Dans tout ce qui suit, on s’int´eresse aux probl`emes aux limites pos´es dans le demi-espace : Rd
+:={x = (x0, xd)2 Rd\ xd> 0}.
Pour T > 0 fix´e, on d´esigne par ⌦T l’ensemble d´efini par
⌦T = [0, T ]⇥ Rd+,
et par @⌦T sa fronti`ere spatiale i.e. l’ensemble d´efini par la relation
@⌦T = ⌦T \ {xd= 0} .
Pour all´eger les notations, on adopte l’abus de notation suivant : (t, x0) := (t, x0, 0), pour les ´el´ements de @⌦T.
Soit Mp⇥q(R) l’ensemble des matrices `a coefficients r´eels ayant p lignes et q colonnes ; on note Cb1(⌦T, Mp⇥q(R)) (resp. Cb1(@⌦T, Mp⇥q(R))) l’ensemble des applications `a valeurs dans Mp⇥q(R)
de r´egularit´eC1 sur ⌦T (resp. @⌦T), born´ees ainsi que leurs d´eriv´ees successives et qui admettent
de plus des limites pour x grand.
Enfin puisque ces espaces apparaissent de fa¸con naturelle dans les estimations d’´energie, pour > 0 on d´esignera par Hs(⌦
T) les espaces de Sobolev `a poids exponentiel, d´efinis par la relation :
Hs(⌦T) := u2 D0(⌦T)\ e t u2 Hs(⌦T) .
Les espaces Hs(@⌦T) sont d´efinis de fa¸con analogue.
On consid`ere le probl`eme aux limites hyperbolique lin´eaire `a coefficients variables suivant : 8 < : L(t, x, @)u := @tu +Pdj=1Aj(t, x)@ju = f , sur ⌦T, B(t, x0)u = g, sur @⌦T, u(0, x) = u0(x), sur Rd+, (3.1)
o`u Aj 2 Cb1(⌦T,MN⇥N(R)) et B 2 Cb1(@⌦T,Mp⇥N(R)), l’entier p ´etant le nombre de valeurs pro-
pres strictement positives de la matrice Ad(t, x) (on insiste ici sur le fait qu’en raison des hypoth`eses
Dans un souci d’all`egement des notations, pour ⇠ 2 Rd (resp. ⇠0 2 Rd 1), on d´esignera par
A(t, x, ⇠) (resp. A0(t, x, ⇠0)) le symbole spatial (resp. spatial tangentiel) de L(t, x, @) i.e.
A(t, x, ⇠) := d X j=1 ⇠jAj(t, x) 0 @ resp. A0(t, x, ⇠0) := d 1 X j=1 ⇠jAj(t, x) 1 A .
Dans la suite de ce chapitre on supposera que le probl`eme aux limites standard (3.1) est hy- perbolique `a multiplicit´e constante, `a bord non caract´eristique. C’est-`a-dire que les hypoth`eses suivantes sont v´erifi´ees :
Hypoth`ese 3.2.1 Il existe un entier M 1, des fonctions analytiques sur ⌦T ⇥ Rd\ {0} `a
valeurs r´eelles, not´ees 1, ..., M, ainsi que des entiers positifs ⌫1, ..., ⌫M tels que :
8⇠ 2 Sd 1, det (⌧ + A(t, x, ⇠)) =
M
Y
k=1
(⌧ + k(t, x, ⇠))⌫k,
avec 1< ... < q et les valeurs propres k(t, x, ⇠) de A(t, x, ⇠) sont semi-simples.
Hypoth`ese 3.2.2 Pour tout (t, x)2 ⌦T, det(Ad(t, x))6= 0.
De plus, pour u une solution du probl`eme aux limites (3.1), afin d’avoir une estimation de semi-groupe sur supt2[0,T ]ku(t, ·)kL2(Rd
+) dans l’estimation d’´energie de u, on a besoin d’ajouter
l’hypoth`ese suivante sur les coefficients Aj (voir [Cou05]) :
Hypoth`ese 3.2.3 Le probl`eme aux limites standard (3.1) est sym´etrisable au sens de Friedrichs, c’est-`a-dire qu’il existe une matrice sym´etrique d´efinie positive, r´eguli`ere sur ⌦T, not´ee S(t, x), telle
que pour tout 1 j d et pour tout (t, x) 2 ⌦T, la matrice S(t, x)Aj(t, x) est sym´etrique.
