Utilisation du critère énergétique dans le cadre d’un modèle éléments finis

6.4.1 Une première validation de l’approche énergétique sur un modèle 2D axisymétrique La finalité de la méthode numérique établie à partir du critère énergétique est de permettre d’évaluer au mieux les souplesses des pièces composites. Néanmoins, la conception de ce modèle numérique est effectuée par étapes, avec une validation sur des cas 2D axisymétriques avant un passage en 3D répondant aux spécificités des matériaux composites. Nous présentons dans ce paragraphe des résultats numériques du modèle axisymétrique pour un matériau métallique. Ces résultats sont comparés aux résultats analytiques et permettent de valider cette approche énergétique (Tableau 29 et Figure 78).

Dp (mm) ^{21 24 28 32 36 40 44 48} p EF (mm/N) (x10-7) 5.28 4.16 3.97 3.92 3.90 3.86 3.82 3.71 b EF (mm/N) (x10-6) 2.44 2.45 2.45 2.45 2.45 2.46 2.46 2.46 _{p Cobra} (mm/N) (x10-7) 5.47 4.37 4.07 4.07 4.07 4.07 3.97 3.97

Tableau 29 – Résultats des souplesses pour l’aluminium : modèle EF axisymétrique 2D et modèle analytique d’après COBRA V6.

Figure 78 – Résultats analytiques et numériques des souplesses des pièces pour l’aluminium.

La Figure 78 illustre les résultats des souplesses des pièces pour un matériau métallique. Deux courbes sont représentées sur ce graphique, l’une concerne les valeurs obtenues d’après les calculs analytiques établis sous COBRA V6, l’autre découle des valeurs obtenues d’après le modèle éléments finis

Romain HAMONOU – Institut de Recherche en Génie Civil et Mécanique – Ecole Centrale de Nantes 117 axisymétrique. Les valeurs des souplesses calculées à partir de l’approche énergétique sont cohérentes d’après ce graphique avec les calculs analytiques. La zone de compression évolue en fonction du diamètre extérieur des pièces Nous obtenons logiquement des souplesses plus grandes pour des petits diamètres de pièces car cette zone de compression est tronquée.

Figure 79 – Souplesses du boulon pour différents diamètres de pièces en aluminium d’après le modèle EF 2D ( . Comme nous l’avons mentionné dans le paragraphe 6.3, le critère énergétique peut également servir à calculer la souplesse du boulon. La Figure 79 est le complémentaire de la Figure 78 du point de vue de la liaison boulonnée. Les valeurs obtenues sont autour de 2,45.10-6 mm/N. La variation autour de cette valeur n’excède pas 1 %. Nous pouvons, afin de vérifier cette valeur, apprécier analytiquement la souplesse du boulon en appliquant la formule suivante ⁄ avec la longueur serrée, le module de Young et la section au niveau du fut. L’application numérique est effectuée pour les mêmes paramètres du boulon que ceux intégrés dans modèle EF. Nous avons Lp = 12 mm, E = 2,10.105 MPa et S = 28,27 mm². Ce calcul nous donne une souplesse du boulon de 2,02.10-6 mm/N. Un écart de 17 % entre le résultat du modèle EF et celui de cette approximation analytique est observé (Figure 79).

Ces différents résultats confirment le potentiel de cette approche énergétique pour calculer précisément la souplesse des différents éléments d’un assemblage boulonné. Pour cette raison, nous allons dans le prochain paragraphe étendre ce modèle à des problématiques 3D afin d’inclure l’orthotropie des stratifiés.

Romain HAMONOU – Institut de Recherche en Génie Civil et Mécanique – Ecole Centrale de Nantes 118 6.4.2 Identification numérique des souplesses des pièces composites

Les simulations sont effectuées dans le domaine élastique linéaire des matériaux et vont être par la suite comparées aux résultats analytiques issus de COBRA V6. Comme précédemment, les calculs des souplesses des pièces sont effectués à l’aide du logiciel de calcul éléments finis Cast3M à partir de l’équivalence énergétique proposée dans le paragraphe 6.3. La Figure 80 présente la géométrie et les conditions aux limites. Concernant les conditions aux limites du modèle, une pression de 50 MPa est imposée sur le disque supérieur de la pièce dont le diamètre d’appui vaut 21 mm. Le disque symétrique situé sur la surface opposée est quant à lui simplement appuyé. L’iso-valeur zéro de l’énergie de déformation volumique réduite à sa composante hors plan ( 33 33 33

1 2 D

E    ) pour définir le volume d’intérêt V_r qui est présenté sur la Figure 81. Dans le cas considéré, il n’y a pas de différence entre utiliser l’énergie de déformation ou l’énergie réduite à sa composante 33 33 33

1 2 D

E    . La souplesse  est déterminée à partir du calcul élément finis et de la formule ci-dessous :

^∫ (6.10)

Figure 80 – (a) Géométrie et C.L., (b) champ de déplacement Uzz et (c) répartition des contraintes σzz.

