L’objectif de ce paragraphe est de montrer l’optimalit´e des estimations d’´energies obtenues dans [ST88] et dans [Cou02]. La d´emonstration ci-dessous se base sur les mˆeme arguments que celle pour ´etablir l’optimalit´e pour un probl`eme aux limites pour lequel la condition de Kreiss-Lopatinskii uniforme n’est pas v´erifi´ee dans la partie hyperbolique d´ecrits dans [CG10].
2.4.1 Saturation de l’estimation d’´energie (2.25).
On commence par l’estimation (2.25). On se place donc dans le cas d’une fr´equence elliptique v´erifiant l’hypoth`ese de stabilit´e 2.1.3.
Th´eor`eme 2.4.1 Soit s > 0, on suppose que pour tout f 2 L2(⌦
T) et g 2 Hs(@⌦T) il existe
une unique solution u 2 L2(⌦
T) du probl`eme aux limites (2.1) qui v´erifie de plus une estimation
d’´energie de la forme kuk2L2(⌦ T) CT ⇣ kfk2L2(⌦ T)+kgk 2 Hs(@⌦T) ⌘ . (2.49) Alors, n´ecessairement s 12.
D´emonstration : Par l’absurde, on suppose que s = 12 , avec > 0. On choisit dans le probl`eme aux limites (2.1), les termes source suivants :
f ⌘ 0, et g":= " (t, x0)ei'"b,
o`u (t, x0)2 Cc1(R ⇥ Rd 1) est nulle pour les temps n´egatifs et strictement positive sur ]0, T [, et o`u
le vecteur b est celui introduit dans la d´efinition 2.1.5. On a clairement g = O(") dans L2(@⌦T) et g = O
⇣ "12
⌘
dans H12(@⌦T). D’apr`es l’in´egalit´e
d’interpolation classique pour les espaces de Sobolev appliqu´ee `a s dans⇥0,12⇥on a : kgkHs(@⌦
T) C" 1
2+ .
Utilisant l’estimation d’´energie (2.49), il vient que u" est O⇣"12+ ⌘dans L2(⌦ T).
D’apr`es le th´eor`eme 2.2.2, on sait que l’on peut construire U0 2 Pev tel que (u" ei
' "U0) est O⇣"32 ⌘ dans L2(⌦T). En particulier, (u" ei ' "U0) est aussi O ⇣ "12+ ⌘ dans L2(⌦T).
Utilisant l’in´egalit´e triangulaire, ei'"U0 est O
⇣ "12+
⌘
dans L2(⌦T), mais reprenant la construc-
tion de U0 on sait que cette amplitude est de la forme :
U0(t, x, Xd) = (xd)↵0(t, x0)eXdA(⇣)e. (2.50)
Le point crucial pour conclure est donn´e par le lemme suivant qui ´etablit qu’une fonction non nulle de la forme (2.50) ne peut pas ˆetre mieux que O⇣"12
⌘
dans L2(⌦ T).
Lemme 2.4.1 Soit U0 une fonction de la forme (2.50) ; alors U0 t, x,x"d est O
⇣ "12
⌘
dans L2(⌦ T).
Cette propri´ete est optimale au sens o`u s’il existe > 0 tel que U0 soit O
⇣ "12+
⌘
dans L2(⌦ T),
alors U0 est nulle dans L2(⌦T).
D´emonstration : La premi`ere assertion a d´ej`a ´et´e prouv´ee dans la proposition 2.2.4. Pour montrer la seconde on utilise le fait que pour tout w 2 Ck,M 2 M
k(C) on a |eMw|2 e 2kMk|w|2. Cons´equemment, kU0kL2(⌦T) k↵0kL2(@⌦T) ✓Z +1 0 (xd)e 2xd " kA(⇣)k|e|2dxd ◆1 2 , puis par le changement de variable s = xd
" il vient kU0kL2(⌦T) " 1 2C↵ 0,e ✓Z +1 0 ("u)e 2skA(⇣)kds ◆1 2 , C↵0,e, ,kA(⇣)k" 1 2.
Ce qui conclut la d´emonstration.
⇤ Utilisant le lemme 2.4.1, ei'"U0 est O
⇣ "12+
⌘
si et seulement si k↵0kL2(@⌦T) est nulle et donc ↵0
est nulle. Reprenant la construction de la fonction ↵0 on sait que cette fonction est solution de
l’´equation de transport (2.46) avec
˜
g0 = |b|2 6= 0.
Donc, ↵0 est solution d’une ´equation de transport non homog`ene, par cons´equent ↵0 est non nulle
d’o`u la contradiction recherch´ee qui implique que s 12.
