Dipˆ ole magn´ etique ou antenne boucle

Le dipˆole magn´etique est constitu´e d’une boucle circulaire de courant dont l’appella-tion plus usuelle d’antenne boucle. Elle est la forme duale – c.f. dualit´e des ´equal’appella-tions

´electromagn´etiques – du dipˆole ´electrique. D’ailleurs, si la boucle est petite ´electriquement comme sur la figure5.14, le courant est assum´e assez uniforme et son comportement res-semble `a celui d’un dipˆole de Hertz. On v´erifie (voir une des questions en exercice) que pour une petite boucle circulaire⁴ dans le plan xy de rayonra :

E¯ = ¯Eφa_φ = ωµβ πr²_a

Les param`etres de l’antenne boucle s’´ecrivent :

• fonction caract´eristique et directivit´e :

Faboucle = sinθ (5.34)

Dboucle = 1.5 `a θ= 90^◦ (5.35)

• intensit´e de rayonnement et puissance ´emise :

Kboucle(θ,φ) =

• r´esistance de rayonnement :

Rri_boucle = 320π⁴

!A λ²

"2

. (5.38)

4Sans faire autant de simplifications, une antenne boucle avec distribution uniforme du courant conduit aux int´egrales62π

5.5 Autres formes de dipˆole ! 5-75 On remarque que la r´esistance de rayonnement est proportionnelle `a f⁴ (i.e. en 1/λ⁴),

et non `af<sup>2</sup> comme c’´etait le cas pour le dipˆole ´electrique. `A basse fr´equence, cela pourrait avoir des cons´equences catastrophiques. Heureusement, le dipˆole magn´etique poss`ede aussi deux param`etres suppl´ementaires comparativement au dipˆole ´electrique :

• Suivant le principe de multiplication, on augmente la force ´electromotrice f em par un facteurnen coupantnfois le flux avec ntours de fil. En ´emission, pour un mˆeme courant d’alimentation, le champ ´electrique produit (et donc le champ magn´etique aussi) augmente par n ce qui ´equivaut `a une r´esistance de rayonnement qui croˆıt par n²

• Les boucles de fil peuvent ˆetre enroul´ees autour d’un noyau ferromagn´etique de perm´eabilit´e µ= µref fµo. Selon la loi de l’induction, le flux magn´etique Ψ passant au travers les boucles augmente par un facteur ´egal `aµref f. Aux fr´equences radio, on recommande de consid´erer que la perm´eabilit´e relative effective vaut environ 40%

de la perm´eabilit´e relative du mat´eriau, mais ce pourcentage change en fonction de la fr´equence et de la forme du noyau.

Rriboucle,noyau,n tours = 320n²µ²_{ref f}π⁴

!A λ²

"2

. (5.39)

Un petite boucle pr´esente aussi une r´eactance inductive Xa = ωLa inh´erente `a sa construction et une r´esistance de pertes ohmiquesRohm. Pour une petite boucle circulaire de rayonra avec fil de rayon ao, on a :

o`uℓ<sub>tot</sub> = 2nπr<sub>a</sub> est la longueur des boucles de fil et R<sub>s</sub> est la r´esistance surfacique du fil conducteur. En pratique, une capacit´e variable plac´ee en parall`ele avec les boucles, sert `a syntoniser le circuit `a la fr´equence d’op´eration.

Exemple 5.3

On d´esire capter une station AM ´emettant sur la bande de 1 MHz `a partir d’une boucle circulaire poss`ede un rayon dera = 30 cm (10⁻³λ). Le fil utilis´e est en cuivre (σ = 5.8×10⁷ S/m) de calibreao= 3 mm(10⁻⁵λ).

# D´eterminez l’imp´edance d’entr´ee ¯Za de l’antenne boucle d’un seul tour sans noyau

La partie r´eelle de ¯Za est constitu´ee de deux parties Rri et Rohm. Pour cette derni`ere, il faut d’abord d´eterminerRs :

Rs =

A partir de (5.38) et de (5.41), on obtient :` Rri = 320π⁴1

π(10⁻³)²22

= 0.308×10⁻⁶Ω R_ohm = 10⁻³

10⁻⁵(2.63×10⁻⁴) = 0.0263Ω . Quant `a la partie r´eactive inductive, elle vaut selon (5.40) :

X_a = (2π×10⁶)(4π×10⁻⁷)(0.3): ln:

8×10⁻³ 10⁻⁵

;−2;

= (2.369)(ln(800)−2) = 11.1Ω.

Ainsi ¯Zaboucle,air,1tour = (0.0263 +j11.1)Ω avec une efficacit´e de rayonnement mis´erable proche de εr ≈0.001%.

#R´ep´etez si l’antenne est constitu´ee den= 50 tours sur un ferrite de perm´eabilit´e relative effective µref f = 160.

Selon (5.39), la r´esistance de rayonnement se calcule `a partir de celle obtenue pour un tour sans noyau et vaut maintenant :

Rri = (50)²(160)²(0.308×10⁻⁶) = 19.7Ω .

