Valeurs pour antennes filiformes

5.8 Valeurs pour antennes filiformes

• isotrope :

– A_em = λ²/4π

– D = 1 partout (FM = 173)

• dipˆole ´el´ementaire :

– Aem = 3λ²/8π ethe = h

– D = 1.5 lorsqueθ = 90^◦ (F_M = 212) – Rr ≈ 80π²(h/λ)²

• dipˆole court⁷ (h <0.2λ) :

– A_em = 3λ²/8π eth_e = h/2

– D = 1.5 lorsqueθ = 90^◦ (FM = 212) – Rr ≈ 20π²(h/λ)²

• dipˆole demi-onde (h = λ/2) : – Aem = 30λ²/73π et he = λ/π

– D = 1.64 lorsque θ = 90^◦ (FM = 222) – Z¯r ≈ (73.2 +j42.5)Ω(Rr ≈75Ω)

• dipˆole demi-onde repli´e :

– Z¯r ≈ 4 (73.2 +j42.5)Ω(Rr ≈ 300Ω)

• monopˆole vertical court (h <0.2λ) : – D = 3 lorsque θ = 90^◦ (F_M = 300) – Rr ≈ 10π²(h/λ)²

• petite boucle (A <0.01λ²) o`uA est l’aire de la section efficace de la boucle et n, le nombre de tours de fil :

– Aem = 3λ²/8π ethe = 2nπA/λ – D = 1.5 lorsqueθ = 90^◦ (F_M = 212) – Rr ≈ 320n²µ²_{ref f}π⁴(A/λ²)²

7Pour tout dipˆole court, on ´ecritRr≈80π²(h/λ)²(Imoy/Iin)².

Exercices

Question 1

Un dipˆole a une longueur finie (et non infinit´esimale) het une r´esistance de pertes de 1.5Ω. Si le courant est uniforme, exprimez :

a) le vecteur ¯N sans supposer d’abord que h est suffisamment petit (e^jβz′cosθ ̸≈1) b) de la r´eponse en (a), faites ensuite l’approximation pour une petite valeur deβh; c) l’expression du champ ´electrique lointain (utilisez directement l’approximation) ; d) la directivit´e, la r´esistance de rayonnement, le gain et la surface effective si h=λ/15.

Question 2

Exprimez analytiquement le champ ´electrique dans la zone lointaine produit par un dipˆole de longueur h = 2ℓ. On assume une distribution de courant lin´eaire (courant maximum, I_m, au centre et nul aux extr´emit´es) sur l’axe z, sans toutefois supposer un dipˆole court (donc βh quelconque).

Question 3

Une dipˆole d’une longueur de h= 2 m est plac´e verticalement.

a) Indiquez l’orientation des plans E et H ;

Calculez le courant n´ecessaire Iin pour ´emettre une puissance de <P^t>= 20 Wsi : b) le dipˆole est consid´er´e comme un dipˆole court (λ= 10 m) ;

c) le dipˆole est consid´er´e comme un dipˆole λ/2 (λ = 4 m) ;

d) le dipˆole poss`ede une distribution tendant vers celle uniforme par l’ajout de disques aux extr´emit´es comme sur la figure ci-dessous avec δ = 0.2 (λ = 10 m, on est `a la limite de consid´erer h≪λ).

Iin

Iin

h I

z

(1−δ)Iin

Le cas δ = 0 revient `a une distribution uniforme comme sur un dipˆole ´el´ementaire de longueurdh=h et celui δ= 1 est un dipˆole court r´egulier.

5.9 Exercices ! 5-93

Question 4

La r´esistance ohmique d’un dipˆole λ/2 est donn´ee par : Rohm = Rs

2πao

λ 4 Rs =

8ωµ 2σ .

o`uRs est la r´esistance surfacique du mat´eriau qui compose l’antenne.

Calculez l’efficacit´e de rayonnement du dipˆoleλ/2 `a 100MHz, fait d’un fil d’aluminium de 6.35mm de diam`etre (σ_al = 3.5×10⁷S/m).

Question 5

L’amplitude maximale du courant sur un dipˆole d’une longueur h = 0.8λ atteint 0.5 Arms. Il ´emet alors une puissance de 45 W. Dans la supposition d’une distribution sinuso¨ıdale du courant, d´eterminez sa r´esistance de rayonnement `a l’entr´ee.

Question 6

Pour un dipˆole 3λ/2 align´e selon l’axez, donnez :

a) l’expression de la fonction caract´eristique de rayonnement normalis´ee ; b) les directions θmax o`u le rayonnement est maximal.

Question 7

Diff´erents essais exp´erimentaux ont d´emontr´e que la fr´equence de r´esonance d’un dipˆole λ/2 est plus basse que pr´evue selon le rayon des fils utilis´es ao. Ainsi, pour r´esonner `a une fr´equencefo (dont la longueur d’onde correspond `a λo), un dipˆoleλ/2 doit avoir une longueurhun peu plus courte queλo/2. Le tableau ci-dessous donne les valeurs obtenues :

h/(2ao) h classe 10⁶ 0.495λo extra mince 5000 0.49λo tr`es mince

50 0.475λo mince 10 0.455λo ´epais

Evaluez la longueur optimale d’une antenne´ λ/2 captant le canal 7 de t´el´evision (177MHz) si le fil utilis´e est de l’aluminium de 0.67 pouce de diam`etre (1 pouce = 2.54cm).

