Identification numérique des propriétés élastiques du VER

5.3.1 Définition de la cellule élémentaire

Le motif géométrique élémentaire des stratifiés tissés T700/PA66 et GF/PA6 est composé de plusieurs torons de fibres enchevêtrés. Il comporte 4 torons de fibres dans le sens chaîne et 4 torons de fibres dans le sens trame (Figure 68). La première étape de ce travail consiste à retranscrire cette géométrie. Cette opération est effectuée sous le logiciel TexGen® dédié à la représentation géométrique des structures textiles. Il s’agit d’un software open source développé à l’Université de Nottingham (Lin, Brown, & Long, 2011).

Romain HAMONOU – Institut de Recherche en Génie Civil et Mécanique – Ecole Centrale de Nantes 100 5.3.2 De la géométrie vers un modèle éléments finis robuste

Une démarche directe pour modéliser le VER consiste à réaliser un modèle avec des éléments volumiques. Nous allons dans le paragraphe suivant expliquer le modèle éléments finis utilisés.

5.3.2.1 X-FEM (The Extended Finite Element Method)

La solution proposée fonctionne via une utilisation couplée et alternée des logiciels suivant :  TexGen pour définir la géométrie propre au VER des stratifiés sergés,

 Gmsh pour ce qui est de la géométrie, du maillage et du post-traitement.

 Une utilisation de la méthode X-FEM implémentée dans le code de calcul eXlibris qui est développé au sein de l’équipe Modélisations et Structures au laboratoire du GeM.

La méthode X-FEM par opposition à une approche éléments finis classique permet de s’affranchir des discontinuités des matériaux localisées à la frontière Γ située entre les torons de fibres et la matrice du VER et simplifier la procédure de maillage. Cette approche a été initialement conçue dans le cadre de la mécanique de la rupture, elle a été ensuite étendue à l’étude des trous et des inclusions par (Sukumar, 2001). La stratégie d’enrichissement proposée par (Moës, Cloirec, Cartraud, & Remacle, 2003) pour l’analyse des inclusions est appliquée à la modélisation volumique du VER.

5.3.3 Introduction à la méthode des Eléments Finis Etendus (X-FEM)

Nous considérons un problème bidimensionnel d’une inclusion circulaire composée d’un matériau A, dans une plaque carrée constituée d’un matériau B (Figure 69). L’interface entre les deux matériaux est notée Γ. Les nœuds des éléments du maillage de la plaque ne sont pas coïncidents avec l’interface Γ. Nous appelons

I l’ensemble des nœuds du maillage, et J l’ensemble des nœuds appartenant aux éléments coupés par Γ.

L’approximation éléments finis enrichie consiste à écrire l’approximation du champ de déplacement qui s’écrit sous la forme :

∑ ∑

_(5.12)

où représentent les fonctions d’approximation éléments finis classiques du nœud k, les degrés

de liberté associés, les degrés de liberté enrichis et F la fonction d’enrichissement. Nous considérons ici une interface entre deux matériaux parfaits et un déplacement continu sur l’ensemble du domaine. Cependant, le changement de matériaux implique une déformation discontinue à l’interface. Cette propriété est octroyée à en choisissant F continue et sa dérivée discontinue sur la frontière Γ. La position de l’interface Γ doit être déterminée pour définir F.

Romain HAMONOU – Institut de Recherche en Génie Civil et Mécanique – Ecole Centrale de Nantes 101 Dans cette optique, une fonction level-set est introduite pour localiser l’interface entre A et B de la sorte que :

{ } (5.13)

avec choisit positive si est à l’extérieur de Γ (matériau B), négative si est à l’intérieur de Γ et nulle si est sur Γ. Un exemple de fonction level-set définissant l’inclusion de la Figure 69 (a) est indiqué sur la Figure 69 (b). Un exemple de fonction level-set connu est la fonction distance signée à l’interface qui peut se définir comme :

‖ ‖ (5.14)

D’un point de vue numérique, est discrétisée en utilisant les fonctions de formes linéaires :

∑ (5.15)

où correspondent aux valeurs nodales de la level-set. A ce stade, la position de l’interface Γ est connue et la fonction d’enrichissement peut être définie. On peut considérer la fonction de Ridge introduite par (Moës, Cloirec, Cartraud, & Remacle, 2003).

∑ | | |∑

|

(5.16)

Figure 69 – Modélisation d’une inclusion circulaire dans une plaque carrée par la méthode X-FEM. (a) Définition des nœuds enrichis. (b) Localisation de l’interface par une fonction level-set (Lé, Legrain, & Moës, 2016).

Romain HAMONOU – Institut de Recherche en Génie Civil et Mécanique – Ecole Centrale de Nantes 102 Au final, cela permet de calculer par E.F. la solution d'un problème, avec un maillage tel que la discontinuité matérielle tombe à l'interface (Legrain, Chevaugeon, & Dréau, 2012).

Figure 70 – Représentation de l’interface en utilisant une fonction level-set. Les traits pleins noirs indiquent les arrêtes du maillage. Le trait plein bleu représente l’interface réelle. Les nœuds symbolisés par les triangles verts indiquent que et les nœuds, aux carrés bleus et au nœud représenté par le cercle

rouge. Le trait pointillé bleu indique la géométrie approchée par la level-set (Lé, Legrain, & Moës, 2016).

5.3.4 Des éléments de précisions concernant les aspects numériques

L’utilisation de level-sets, qui sert à représenter de façon implicite les interfaces, est effective via l’emploi des interpolations linéaires (Figure 70). Ainsi, la valeur de est connue pour chaque nœud du maillage i. Dès lors, l’intersection de Γ avec les arrêtes du maillage peut ensuite être calculée en utilisant l’interpolation linéaire de sur chaque élément. Cette précision implique une dépendance entre la géométrie discrétisée par l’intermédiaire d’une fonction level-set et la courbure de cette frontière Γ. Un second point à noter concerne l’intégration numérique. La dérivée de est quant à elle discontinue à l’intérieur des éléments coupés par l’interface Γ, par conséquent les quadratures classiques de Gauss ne suffisent plus pour obtenir une précision de calcul correcte. Une façon de se détourner du problème consiste à diviser en sous-cellules ces éléments coupés par Γ. Ces sous-éléments sont coïncidents avec l’interface (Figure 70). Une quadrature de Gauss appliquée aux points d’intégration de chaque sous-cellule permet l’intégration numérique du problème. Cette astuce n’apporte pas de degré de liberté supplémentaire et peut être évitée en augmentant le nombre de points d’intégration des éléments initiaux du calcul. Il est possible d’éviter ce sous-découpage en augmentant le nombre de points d’intégration des éléments de calcul, cependant l’intérêt des sous-cellules est d’associer une précision optimale avec un nombre limité de points de Gauss.

Romain HAMONOU – Institut de Recherche en Génie Civil et Mécanique – Ecole Centrale de Nantes 103