Mode pulling

Comme on l’a vu dans la figure 8.8, l’émission laser est accordable avec la période du cristal photonique. Quand on trace cette même figure, mais en fréquence réduite (= a/λ), on s’attend à ce que toutes les fré-quences se superposent avec la valeur a/λ = 0.33 du bord de bande au point Γ. Expérimentalement, on observe une petite déviation en fonction de la période du cristal photonique (cf fig8.13.)

Cette déviation pourrait être expliquée par le fait que la loi d’échelle n’est pas exacte dans nos échantillon : le ratio rayon des trous par la période du cristal photonique est certes fixe, mais l’épaisseur de la ré-gion active est fixe, et ainsi le ratio de l’épaisseur sur la période n’est plus

ϕ

1 231 31

123

241 251 231 1 31 51 41 61 261 241 251 231 1 31 51 41 61 261 1 231 31 241 251 231 1 31 51 41 61 261 241 251 231 1 31 51 41 61 261 1 231 31 241 251 231 1 31 51 41 61 261

143

153

163 ₁₇₃

FIG. 8.12: Champs lointains pour les CPs-ABC, pour différentes positions de la microsoudure. Les schémas à côté des figures pré-sentent la position des micro-soudures. Le panneau (a) correspond à un dispositif où la microsoudure est faite dans un coin du CP. Lorsque l’on enlève la micro-soudure, c’est à dire que le fil est retiré, mais laisse une trace sur le PC, et re-soudé au centre (panneau (b)), le champ lointain n’est pas modifié. Nous avons aussi vérifié qu’il n’y a pas d’émission pour des grands angles, en faisant un scan à basse résolution. Le carré indique où la haute résolution a été utili-sée. Lorsque le dispositif est bondé uniquement dans le centre (pan-neau (c)), le profil de champ lointain devient plus symétrique. Pour un dispositif bondé dans un coin (panneau (d)) si on ajoute 5 autres microsoudures dans les autres coin (panneau (e)), le champ lointain reste directionnelle mais perd sa symétrie.

123456789 123A5B789 12365C789 123D5A789 123A5E789 12345F789 123B5D789 12365789

E53A E534 E536 E533E E533 E533A

7     1 7     7 1 5 5  91 7! " #$71%λ

FIG. 8.13: Spectres laser, en fonction de la fréquence normalisée a/λ pour les huit CPs-ABC de périodes différentes. La largeur des pics laser correspond à la résolution du spectromètre à transformée de Fourier, c’est à dire 0.125 cm−1. (Les spectres sont les mêmes que ceux présentés dans la figure8.8(b).)

constant. Cependant, les simulations montrent que cet effet est trop petit pour expliquer la déviation observée expérimentalement.

Nous attribuons cette déviation à un effet de mode pulling. Dans une cavité ayant une fréquence de résonance fcav, si on “ajoute” du gain centré à la fréquence fgain, la fréquence d’émission laser ne sera ni fcav ni fgain, mais une valeur entre les deux. Cela s’explique de manière intuitive par le fait que l’ “ajout” du gain, n’a pas un effet uniquement sur la partie imagi-naire de l’indice optique, mais va aussi modifier la partie réelle de l’indice et ainsi déplacer la résonance de la cavité [49].

Susceptibilité et indice optique

Pour comprendre plus précisément cet effet, il faut commencer par sé-parer dans l’indice la partie provenant du matériau “nu”, et celle provenant du gain. L’indice optique s’écrit

n² = 1 + χ (8.2)

La susceptibilité χ peut être décomposée en :

χ = χmat+ χgain (8.3)

où χmat correspond au matériau, et χgain correspond à la variation de la susceptibilité dûe au gain. Généralement l’effet du gain sur l’indice est

faible, ainsi :

χ_gain ≪ 1 ^(8.4)

En faisant un développement limité au premier ordre en χgain on trouve que n = n0  1 + ^χgain 2n2 0  (8.5) avec n0 =√

1 + χmat est l’indice optique sans gain.

Décomposons χgain et n0 en partie réelle et imaginaire (les notations sont les mêmes que celles utilisées dans le livre de A. Yariv [49]) :

χgain = χ^′− iχ^{′′ (8.6)}

n0 = n^′₀+ in^′′₀ (8.7)

Pour alléger les notations, χ ne représente plus que la partie corres-pondant au gain. Les signes sont différents car la partie imaginaire de l’indice du matériau correspond à des pertes, et la partie imaginaire de la susceptibilité à du gain.

