Couplage entre ´ el´ ements F e = sin θ

Les r´esultats des sous-sections pr´ec´edentes ne sont valides que pour des ´el´ements iso-tropes. Qu’advient-il pour des ´el´ements autres. En fait, tout d´epend de leur fonction caract´eristique Fe(Ψe). Il s’av`ere que les int´egrales pour d´eduire la puissance ´emise se compliquent au point o`u il devient impossible de trouver une expression analytique du coefficient de couplage.

Le dipˆole court avec sa fonction caract´eristique Fe(θ) = sinθ atteint d´ej`a une com-plexit´e assez ´elev´ee. Il faut savoir¹³ que :

Jν(z) = (0.5z)^ν

√πΓ(ν+ 0.5)

% π 0

cos(zcosθ) sin^2νdθ (6.85) o`u Jν est la fonction de Bessel d’ordre ν et que Γ est la fonction Gamma de Euler qu’on peut obtenir par r´ecurrence pour des valeurs enti`eres (Γ(k) = k!/k). La fonction caract´eristique ¯fek(θ) = Cee^jβr′cosθsinθ doit ˆetre normalis´ee pour respecter (6.62). On

Pour passer de l’avant-derni`ere `a la derni`ere ´equation, il suffit de poserν = 3/2 etz =βd, puis d’utiliser (6.85). Sachant que Γ(2) = 1, on aboutit `a :

τ12 = 3 4

J3/2(βd)√ π

(0.5βd)^3/2 . (6.88)

En poussant davantage l’´etude, il est maintenant possible de trouver le coefficient de couplage entre des ´el´ements dont la fonction caract´eristique s’exprimerait comme une

13Voir 9.1.20 de l’excellentHandbook of Mathematical FunctionsdeM. Abramowitzet I. A. Stegun.

6.9 Couplage mutuel entre les ´el´ements ! 6-135 puissance du sinus soitFe(θ) = sin^αθ. Pour que la fonction ¯fe_k soit normalis´ee en regard

de (6.62), la constante Ce vaut :

C_e²(α) = 16πηo

6π

0 sin^2α+1θdθ = 16πηo

Γ(α+ 1.5) Γ(α+ 1)√

π . (6.89)

On v´erifie que pourα= 0 (´el´ements isotropes) et pour α = 1 (dipˆoles courts), on obtient bien les valeurs ant´erieures. Ceci conduit aux r´esultats affich´es dans l’article de Ludwig,

`a savoir :

τ12(α) = Γ(α+ 1.5)Jα+0.5(βd)

(0.5βd)^α+0.5 . (6.90)

Exercices

Attention :

L’expression math´ematique peut ˆetre diff´erente selon la mani`ere dont on fait la r´eduction de la sommation. Le graphique permet alors la validation de l’expression obtenue.

Question 1

Soit une antenne-r´eseau de deux ´el´ements isotropes espac´es d’une longueur d’onde, aliment´es par des courants de modules ´egaux mais d´ephas´es de 180^◦.

a) Exprimez le facteur de r´eseau normalis´e si les ´el´ements sont align´es sur :

• l’axe z;

• l’axe x;

b) D´eterminez les anglesθ pour lesquels F_r(θ) est maximal pour le cas sur l’axe z.

Question 2

Une antenne-r´eseau est form´ee de deux ´el´ements isotropes espac´es sur l’axe x de :

• λ/2 ;

• λ

aliment´ees par des courants de modules ´egaux Iino mais d´ephas´es de 45^◦, 90^◦et 180^◦. a) Donnez l’expression g´en´erale du facteur de r´eseau Fr(θ,φ) ;

b) tracez-le `a la main dans le plan xy Fr(θ= 90^◦,φ) pour les cas demand´es.

Question 3

Donnez l’expression de la fonction caract´eristique Fa(θ,φ) (faites les trac´es dans les 3 plans xy, xz et yz pour v´erification), d’une antenne-r´eseau constitu´e de deux dipˆoles λ/2 espac´es de λ/4 sur l’axe x; aliment´es par des courants de modules ´egaux I_ino mais d´ephas´es de 90^◦. Supposez :

a) les dipˆoles verticaux (suivant l’axe z) ; b) les dipˆoles horizontaux (suivant l’axey).

