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Dipˆ ole ´ el´ ementaire

Dans le document Antenne - Cours 1 pdf (Page 61-67)

Antennes ´ el´ ementaires

4.1 Dipˆ ole ´ el´ ementaire

Le dipˆole ´el´ementaire est un ´el´ement de courant. Il est aussi appel´e dipˆole de Hertz.

Ce dipˆole ´el´ementaire n’existe pas, mais facilite grandement le calcul pour des antennes filiformes bien r´eelles cette fois. Toute antenne filiforme peut en effet ˆetre vue comme une infinit´e de dipˆoles ´el´ementaires mis bout `a bout.

Le champ produit par l’antenne filiforme correspond `a l’int´egrale des champs produits par les dipˆoles ´el´ementaires la constituant

• pond´er´es par l’amplitude du courant `a l’endroit du dipˆole ´el´ementaire ;

• d´ephas´es selon la position du dipˆole ´el´ementaire sur la structure de l’antenne.

4.1.1 Potentiel vecteur

L’´evaluation de la distribution des champs ´electromagn´etiques par la notion du potentiel retard´e, est applicable imm´ediatement au cas le plus simple, `a savoir un dipˆole ´el´ementaire centr´e `a l’origine.

direction d’observation

dh

x

φ Io

θ

Eφ

y

(θ, φ) z

Eθ

Figure 4.1 – ´El´ement de courant dans le syst`eme de coordonn´ees.

La figure 4.1 montre un tel dipˆole dans la direction z, localis´e `a l’origine du syst`eme de coordonn´ees sph´eriques. Il s’agit d’un ´el´ement

• infinit´esimal de longueur dh (ou ∆h telle que ∆h≪λ) ;

• lin´eaire ;

• parcouru par un courant (ou densit´e de courant) uniformeIo sur toute sa longueur.

Ainsi, la distribution du courant s’exprime :

J¯dv = Iodzaz . (4.1)

Par continuit´e, des charges identiques et, mais de signes oppos´es, existent `a chacune des extr´emit´es ±dh/2 d’o`u le nom de dipˆole deHertz.

Selon l’´equation du potentiel vecteur retard´e (3.6), seule la composante en z est non-nulle car l’´el´ement de courant est orient´e enzselon (4.1). L’expression du potentiel retard´e est rapidement obtenue de (3.17) :

z = µ

%

dh

Io

ejβr

4πr dz (4.2)

= µ Iodhejβr

4πr . (4.3)

L’int´egrale se limite `a un seul ´el´ement diff´erentiel centr´e d’o`u r′′ =r.

Compte tenu de la g´eom´etrie du syst`eme, il convient d’utiliser les coordonn´ees sph´e-riques. Il faut donc d´ecomposer le vecteur unitaire az sur la base sph´erique (voir Annexe

4.1 Dipˆole ´el´ementaire ! 4-51

On remarque qu’il n’y a pas de composanteaφdu potentiel vecteur `a cause de la sym´etrie de la structure autour de l’axez.

4.1.2 Distribution des champs

Les expressions des champs peuvent ˆetre trouv´ees directement de (3.1) et de l’´equation d’Amp`ere ∇×H¯ =jωϵE¯ en coordonn´ees sph´eriques :

Les autres composantes des champs ´etant nulles.

Une illustration du champ ´electrique produit par le dipˆole ´el´ementaire `a diff´erent instant, est montr´ee `a la figure 4.2.

• Dans le premier temps, des charges de signes oppos´es existent aux extr´emit´es et des lignes de champ se cr´eent entre les 2 pˆoles.

• Un quart de p´eriode plus tard, le courant `a l’entr´ee du dipˆole est maximum. La charge est r´epartie tout le long de l’antenne.

• Plus tard, les lignes de champ se refermeront car des charges de signes oppos´ees r´eapparaˆıtront, mais elles seront aux positions inverses du premier temps.

On note alors que :

• un mouvement de propagation des lignes de champ s’´eloignant du dipˆole ;

• aucune ligne de champ dans l’axe z (θ= 0,180).

