Validation du test de Kolmogorov-Smirnov pour distinguer les signatures des actinides

aléatoire X , de fonction de répartition F. On souhaite vérifier que F est la même fonction de répartition que notre hypothèse F₀.

NotonsH0l’hypothèse selon laquelle F = F0avec un risque d’erreur α.

La fonction de répartition empirique du n-échantillon (X1, ..., Xi, ..., Xn) est donnée par l’équation II.4.1 :

Fn(x) =¹ n k=n

∑

La distance de KS de Fnà F0est donnée par II.4.2 :

∆KS,n= Sup i∈{1,2,...,n}  |ⁱ n− F₀(X (i))|, |ⁱ− 1 n − F₀(X (i))|  (II.4.2)

et donc, la distance de F à F0s’écrit :

∆KS= Sup

x∈R

|F(x) − F₀(x)| (II.4.3)

Si l’hypothèseH0est vraie, alors la grandeur^√n∆nest bornée, et suit asymptotiquement une loi définie par sa fonction de répartition :

K(y) =

n=+∞

∑

n=−∞

e^−2n2y2 (II.4.4)

En se donnant la confiance souhaitée α (exemple : on veut 1% de risque d’erreur), il convient ensuite d’entrer dans le tableau des valeurs du test, qui donne cn(1 − α). Si la valeur de ∆nest supérieure à cette valeur du tableau, alors le test est rejeté avec la certitude (1 − α) (pour notre exemple, certitude de 99%).

En pratique, nous n’entrerons pas dans cette table, car, pour n > 35, la valeur seuil est donnée, pour obtenir une certitude de 99%, de^1.629√

n .

On peut choisir, au lieu de comparer la distance KS au seuil, d’utiliser la p−valeur (niveau de proba-bilité) du test. Il s’agit de la probabilité que la statistique théorique sousH0 soit supérieure à la statistique calculée. Concrètement, plus une p-valeur est proche de zéro (notamment inférieure à 0.01 si le niveau de confiance est de 0.99), plus on rejetteH0avec certitude.

II.4.2 Validation du test de Kolmogorov-Smirnov pour distinguer les

signa-tures des actinides

Ce test est implémenté sous ROOT via la méthode virtual Double_t KolmogorovTest(const TH1* h2, Option_t* option = "") const applicable à des histogrammes. La probabilité de la com-patibilité entre deux histogrammes est obtenue grâce à la commande :

histo_comportement_a_tester->KolmogorovTest(histo_comportement_de_réf,"option"); Par défaut, le résultat de ce test fourni par ROOT est la p-valeur du test [2].

Pour comparer des histogrammes, il convient de s’assurer que la largeur du binning est faible (mais aucun ordre de grandeur n’est fourni) devant le nombre d’événements par bin. Nos bins sont larges de 0.1. Nous regarderons la sensibilité du test à notre normalisation de spectre.

II.4 : Le test de prolifération 103

II.4.2.1 Réglage du test de Kolmogorov-Smirnov

Afin de nous assurer de la validité de notre test, nous avons commencé par l’appliquer à la situation suivante :

Nous avons placé un détecteur de typeNUCIFER à 7,5m de sphères de noyaux fissiles purs. Une sphère d’²³⁵U, une sphère de ²³⁹Pu puis une sphère de²⁴¹Pu : ces sphères possèdent toutes la même géométrie et délivrent la même puissance de 100 MW. Nous avons évalué le nombre d’événements détectés par plage d’énergie pour chacune de ces sphères à 450 jours d’évolution, puis nous avons effectué le test de Kolmogorov-Smirnov pour vérifier que nous pouvions distinguer ces sphères.

Test d’autocompatibilité d’une sphère d’²³⁵U

Le premier test est de prendre en compte les barres d’erreurs qu’il nous faut placer sur la reconstruction du spectre bin à bin. D’après la réf. [?], ces erreurs sont de l’ordre de 10% à 1σ pour chaque bin. Pour réaliser cette prise en compte, nous avons reconstruit le spectre en faisant un tirage aléatoire bin à bin dans une gaussienne centrée autour de la valeur du flux à une énergie donnée et d’écart-type 10% (cf. fig. II.4.1).

FIGUREII.4.1 –Écart entre le spectre calculé (en noir) et un spectre avec tirage aléatoire dans la barre d’erreur, bin à bin (en rouge)

Nous réalisons 10 000 tirages aléatoires et appliquons le test de Kolmogorov-Smirnov entre le spectre perturbé par le tirage aléatoire et le spectre de référence, en conservant les 200 bins du spectre. Nous ob-tenons, comme valeur moyenne sur les 10 000 tirages une probabilité de compatibilité de 0.9991% (la répartition des probabilités trouvées est présentée fig. II.4.2), et un écart en normalisation moyen de 1.2%. En conséquence, malgré la barre d’erreur de 10% bin à bin, un spectre d’²³⁵U est bien reconnu comme tel.

