On consid`ere maintenant un probl`eme aux limites de la forme (3.1) mais `a coefficients constants cette fois, c’est-`a-dire qu’il s’´ecrit sous la forme :
8 < : @tu +Pdj=1Aj@ju = f, sur ⌦T, Bu|xd=0= g, sur @⌦T, u|t0 = 0, sur Rd +, (3.17)
avec Aj 2 MN⇥N(R) et B 2 Mp⇥N(R), des matrices `a coefficients constants. Les objets introduits
dans le paragraphe 3.2, bien que ne d´ependant plus des variables (t, x) garderont les mˆemes nota- tions dans la suite de ce paragraphe.
On rappelle le th´eor`eme suivant, dˆu `a [CG10], qui donne une borne inf´erieure `a la vitesse maximale de propagation d’un probl`eme aux limites `a coefficients constants lorsque ce dernier est dans la classe W R.
Th´eor`eme 3.6.1 On suppose qu’il existe V > 0 tel que la propri´et´e suivante soit v´erifi´ee : si pour tout R1, R2 0, pour tout x0 2 Rd+ et pour tout x00 2 Rd 1, si les termes sources f et g sont `a
support compact :
supp f ⇢ (t, x)2 ¯⌦T \ t 0,|x x0| R1 ,
supp g ⇢ (t, x0)2 @⌦T \ t 0,|x0 x00| R2 ,
alors la solution u2 L2(⌦
T) du probl`eme aux limites (3.1) satisfait :
supp u ⇢ (t, x)2 ¯⌦T \ t 0,|x x0| R1+ V t
[ (t, x)2 ¯⌦T \ t 0,|x (x00, 0)| R2+ V t .
Alors on a la minoration suivante sur V :
V max(VCauchy, VBord),
avec VCauchy = max⇠2Sd 1maxj| j(⇠)| et VBord = max⇣2⌥|r⌘⇥(⇣)|.
Par cons´equent, si on ”g`ele” les coefficients dans le probl`eme aux limites (3.1), on obtient un probl`eme aux limites `a coefficients constants. Appliquant le th´eor`eme 3.3.1 qui ´etablit l’existence d’une vitesse maximale de propagation et en donne une borne sup´erieure et le th´eor`eme 3.6.1, on obtient alors que pour les probl`emes aux limites `a coefficients constants la vitesse maximale de propagation donn´ee par
V0 = max(VCauchy, VBord),
est optimale.
On renvoie `a [CG10] et [Cha72] pour une ´etude de l’´equation des ondes dans laquelle la vitesse de propagation VBord est arbitrairement grande. En particulier, la vitesse maximale de propagation
de l’´equation des ondes peut-ˆetre arbitrairement grande. Elle peut ˆetre notamment sup´erieure `a la vitesse de propagation du probl`eme de Cauchy VCauchy.
Probl`eme `a coin et conditions de bord
strictement dissipatives.
Par probl`eme `a coin, on entend avant tout la donn´ee d’un op´erateur hyperbolique. Cependant, ce dernier ne se retrouve plus pos´e dans un demi-espace comme cela ´etait le cas dans les chapitres pr´ec´edents, mais dans un quart d’espace. Ainsi, il faut, pour r´esoudre ce probl`eme, ajouter une condition de bord sur la seconde face du domaine. Dans ce chapitre, on s’int´er`esse `a des probl`emes `
a coin globaux en temps. De tels probl`emes s’´ecrivent sous la forme : 8 < : L(@)u := @tu + A1@1u + A2@2u +Pdj=3Aj@ju = f, sur ⌦, B1u|x1=0 = g1, sur @⌦1, B2u|x2=0 = g2, sur @⌦2, (4.1) o`u les coefficients Aj de l’op´erateur hyperbolique L(@) sont des matrices de MN⇥N(R), les matrices
des conditions de bord B1 et B2 sont respectivement dans Mp1⇥N(R) et Mp2⇥N(R) (les valeurs des
entiers p1 et p2 seront rendues explicites dans la d´efinition 4.1.1), et o`u l’on a pos´e :
⌦ :=n(t, x) = (t, x1, x2, x0)2 R ⇥ R+⇥ R+⇥ Rd 2
o
, (4.2)
@⌦1 := ⌦\ {x1 = 0} , et @⌦2:= ⌦\ {x2= 0} . (4.3)
4.1
Description du probl`eme.
Le but de ce chapitre est de d´emontrer le caract`ere fortement bien pos´e d’une classe particuli`ere de probl`emes `a coin. Plus pr´ecis´ement, on va d´emontrer le caract`ere fortement bien pos´e des probl`emes `a coin sym´etriques qui admettent des conditions de bord strictement dissipatives. Une ´etude du cas g´en´eral, c’est-`a-dire lorsque les conditions de bord v´erifient seulement la condition de Kreiss-Lopatinskii uniforme sur chacune des faces sera faite au chapitre 5.
