4.2 R´esultat principal
4.2.4 Unicit´e de la solution faible du probl`eme (4.1)
D’apr`es le th´eor`eme 4.2.3, on sait qu’il existe U = (u, ¯u1, ¯u2)2 H , une solution faible du probl`eme `
a coin (4.1), en particulier c’est une solution faible de l’´equation L(@)u = f . D’apr`es le th´eor`eme 4.2.4, U est une solution forte de l’´equation L(@)u = f , donc il existe (un)n2N ⇢ H1(⌦) telle que :
lim n!1kU (u n, un |x1=0, u n |x2=0)k 2 H +kL(@)un fk2L2(⌦)= 0. (4.20)
Or (un)n2N est une suite de solutions r´eguli`eres, d’apr`es la proposition 4.2.1 elle v´erifie l’estimation
d’´energie : kunk2L2(⌦)+kun|x1=0k2L2(@⌦1)+kun|x2=0k2L2(@⌦2) C ✓ 1 kL(@)unk2L2(⌦) (4.21) + kB1un|x1=0k2L2(@⌦1)+kB2un|x2=0k2L2(@⌦2) ⌘ . On peut donc ´evaluer par l’in´egalit´e triangulaire :
kuk2L2(⌦)+k¯u1k2L2(@⌦1)+k¯u2k2L2(@⌦2) C
✓ 1
kL(@)unk2L2(⌦) (4.22)
+ kB1un|x1=0k2L2(@⌦1)+kB2un|x2=0k2L2(@⌦2)
+ C kU (un, un|x1=0, un|x2=0)k2H ⌘.
On prend ensuite la limite pour n grand, en utilisant l’´equation (4.20), il vient : kuk2L2(⌦)+k¯u1k2L2(@⌦1)+k¯u2k2L2(@⌦2) C
✓ 1 kfk2L2(⌦) + kB1u¯1k2L2(@⌦1)+kB2u¯2k2L2(@⌦2) ⌘ .
On conclut en utilisant le fait que U est une solution faible du probl`eme `a coin (4.1) donc ¯u1 (resp. ¯
u2) v´erifie B1u¯1 = g1 (resp. B2u¯2 = g2). D’o`u le fait que la solution faible U v´erifie l’estimation
d’´energie :
kuk2L2(⌦)+k¯u1k2L2(@⌦1)+k¯u2k2L2(@⌦2) C
✓ 1
kfk2L2(⌦)+kg1k2L2(@⌦1)+kg2k2L2(@⌦2)
◆
. (4.23) Utilisant la lin´earit´e du probl`eme `a coin (4.1), une fois l’estimation d’´energie (4.23) pour la solution faible ´etablie l’unicit´e de la solution faible est imm´ediate. Ceci conclut la d´emonstration du th´eor`eme 4.2.1.
Probl`eme `a coin dans le cadre g´en´eral
et condition d’Osher.
5.1
Description du probl`eme
Dans ce chapitre on consid`ere comme au chapitre pr´ec´edent un probl`eme `a coin qui s’´ecrit sous la forme (4.1), mais pour lequel les conditions de bord ne sont plus strictement dissipatives.
On supposera donc dans ce chapitre que le probl`eme `a coin sur lequel on travaille v´erifie la condition de Kreiss-Lopatinskii uniforme sur chacune des faces du domaine. On rappelle que cette condition est n´ecessaire et suffisante pour que le probl`eme aux limites standard soit fortement bien pos´e. Sans grande surprise, on montrera qu’une condition n´ecessaire pour que le probl`eme `a coin soit fortement bien pos´e est que chaque face v´erifie la condition de Kreiss-Lopatinskii uniforme. Le but de ce chapitre est de donner un ensembles de conditions suffisantes (que l’on esp`ere aussi ˆetre n´ecessaires) pour que le probl`eme `a coin soit fortement bien pos´e et ainsi ´etablir un th´eor`eme ”analogue” `a celui de Kreiss [Kre70] pour le cas du demi-espace.
L’´etude suivante est tr`es inspir´ee des travaux d’Osher [Osh73]-[Osh74b] sur le sujet, et plus particuli`erement de [Osh73] dans lequel l’auteur montre une estimation d’´energie a priori pour les solutions du probl`eme `a coin en introduisant un sym´etriseur ”de type Kreiss”. La construction de ce sym´etriseur est rendue possible grˆace `a une nouvelle condition, la condition au coin. Cette condition, qui sera d´ecrite pr´ecis´ement dans le sous-paragraphe 5.3.2, est une relation de compatibilit´e entre les traces de la solution du probl`eme `a coin. Plus pr´ecis´ement, la condition au coin impose l’inversibilit´e d’un op´erateur qui donne la di↵´erence entre la trace de la solution sur un bord et le r´esultat obtenu apr`es reflexion de cette trace sur l’autre face du domaine.
