5.2.1 Guidage métallique : effet de l’épaisseur
Dans ce paragraphe nous allons étudier comment dans un guide double métal le mode peut être guidé par la seule géométrie du métal supérieur. Pour caractériser cet effet nous étudierons un guide métal-métal où le mé-tal supérieur s’arrête brusquement, la région active n’étant pas interrom-pue. Nous verrons que cela engendre une réflectivité que nous nomme-rons “réflectivité induite par le métal” (cf fig. 5.1) . Celle-ci s’explique par un mismatch entre le mode fortement confiné du guide métal métal, et le mode étendu dans la région verticale métal / région active / air. Plus le mode métal métal va être confiné, c’est à dire plus l’épaisseur de la région active est faible plus cette réflectivité induite sera importante.
Ce type d’effet souvent rencontré pour les micro-ondes [80], a aussi été utilisé pour créer des structures photoniques pour les lasers à cascade quantique dans le THz, par exemple pour obtenir des réseaux du second ordre [81,82] mais aussi des micro-cavités lasers qui seront décrites dans le prochain chapitre, ainsi que des cristaux photoniques qui feront l’objet des deux derniers chapitres.
FIG. 5.1: . Schéma de principe de la réflectivité induite par la géomé-trie du métal.
Facteur de qualité Q
Avant de montrer comment on peut calculer cette réflectivité induite, nous allons rappeler brièvement quelques formules utiles concernant le facteur de qualité Q.
Le facteur de qualité Q est défini comme étant deux pi multiplié par le rapport entre la moyenne temporelle de l’énergie stockée dans le mode de la cavité par l’énergie perdue par cycle.
Q = 2π énergie stockée
énergie perdue par cycle Q = ω énergie stockée
puissance perdue
(5.1)
On peut montrer [83] que le facteur de qualité d’un résonateur est donné par :
Q = f
∆f (5.2)
Où f est la fréquence de résonance et ∆f est la largeur à mi-hauteur de la résonance. On peut aussi écrire le facteur de qualité en fonction d’une fréquence complexe :
Q = Re(f )
2Im(f ) (5.3)
Il est parfois utile de faire la conversion entre le facteur de qualité et les pertes par unité de longueur, le lien se faisant par :
α = 2πnef f
λQ (5.4)
Réflectivité induite par le métal
Afin d’estimer la réflectivité induite par le métal, nous avons déterminé numériquement le facteur de qualité d’une cavité linéaire, composé d’un guide double métal, et dont une extrémité est un miroir parfait (définit en utilisant un métal parfait), et de l’autre coté la cavité est définie seulement par le métal supérieur s’arrêtant (cf schéma 5.2). Tout les matériaux uti-lisés pour cette simulation ne contiennent pas de pertes. La cavité est entourée d’un bord absorbant (PML perfectly matched layers). Les PMLs servent à assurer que chaque “photon” qui sortira de la cavité définie uni-quement par le métal, sera absorbé. En définissant ainsi cette cavité, le facteur de qualité est limité uniquement par la réflectivité induite par le métal. 1 23456789ABCD EF3633 46789D BEBB 9
FIG. 5.2: . Schéma de la cavité utilisée pour calculer la réflectivité induite par le métal. La cavité est de longueur L, et les réflectivités sont données par R = 1 à gauche, et à droite par la réflectivité induite Ri.
Les pertes totale d’une cavité ainsi définie sont (les pertes totales sont égales aux seules pertes des miroirs, car les matériaux sont supposés sans pertes) :
αtot = − 1
2Lln(Ri∗ 1) (5.5)
où L est la longueur de la cavité, Ri la réflectivité induite (en énergie), et 1 correspond à la réflectivité du miroir parfait (à gauche dans la figure 5.2). Cette équation peut se réécrire en fonction du facteur de qualité (en utilisant l’équation5.4)
− ln(Ri) = 4π L nef f
λ Q (5.6)
Le facteur de qualité de cette cavité a été obtenu en utilisant une si-mulation FDTD (Finite Difference Time Domain) en utilisant le programme
libre Meep [84] (MIT Electromagnetic Equation Propagation). La réflecti-vité induite peut alors être obtenue en fonction du facteur de qualité ainsi calculé en utilisant la relation suivante :
Ri = exp− 4πnc Qef fLf (5.7)
Où nef f est l’indice effectif du mode, f sa fréquence, L la longueur de la cavité et c la célérité de la lumière.
