5.6.1 Quelle hypoth`ese est utilis´ee `a quel endroit ?
⇧ L’hypoth`ese de sym´etrie sur les matrices Aj.
L’hypoth`ese de sym´etrie sur les coefficients du probl`eme est une hypoth`ese ”fil rouge” dans la construction du sym´etriseur. On peut penser que cette hypoth`ese n’est pas n´ecessaire. Cependant, le fait de se ramener `a un probl`eme `a coin homog`ene `a l’int´erieur utilise de fa¸con non triviale l’hypoth`ese de sym´etrie. Le point le plus gˆenant qui apparaˆıt alors si l’on ˆote cette hypoth`ese de sym´etrie est qu’il faut alors adapter la construction de sym´etriseur d’Osher `a un terme source `a l’int´erieur du domaine, f non nul. Dans ce cadre, la complexit´e de la construction des op´erateurs Ki (cf. le sous-paragraphe (5.5.1)) est grandement augment´ee car ces op´erateurs, et plus partic-
uli`erement leurs traces, d´ependront de f . ⇧ L’hypoth`ese 5.3.4.
Comme mentionn´e pr´ec´edemment, l’hypoth`ese 5.3.4 est utilis´ee seulement pour appliquer le th´eor`eme ”fort=faible” de Sarason. Il semble assez difficile de se d´efaire de cette hypoth`ese et de montrer un th´eor`eme ”fort=faible” di↵´eremment de la m´ethode utilis´ee par Sarason dans [Sar62]. En e↵et, ”l’astuce” du probl`eme aux limites pos´e dans le demi-espace consistant `a r´egulariser par une approximation de l’unit´e dans les variables tangentielles de mani`ere `a conserver la trace sur le bord semble inapplicable puisque une telle r´egularisation modifie n´ecessairement la valeur de la seconde trace dans le cas du probl`eme `a coin (sauf dans le cas particulier o`u les matrices A1 et
A2 commutent cf. [Pey65]). De mˆeme la technique de Rauch [Rau85]-[Rau94], qui passe par des
r´egularisation `a poids, pour le probl`eme caract´eristique ne permet a priori pas de conserver la valeur des deux traces.
Enfin, l’id´ee de r´egulariser le coin en une courbe lisse pour se ramener `a un probl`eme aux limites pos´e dans un demi-espace pour lequel les conditions de bord varient trait´e par Rauch dans [Rau94], semble elle aussi vou´ee `a l’´echec en raison du contre-exemple dans [Moy68] qui affirme que si les deux espaces de conditions aux bord ne sont pas inclus l’un dans l’autre alors le probl`eme est mal-pos´e. Or, l’hypoth`ese 5.3.3 empˆeche clairement cette inclusion.
L’hypoth`ese de non-intersection des noyaux des matrices B1 et B2 est utilis´ee uniquement lors
de la construction de l’op´erateur N (cf. le sous-paragraphe 5.5.2). Cette hypoth`ese n’est pas claire- ment ´ecrite dans [Osh73], bien qu’elle nous semble y ˆetre utilis´ee. Il se peut toutefois que l’on puisse construire un sym´etriseur sans cette hypoth`ese. Toutefois ´etant donn´e que cette condition ´ecarte assez peu (surtout quand l’un des nombres p1 ou p2 est petit) de conditions aux limites, elle nous
semble ˆetre un prix tr`es raisonnable `a payer. ⇧ L’hypoth`ese 5.2.1.
Comme dans le cas du probl`eme aux limites, l’hypoth`ese de multiplicit´e constante est ”seule- ment” utilis´ee pour obtenir le lemme de structure par blocs pour les matrices r´esolvantes. C’est pourquoi, on pourrait supposer `a la place que l’op´erateur L(@) est g´eom´etriquement r´egulier (voir [MZ05] et la d´efinition 6.9.1).