Question 4

Une antenne-r´eseau lin´eaire uniforme est constitu´ee de 4 dipˆoles verticaux de longueur λ/2 dont les courants d’alimentation sont :

6.10 Exercices ! 6-137 I¯1 =Iino∠0^◦

I¯2 =Iino∠180^◦ I¯3 =Iino∠0^◦ I¯₄ =I_ino∠180^◦

L’espacement entre ces dipˆoles d est de λ/2 sur l’axe x. Lorsque un seul dipˆole est aliment´e, il fournit un champEo `a r=ro dans sa direction optimale.

a) Donnez l’expression de la fonction caract´eristique Fa(θ,φ).

b) Faites les trac´es dans les plans xy (θ = 90^◦ et Fe = 1) ; essayez aussi dans le plan xz (φ = 0^◦) en superposant le facteur d’´el´ement et le facteur de r´eseau, puis en multipliant les deux facteurs pour chaque angleθ.

c) D´eduisez l’amplitude du champ ´electrique produit par les 4 ´el´ements aliment´es `ar =ro

dans la direction (θ = 60^◦,φ= 0^◦), le couplage entre ´el´ement est nul.

Question 5

Tracez le diagramme de rayonnement dans le plan xz Fa(φ = 0^◦) d’un dipˆole court plac´e au dessus d’un plan de masse dans les cas suivants :

plan de masse (xy) plan de masse (xy)

plan de masse (xy)

a) b) c)

x z

y

x z

y

x y z

λ/4 λ/2

λ/2

Question 6

Soit un r´eseau lin´eaire de 10 ´el´ements isotropes espac´es de d=λ/4 sur l’axe x. Dans les cas transversal, longitudinal ordinaire et longitudinalHansen-Woodyard :

a) calculez la valeur du d´ephasage progressif `a appliquer ; b) tracez le facteur de r´eseau Fr(θ= 90^◦,φ) dans le plan xy; c) d´eterminez la directivit´e ;

d) ´evaluez la largeur du lobe principal `a 3dB.

Question 7

Une antenne-r´eseau lin´eaire de 5 ´el´ements isotropes produit un rayonnement transver-sal. La distance inter-´el´ement vaut d = 0.5λ sur l’axe z (ψ = θ). Chaque ´el´ement ´emet

une puissance moyenne de 10 W. Notez qu’avec d = λ/2, le couplage entre ´el´ement est nul.

D´eterminez le module du champ ´electrique :

a) `a 5km produit par un ´el´ement seul agissant comme une antenne ;

b) `a 10km dans la direction optimale lorsque tous les ´el´ements sont aliment´es.

c) `a 10km dans la directionθ = 34^◦ lorsque tous les ´el´ements sont aliment´es.

Question 8

Soit un r´eseau lin´eaire uniforme de 5 ´el´ements isotropes avec alimentation identique `a phase progressive. D´eterminez la distance inter-´el´ement optimale qui assure la directivit´e la plus ´elev´ee possible dans les rayonnements suivants :

a) transversal ;

b) `a 45^◦p/r au rayonnement transversal.

Il ne faut pas avoir d’ambigu¨ıt´e dans la zone de visibilit´e allant ψ = 0 `a ψ = 180^◦.

Question 9

Une antenne r´eseau lin´eaire est constitu´ee 3 ´el´ements avec une distance inter-´el´ement d = 0.4λ. L’alimentation vaut respectivement ¯ı = [1 3e^j0.6π 2e^j1.2π], ce qui correspond `a une alimentation non-uniforme tout en ayant un d´ephasage progressif avec α= 0.6π.

a) Donnez l’expression du facteur de r´eseau fr(ψ) ; b) indiquez dans quelle direction pointe le lobe principal.

Question 10

1

1

y

d z

x

1

1 2

x d

d

y

z ¹

3

3 1

x d

d d z y

a) Soient deux dipˆoles courts identiques, s´epar´es par une distance d et parcourus par des courants identiques en module et phase ¯I_k =I_ino. Exprimez analytiquement la fonction caract´eristiqueFa(θ,φ= 0^◦) dans le plan xz produit par les deux ´el´ements dans la zone lointaine ;

6.10 Exercices ! 6-139 b) Utilisez le r´esultat pr´ec´edent pour trouver l’expression de la fonction caract´eristique

Fa(θ,φ = 0^◦) toujours dans le plan xz mais cr´e´e par 3 dipˆoles courts identiques, s´epar´es par une distance d et parcourus par des courants en phase et de modules proportionnels `a 1, 2 et 1 foisI_ino (2 pour celui du centre).