On peut comparer la valeur de la réflectivité induite ainsi calculée à celle obtenue de manière plus simple, en utilisant les indices effectifs du mode métal métal et du mode métal / région active / air. L’indice effectif du guide métal métal est de 3.6 et celui du mode métal / région active /air peut être calculé facilement en utilisant les matrices de transfert (cf. chapitre 3). La réflectivité (en énergie) calculée en utilisant les indices effectifs est alors donnée par :
Rindice ef f ectif = 3.6 − nef f,M RA
3.6 + nef f,M RA
2
(5.8) où nef f,M RAest l’indice effectif du guide métal / région active / air. La valeur maximale de la réflectivité calculée en utilisant les indices effectifs est alors R = (3.6 − 1)2/(3.6 + 1)2 = 0.32
La figure5.3présente la réflectivité induite calculée en utilisant la géo-métrie définie dans la figure5.2ainsi que la réflectivité simplifiée obtenue en utilisant les indices effectifs. Les deux courbes ne se superposent pas, ainsi la réflectivité induite ne peut pas être calculée en simplifiant la struc-ture par les indices effectifs correspondant. Cela provient du mismatch entre les modes qui ne peut pas être décrit en utilisant les indices effectifs. Plus la structure va être fine, plus cette réflectivité induite par la géo-métrie du métal va être grande. Elle dépasse même la valeur maximale obtenue en utilisant les indices effectifs pour des épaisseurs inférieur à 7 µm (pour une longueur d’onde de 111 µm). C’est à dire qu’en deçà de cette épaisseur, il n’est plus possible d’obtenir une telle réflectivité pour un interface entre du GaAs massif et un autre diélectrique.
Nous verrons dans le prochain chapitre que la réflectivité induite peut être utilisée pour des microdisques laser. Pour cela nous utiliserons des structures fines qui permettent d’avoir une réflectivité induite importante.
La réflectivité induite peut aussi servir de brique de base pour construire des structures photoniques (cf chapitres 7 et 8). L’effet étant plus impor-tant pour les structures fines, nous verrons dans le prochain paragraphe comment Michaël Bahriz a montré qu’elle peut engendrer un gap complet dans des structures photoniques.
4 5 6 7 8 9 10 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Réflectivité Epaisseur (µm) R indice effectif R calculé λ = 111 µm
FIG. 5.3: Réflectivité induite par le métal. La courbe en pointillée correspond à la valeur obtenue en utilisant les indices effectifs dont la valeur maximale est 0.32. Pour cette simulation la longueur d’onde utilisée est de 111 µm.
5.2.2 Gap photonique, effet de l’épaisseur
Dans ce paragraphe nous discuterons brièvement de l’utilisation que peut apporter la réflectivité induite par le métal pour la création de gap photonique complet. Ce travail a été effectué par Michaël Bahriz et colla-borateurs [79,63].
Le but est de montrer qu’il est possible d’obtenir un gap photonique complet, en utilisant un cristal photonique défini uniquement par le métal, c’est à dire en utilisant la réflectivité induite comme mécanisme de cou-plage. Un gap photonique se définit comme étant une plage spectrale ca-ractérisée par l’absence de modes propagatifs. Une structure photonique ayant un gap, sera donc un très bon miroir pour les fréquences apparte-nant au gap. Une utilisation simple de gap photonique peut être de s’en servir comme miroir, par exemple pour obtenir une facette d’un laser ayant une réflectivité proche de l’unité [85]. Plus généralement les gaps pho-toniques sont utilisés pour créer des modes de défauts. Ces modes de défauts sont des modes très fortement localisée spatialement [86].
Pour les lasers à cascade quantique, qui sont polarisés TM, la pré-vision théorique du gap en utilisant un réseau trigonal de pilier a aussi
été démontré expérimentalement [87]. Le fait que les lasers à cascade soient pompés électriquement complique beaucoup la fabrication de ces dispositifs en salle blanche. Une solution élégante pour obtenir un tel gap photonique, est d’utiliser un réseau nid d’abeille (honey comb) comme sur la figure 5.4 [88]. Ce réseau peut être vu comme la version connexe du réseau trigonal de pilier.
FIG. 5.4: . Schéma du réseau nid d’abeille (cette figure est extraite de la thèse de Michaël Bahriz [63]). La structure est utilisée dans un guide double métal, et le cristal photonique est défini seulement par la géométrie du métal supérieur.
En guide double métal, la structure de bande photonique du réseau nid d’abeille définit par la seule géométrie du métal est présentée dans la fi-gure5.5. Lorsque l’on va réduire l’épaisseur de la région active, les bandes vont se séparer de plus en plus (signature d’un couplage de plus en plus fort), et un gap photonique va apparaître pour une épaisseur inférieure à 5 µm (la longueur d’onde est de 100 µm) [79].