La suite de ce paragraphe est consacr´ee `a l’´etude de la condition de stabilit´e que l’on impose sur le bord. Comme mentionn´e dans l’introduction, on supposera que le probl`eme aux limites (3.1) est dans la classe W R. Avant de donner une d´efinition de cette classe (voir hypoth`ese 3.2.3 et [BGRSZ02]), on introduit quelles notations.
Soit ⌅ et ⌅0 les espaces de fr´equences :
⌅ := n⇣ = ( := + i⌧, ⌘)2 C ⇥ Rd 1\ 0o\ {0} , ⌅0 := ⌅\ { = 0} .
Pour (t, x, ⇣) 2 ⌦T ⇥ ⌅, on note A(t, x, ⇣) la matrice r´esolvante associ´ee au probl`eme aux limites
(3.1) d´efinie de la fa¸con suivante :
A(t, x, ⇣) = Ad(t, x) 1 + iA0(t, x, ⌘) .
On note E (t, x, ⇣) le sous-espace stable associ´e `a A(t, x, ⇣). On rappelle que grˆace au lemme de Hersh ([BG07] p.103), ce sous-espace est de dimension constante ´egale `a p pour tout (t, x, ⇣) 2 ⌦T ⇥ (⌅ \ ⌅0). De plus, les travaux de [Kre70] et de [M´et00] montrent que ce sous-espace admet un
prolongement par continuit´e `a ⌅0.
Puisque cela permet de donner une caract´erisation plus ais´ee de la classe W R on introduit un d´eterminant de Lopatinskii pour le probl`eme aux limites (3.1) d´efini par la relation :
o`u la famille {E1(t, x0, ⇣), ..., Ep(t, x0, ⇣)} est une base du sous-espace stable E (t, x0, ⇣) (on renvoie
`
a l’hypoth`ese 3.2.3 pour plus de d´etails).
Le d´eterminant de Lopatinskii ainsi d´efini est holomorphe dans la variable et r´egulier dans la variable ⌘, en dehors de la zone de glancing.
On rappelle que le caract`ere fortement bien pos´e du probl`eme aux limites (3.1) est ´equivalent `a la condition suivante :
D´efinition 3.2.1 On dit que le probl`eme aux limites (3.1) v´erifie la condition de Kreiss-Lopatinskii uniforme si et seulement si :
8(t, x0)2 @⌦T,8⇣ 2 ⌅, (t, x0, ⇣)6= 0.
L’ensemble des probl`emes aux limites satisfaisant la condition de Kreiss-Lopatinskii uniforme con- stitue la classe SS (pour strongly stable).
La classe W R est une classe plus faible qui comprend des probl`emes faiblement bien pos´es (que l’on a d´ej`a mentionn´es au chapitre 2), c’est-`a-dire des probl`emes dont la solution est moins r´eguli`ere que les termes sources (dans la classe W R la di↵´erence de r´egularit´e est d’une d´eriv´ee sur le bord et d’une d´eriv´ee `a l’int´erieur). Pour ces probl`emes la condition de Kreiss-Lopatinskii uniforme d´eg´en`ere sur certains points de ⌅0. Plus pr´ecis´ement, la condition de Kreiss-Lopatinskii uniforme
d´eg´en`ere `a l’ordre un pour certains points de ⌅0 inclus dans la zone hyperbolique (voir [BGRSZ02]
et les d´efinitions suivantes pour plus de d´etails).
D´efinition 3.2.2 La zone hyperbolique de l’op´erateur L(t, x, @), not´eeH, est l’ensemble des triplets (t, x0, ⇣)2 @⌦T ⇥ ⌅0 tels que la matrice A(t, x0, ⇣) est diagonalisable `a valeurs propres imaginaires
pures.
On note ⌥ l’ensemble des (t, x0, ⇣)2 @⌦T ⇥ ⌅0 tels que
ker B(t, x0)\ E (t, x0, ⇣)6= {0} . De fa¸con ´equivalente,
⌥ = (t, x0, ⇣)2 (@⌦T ⇥ ⌅0)\ (t, x0, ⇣) = 0 .
