrale objet du SOCL utilisé. En se reportant à la figure 4.12, représentant l’évolution de son diamètre de cercle de confusion, nous constatons que la profondeur objet D = 1, 8m, se situe presque au centre de la zone de focalisation spectrale objet de celui-ci. Ceci a une grande impor-tance puisque c’est autour de cette profondeur objet réelle que le diamètre des cercles de confusion a la plus grande variation selon λ. C’est ce qui induit dans l’image inter-médiaire iDp

gest estimée beaucoup d’artéfacts d’inversion, pour une variation positive ou négative de Dp autour de D = 1, 8m. Autrement dit, c’est pour des objets proches de

D = 1, 8m que R^�Dp,|ID

fest, σb, σi, IDp

gest �

va avoir une pente importante pour Dp < D

mais aussi pour Dp > D. Ce n’est pas le cas pour un objet à D = 1, 1m pour lequel il y aura plus d’artéfacts pour Dp > D, et inversement pour un objet à D = 2, 5m. Un SOCL a donc une zone utile de fonctionnement qui dépend de sa gamme de focalisation spectrale.

La figure présentant les résultats obtenus pour différentes ouvertures va dans ce sens puisqu’elle montre qu’en augmentant l’ouverture du SOCL utilisé on augmente aussi les diamètres des cercles de confusion correspondants. Ceci a pour conséquence d’augmenter les artéfacts d’inversion qui apparaissent dans les images EDOF s estimées à partir du pro-cessus d’inversion utilisé, pour Dp < D mais aussi pour Dp > D. R^�Dp,|ID

fest, σb, σi, IDp

gest �

a donc des pentes plus importantes avant et après la profondeur réelle, ce qui facilite l’estimation de celle-ci.

Nous constatons aussi une sensible amélioration des estimations obtenues figure 4.19, lorsque le critère de régularisation utilisé est déterminé en sous-évaluant le bruit du cap-teur considéré. En effet, en diminuant celui-ci, on augmente sensiblement les artéfacts d’inversion. Ce qui a pour conséquence d’améliorer la convergence de notre critère et donc les estimations obtenues.

Toutes ces variations de paramètres vont dans le sens d’une augmentation des artéfacts de déconvolution (inversion linéaire) apparaissant lors du passage de l’espace SOCLs à

EDOF s figure 4.1, pour mieux estimer D. Cependant, il ne faut pas oublier que cette augmentation des artéfacts peut se répercuter négativement sur la qualité de l’image cou-leur EDOF qu’il faut reconstituer.

Déterminer les paramètres optimaux d’un tel système relève donc d’un compromis à faire entre les caractéristiques des scènes que l’on peut rencontrer, les paramètres du système d’imagerie considéré et les paramètres algorithmiques utilisés. Pour déterminer les valeurs optimales de ces paramètres, nous proposons d’utiliser le critère d’optimisation défini dans la partie suivante.