Par contre, la r´esistance de pertes ohmiques a aussi augment´e par un facteur n puisque le fil est maintenant 50 fois plus long :

Rohm = (50)(0.0263) = 1.32Ω . La r´eactance inductive atteint :

Xa = (50)²(160)(11.1) = 4.44×10⁶Ω.

Ainsi ¯Zaboucle,noyau,50tours = (21.02 +j4.44× 10⁶)Ω. Cette fois, l’efficacit´e de rayonnement est bien meilleur avecεr= 93.7%. On voit bien par cet exemple, le comportement d´elicat des antennes boucles qui exige plus de pr´ecautions lors de la conception.

Lorsque la boucle devient de plus en plus grande, il faut consid´erer une distribution du courant autre qu’uniforme. En fait, le courant est maximal `a l’extr´emit´e oppos´ee de l’entr´ee et suit une distribution quasi-sinuso¨ıdale, un peu comme pour les dipˆoles

´electriques relativement longs. Une analyse plus pouss´ee montrerait que la distribution devient un peu plus complexe comme dans le prochain exemple.

5.5 Autres formes de dipˆole ! 5-77 Exemple 5.4

2 4

3 1

z

x λ/4 y

λ/4

Figure 5.15 – G´eom´etrie de l’antenne boucle carr´eeλ/4.

Soit une boucle carr´ee dont les cˆot´es mesurent exactementλ/4 plac´ee dans le plan xy comme sur la figure ci-dessus. Cette antenne est aussi connue sous le nom d’antenne cadre carr´e (cas particulier de l’antenne cadre rectangulaire, comme le dipˆole repli´e). On assume une distribution du courant fid`ele `a la th´eorie des lignes de transmission.

# Exprimez le champ ´electrique dans le planxz.

Il s’agit d’un probl`eme tr`es difficile. Il faut commencer par d´ecrire les courants sur chacune des 4 branches de l’antenne. Le maximum du courant d’amplitude Io se situe au niveau du court-circuit soit en plein centre de la branche #3.

Cette amplitude d´ecroˆıt comme un cosinus atteignant I_o/√

2 aux jonctions des branches #3-2 et #3-4 ; et passant par z´ero au milieu des branches #2 et #4. De l`a, l’amplitude du courant augmente de mani`ere sym´etrique. En consid´erant la direction du courant et le changement de phase au passage par z´ero :

¯I₁ = ¯I₃ = I_ocos(βy^′)a_y I¯₂ =−I¯₄ = Iosin(βx^′)ax .

La figure 5.16 illustre la distribution du courant sur l’antenne ; on peut y

Iin=−Io

Io

I(x^′, y^′) Io/√

2

−Io/√ 2 x

y

Figure 5.16 – Distribution du courant sur l’antenne boucle carr´eeλ/4.

apercevoir les changements de phase qui se produisent. Ensuite, on recherche les 4 produits r^′_kcosψk, c’est l`a que ¸ca se gˆate. Pour d´eduire les angles ψk, il faut savoir qu’un cosinus repr´esente une projection. Donc<sup>5</sup>cosψk = sinθcosφ<sup>′</sup><sub>k</sub> puisqu’on ne consid`ere que les angles d’observation dans le planxz i.e. φ = 0 et que la boucle se situant dans le plan xy alors θ^′ = 90^◦. Ainsi :

Le plus difficile est pass´e. Il ne reste qu’`a int´egrer le tout pour obtenir les ¯N_x (branches 2 et 4) et ¯Ny (branches 1 et 3) :

Finalement, de (3.29) et (3.30), en prenant φ = 0 pour la conversion de rec-tangulaire `a sph´erique, on aboutit `a :

E¯θ = −jωAycosθsinφ = 0

5.5 Autres formes de dipˆole ! 5-79 Chose int´eressante, cette antenne boucle carr´ee pr´esente un lobe principal

pointant dans la directionθ = 0^◦ contrairement `a son homologue de dimension

´electriquement petite, le dipˆole magn´etique, qui pr´esente un lobe principal `a θ = 90<sup>◦</sup>. La largeur du lobe `a 3 dB dans le plan xz est de 180^◦, c’est-`a-dire queF_aboucle carr´ee λ/4(θ=±90^◦,φ = 0) = 0.707.

Dans le plan yz (φ = 90^◦), la fonction caract´eristique n’est pas identique car la sym´etrie est bris´ee par la distribution non-sym´etrique du courant en tenant compte de la phase. La composante ¯Nx produite par les branches 2 et 4 est nulle `a cause de la distribution sinuso¨ıdale du courant sur ces branches. Par contre, la d´etermination de ¯Ny se complique (r₁^′ cosψ1 = r₃^′ cosψ3 = y^′sinθ) mais donne pratiquement ¯Nθ ≈cosθ.

La directivit´e de l’antenne boucleλ/4 atteint alors D= 2 avec une r´esistance de rayonnement Rrboucle carr´ee λ/4 = 125Ω.