Cavité

Dans une cavité la fréquence de résonance est donnée par [131] : ν = ^ν

empty cav

Re(n) (8.8)

où νempty

cav est la fréquence de résonance pour une cavité d’indice optique égal à 1. Cette relation est évidente pour une cavité linéaire, mais reste valable pour des cavités plus complexes.

Ainsi la fréquence de résonance de la cavité (sans gain) est : νcav = ^ν empty cav n′ 0 (8.9) En présence de gain, la fréquence de résonance est :

ν = ^ν empty cav n′ 0(1 + χ′/(2n′2 0)) (8.10)

Pour obtenir cette expression, nous avons utilisé l’équation8.8et fait que n′

0 ≫ n′′ 0.

On trouve alors que la fréquence laser est donnée par l’équation :  1 + ^χ ′ 2n′2 0  ν = ν_cav (8.11)

Cette équation est l’équation maîtresse du mode pulling et est identique à celle donnée dans le livre de A. Yariv [49]. Nous allons maintenant explici-ter le lien entre la partie réelle et imaginaire de la suceptibilité.

Lien entre χ′ et χ′′pour un élargissement homogène

Si la largeur du gain est donnée par un élargissement homogène, le lien entre la partie réelle et la partie imaginaire de la susceptibilité s’écrit [49] :

χ^′(ν) = 2^ν0− ν

∆ν ^χ

′′(ν) (8.12)

où ν0 représente la fréquence centrale du gain, et ∆ν sa largeur à mi hauteur. Le gain étant proportionnel à :

γ(ν) ∝ ¹

1 +^ν−ν0_∆ν/2^2

(8.13)

Gain et pertes

Dans l’équation 8.5, on va séparer la partie imaginaire qui provient du gain, et celle du matériau, pour distinguer les pertes du mode du gain.

Le gain dans la structure est défini par : γ(ν) = ^4πIm(n)

λ ⁼

4πν

c ^Im(n) (8.14)

c’est à dire en utilisant l’équation8.5: γ(ν) = −^4πνn0χ ′′(ν) 2cn2 0 = −^2πν_cn 0 χ^′′(ν) (8.15)

Lorsque le dispositif lase, le gain est égal au pertes totales (αtot) :

gain = α_tot (8.16)

Les deux termes étant exprimés en cm−1. Dans le cas d’une cavité linéaire, donner les pertes par l’inverse d’une longueur à un sens, mais dans le cas de cavité plus complexe, généralement les pertes sont données en fonction du facteur de qualité Q. Les pertes par unité de longueur et le facteur de qualité Q sont reliés par :

Q = ^{2π ν n0} c αtot

(8.17) Ainsi l’équation “gain = pertes” se réécrit en fonction de8.15et8.17:

χ^′′(ν) = −ⁿ

2 0

Mode pulling

Ainsi en utilisant les équations 8.11, 8.12 et 8.18 la fréquence laser sera donnée par la solution de l’équation :



1 − ^{ν0− ν} Q ∆ν



ν = ν_cav (8.19)

En introduisant la largeur à mi hauteur ∆νcav = ν/Q de la résonance optique, cette expression peut se réécrire sous une forme plus simple :

ν − νcav

∆νcav

= ^ν0− ν

∆ν (8.20)

C’est sous cette forme, en 1955, qu’est apparu la première fois la for-mule du mode pulling [132]. Elle avait été établie pour la fréquence d’émis-sion maser. Cette formule montre que la fréquence d’émisd’émis-sion sera plus proche de la résonance la plus étroite. Dans les cas des lasers à semi-conducteur, à l’inverse des masers, la résonance plus étroite est généra-lement celle de cavité. Ainsi la fréquence laser sera proche de la fréquence de résonance de la cavité. Il est important de rappeler que cette formule a été établie pour un élargissement homogène du gain.

Élargissement inhomogène

Dans le cas d’un élargissement inhomogène, les calculs sont beau-coup plus complexes [133], et nécessitent de connaître des paramètres supplémentaires (spécificité de l’élargissement inhomogène). Les pertes définissent la partie imaginaire de la susceptibilité via l’équation “gain = pertes”. Or dans l’équation maîtresse du mode pulling (eq. 8.11 ), c’est la partie réelle de la susceptibilité qui intervient. Celle-ci peut se calculer à partir de la partie imaginaire en utilisant la relation de Kramers Kronig, mais fait intervenir des calculs lourds.