Question 8

Des dipˆoles λ/2 ont une mˆeme longueur de 0.5m. Ils sont r´ealis´es `a partir de fil dont le diam`etre vaut respectivement a) 2ao = 0.1mm; b) 2ao = 1mm; c) 2ao = 7.1mm.

D´eterminez leur fr´equence de r´esonance fo.

Question 9

Un dipˆole repli´e a une longueur de 0.4λ; un espacement entre les deux cˆot´esdde 12.5ao

o`uao est le rayon du fil qui vaut 0.005λ. Calculez l’imp´edance d’entr´ee de l’antenne. Pour la cause, r´ef´erez vous si n´ecessaire, `a la figure 5.6; de plus, l’imp´edance caract´eristique d’une ligne bifilaire dans l’air vaut ^η_π^o cosh⁻¹ _2a^d

o selon les notes de TOEM.

Question 10

alimentation

partie rayonnante

λ/4

Im

z

I(z^′) 3λ/4

Une antenne J-pˆole est en fait une antenne filiforme d’une longueur totale de 3λ/4, aliment´ee par une ligne non-balanc´ee tout pr`es de la base mˆeme de l’antenne. Un long stub CO λ/4 utilisant la partie basse de l’antenne sert de balun et d’adaptation. Ainsi, seule la partie sup´erieure est utile au rayonnement.

D´eterminez la fonction caract´eristique F_a(θ) et la directivit´e du J-pˆole.

Question 11

D´emontrez que la fonction caract´eristique d’une antenne boucle dont le rayon ra est tr`es inf´erieur `a la longueur d’onde, centr´ee dans le plan z = 0 et dont le courant a une distribution uniforme, s’exprime comme F_a = sinθ.

Indices :

Pour commencer, vous devez d´efinir r^′ et ψ dans l’int´egrale pour trouver ¯N. Vous utilisez ensuite le fait que βra ≪ 1, ce qui devrait vous permettre de faire une supposition du genre e^jξ ≈1 +jξ siξ ≪1.

Question 12

Donnez toutes les dimensions et les espacements en cm, d’une antenne Yagi de 3

´el´ements op´erant `a 100MHz.

Question 13

Une antenne Yagi de 7 ´el´ements capte le canal 13 en t´el´evision (213MHz). Si les fils ont bien 0.005λ = 0.7cm de diam`etre et que l’espacement entre les ´el´ements est de Sr =Sd= 35.2cm, donnez les dimensions en cm.

5.9 Exercices ! 5-95

R´ eponses :

1. a) Nz = 2Io 1

βcosθ sin((βh/2) cosθ) b) Nz ≈^βh≪1 Ioh; c) E¯θ =jωµ Ioh^e−_4πr^jβr sinθ d) <Pt>= ^πη₃^oI_o²1_h

λ

22

; K_max = ^η₈^oI_o²1_h

λ

22

;

D= 1.5 (1.76 dB) ; Rr = 3.51Ω; G= 1.05 (0.21 dB) ; Ae = 0.0836λ². 2. E¯θ =ηoH¯φ= +jωµ^e−jβr_4πr N¯zsinθ

Nz = _ℓ(β⁴_cos^Im_θ)2 sin²1_βℓ

2 cosθ2

;

3. a) Plan E : plan vertical ; Plan H : plan horizontal.

b) Iin = 2.25A; c) Iin= 0.74A; d) Iin= 1.25A (si δ= 0 alors Iin= 1.125A).

4. εr = 99.8277%.

5. Rr = 180Ω d’o`u Rri = 521Ω.

6. Num´eriquement seulement, on peut trouver le facteur de normalisation et les direc-tions maximales

a) 0.7148^cos(32_sin^πcos_θ ^θ); b) 42.6^◦ et 137.4^◦ . 7. h/(2ao)≈50, ho ≈0.475λo = 80.45cm .

8. a) h/(2ao)≈5000, h≈0.49λo, fo= 293.8MHz ;

par interpolation logarithmique entre log(h/(2a_o)) et log(0.5−h) : b) h/(2ao)≈500, h≈0.4858λo, fo= 291.28MHz ;

c) h/(2ao)≈70, h≈0.4774λo, fo = 286.24MHz.

9. Z¯t=j3.078Zo, Zo = 300Ω et Z¯a_dip = (50−j60)Ω donc Z¯a= (260−j244)Ω.

10. Fa(θ) = ^cos(_sin^π2cos_θ ^θ) et D= 1.64.

11. D’abord : ¯I =Iina_φ=−Iinsinφ^′a_x+Iincosφ^′a_y r^′ =ra et cosψ =cos(φ−φ^′) sinθ.

N¯x ≈ −jIinβr_a² sinθ(πsinφ), N¯y ≈jIinβr²_a sinθ(πcosφ) N¯φ≈jβIinr_a²πsinθ donc Fa= sinθ C.Q.F.D. (D= 1.5) . 12. ao = 0.005λ= 1.5cm ;

Sr =Sd= 75cm ; hr = 143.7cm, h= 135.9cm, hd= 135.3cm.

13. hr= 67.2cm, h= 63.9cm, hd = 61.1cm.

Chapitre 6

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