L’une des raisons pour laquelle on a d’abord choisi de travailler dans cette classe de probl`emes particuli`ere est que comme on va le voir, la d´emonstration du caract`ere bien pos´e sera beaucoup plus simple que dans le cas g´en´eral. On a donc trouv´e que l’´etude de ces probl`emes particuliers ´etait une bonne entr´ee en mati`ere. De plus, le premier point de la d´emonstration du caract`ere fortement bien pos´e dans le cas g´en´eral sera de se ramener `a un terme source `a l’int´erieur nul en utilisant le caract`ere fortement bien pos´e des probl`emes `a coin sym´etriques `a condition de bord strictement dissipatives. Ainsi, le cas g´en´eral n´ecessite pour sa r´esolution l’´etude du cas strictement dissipatif.
Toutefois, la classe des probl`emes `a coin sym´etriques `a condition de bord strictement dissipatives est une classe int´eressante `a ´etudier en soi. En e↵et, d’une part, de nombreux op´erateurs hyper- boliques issus de la physique (par exemple, l’´equation des ondes, l’´equation d’Euler, l’´equation de
Maxwell ...) sont des op´erateurs sym´etriques. Et d’autre part, imposer des conditions de bords strictement dissipatives revient `a demander que l’´energie soit dissip´ee lorsqu’un rayon est r´efl´echi sur le bord du domaine. Ainsi, de telles conditions ont un sens physique.
On peut aussi insister sur le fait que tout op´erateur hyperbolique sym´etrique admet des con- ditions de bords strictement dissipatives. Donc pour un op´erateur hyperbolique sym´etrique fix´e, la classe des conditions de bord admissibles pour en faire un probl`eme sym´etrique `a conditions de bord strictement dissipatives n’est jamais vide.
Enfin, contrairement `a la condition de Kreiss-Lopatinskii uniforme, il est facile de d´eterminer les conditions de bord qui sont strictement dissipatives pour un op´erateur hyperbolique sym´etrique fix´e. Le plan de ce chapitre est le suivant. Apr`es avoir ´enonc´e les hypoth`eses sous lesquelles on d´emontrera le caract`ere fortement bien pos´e du probl`eme (4.1), la d´emonstration se d´eroulera en trois temps.
Dans le premier, on ´etablira une estimation d’´energie a priori pour le probl`eme (4.1). Comme on le verra, le caract`ere strictement dissipatif des conditions de bord permettra d’´etablir cette estimation `a moindre coˆut.
Puis, on d´emontrera l’existence d’une solution faible pour le probl`eme (4.1) en utilisant des arguments d’analyse fonctionelle et en introduisant un probl`eme dual pour le probl`eme (4.1). Le fait que le probl`eme dual du probl`eme (4.1) v´erifie les propri´et´es n´ecessaires pour conclure sera aussi une cons´equence du fait que le probl`eme (4.1) se trouve dans la classe des probl`emes sym´etriques `a conditions de bord strictement dissipatives.
Enfin, l’unicit´e de la solution faible proviendra d’un lemme de type ”fort=faible”. On reprendra ici le r´esultat de [Sar62].
La d´emonstration que l’on propose ici di↵`ere de celles de [HT14b] et [HT14a]. En e↵et dans ces deux articles, les auteurs se placent dans un rectangle et supposent que la matrice A11A2 n’a
pas de bloc de Jordan. Ensuite ils construisent des conditions de bords particuli`eres pour lesquelles ils montrent que le probl`eme aux limites (4.1), homog`enes sur les bords de ⌦ mais pour lequel la variable temporelle vit dans [0, +1[ v´erifie les hypoth`eses du th´eor`eme de Hille-Yosida. L’avantage d’utiliser le th´eor`eme de Hille-Yosida est alors que la solution s’exprime alors comme l’application d’un semi-groupe de contraction aux termes sources du probl`eme.
D’un autre point de vue, dans [Hua0], l’auteur sous l’hypoth`ese selon laquelle A11A2n’a que des
valeurs propres r´eelles et aucun bloc de Jordan, utilise des techniques de r´egulatisation elliptique sur l’´equation stationnaire (et donc des techniques tr`es proches des celles mises en oeuvre pour appliquer le th´eor`eme de Hille-Yosida). L’auteur montre alors l’existence d’une solution pour le probl`eme `a coin avec condition initiale non homog`ene pour toute les conditions de bord qui sont strictement dissipatives. Cependant, l’unicit´e de la solution n’est pas ´evidente en dehors du cas o`u les deux matrices A1 et A2 commutent.
La raison pour laquelle on a choisi de suivre un sch´ema de d´emonstration di↵´erent est que dans le cadre g´en´eral pour lequel les conditions de bord ne sont plus strictement dissipatives, on ne peut plus appliquer le th´eor`eme de Hille-Yosida. De mˆeme, les techniques de r´egularisation elliptique ne semblent pas ´evidentes `a adapter. C’est donc le sch´ema de preuve d´ecrit dans ce chapitre que l’on utilisera. Ainsi d´ecrire avec pr´ecision ce sch´ema de preuve nous a sembl´e ˆetre une bonne entr´ee en mati`ere pour le chapitre suivant. De plus, comme dans [HT14a] et [Hua0] se placera aussi sous une hypoth`ese sur la matrice A11A2, voir hypoth`ese 4.1.2, qui sera un peu plus faible que celles utilis´ees
4.1.1 Hypoth`eses et d´efinitions.
Comme indiqu´e dans la description du probl`eme, on se restreint ici `a une classe particuli`ere de probl`eme `a coin.
