Antennes ´ el´ ementaires
4.1 Dipˆ ole ´ el´ ementaire
Le dipˆole ´el´ementaire est un ´el´ement de courant. Il est aussi appel´e dipˆole de Hertz.
Ce dipˆole ´el´ementaire n’existe pas, mais facilite grandement le calcul pour des antennes filiformes bien r´eelles cette fois. Toute antenne filiforme peut en effet ˆetre vue comme une infinit´e de dipˆoles ´el´ementaires mis bout `a bout.
Le champ produit par l’antenne filiforme correspond `a l’int´egrale des champs produits par les dipˆoles ´el´ementaires la constituant
• pond´er´es par l’amplitude du courant `a l’endroit du dipˆole ´el´ementaire ;
• d´ephas´es selon la position du dipˆole ´el´ementaire sur la structure de l’antenne.
4.1.1 Potentiel vecteur
L’´evaluation de la distribution des champs ´electromagn´etiques par la notion du potentiel retard´e, est applicable imm´ediatement au cas le plus simple, `a savoir un dipˆole ´el´ementaire centr´e `a l’origine.
direction d’observation
dh
x
φ Io
θ
Eφ
y
(θ, φ) z
Eθ
Figure 4.1 – ´El´ement de courant dans le syst`eme de coordonn´ees.
La figure 4.1 montre un tel dipˆole dans la direction z, localis´e `a l’origine du syst`eme de coordonn´ees sph´eriques. Il s’agit d’un ´el´ement
• infinit´esimal de longueur dh (ou ∆h telle que ∆h≪λ) ;
• lin´eaire ;
• parcouru par un courant (ou densit´e de courant) uniformeIo sur toute sa longueur.
Ainsi, la distribution du courant s’exprime :
J¯dv′ = Iodz′az . (4.1)
Par continuit´e, des charges identiques et, mais de signes oppos´es, existent `a chacune des extr´emit´es ±dh/2 d’o`u le nom de dipˆole deHertz.
Selon l’´equation du potentiel vecteur retard´e (3.6), seule la composante en z est non-nulle car l’´el´ement de courant est orient´e enzselon (4.1). L’expression du potentiel retard´e est rapidement obtenue de (3.17) :
A¯z = µ
%
dh
Io
e−jβr
4πr dz′ (4.2)
= µ Iodhe−jβr
4πr . (4.3)
L’int´egrale se limite `a un seul ´el´ement diff´erentiel centr´e d’o`u r′′ =r.
Compte tenu de la g´eom´etrie du syst`eme, il convient d’utiliser les coordonn´ees sph´e-riques. Il faut donc d´ecomposer le vecteur unitaire az sur la base sph´erique (voir Annexe
4.1 Dipˆole ´el´ementaire ! 4-51
On remarque qu’il n’y a pas de composanteaφdu potentiel vecteur `a cause de la sym´etrie de la structure autour de l’axez.
4.1.2 Distribution des champs
Les expressions des champs peuvent ˆetre trouv´ees directement de (3.1) et de l’´equation d’Amp`ere ∇×H¯ =jωϵE¯ en coordonn´ees sph´eriques :
Les autres composantes des champs ´etant nulles.
Une illustration du champ ´electrique produit par le dipˆole ´el´ementaire `a diff´erent instant, est montr´ee `a la figure 4.2.
• Dans le premier temps, des charges de signes oppos´es existent aux extr´emit´es et des lignes de champ se cr´eent entre les 2 pˆoles.
• Un quart de p´eriode plus tard, le courant `a l’entr´ee du dipˆole est maximum. La charge est r´epartie tout le long de l’antenne.
• Plus tard, les lignes de champ se refermeront car des charges de signes oppos´ees r´eapparaˆıtront, mais elles seront aux positions inverses du premier temps.
On note alors que :
• un mouvement de propagation des lignes de champ s’´eloignant du dipˆole ;
• aucune ligne de champ dans l’axe z (θ= 0,180◦).
