Validation numérique

Une première étude numérique est menée sur des torons soumis à un chargement de traction.

Tout d’abord, dans le but de valider la modélisation numérique proposée du toron de précontrainte, les essais expérimentaux de [Utting et Jones, 1987a] [Utting et Jones, 1987b] sont simulés. Six torons de type 6+1 (un fil central et six fils périphériques hélicoïdaux) sont testés en traction. Pour chaque toron, le diamètre du fil central est de 3.94 mm et

197.9 GPa. Les torons diffèrent cependant par leur angle d’hélice respectif, de 73 à 80.8 degrés. Dans le cas d’une rotation bloquée aux abouts du toron, le couple Cexp

z porté par l’axe du toron et provoqué par le chargement de traction est mesuré expérimentalement. C_z^exp est linéaire par rapport à l’effort axial F appliqué. Les six torons sont maillés et testés en traction avec rotation bloquée aux abouts (Figure 3.4). Le couple généré Cnum

z

Fig. 3.4 Maillage 3D des torons de précontrainte

est calculé sur une section transversale de normale z, portée par le plan (x,y) : C_z^num =^Nnœudsÿ

i=1 (xiF_yi≠ yiF_xi) , (3.2.1)

avec Nnœuds le nombre de nœuds de la section considérée, (xi,yi) les coordonnées spatiales du nœud i et (Fxi,Fyi) les efforts internes au nœud i dans la direction x et y, respective-ment. L’origine du repère est considérée au centre de la section du toron.

En accord avec la géométrie du toron, aucune condition de contact n’est considérée entre deux fils périphériques consécutifs [Huang, 1978]. En effet, ces derniers ne sont pas en contact à l’état initial non chargé et tendent à se séparer sous le chargement de traction. Il n’en est pas de même si le diamètre du fil central est inférieur à celui des fils périphériques. Cette disposition géométrique implique un contact prédominant entre fils périphériques [Jiang et al., 2008], devant alors être pris en compte. De plus, une liaison parfaite est considérée entre les fils périphériques et le fil central. Pour des angles d’enroulant faibles (inférieurs à 20 degrés), cette hypothèse a été validée numériquement par [Ghoreishi et al., 2007]. Notons que l’angle d’enroulement — est défini comme — = 90 degrés - –, avec – l’angle d’hélice du toron.

La comparaison numérique-expérimentale est présentée dans le tableau 3.1. Le couple C_z^num étant aussi linéaire par rapport à l’effort F appliqué, seule la valeur normée par rapport à l’effort F est ici présentée. On remarque une bonne concordance des résultats numériques et expérimentaux, permettant une première validation de la modélisation pro-posée. La légère surestimation numérique peut cependant être expliquée par la condition

Toron – C_z^exp / F [N.m.kN≠1] Cnum z / F [N.m.kN≠1] I 73˚ 0.86 0.92 II 76˚ 0.72 0.75 III 77.1˚ 0.69 0.70 IV 77.8˚ 0.65 0.66 V 79˚ 0.58 0.60 VI 80.8˚ 0.47 0.50

Table 3.1 Validation de la modélisation du toron de précontrainte : couples générés numériques comparés aux résultats expérimentaux de [Utting et Jones, 1987a].

limite expérimentale imparfaite de blocage en rotation. La rotation parasite est expliquée par la déformation de la résine d’ancrage et a été mesurée par les auteurs.

Les mêmes essais numériques avec rotation libre aux abouts exposent logiquement un couple nul dans la structure. La rigidité axiale des torons est comparée aux essais expéri-mentaux de [Utting et Jones, 1987a], en conditions de rotation libre ou rotation bloquée aux abouts. Le comportement global effort axial F - déformation axiale est présenté à la figure 3.5 pour le toron II (Tableau 3.1). La rigidité globale du système se voit grandement

0 500 1 000 1 500 2 000 2 500 3 000 0 10 20 30 40 Micro-d´eformation axiale F or ce ap p li q u ´e F [k N]

Exp. : rotation bloqu´ee Exp. : rotation libre Num. : rotation bloqu´ee Num. : rotation libre

Fig. 3.5 Validation de la modélisation du toron de précontrainte : rigidité globale numé-rique comparée aux résultats expérimentaux de [Utting et Jones, 1987a] - Toron II. impactée par les conditions aux limites aux abouts. Celle-ci diminue fortement si la rota-tion du toron est libre autour de son axe. La simularota-tion numérique permet de reproduire correctement cet aspect. La modélisation aux éléments finis est de ce fait validée et peut être utilisée par la suite pour le toron T15S, utilisé dans les applications structurelles de poutres précontraintes.

