Antennes ` a ouverture
7.3 Sources de type onde plane
Le traitement du rayonnement par une ouverture utilise les vecteurs potentiels retard´es
´electrique et magn´etique d´efinis en (3.24) et (3.37) dans le champ lointain avec l’´equivalence de Love seulement. Pour rester consistant avec des ouvertures, on doit les remanier en consid´erant aussi l’´equivalence `a une ouverture :
A¯ouv = µe−jβr 4πr
%
S′
az×H¯a(x′, y′)ejβr′cosψdS′ (7.3) F¯ouv = ϵe−jβr
4πr
%
S′
E¯a(x′, y′)×azejβr′cosψdS′ (7.4) Le d´eveloppement ressemble beaucoup `a celui de la surface ´el´ementaire vue `a la section 4.2 avec la restriction du rapport ¯Js = ¯Ms/ηo retrouv´ee dans la sous-section 4.2.2, mais
7.3 Sources de type onde plane ! 7-147 sans celle de distribution uniforme car ici Jsa est une fonction de x′ et y′ et non une
constanteJso. On obtient :
E¯θ = −jωµe−jβr
Cependant, on obtiendrait le mˆeme r´esultat en prenant des ´equivalences avec plans conduc-teurs ´electrique ou magn´etique i.e. en annulant ¯L et doublant ¯N ou vice-versa. En effet, on trouve assez facilement que le rapport ¯Js = ¯Ms/ηo implique que ¯Nθ = ¯Lφ/ηo et N¯φ=−L¯θ/ηo.
7.3.1 Ouverture ´ el´ ementaire
Pour d´eterminer le rayonnement ¯N et ¯Lproduit par une ouverture, on pourrait d´ecouper cette ouverture en petits ´el´ements de surfaces ∆S au travers desquels on assume une source onde plane uniforme. Mais l’analyse de l’ouverture ´el´ementaire centr´ee m`ene `a une conclusion qui permettra de faire un passage plus rapide encore entre la distribution des champs dans l’ouverture et les champs lointains sans passer par les potentiels vecteurs retard´es.
Soit une ouverture centr´ee dans le plan xy comme sur la figure 7.6 avec : E¯a = ¯Eaxax et H¯a = ¯Hayay = E¯ax
ηo
ay
donc les courants ´equivalents sont (voir ´equations (7.1) et (7.2)) :
J¯sax = −H¯ay = −E¯ax/ηo (7.8)
M¯say = −E¯ax . (7.9)
Connaissant les courants ´equivalents, le traitement de l’ouverture ´el´ementaire revient
`a celui d’une surface ´el´ementaire fait `a la sous-section4.2.2 avec un rapport des courants M¯sa/J¯sa=ηo puisque les signes respectaient les conditions aux limites donn´ees par (7.1) et (7.2). Ainsi, en r´eorganisant les termes de (4.31) et (4.32), on d´ebouche sur :
E¯θ = +jωµE¯ax∆S
7.3.2 Approximation pour grandes ouvertures
Dans la majorit´e des cas de rayonnement faisant appel `a des ouvertures ´electriquement grandes, la directivit´e est ´elev´ee de sorte que le lobe principal est contenu dans un angle solide tr`es petit. Ainsi, la r´egion d’int´erˆet du diagramme de rayonnement se limite `a des valeurs de θ assez faibles de sorte que le terme cosθ peut ˆetre remplacer par l’unit´e (approximation paraxiale). La conversion des ´equations (7.10) et (7.11) ramen´ees en co-ordonn´ees rectangulaires consid´erant l’approximation paraxiale, donne :
E¯ ≈ jωµ2 ¯Eax∆S
Figure7.6 – G´eom´etrie d’un ´el´ement de surface dans une ouverture plane `az= 0.
On obtient le champ produit par un ´el´ement diff´erentiel de surfacedS′ `a la position (x′, y′)
• en rempla¸cant dans l’expression (7.13) :
– E¯axaxpar la distribution du champ dans l’ouverture ¯Ea(x′, y′) = ¯Eaxax+ ¯Eayay; – ∆S par l’´el´ement diff´erentiel dS′ =dx′dy′;
– r par r′′ dans le terme de phase
• en tenant compte du d´ephasage du champ produit par chaque ´el´ement diff´erentiel par le biais de r′′, la distance entre l’´el´ement et le point d’observation.