D´efinition 3.2.3 On dit que le probl`eme aux limites (3.1) est dans la classe W R si les conditions suivantes sont r´ealis´ees :
i) Le probl`eme aux limites (3.1) v´erifie la condition de Kreiss-Lopatinskii faible, c’est-`a-dire : 8(t, x0, ⇣)2 @⌦T ⇥ (⌅ \ ⌅0) , (t, x0, ⇣)6= 0.
ii) ⌥6= ;, et ⌥ ⇢ ˚H (o`u ˚· d´esigne l’int´erieur de ·). iii) Pour tout (t, x0, ⇣)2 ⌥, @⌧ (t, x0, ⇣)6= 0.
Puisque cela sera n´ecessaire pour ´etablir la valeur exacte de la vitesse maximale de propagation on rappelle aussi une formulation ´equivalente de la d´efinition 3.2.3 (voir [CG10])
Proposition 3.2.1 Le probl`eme aux limites (3.1) est dans la classe W R si et seulement si les conditions i) et ii) de la d´efinition 3.2.3 sont r´ealis´ees et si de plus, `a la place de iii), la condition suivante est v´erifi´ee :
iii0) Pour tout (t, x0, ⇣) 2 ⌥, il existe un voisinage V de (t, x0, ⇣) dans @⌦
T ⇥ ⌅, une base
(E1, ..., Ep)(t, x0, ⇣) de E (⇣) r´eguli`ere dans V, une matrice inversible de taille p ⇥ p, P (t, x0, ⇣),
r´eguli`ere surV et enfin une fonction ⇥ r´eguli`ere sur V `a valeurs r´eelles tels que la propri´et´e suivante soit v´erifi´ee :
8(t, x0, ⇣)2 V, B [E1, ..., Ep] (t, x0, ⇣) = P (t, x0, ⇣)diag( + i⇥(t, x0, ⇣), 1, ..., 1).
En particulier, prenant le d´eterminant de l’´egalit´e pr´ec´edente on peut trouver un d´eterminant de Lopatinskii qui s’´ecrit sous la forme :
8(t, x0, ⇣)2 V, (t, x0, ⇣) = ( + i⇥(t, x0, ⇣)) det P (t, x0, ⇣). De tels probl`emes sont faiblement bien pos´es au sens du th´eor`eme suivant [Cou11a] :
Th´eor`eme 3.2.1 On suppose que le probl`eme aux limites standard (3.1) homog`ene pour la condi- tion initiale v´erifie les hypoth`eses 3.2.1-3.2.2-3.2.3 et est dans la classe W R au sens de la d´efinition 3.2.3. On impose de plus la r´egularit´e suivante sur les coefficients du syst`eme (3.1) : pour tout 1 j d, Aj 2 W2,1(⌦T, MN⇥N(R)) et B 2 W2,1(@⌦T, Mp⇥N(R)). Alors pour tout terme
source f 2 L2(⌦
T) tel que rt,x0f 2 L2(⌦T), g 2 H1(@⌦T), v´erifiant la condition de compatibilit´e
f|t=0 = g|t=0 = 0, il existe une unique fonction u 2 L2(⌦T), `a trace L2(@⌦T), qui est solution du
probl`eme aux limites (3.1). De plus, u admet l’estimation d’´energie : supt2[0,T ] e 2 tku(t)k2L2(Rd +)+ kuk 2 L2(⌦ T)+ku|xd=0k 2 L2(@⌦ T) (3.2) C ✓ 1 kfk2L2(⌦ T)+ 1 3krt,x0fk 2 L2(⌦ T)+kgk 2 L2(@⌦ T)+ 1 2krgk 2 L2(@⌦ T) ◆ , pour une certaine constante C > 0 ind´ependante de et de T et pour tout 0 > 0.
On consid`ere maintenant le probl`eme aux limites standard (3.1) avec condition initiale inho- mog`ene
u|t=0 = h(x).
Alors le mˆeme r´esultat reste vrai, si, d’une part, on renforce la r´egularit´e des coefficients de (3.1) de la mani`ere suivante : pour tout 1 j d, Aj 2 Cb1(⌦T, MN⇥N(R)) et B 2 Cb1(@⌦T, Mp⇥N(R)).
Et d’autre part, on impose que la donn´ee initiale h2 H2(Rd
+) v´erifie la condition de compatibilit´e :
B(0, x0)h|xd=0= g|t=0. (3.3)