−6 −4 −2 0 2 4 6
Figure4.2 – Allure du champ ´electrique selon le temps.
4.1.3 Champs lointains
On peut obtenir l’expression des champs produits par le dipˆole ´el´ementaire dans la zone deFraunhofer de deux fa¸cons :
• en proc´edant au long comme cela vient d’ˆetre fait, puis en annulant les termes en 1/r2 et 1/r3 (passage indirect ∂) ;
• en utilisant directement les expressions valides pour les champs lointains (passage indirect rapide) i.e avec (3.24) et (3.27) jusqu’`a (3.30).
Cette derni`ere fa¸con est de loin, la plus simple. En proc´edant ainsi, on obtient : N¯elem = ¯Nzelemaz =
Le passage indirect rapide donne alors :
E¯θelem = jωµ Iodhe−jβr
4πr sinθ . (4.12)
H¯φelem = jβIodhe−jβr
4πr sinθ (4.13)
en ne consid´erant que les termes transverses de ¯A (correspondant `a ¯A⊥ dans (3.31)) et sachant que az = cosθar−sinθaθ c’est-`a-dire Nφ= 0 et Nθ =−Nzsinθ.
4.1 Dipˆole ´el´ementaire ! 4-53
4.1.4 Param` etres
On peut maintenant tracer les diagrammes de rayonnement dans les plans d’int´erˆets en prenant le module du champ ¯E `a distance constante r, puis en normalisant pour obtenir la fonction caract´eristique de rayonnement :
Eθelem ·r = ωµIodh
4π sinθ ≈ 60πIo
dh
λ sinθ ; (4.14)
Faelem = sinθ . (4.15)
Ce qui donne une largeur du lobe principal `a 3dB de π/2 dans le plan E tout en restant omnidirectionnel dans le plan H.
1 1
1 ΘθHP BW= 90◦
sinθ y
φ z
x
√2/2 θ
Figure 4.3 – Diagramme de rayonnement du champ ´electrique du dipˆole ´el´ementaire selon θ (plan E) et selon φ(plan H).
x
y z
Fa = sinθ Kn = sin2θ
Figure4.4 – Diagramme de rayonnement du dipˆole ´el´ementaire en 3D.
Quant `a la puissance rayonn´ee, on trouve facilement de (3.34) que : Kelem(θ,φ) = ηo
8λ2Nθ2
= ηo
8λ2(Iodh sinθ)2 (4.16)
d’o`u
La r´esistance de rayonnement est d´eduite directement de (4.17) car Io est aussi le courant d’entr´ee Iin. Cette r´esistance, qui assume un courant uniforme le long du dipˆole, vaut :
Finalement, la directivit´e de cette antenne se calcule `a partir des ´equations (4.16) et (4.17) dans l’´equation (2.19) :
Delem(θ, φ) = 4π η8o 1dh
Un dipˆole ´el´ementaire est plac´e sur l’axe z `az =ℓ. Le dipˆole est parcouru par un vecteur courantIoaz.
# En champs lointains, donnez l’expression du potentiel vecteur retard´e.
L’int´egrale (3.24) se limite ici `a un terme simple puisque le dipˆole ´el´ementaire est, par d´efinition, une unit´e infinit´esimale. Comme le dipˆole n’est pas plac´e `a l’origine du syst`eme de coordonn´ees, on ne peut donc pas prendre directement le r´esultat du dipˆole ´el´ementaire obtenu dans la sous-section 4.1.3. Il faut consid´erer le terme de d´ephasage dans l’int´egrale avec r′ =ℓ et cosψ = cosθ :
N¯ = Iodh ejβℓcosθaz . Finalement, on trouve :
A¯ = µ Iodhe−jβr
4πr ejβℓcosθaz .
# D´eduisez l’expression de champ ´electrique en champs lointains.
Il suffit d’appliquer (3.29) et (3.30) sachant que : az = cosθar − sinθaθ d’o`u :
E¯ = jωµ Iodhe−jβr
4πr ejβℓcosθsinθaθ .