Le toron T15S étudié possède les dimensions géométriques présentées dans le tableau 3.2. La faible valeur de l’angle d’enroulement et les données géométriques du toron permettent

Section ST15S 150 mm2

Diamètre du fil central Dc 5.4 mm

Diamètre des fils périphériques De 5.2 mm

Angle d’enroulement — 7.3˚

Table 3.2 Propriétés géométriques du toron T15S.

d’utiliser la modélisation présentée précédemment, avec l’hypothèse de contact parfait entre le fil central et les fils périphériques et l’absence de contact entre les fils périphériques. Le module de Young des fils est égal à 200 GPa. Le module de Young global est quant à lui égal à 195 GPa en rotation bloquée aux abouts. Le toron T15S est soumis à un chargement de traction en rotation bloquée aux abouts, représentant les conditions expérimentales sur structures. Afin de répondre aux problématiques expérimentales, une procédure en deux temps est adoptée :

1. Deux repères sont introduits : un repère global (x,y,z) avec z l’axe du toron et un repère local (1,2,3) avec (3) l’axe du fil périphérique et (1) la normale sortante du fil périphérique au point considéré (Figure 3.6-a). Le champ de déformation peut être analysé et comparé dans les deux repères.

2. Le champ de déformation est aussi analysé sur six génératrices hélicoïdales, comme présenté sur la figure 3.6-b. Ces génératrices représentent les positions aléatoires, admissibles expérimentalement, du câble à fibres optiques et permettent une étude de sensibilité de l’influence de cette position sur le champ de déformation calculé.

(a) (b)

Fig. 3.6 Étude numérique du champ de déformation d’un toron soumis à un chargement de traction : (a) définition d’un repère local (1,2,3) et global (x,y,z), (b) positions des génératrices étudiées.

Tout d’abord, le champ complet de déformation est tracé le long de la génératrice 1 dans le repère local à un effort F = 10 kN (Figure 3.7-a). Seules les composantes ‘11, ‘22et ‘33sont non nulles. Cela revient à négliger le cisaillement et la torsion dans les fils périphériques sous un chargement de traction du toron. De plus, le coefficient de Poisson ‹ des fils est

pris égal à 0.3. On retrouve logiquement la relation entre les déformations transversales ‘11, ‘22 et la déformation axiale ‘33 :

‘₁₁ = ‘22 = ≠‹ ‘33. (3.2.2)

La quantité ‘33 représente la déformation axiale locale, susceptible d’être mesurée expé-rimentalement par le câble à fibres optiques. La déformation ‘33 est évaluée sur les six génératrices considérées et, par la suite, transposée dans le repère global sous la forme d’une déformation axiale globale ‘zz. En condition bloquée aux abouts, le passage du repère local au repère global peut être écrit comme :

‘₃₃ = cos2— ‘_zz = 0.98 ‘zz, (3.2.3)

avec — = 7.3 degrés l’angle d’enroulement du toron. Les résultats sont tracés sur la figure 3.7-b pour un chargement F = 10 kN. Ces derniers sont comparés à la déformation axiale théorique ‘theo

zz , définie comme :

‘^theo_zz = ^F

ST15SE ^, (3.2.4)

avec E = 195 GPa le module de Young global du toron T15S. Les déformations sont relativement perturbées aux abouts à cause des conditions d’ancrage. En partie centrale, les six génératrices présentent une déformation axiale constante. Néanmoins, on peut remarquer un faible écart d’une génératrice à l’autre. Le chargement de traction génère ainsi une légère flexion des fils périphériques. Celle-ci est négligeable, en comparaison à la valeur de déformation axiale calculée. En effet, on calcule une erreur maximale de 1.8 % entre les déformations numériques et la déformation théorique. Cette étude valide donc la possibilité d’une mesure expérimentale de champ de déformation le long du toron de précontrainte. Une deuxième validation expérimentale est proposée par la suite pour une certification définitive de l’instrumentation.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 100 0 100 200 300 Longueur toron [m] M icr o-d ´ef or mat ion cal cu l´ee _✏ 11 ✏22 ✏33 ✏12 ✏13 ✏23 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 310 320 330 340 350 Longueur toron [m] M icr o-d ´ef or mat ion ax ial e ✏^zz Ligne 1 Ligne 2 Ligne 3 Ligne 4 Ligne 5 Ligne 6 Valeur th´eorique (a) (b)

Fig. 3.7 Champs de déformation numérique du toron T15S en traction - F = 10 kN : (a) tenseur complet sur génératrice 1, (b) déformation axiale suivant la génératrice choisie.