Figure 81 – (a) Géométrie initiale et (b) réduction de la zone d'intérêt à partir du critère énergétique. 6.4.3 Résultats des souplesses obtenues pour l’aluminium 7075T6

Nous présentons ci-dessous l’évolution de la souplesse d’une rondelle en aluminium d’une épaisseur de 12 mm dont on fait varier le diamètre extérieur afin de comparer les résultats issus des calculs éléments finis avec les solutions analytiques programmées dans COBRA V6. Pour l’utilisation de COBRA V6 et de la formulation analytique VDI 2230, nous utilisons des douilles de part et d’autres de l’assemblage de

(a) (b)

Romain HAMONOU – Institut de Recherche en Génie Civil et Mécanique – Ecole Centrale de Nantes 119 manière à faire coïncider le début du cône de pression réel avec le bord des éprouvettes. Ces premiers résultats analytiques à partir d’un matériau métallique et du modèle EF 3D vont servir à valider le dispositif expérimental ainsi que la robustesse du critère énergétique dans le cadre des éléments finis. Les résultats des calculs analytiques (COBRA V6) et éléments finis (Cast3M) sont indiqués dans le Tableau 30 et le Tableau 31. La Figure 82 présente l’évolution des souplesses des pièces en fonction du diamètre extérieur. Une décroissance des valeurs des souplesses est constatée en fonction de l’augmentation du diamètre extérieur des pièces jusqu’à l’obtention d’une valeur seuil initiant le début d’un palier. La troncature du cône de pression pour les diamètres extérieurs en dessous de 32 mm explique ce changement de comportement. Dp (mm) ^{21 24 28 32 36 40 44 48} Souplesse δ (mm/N) (x10-7) ^{5.47 4.37 4.07 4.07 4.07 4.07 3.97 3.97} Configurations

Tableau 30 - Résultats COBRA V6 – Aluminium 7075T6 Ep 12 mm - E3 = 69000 MPa.

Dp (mm) ^{21 24 28 32 36 40 44 48} Souplesse δ (mm/N) (x10-7) ^{5.25 4.43 4.23 4.15 4.03 3.97 3.93 3.91} Contraintes

Tableau 31 - Résultats Cast3M – Aluminium 7075T6 Ep 12 mm - E3 = 69000 MPa.

Nous remarquons également une évolution plus progressive des souplesses provenant du modèle EF Cast3M. La définition du modèle et de la zone d’intérêt explique notamment ce résultat. La représentation moins fine de la zone de compression à partir de COBRA V6 est visible principalement pour les souplesses obtenues pour des diamètres supérieurs à 28 mm. Enfin, plus globalement, nous constatons une très bonne correspondance des résultats entre COBRA V6 et ceux provenant du critère énergétique implémenté sous Cast3M pour ce matériau, l’aluminium 7075T6. Cette première étude permet de valider le critère énergétique proposé pour un cas 3D et par conséquent, nous allons appliquer cette méthodologie aux matériaux composites.

Romain HAMONOU – Institut de Recherche en Génie Civil et Mécanique – Ecole Centrale de Nantes 120 Figure 82 - Résultats des calculs analytiques obtenus à partir du logiciel COBRA V6 et des

simulations EF effectuées sous Cast3M pour des pièces en Aluminium 7075T6 d’une épaisseur de 12 mm - E3 = 69000 MPa.

Néanmoins, le calcul des souplesses obtenues sous COBRA V6 se base sur le modèle analytique de la VDI 2230. Cette formulation utilise pour évaluer les souplesses des pièces un angle limite phi qui sert à borner la zone d’intérêt. Pour rappel, dans le cadre d’un assemblage boulonné, cet angle est obtenu à partir de la formule suivante (voir paragraphe 2.6.5) :

( ) ( ) (6.11)

Cette formule empirique reste approximative dans le cas des composites orthotropes puisqu’elle intègre a priori uniquement des critères géométriques adaptés aux matériaux isotropes. Dès lors, les valeurs des souplesses calculées à partir de ce modèle restent discutables, notamment pour les composites.

Romain HAMONOU – Institut de Recherche en Génie Civil et Mécanique – Ecole Centrale de Nantes 121 L’évolution de cet angle est observable sur la Figure 83 et les valeurs sont indiquées dans le Tableau 32 pour la configuration précédemment présentée.