Remarquez que [1 2 1] = [1 1 0] + [0 1 1] ; c’est-`a-dire que ce r´eseau est ´equivalent `a une antenne-r´eseau de deux ´el´ements o`u chaque ´el´ement est lui-mˆeme une antenne-r´eseau de deux ´el´ements identiques au cas pr´ec´edent a)

c) Etendez ce r´esultat au cas de 4 dipˆoles courts identiques dont les modules des courants´ seraient proportionnels `a 1, 3, 3, 1 fois Iino.

Cette fois, on a [1 3 3 1] = [1 2 1 0] + [0 1 2 1].

Les amplitudes des courants suivent le triangle de Pascalqui est une repr´esentation de la distribution binomialewk= _k!(N^(N₋⁻_k^1)!_−1)!.

Question 11

Une antenne r´eseau lin´eaire `a espacement r´egulier d est constitu´ee de 4 ´el´ements iso-tropes. On voudrait cr´eer un diagramme de rayonnement n’ayant qu’un seul nul en pla¸cant tous les z´eros dans la mˆeme direction soit ψ = 90^◦.

a) Calculez les coefficients de pond´eration `a appliquer.

b) Donnez l’expression de la fonction caract´eristique dans le planxzsi le r´eseau est align´e sur l’axex (ψ =ψx avec φ = 0).

c) V´erifiez le lien avec le facteur de r´eseau du probl`eme pr´ec´edent.

Question 12

Une antenne-r´eseau `a espacement r´egulier d est constitu´ee de 6 ´el´ements isotropes.

On voudrait cr´eer un diagramme de rayonnement transversal ayant des lobes secondaires inf´erieurs de R0 dB par rapport au lobe principal.

D´eterminez le vecteur des coefficients de pond´eration `a applique dans les cas suivants : a) d= 0.4λ,R0[dB] = 10, 20 et 25.

b) D´ecrivez le comportement du lobe principal en (a) avec d constant.

c) d= 0.5λ et 0.6λ,R0[dB] = 25.

d) D´ecrivez les changements sur le diagramme de rayonnement entre (a) et (c) avec R0

constant.

R´ eponses :

6.10 Exercices ! 6-141

d) trans. : ΘφHP BW = 20.3^◦ ord. : ΘφHP BW = 69^◦; H-W : ΘφHP BW = 38.5^◦. 7. a) E^{1 ´el´ement iso}(r = 5km) = 4.90mV/m ;

b) E^{antenne-r´eseau}(r= 10km,θ= 90^◦) = 12.25mV/m ; c) E^{antenne-r´eseau}(r= 10km,θ= 34^◦) = 0.575mV/m.

8. a) α= 0, d= 0.8λ; b) α = 0.663π, d= 0.469λ.

9. a) fr =|1 + 3e^j2γ+ 2e^j4γ|= 2 cosγ |1 + 2e^j2γ| '√ () *

1+8 cos²γ

avec 2γ = 0.6π−0.8πcosψ; b) ψmax= 41.4^◦.

10. a) F_a(θ) = sinθ cos1_βd

2 sinθ2

; b) F_a(θ) = sinθ cos²1_βd

2 sinθ2

; c) Fa(θ) = sinθ cos³1_βd

2 sinθ2 .

11. a) z_i =e^{jβdcos 90◦} = 1 donc F_r(z) = (z−1)^N−1 et w= [1 −3 3 −1]; b) F_r(ψ) = sin^N−1(^βd₂ cosψ) soit F_r(θ,φ = 0) = sin^N−1(^βd₂ sinθ);

c) Le lien est direct si on applique un pointage par d´ephasage progressif avecα= 180^◦ Le maximum est lorsque ^βd₂ sinθmax = ^π₂ soit θmax = cos⁻¹(_βd^π ) alors que dans le probl`eme pr´ec´edent, il ´etait `a θmax = 0, soit un rayonnement transversal.

12. a) R0 = 10dB: x0 = 1.0669; w₁₀= [1.0 0.607 0.681 0.681 0.607 1.0]

R₀ = 20dB: x₀ = 1.1846; w₂₀ = [1.0 1.437 1.85 1.85 1.437 1.0]

R0 = 25dB: x0 = 1.2660; w₂₅ = [1.0 1.88 2.588 2.588 1.88 1.0];

b)Largeur du faisceau plus large lorsque les lobes secondaires diminuent ;

c) d= 0.5λ et d= 0.6λ : w= [1.0 1.88 2.588 2.588 1.88 1.0] comme w₂₅ en (a) ; d) Largeur du faisceau plus ´etroit et plus de lobes secondaires lorsque d augmente.

Chapitre 7

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