−6 −4 −2 0 2 4 6

Figure4.2 – Allure du champ ´electrique selon le temps.

4.1.3 Champs lointains

On peut obtenir l’expression des champs produits par le dipˆole ´el´ementaire dans la zone deFraunhofer de deux fa¸cons :

• en proc´edant au long comme cela vient d’ˆetre fait, puis en annulant les termes en 1/r2 et 1/r3 (passage indirect ∂) ;

• en utilisant directement les expressions valides pour les champs lointains (passage indirect rapide) i.e avec (3.24) et (3.27) jusqu’`a (3.30).

Cette derni`ere fa¸con est de loin, la plus simple. En proc´edant ainsi, on obtient : N¯elem = ¯Nzelemaz =

Le passage indirect rapide donne alors :

θelem = jωµ Iodhejβr

4πr sinθ . (4.12)

φelem = jβIodhejβr

4πr sinθ (4.13)

en ne consid´erant que les termes transverses de ¯A (correspondant `a ¯A dans (3.31)) et sachant que az = cosθar−sinθaθ c’est-`a-dire Nφ= 0 et Nθ =−Nzsinθ.

4.1 Dipˆole ´el´ementaire ! 4-53

4.1.4 Param` etres

On peut maintenant tracer les diagrammes de rayonnement dans les plans d’int´erˆets en prenant le module du champ ¯E `a distance constante r, puis en normalisant pour obtenir la fonction caract´eristique de rayonnement :

Eθelem ·r = ωµIodh

4π sinθ ≈ 60πIo

dh

λ sinθ ; (4.14)

Faelem = sinθ . (4.15)

Ce qui donne une largeur du lobe principal `a 3dB de π/2 dans le plan E tout en restant omnidirectionnel dans le plan H.

1 1

1 ΘθHP BW= 90

sinθ y

φ z

x

√2/2 θ

Figure 4.3 – Diagramme de rayonnement du champ ´electrique du dipˆole ´el´ementaire selon θ (plan E) et selon φ(plan H).

x

y z

Fa = sinθ Kn = sin2θ

Figure4.4 – Diagramme de rayonnement du dipˆole ´el´ementaire en 3D.

Quant `a la puissance rayonn´ee, on trouve facilement de (3.34) que : Kelem(θ,φ) = ηo

2Nθ2

= ηo

2(Iodh sinθ)2 (4.16)

d’o`u

La r´esistance de rayonnement est d´eduite directement de (4.17) car Io est aussi le courant d’entr´ee Iin. Cette r´esistance, qui assume un courant uniforme le long du dipˆole, vaut :

Finalement, la directivit´e de cette antenne se calcule `a partir des ´equations (4.16) et (4.17) dans l’´equation (2.19) :

Delem(θ, φ) = 4π η8o 1dh

Un dipˆole ´el´ementaire est plac´e sur l’axe z `az =ℓ. Le dipˆole est parcouru par un vecteur courantIoaz.

# En champs lointains, donnez l’expression du potentiel vecteur retard´e.

L’int´egrale (3.24) se limite ici `a un terme simple puisque le dipˆole ´el´ementaire est, par d´efinition, une unit´e infinit´esimale. Comme le dipˆole n’est pas plac´e `a l’origine du syst`eme de coordonn´ees, on ne peut donc pas prendre directement le r´esultat du dipˆole ´el´ementaire obtenu dans la sous-section 4.1.3. Il faut consid´erer le terme de d´ephasage dans l’int´egrale avec r =ℓ et cosψ = cosθ :

N¯ = Iodh ejβℓcosθaz . Finalement, on trouve :

A¯ = µ Iodhejβr

4πr ejβℓcosθaz .

# D´eduisez l’expression de champ ´electrique en champs lointains.

Il suffit d’appliquer (3.29) et (3.30) sachant que : az = cosθar − sinθaθ d’o`u :

E¯ = jωµ Iodhejβr

4πr ejβℓcosθsinθaθ .

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