Dp (mm) 21 24 28 32 36 40 44 48

ϕ (°) 17.84 18.89 20.1 21.12 22.02 22.8 23.51 24.15 Tableau 32 – Valeurs de l’angle ϕ obtenues pour Lp = 12 mm et Da = 21 mm pour l’aluminium. 6.4.4 Résultats des souplesses obtenues pour le stratifié T700/PA66

6.4.4.1 Résultats des calculs sous COBRA V6

Compte tenu des résultats présentés dans le paragraphe 6.4.3, nous proposons d’appliquer cette méthodologie au stratifié thermoplastique orthotrope T700/PA66. Nous rappelons que les paramètres matériaux utilisés pour calculer les souplesses des pièces sous COBRA V6 intègre seulement le module hors plan E3. Les souplesses relatives au matériau T700/PA66 calculées à partir de COBRA V6 sont présentées dans le Tableau 33 et le Tableau 34.

Dp (mm) 21 24 28 32 36 40 44 48 Souplesse composite seul (mm/N) (x10-6) 4.44 3.85 3.85 3.84 3.84 3.84 3.84 3.84 Configurations

Tableau 33 - Calculs COBRA V6 - 2003 - T700/PA66 Ep 6 mm - E3 = 4248 MPa.

Ces calculs sont réalisés pour deux épaisseurs de pièces 6 et 12 mm. Ce choix géométrique permet d’inclure un nombre de plan de joint variant du simple au double. Cet aspect sera précisé lors de l’identification des souplesses et de l’approche expérimentale.

Dp (mm) ^{21 24 28 32 36 40 44 48} Souplesse  (mm/N) (x10-6) 8.88 7.17 6.77 6.76 6.75 6.74 6.73 6.73 Configurations

Tableau 34 - Calculs COBRA V6 - 2003 - T700/PA66 Ep 12 mm - E3 = 4248 MPa.

La Figure 84 indique l’évolution des souplesses en fonction du diamètre extérieur pour des pièces en T700/PA66. Deux épaisseurs sont représentées, 6 et 12 mm. Les courbes observables sur ce graphique indiquent une décroissance des valeurs des souplesses pour des diamètres extérieurs des pièces inférieurs à

Romain HAMONOU – Institut de Recherche en Génie Civil et Mécanique – Ecole Centrale de Nantes 122 28 mm. Au-delà de cette valeur, les résultats sont similaires et constituent un plateau. La troncature du cône de pression explique l’obtention de valeurs de souplesses supérieures pour des diamètres inférieurs à 28 mm. Lorsque que cette zone comprimée est pleinement incluse, nous remarquons que l’évolution des valeurs est quasi-nulle. Cette constatation est somme toute cohérente avec les équations présentées dans le paragraphe 6.4.3.

Figure 84 - Résultats des souplesses obtenus sous COBRA V6 pour le T700/PA66.

6.4.4.2 Résultats des souplesses effectués à partir du modèle EF

De la même manière que pour les calculs analytiques, nous présentons dans ce paragraphe les résultats issus des calculs éléments finis établis sous Cast3M. Afin de pouvoir comparer l’approche analytique et éléments finis, les géométries des pièces investiguées restent identiques. Les configurations géométriques des différentes simulations éléments finis sont présentées dans le Tableau 35 et le Tableau 36.

Dp (mm) ^{21 24 28 32 36 40 44 48} Souplesse  (mm/N) (x10-6) ^{4.44 3.76 3.66 3.63 3.59 3.57 3.56 3.57} Contraintes

Romain HAMONOU – Institut de Recherche en Génie Civil et Mécanique – Ecole Centrale de Nantes 123 Dp (mm) 21 24 28 32 36 40 44 48 Souplesse  (mm/N) (x10-6) 8.88 7.05 6.05 5.75 5.70 5.66 5.61 5.56 Contraintes

Tableau 36 - Calculs Cast3M - T700/PA66 Ep 12 mm - E3 = 4248 MPa.

Figure 85 - Résultats des souplesses obtenus sous Cast3M pour le stratifié T700/PA66 et des épaisseurs de 6 et 12 mm.

La Figure 85 représente l’évolution des souplesses en fonction du diamètre extérieur pour des pièces en T700/PA66. Les résultats sont obtenus à partir des simulations éléments finis. Les courbes indiquent comme précédemment, une chute brutale des valeurs des souplesses pour des diamètres extérieurs des pièces inférieurs à 28 mm. Au-delà de cette valeur seuil, la diminution des souplesses est plus progressive. La troncature du cône de pression explique une nouvelle fois cette évolution des souplesses en deux temps.