5.6.2 Perspectives.
Les premi`eres perspectives de ce chapitre consistent `a finir `a proprement parler la d´emonstration du caract`ere fortement bien pos´e du probl`eme `a coin dans le cas g´en´eral. Les deux points qu’il reste `
a d´emontrer sont les suivants :
⇧ Il faut d’abord d´emontrer que les op´erateurs T1!2(⇣) et T2!1(⇣) sont uniform´ement born´es par
rapport au param`etre ⇣. Ce point permettrait de d´emontrer que le sym´etriseur est born´e et fournirait alors l’estimation d’´energie a priori. De plus, cette derni`ere serait alors sans pertes. Les op´erateurs T1!2(⇣) et T2!1(⇣) ne sont pas des op´erateurs pseudodi↵´erentiels mais ce sont des op´erateurs int´egraux de Fourier. C’est pourquoi, une d´emonstration du caract`ere born´e uniforme pourrait peut-ˆetre passer par l’´etude approfondie des op´erateurs T1!2(⇣) et T2!1(⇣) en tant qu’op´erateurs
int´egraux de Fourier.
⇧ Il faut ensuite construire une solution faible pour le probl`eme `a coin. Il y a alors deux pistes possibles, ou bien d´emontrer que la condition d’Osher passe au probl`eme dual, ou bien utiliser la condition d’Osher pour construire une solution faible ”`a la main”. La premi`ere m´ethode serait pr´ef´erable car elle se g´en´eraliserait aux probl`emes `a coefficients variables.
Une fois le caract`ere fortement bien pos´e d´emontr´e, on pense qu’il serait aussi int´eressant de se pencher sur la question de la r´egularit´e de la solution du probl`eme `a coin. Plus pr´ecis´ement, on aimerait savoir si une r´egularit´e Hs des donn´ees du probl`eme conduit `a une r´egularit´e Hs de la
solution. Ce r´esultat est vrai pour le probl`eme aux limites standard.
Cependant pour les probl`emes elliptiques pos´es dans un domaine `a coins, il a ´et´e montr´e (voir par exemple [Gri89]-[Gri85]) que lorsque l’un des coins ´etait un mutiple rationnel de ⇡, le ph´enom`ene de r´egularisation elliptique ´etait moins bon que dans le cas d’un domaine r´egulier. Une telle perte de r´egularit´e ne serait pas anodine pour les probl`emes hyperboliques puisque ces derniers n’ont aucune r´egularisation. Ainsi, l’on devrait ˆetre amen´e, lorsque l’on voudra ´etendre la th´eorie au cadre `a coefficients variables, `a utiliser des th´eor`emes de point fixe plus puissants.
Etendre le caract`ere fortement bien pos´e aux probl`emes `a coefficients constants, dans l’optique de pouvoir passer aux probl`emes non lin´eaires, serait biensˆur une autre perspective. Pour cela, on pense qu’il faudra adapter la construction du sym´etriseur d’Osher qui utilise, de fa¸con non triviale, le fait que les coefficients soient constants.
D´eveloppements d’optique
g´eom´etrique pour des probl`emes `a
coin.
6.1
Introduction.
Le but de ce chapitre est de donner des m´ethodes rigoureuses pour construire des d´eveloppements BKW pour des probl`emes hyperboliques pos´es dans un domaine `a coin. On ´etudie donc le probl`eme ` a coin : 8 > > > < > > > : L(@)u":= @tu"+ A1@1u"+ A2@2u"= 0, (x1, x2)2 R2+, t 0, B1u"|x1=0 = g", B2u"|x2=0 = 0, u"|t0= 0, (6.1)
o`u les matrices A1, A2 sont des ´el´ements de MN(R) et les matrices B1, B2 sont dans Mp1,N(R)
et dans Mp2,N(R) respectivement (les valeurs pr´ecises des nombres p1 et p2 seront d´ecrites dans
l’hypoth`ese 6.2.3).
On a ici choisi de travailler en seulement deux dimensions d’espace afin de simplifier les notations mais il n’y a a priori aucune raison de ne pas pouvoir g´en´eraliser les r´esultats obtenus pour un plus grand nombre de dimensions d’espace.
Ce chapitre est en un certain sens un compl´ement au papier de Sarason et Smoller sur le su- jet [SS75] dans lequel les auteurs donnent des intuitions sur comment ´etablir des d´eveloppements haute-fr´equence pour (6.1) mais n’en font pas la construction rigoureuse. Comme le lecteur le verra, une part importante des id´ees et des exemples de ce chapitre s’inspirent des m´ethodes de [SS75].