Mode pulling dans les lasers à cascade

Dans les lasers à cascade quantique, le mode pulling a été utilisé plu-sieurs fois pour expliquer la fréquence d’émission [134,93, 95]. Dans ces articles, le gain maximal changeait légèrement de fréquence à cause du décalage de Stark (Stark shift : l’énergie de la transition optique varie avec la tension appliquée), et la fréquence de la cavité était fixe. Dans notre cas la situation est différente : le Stark shift n’a pas d’effet mesurable sur la fré-quence d’émission laser (le Stark shift dépend de la région active, et n’a

pas d’effet notable pour celle que nous utilisons), de plus les différentes mesures ont été effectuées approximativement pour la même tension. Le gain est alors fixe, mais nous disposons d’un ensemble de cavités légère-ment différentes, ainsi nous pouvons étudier le système en fonction de la fréquence de résonance de la cavité.

Pour un laser la largeur de résonance de la cavité est généralement plus étroite que la largeur du gain, ainsi la fréquence d’émission laser sera plus proche de la fréquence de cavité nue. On peut alors donner une valeur explicite de la fréquence d’émission laser, en utilisant l’équation 8.19:

ν ≈ νcav − (νcav − ν0) ^νcav

Q∆ν (8.21)

Cette relation s’obtient en notant que ν est proche de νcav et Q∆ν ≫ ν Dans le développement précédent nous avons utilisé la fréquence de résonance de la cavité nue, ainsi que la fréquence d’émission laser. Pour les résultats expérimentaux étudiées, la fréquence de résonance de la cavité sera remplacé par la position du bord de bande en énergie réduite u (u = a/λcav, a est la période du cristal photonique), et la fréquence laser par la fréquence d’émission laser en énergie réduite a

λ

laser : νcav → u = a/λcav

ν →^a λ  laser ν0 → ν0 (8.22)

c’est à dire que l’on va convertir les unités de la façon suivante : ν_cav = ^c a^u ν = ^c a a λ  laser (8.23) En utilisant ces changements dans l’équation8.21on obtient :

a λ  laser = u  1 + ^ν0 Q∆ν  − ¹ a u2c Q∆ν (8.24)

La signature de l’effet du mode pulling sera alors une variation linéaire de la variation de la fréquence d’émission en énergie réduite en fonction de 1/a. La figure 8.14 montre que c’est effectivement le cas, et à partir d’une régression linéaire des points expérimentaux, nous trouvons que :

u  1 + ^ν0 Q∆ν  = 0.380 ± 0.005 ^(8.25)

123 143 153 163 37812 37815 37883 37881 37889 A B C DE F    A D       AA F  λ  FAE

FIG. 8.14: Fréquence d’émission laser (en énergie réduite en fonc-tion de 1/a obtenues à partir de la figure8.13. Les barres d’erreur correspondent à la largeur des pics lasers (limitée par la résolution du spectromètre).

et

u2c

Q∆ν = 1.82 ± 0.18 µm ^(8.26)

En utilisant la forme de la luminescence (cf fig. 8.9), on peut extraire la fréquence centrale ν0 = 2.718 THz, ainsi que la largeur à mi-hauteur ∆ν = 0.402 THz. À partir des paramètres de la régression linéaire (cf eq. 8.25et8.26), on peut alors calculer l’énergie réduite du bord de bande u, ainsi que le facteur de qualité Q :

u = 0.33 ± 0.01 ^(8.27)

Q = 45 ± 8 ^(8.28)

La valeur du facteur de qualité est comparable à celle obtenue pour des micro-disques dans les références [95,93].

8.2.8 Conclusion

Nous avons démontré que les caractéristiques d’émission (LIV, spectres, champ lointain) dépendent fortement des conditions aux bords. Seulement en utilisant le bord absorbant, le laser a les caractéristiques d’un laser CP en bord de bande. Ainsi pour la suite de l’étude des CPs, nous utiliserons uniquement les dispositifs avec le bord absorbant.

Les CPs étudiés jusqu’ici fonctionnent jusqu’à 62 K en mode pulsé (cf fig. 8.15), et 44 K en continue. En pulsé, la Tmax est seulement de 15 K plus faible que la Tmax en guide ruban. Pour augmenter la température

1 21 311 321 411 421 1 3 4 5 6 2 7

Dans le document Photonique pour les lasers à cascade quantique térahertz (Page 176-184)