Pour une grande ouverture, il suffit d’int´egrer sur toute l’ouverture avec la g´eom´etrie reproduite `a la figure 7.6 :
E¯(x, y, z) = j λr
%
S′
E¯a(x′, y′)e−jβr′′dx′dy′ , (7.14) Dans le champ lointain, la distance r′′ peut s’´ecrire1 :
r′′ = $
(x−x′)2+ (y−y′)2+z2 ≈ r− (xx′ +yy′)
r (7.15)
1La d´emonstration utilise∆r′ ≈r′ar′ ·ar conduisant `a ∆r′ ≈ x′cosφsinθ+y′sinφsinθ (puisque z′ = 0), et ensuitercosφsinθ=xet rsinφsinθ=y.
7.3 Sources de type onde plane ! 7-149 ce qui permet de modifier (7.14) pour devenir2 :
E(x, y, z) =¯ j e−jβr λr
%
S′
E¯a(x′, y′)ejβ(xx′+yy′)/rdx′dy′ . (7.16) On reconnaˆıt par cette derni`ere ´equation, l’int´egrale de Fourier bidimensionnelle.
Donc, le champ lointain dans la zone paraxiale, est la transform´ee de Fourier de la dis-tribution du champ dans l’ouverture.
7.3.3 Expression de la directivit´ e
Toujours avec une onde plane dans l’ouverture (les champs sont en phase partout dans S′) et avec l’approximation paraxiale, il est possible d’exprimer la directivit´e en fonction des champs dans l’ouverture. Pour ce faire, on proc`ede `a partir de la d´efinition premi`ere de la directivit´e `a savoir le rapport entre Kmax et Kmoy.
L’intensit´e de rayonnement s’´ecrit simplement comme (2.9) soit pour le cas pr´esent : K(θ, φ) = 1
L’intensit´e de rayonnement maximale est obtenue dans la directionz+ `ax=y= 0, d’o`u : Kmax = 1
D’autre part, la d´etermination de Kmoy est simple puisqu’il ne s’agit que de calculer la puissance totale ´emise ⟨Pt⟩ en int´egrant le vecteur de Poynting sur toute l’ouverture et de diviser le tout par les 4π st´eradians de la sph`ere. D’o`u :
Kmoy = 1 Finalement, on d´eduit que :
Douv = 4π
Si le champ ´electrique dans l’ouverture S est uniforme, la puissance ´emise correspond
`a la puissance traversant l’ouverture. Elle vaut donc :
⟨Pt⟩ = ⟨Pa⟩S = Ea2 2ηo
S , (7.23)
2L’expression du module de E sur l’axez s’´ecrit simplementE = λr1 6
EadS. Si le champ ´electrique est uniforme dans l’ouverture et l’efficacit´e d’ouvertureεap est de 100%, alorsE=EaλrAem.
i.e. le produit vectoriel de la densit´e de puissance moyenne dans l’ouverture ⟨Pa⟩ par la surface de l’ouverture S. D’o`u, selon (2.17), (2.22) et (2.32) :
Douvu = 4π
λ2S (7.24)
Aemouvu = S = Ap (7.25)
Ωa = λ2
S . (7.26)
On aurait pu utiliser directement l’expression (7.22) dans laquelle le champ dans l’ouver-ture est constant, soit ¯Ea(x′, y′) = Ea, ce qui donne la mˆeme choseDouvu = 4πλ2
Ea2S2
Ea2S = 4πλ2S.
Les 3 derni`eres ´equations touchant la directivit´e, la surface effective maximale et l’angle solide du faisceau demeurent valides pour tous les genres d’ouvertures en autant que le champ au travers cette ouverture soit constant et uniforme. L’efficacit´e de l’ouverture atteint alors 100% et la directivit´e dans ce cas est not´eeDouvu (l’indice “u” pour uniforme).
7.3.4 Ouverture rectangulaire
Les expressions d´evelopp´ees jusqu’ici s’appliquent `a toutes formes d’ouvertures planes.
Cependant, on rencontre surtout des ouvertures rectangulaires ou circulaires.
Pour une ouverture rectangulaire plane
• centr´ee `a l’origine ;
• dont la longueur estA (suivant l’axe x) et la largeur, B (suivant l’axe y) ;
• dont le champ dans l’ouverture est uniforme et constant Eaax :
E¯x(x, y, z) = jEa avec, en coordonn´ees sph´eriques pour tracer le diagramme de rayonnement :
x = r cosφsinθ (7.28)
y = r sinφsinθ . (7.29)
La figure 7.7 montre un exemple de diagramme de rayonnement obtenu dans les prin-cipaux plans pour une ouverture de 20λ par 10λ.
L’intensit´e de rayonnement maximale est obtenue dans la directionθ= 0 (x= 0, y = 0) et vaut selon (2.9) et (7.27) :
ce qui correspond bien `a (7.19) lorsque le champ dans l’ouverture est uniforme.