Le plan sera donc le suivant : en premier lieu on expliquera le ph´enom`ene de g´en´eration des phases par rebond sur le bord du domaine. En particulier, on reprendra la discussion de [SS75] au sujet de l’importance de la g´eom´etrie de la vari´et´e caract´eristique de L(@) sur la g´en´eration des phases. Ensuite, on donne trois exemples de d´eveloppements BKW pour des syst`emes n’ayant que deux ´equations (i.e. pour lesquels N = 2, p1 = p2 = 1). L’int´erˆet de travailler sur des exemples
est que les calculs y sont totalement explicites et par cons´equent cela nous semblait ˆetre une bonne entr´ee en mati`ere. De plus, comme on va le voir aux paragraphes 6.3 et 6.8, la g´en´eration des phases sera plus simple dans le cas N = 2 que dans le cas N > 2.
Plus pr´ecis´ement, les trois exemples trait´es sont les suivants : l’´equation des ondes (cf. para- graphe 6.4), un syst`eme pour lequel la section de la vari´et´e caract´eristique `a ⌧ fix´e est une ellipse
(cf. paragraphe 6.5, ⌧ d´esigne ici la fr´equence temporelle) et enfin un syst`eme dont cette section est une parabole (cf paragraphe 6.6).
Pour l’´equation des ondes, un rayon venant frapper une face du bord sera r´efl´echi et s’´echappera alors vers l’infini. L’allure des bicaract´eristiques pour l’´equation des ondes pos´ee dans un domaine `
a coin ne sera donc pas plus riche que dans un demi-espace. Pour l’ellipse, on montrera qu’il existe des rayons qui ne s’´echapperont qu’apr`es un nombre fini de rebonds strictement sup´erieur `a un. On commencera donc `a avoir un trajet des bicaract´eristiques plus riche que dans le cas du demi-espace. Enfin, pour la parabole, on construira un d´eveloppement BKW pour lequel le nombre de phases g´en´er´ees est infini et o`u les rayons de l’optique g´eom´etrique viennent se concentrer au coin. Ce r´esultat est int´eressant en soi car il nous informe que ce genre de ph´enom`ene de concentration qui ´etait attendu est e↵ectivement possible. Math´ematiquement, la principale nouvelle difficult´e dans cet exemple est de donner un sens au d´eveloppement BKW, dont le premier terme est une s´erie (ceci en raison du nombre infini de phases).
Ensuite, on s’int´eressera `a des probl`emes `a coin ayant plus de deux ´equations pour lequels la situation est plus compliqu´ee et plus riche. En e↵et on verra que dans certains cas, en raison d’un ph´enom`ene d’autointeraction entre les phases, imposer la condition de Kreiss-Lopatinskii uniforme sur chacune des faces du bord n’est plus suffisant pour construire le d´eveloppement BKW. On aura besoin d’une autre condition qui semble ˆetre une version micro-localis´ee de la condition au coin d’Osher [Osh73]-[Osh74b] (voir aussi le sous-paragraphe 5.3.2).
L’apparition de telles versions ”micro-localis´ees” de conditions plus g´en´erales est d´ej`a pr´esente pour le probl`eme aux limites standard dans un demi-espace. Dans ce cas, le caract`ere fortement bien pos´e du probl`eme aux limites est ´equivalent `a la condition de Kreiss-Lopatinskii uniforme, et l’on voit apparaitre une version micro-locale de cette mˆeme condition lorsque l’on construit le d´eveloppement BKW du probl`eme.
Une fois de plus, avant de d´emontrer le th´eor`eme principal 6.9.2 qui montre que sous une condi- tion idoine, il est possible de construire le d´eveloppement BKW de la solution de (6.1), on a trouv´e assez instructif d’exhiber cette nouvelle condition sur un exemple pour lequel tous les calculs sont explicites. Cet exemple sera trait´e au sous-paragraphe 6.9.1.
Enfin, dans un dernier paragraphe on ´etudie cette condition de r´esolubilit´e qui apparait pour construire le d´eveloppement BKW, et on montre qu’une condition suffisante pour que cette condition soit satisfaite revient `a demander que le bord dissipe suffisament d’´energie. De plus, on montre sur un exemple que cette condition de r´esolubilit´e ne d´ecoule pas de la condition de Kreiss-Lopatinskii uniforme sur chacune des faces du bord. Cela tend `a confirmer que la condition de Kreiss-Lopatinskii uniforme sur chacune des faces du bord ne peut `a elle seule assurer le caract`ere bien pos´e de (6.1), voir ´egalement le contre-exemple [Osh74a].