Cependant, mˆeme sous cette nouvelle condition, l’estimation d’´energie d´emontr´ee dans [Osh73] est une estimation avec un nombre de pertes de d´eriv´ees qui n’est pas explicite. Cette estima- tion est donc insuffisante en l’´etat pour conclure au caract`ere fortement bien pos´e. Ces pertes de r´egularit´e entre les donn´ees et la solution compliquent de plus le passage aux coefficients variables. Enfin, dans [Osh73] aucun r´esultat sur l’existence d’une solution faible, ni de son unicit´e n’est donn´e. Dans ce chapitre on a donc essay´e, d’´etablir une estimation d’´energie a priori sans pertes. Pour cela, on a suivi la m´ethode d’Osher et par cons´equent on se place aussi sous la condition au coin. On a r´eit´er´e la construction du sym´etriseur d’Osher, cette derni`ere sera d´ecrite au paragraphe 5.5 dans un souci de compl´etude de la d´emonstration. Un des apports de ce travail par rapport `a celui de [Osh73] est d’avoir identifi´e une condition suffisante sous laquelle l’estimation d’´energie que l’on
obtient est sans pertes. On ne sait pas, `a l’heure actuelle, si cette condition est automatiquement satisfaite mais on donne un argument allant dans ce sens au paragraphe 5.5.3.
5.2
Notations et r´esultats pr´eliminaires.
Les notations pour le quart d’espace et ses faces sont les mˆemes qu’au chapitre 4 (cf. (4.1) et (4.2)). De mˆeme les espaces `a poids dans lesquels seront d´emontr´ees les estimations d’´energie sont les mˆemes qu’au chapitre quatre (cf. (4.5)).
Comme au chapitre 4, le probl`eme `a coin que l’on ´etudie est global en temps et s’´ecrit sous la
forme : 8 < : L(@)u := @tu +Pdj=1Aj@ju = f , sur ⌦, B1u|x1=0 = g1, sur @⌦1, B2u|x2=0 = g2, sur @⌦2, (5.1) et on suppose que ce probl`eme `a coin admet un bord non caract´eristique et qu’il est sym´etrique. En d’autres termes, on se place sous l’hypoth`ese 4.1.1.
On introduit l’espace des fr´equences, ⌅ d´efini par :
⌅ :=n( := + i⌧, ⌘)2 C ⇥ Rd 2\ 0o\ {0} .
On introduit aussi ⌅0, la fronti`ere de ⌅ :
⌅0:= ⌅\ { = 0} .
Dans tout ce qui suit, lorsqu’aucune ambiguit´e n’est possible, on notera ⇣ le couple de fr´equences ( , ⌘).
On aura besoin de consid´erer dans la suite de ce chapitre les deux probl`emes aux limites stan- dards globaux en temps : ⇢
L(@)u = f , sur x1> 0, x2 2 R, B1u|x1=0 = g1, sur x22 R, (5.2) et ⇢ L(@)u = f , sur x2> 0, x1 2 R, B2u|x2=0 = g2, sur x12 R. (5.3) De fa¸con assez classique, on introduit la matrice r´esolvante A1 (resp. A2) associ´ee au probl`eme
aux limites standard (5.2) (resp. (5.3)). La matrice A1 (resp. A2) est obtenue apr`es transform´ee
de Fourier dans la variable d’espace tangentielle (x2, x0) $ (⌘2, ⌘) (resp. (x1, x0) $ (⌘1, ⌘)) et
tranform´ee de Laplace dans la variable temporelle t$ dans le probl`eme aux limites (5.2) (resp. (5.3)). Apr`es ces deux transformations, on obtient :
⇢
@1u =b A1(⇣, ⌘2)u + bb f , sur x1 > 0,
B1ub|x1=0 =gb1,
o`u la matrice A1(⇣, ⌘2) est d´efinie par :
A1(⇣, ⌘2) := A11 0 @ + iX j6=1 ⌘jAj 1 A . (5.4)
Ainsi que A2(⇣, ⌘1) := A21 0 @ + iX j6=2 ⌘jAj 1 A , (5.5)
o`u ⌘1 est la variable duale de x1.
Pour i2 {1, 2}, on notera Es
i(⇣, ⌘3 i) (resp. Eiu(⇣, ⌘3 i)) le sous-espace stable (resp. instable)
de la matrice r´esolvante Ai(⇣, ⌘3 i).