104 II.4.2 Validation du test de Kolmogorov-Smirnov pour distinguer les signatures des actinides

Nous avons réalisé les mêmes tests pour les deux autres sphères. Nous résumons dans le tableau II.4.1 les trois résultats obtenus :

Noyaux ²³⁵U ²³⁹Pu ²⁴¹Pu

Probabilité d’auto-compatibilité 0.9991 0.9993 0.9999 Écart moyen en normalisation 1.2 % 1.2% 1.2 %

TABLEII.4.1 – Résumé des résultats obtenus pour le test de Kolmogorov pour 10 000 tirages aléatoires dans les barres d’erreur bin à bin

Test de compatibilité d’une sphère d’235U avec une sphère de239Pu

Maintenant que nous avons vérifié que la barre d’erreur sur les bins n’empêchait pas la reconnaissance d’un spectre perturbé par rapport à sa référence, nous pouvons appliquer notre test à deux spectres distincts afin de nous assurer que nous sommes en mesure de les discriminer. Nous appliquons donc, dans un premier temps, le test de Kolmogorov-Smirnov aux spectres émis par l’²³⁵U et le²³⁹Pu (fig. II.4.3).

FIGURE II.4.3 – À gauche, les écarts entre le spectre 235U (en noir), et 239Pu (en rouge). À droite, le test de Kolmogorov-Smirnov indique une p-valeur moyenne de 0.1 entre les deux spectres, avec un écart en normalisation 36.6%.

La fig. II.4.3 montre les écarts entre les deux spectres, et la p-valeur du test de 0.1 : l’interprétation de cette p-valeur est que, regardant le spectre émis par une sphère, on prendra un risque de 10% de se tromper en concluant que la sphère émettrice n’est pas constituée d’²³⁵U.

Test de compatibilité d’une sphère d’235U avec une sphère de241Pu

Nous appliquons maintenant notre test aux spectres émis par l’²³⁵U et le²⁴¹Pu (fig. II.4.4), toujours pour 10000 tirages.

La fig. II.4.4 montre que les spectres²³⁵U et²⁴¹Pu se ressemblent fortement et la p-valeur associée à leur comparaison vaut 0.84. Cela veut dire qu’au vu du spectre émis par du²⁴¹Pu, on prendra 84% de risque de se tromper en affirmant qu’il ne s’agit pas d’²³⁵U. On ne parviendra donc pas aisément à distinguer un combustible de²⁴¹Pu d’un combustible d’²³⁵U dans les conditions dans lesquelles la mesure est prise.

Sensibilité du test à la statistique de comptage

Il convient en effet de se rappeler que nous avons réalisé ces tests le 450^e jour à 7.5m de la sphère. Les résultats énoncés ci-dessus sont donc valables dans ce cadre.

Nous pouvons sans doute améliorer les choses, par exemple, en positionnant le détecteur à 2.5m (on conser-vera l’approximation de la source ponctuelle, il s’agit ici d’un propos purement mathématique sur la

sensi-II.4 : Le test de prolifération 105

FIGURE II.4.4 – À gauche, les écarts entre le spectre 235U (en noir), et 241Pu (en rouge). À droite, le test de Kolmogorov-Smirnov indique une p-valeur moyenne de 0.84 entre les deux spectres, avec un écart en normalisation 12%.

bilité du test à la statistique de comptage.)

Reprenant l’ensemble des tests décrits plus hauts en conservant la mesure sur le seul 450^ejour, mais en se positionnant à 2.5m des sphères, ce qui multiplie par un facteur proche de 10 la statistique de comptage (loi en 1/d²), on obtient les résultats fournis dans le tableau II.4.2 :

Noyaux 235U 239Pu 241Pu

p-valeur moyenne d’auto-compatibilité 0.68 0.71 0.82

p-valeur moyenne sur un test avec l’²³⁵U 0.68 1.30716e-08 (0) 0.0252382 (90)

TABLEII.4.2 –Résumé des résultats obtenus pour le test de Kolmogorov pour 10 000 tirages aléatoires

Le tableau II.4.2 met en évidence qu’avec une statistique multipliée par environ 10, le test est beaucoup plus sensible, et permet de discriminer le²⁴¹Pu de l’²³⁵U avec 97.5% de certitude, et de discriminer le²³⁹Pu de l’²³⁵U à coup sûr. Les nombres entre parenthèses indiquent le nombre de fois, sur les 10 000 tirages, où la p-valeur a été supérieure à 0.5.

Nous concluons de ce point, que dans le cadre de notre étude, une normalisation du taux de comptage trop faible (donnant nombre maximal de l’ordre de 25 événements par bin de largeur 0.1) n’est pas suffisante pour être discriminante. Il conviendra de rechercher une statistique de comptage telle qu’on ait un nombre maximal d’événements par bin de l’ordre de la centaine.

II.4.2.2 Sensibilité du test au binning

Nous avons réalisé l’ensemble de ces tests en considérant les 200 bins en énergie de nos spectres. Nous allons tester la sensibilité du test au binning en passant à 80 bins (largeur de bin : 250keV) à 20 bins (largeur de bin : 1 MeV). Les résultats sont résumés dans le tableau II.4.3.

Noyaux ²³⁵U ²³⁹Pu ²⁴¹Pu

p-valeur moyenne d’auto-compatibilité (80 bins) 0.9994 0.9996 0.9999 p-valeur moyenne avec235U (80 bins) / 0.11 (5) 0.87 (9791) p-valeur moyenne d’auto-compatibilité (20 bins) 0.9998 0.9998 0.9999

p-valeur moyenne avec²³⁵U (20 bins) / 0.19(179) 0.96 (9983)

TABLEII.4.3 – Résumé des résultats obtenus pour le test de Kolmogorov pour 10 000 tirages aléatoires dans les barres d’erreur bin à bin - entre parenthèses, le nombre de tirages donnant lieu à une p-valeur >0.5