On commence par faire l’hypoth`ese, assez classique, suivante sur les coefficients de l’op´erateur L(@) :
Hypoth`ese 4.1.1 Le probl`eme `a coin (4.1) est suppos´e sym´etrique, c’est-`a-dire que les matrices Aj sont sym´etriques.
Le probl`eme `a coin (4.1) est suppos´e non caract´eristique pour chacune des faces du domaine ⌦, c’est-`a-dire que les matrices A1 et A2 sont inversibles.
On rappelle qu’un op´erateur sym´etrique est hyperbolique. L’hypoth`ese de sym´etrie sur les coeffi- cients de L(@) sera la seule hypoth`ese d’hyperbolicit´e que l’on utilisera dans ce chapitre.
On pr´ecise dans la d´efinition suivante ce que l’on entend par strictement dissipatif pour une condition de bord.
D´efinition 4.1.1 Pour i = 1, 2, la matrice de bord Bi est qualifi´ee de strictement dissipative pour
la face @⌦i du probl`eme `a coin 4.1 si elle v´erifie les trois propri´et´es suivantes :
i) 8u 2 ker Bi, u6= 0, hAiu, ui < 0.
ii) ker Bi est maximal (au sens de l’inclusion) pour la propri´et´e i).
iii) La matrice Bi est surjective deRN dansRpi o`u pi est le nombre de valeurs propres positives
de Ai.
On a mentionn´e dans l’introduction qu’un probl`eme `a coin sym´etrique admettait toujours des conditions de bords strictement dissipatives. En e↵et, pour un op´erateur L(@) fix´e, d’apr`es l’hypoth`ese de sym´etrie des matrices Aj, l’op´erateur L(@) est hyperbolique. En particulier, les ma-
trices A1 et A2 sont diagonalisables `a valeurs propres r´eelles. De plus, d’apr`es l’hypoth`ese (4.1.1),
la matrice A1 (resp. A2) admet p1 (resp. p2) valeurs propres positives et N p1 (resp. N p2)
valeurs propres n´egatives.
On note E1 (resp. E2) le sous-espace propre engendr´e par les N p1 ( resp. N p2) vecteurs
propres associ´es `a une valeur propre n´egative. Alors pour tout v 2 Ei, il est clair que
v6= 0 ) hAiv, vi < 0.
Il suffit alors de choisir deux matrices B1 et B2, surjectives dans Rp1 etRp2 telles que
ker B1 = E1, et ker B2 = E2.
On rappelle aussi au passage que si la matrice Bi est strictement dissipative pour la face @⌦i
alors elle v´erifie la condition de Kreiss-Lopatinskii uniforme (on renvoie `a [BG07] paragraphe 4.3.4 pour une d´emonstration de ce r´esultat). Cependant, la r´eciproque de ce r´esultat n’est pas vraie comme le montre l’exemple du sous-paragraphe 2.5.3.
Dans la suite de ce chapitre, on utilisera aussi la formulation ´equivalente suivante de la stricte dissipativit´e :
Proposition 4.1.1 La matrice de bord Bi est strictement dissipative pour la face @⌦i, si et seule-
ment si, il existe deux constantes ci, Ci> 0 telles que :
D´emonstration : Cette d´emonstration est tir´ee de [BG07] lemme 3.3.
On proc`ede par l’absurde. Soit une suite (un)n2N2 RN telle que pour tout n2 N, |un| = 1 et
|Bun|2 < 1
n2 +
1
nhAiun, uni. (4.4)
Par compacit´e de la sph`ere unit´e, on peut supposer que la suite un converge vers un vecteur u tel
que |u| = 1. Passant `a la limite dans l’´equation (4.4), on obtient d’une part u 2 ker B et d’autre part hAiu, ui 0, ce qui contredit l’hypoth`ese de stricte dissipativit´e de Bi
⇤ Pour appliquer le lemme ”fort=faible” de [Sar62], on aura besoin de supposer que l’hypoth`ese suivante est satisfaite. Plus de commentaires sur cette hypoth`ese et sur le r´esultat de [Sar62] seront faits `a la fin de ce chapitre.
Hypoth`ese 4.1.2 Les valeurs propres r´eelles de la matrice A11A2 associ´ees `a des blocs de Jordan
sont n´egatives.
Enfin en conclusion de ce sous-paragraphe, on introduit les espaces `a poids dans lesquels les estimations d’´energie seront ´etablies. Pour X un espace de Banach (dans la suite de ce chapitre X pourra ˆetre l’espace ⌦ ou l’une de ses faces @⌦1 ou @⌦2), on pose
L2(X) := u2 D0(X)\ e tu2 L2(X) , (4.5)
que l’on munit de la norme `a poids :
k · kL2(X) :=ke t· kL2(X).