Par rapport au chapitre 4, et de fa¸con assez classique lorsque l’on ´etudie des probl`emes aux lim- ites avec des conditions de bord non strictement dissipatives, on renforce l’hypoth`ese d’hyperbolicit´e. C’est-`a-dire que, l’on ne se place plus seulement dans la classe des op´erateurs sym´etriques, mais que l’on suppose que l’hypoth`ese d’hyperbolicit´e `a multiplicit´e constante suivante satisfaite :
Hypoth`ese 5.2.1 Il existe un entier positif M , des fonctions analytiques sur Rd\ {0} not´ees
1, ..., M `a valeurs r´eelles ainsi que des entiers positifs ⌫1, ..., ⌫M tels que :
8⇠ 2 Sd 1, det 0 @⌧ + d X j=1 ⇠jAj 1 A = M Y k=1 (⌧ + k(⇠))⌫k,
avec 1(⇠) < ... < M(⇠), et de plus que les valeurs propres k(⇠) de Pdj=1⇠jAj sont semi-simples.
On peut alors appliquer le lemme de Hersh [Her63] qui montre que pour toute fr´equence (⇣, ⌘3 i) 2 (⌅ \ ⌅0) les probl`emes aux limites (5.2) et (5.3) n’ont pas de sous-espace critique (au
sens des syst`emes dynamiques). En d’autres termes, pour i2 {1, 2} on a la d´ecomposition suivante : on sait que pour toute fr´equence on a :
8⇣ 2 ⌅ \ ⌅0, ⌘3 i2 R, CN := Eis(⇣, ⌘3 i) Eiu(⇣, ⌘3 i). (5.6)
Pour les fr´equences ⇣ 2 ⌅0, le th´eor`eme de structure par blocs de [Kre70] et [M´et00] d´ecrit au
chapitre 2 de ce manuscrit (cf. th´eor`eme 2.1.1) s’applique `a chaque matrice r´esolvante et permet de prolonger le sous-espace stable par continuit´e aux fr´equences de ⌅0. La di↵´erence par rapport au
chapitre 1 est qu’ici on ne se place pas autour d’une fr´equence hors de la zone de glancing, donc les d´ecompositions de l’espace CN en sous-espace stable et sous-espace instable prolong´es (cf. (2.3) et (2.4)) deviennent :
8⇣ 2 ⌅0, ⌘3 i2 R, CN = Eis(⇣, ⌘3 i) Eiu(⇣, ⌘3 i), (5.7)
avec
8⇣ 2 ⌅0, ⌘3 i2 R, Eis(⇣, ⌘3 i) = Eis,e(⇣, ⌘3 i) Eis,h(⇣, ⌘3 i) Eis,g(⇣, ⌘3 i), (5.8)
Eiu(⇣, ⌘3 i) = Eiu,e(⇣, ⌘3 i) Eiu,h(⇣, ⌘3 i) Eiu,g(⇣, ⌘3 i)
o`u Es,ei (⇣, ⌘3 i) (resp. Eiu,e(⇣, ⌘3 i)) est le sous-espace propre g´en´eralis´e associ´e aux valeurs propres
de Ai(⇣, ⌘3 i) de partie r´eelle strictement n´egative (resp. positive), o`u les espaces Eis,h(⇣, ⌘3 i) et
Eiu,h(⇣, ⌘3 i) sont des sommes de sous-espace propres associ´es aux valeurs propres imaginaires pures,
i i,j, de la matriceAi(⇣, ⌘3 i) v´erifiant @ i,j(⇣, ⌘3 i)6= 0.
Pour ⇣2 ⌅ \ ⌅0, on peut d´efinir les projecteurs suivants :
D´efinition 5.2.1 Pour ⇣ 2 ⌅ \ ⌅0, i 2 {1, 2} et ⌘3 i 2 R, on pose ⇧si := ⇧si(⇣, ⌘3 i) (resp.
Remarque On insiste ici sur le fait que bien que le sous-espace stable Eis(⇣, ⌘3 i) admette un
prolongement par continuit´e `a ⇣ 2 ⌅0 donn´e par (5.8), la norme du projecteur ⇧ui(⇣, ⌘3 i) explose
au voisinage des fr´equences de glancing. C’est pourquoi dans la suite de ce chapitre, puisque l’on aura besoin d’assurer que les projecteurs ⇧si et ⇧ui sont bien d´efinis, on supposera que ⇣ 2 ⌅ \ ⌅0,
zone dans laquelle il n’y a pas de mode de glancing et o`u les projecteurs ⇧si et ⇧ui sont bien d´efinis.