2.4.2 Saturation de l’estimation d’´energie (2.48).
Dans ce sous-paragraphe on montre l’optimalit´e de l’estimation d’´energie (2.48). On se place donc dans le cadre d’une fr´equence v´erifiant l’hypoth`ese de stabilit´e 2.1.4. De plus, afin de se placer sous les mˆemes conditions qu’au th´eor`eme 2.3.1 (bien que cela ne soit pas n´ecessaire pour construire le d´eveloppement BKW), on imposera que E+h(⇣) 6= {0}. En d’autre termes, on suppose qu’il existe une phase hyperbolique sortante.
Afin de d´emontrer l’optimalit´e de l’estimation d’´energie, on a besoin de l’hypoth`ese technique suivante :
Hypoth`ese 2.4.1 Soit une fr´equence ⇣ 2 EH, telle que ker B \ E (⇣) 6= {0}, alors Eh
+(⇣) n’est pas
trivial.
De plus BE+h(⇣) n’est pas un sous-espace vectoriel de BE (⇣). De fa¸con ´equivalente, en utilisant le vecteur b introduit dans la d´efinition 2.1.5, il existe un vecteur ~u2 Eh
+(⇣) tel que
b· B~u 6= 0.
On renvoie au sous-paragraphe 2.5.1 pour des exemples de probl`eme aux limites qui satisfont cette hypoth`ese et pour des commentaires sur l’estimation que l’on est en droit d’attendre si cette hy- poth`ese n’est pas v´erifi´ee.
Le th´eor`eme principal de ce sous-paragraphe est le suivant :
Th´eor`eme 2.4.2 Sous les hypoth`eses 2.1.1-2.1.2-2.1.4 et 2.4.1, soit s1, s2 > 0, tels que pour tout
f 2 L2 xd(H
s1
(t,x0))(⌦T) et pour tout g 2 Hs2(@⌦T), il existe une unique solution u 2 L2(⌦T) du
probl`eme aux limites (2.1) qui v´erifie de plus l’estimation d’´energie : kuk2L2(⌦ T) CT ✓ kfk2L2 xd(H(t,x0)s1 )(⌦T) +kgk2Hs2(@⌦T) ◆ . (2.51) Alors on a n´ecessairement s1 12 et s2 12.
Ce th´eor`eme montre donc que malgr´e le fait que la condition de Kreiss-Lopatinskii uniforme d´eg´en`ere en raison des modes ´evanescents, le ph´enom`ene de stabilit´e faible est toutefois amplifi´e par l’existence de composantes hyperboliques. En e↵et, par rapport au cas elliptique on voit apparaˆıtre une perte d’une demi d´eriv´ee `a l’int´erieur du domaine.
Cette perte d’une demi d´eriv´ee n’est pas anodine puisqu’elle exclut notamment les techniques de point fixe apr`es lin´earisation pour r´esoudre les probl`emes aux limites non lin´eaires.
D´emonstration : On commence par d´emontrer l’optimalit´e de la perte de d´eriv´ee `a l’int´erieur du domaine.
Par l’absurde, on suppose que s1= 12 , pour un certain 2⇤0,12⇥.
On pose comme terme source pour le probl`eme aux limites (2.1) g = 0, et f":= "ei'"fos ⇣ t, x,xd " ⌘ , fos⇣t, x,xd " ⌘ := (t, x)ei!m0xd" eh +, o`u eh+2 Eh
+(⇣)\ {0} est choisi de mani`ere `a assurer que
b· Beh+6= 0. (Ce choix est rendu licite grˆace `a l’hypoth`ese 2.4.1).
Par interpolation,
kf"kHs1(⌦T) C" 1
2+ ,
l’estimation d’´energie (2.51) permet alors de montrer que u" est O⇣"12+ ⌘ dans L2(⌦
T). On con-
struit alors un d´eveloppement BKW et par in´egalit´e triangulaire, on montre que U0 = U0evle premier
terme du d´eveloppement est O⇣"12+
⌘
dans L2(⌦ T).
Or, le premier terme du d´eveloppement BKW est donn´e par : U0ev⇣t, x,xd " ⌘ = ↵0(t, x0) (xd)e xd " A(⇣)e,
ce qui implique que pour ↵0 non nul, U0ev est O
⇣ "12
⌘
dans L2(⌦T) et pas mieux en vertu du lemme
2.4.1. Par cons´equent ↵0 doit ˆetre nul. Mais, ↵0 est solution de l’´equation de transport (2.46) avec
comme terme source :
˜ g0:= b· g B X m2O u1,m|xd=0 ! , qui dans le cas pr´esent se r´eduit `a :
˜ g0= b· B X m2O u1,m|xd=0 ! .
On conclut par la mˆeme technique que dans [CG10]. Pour m 2 O, u1,m est solution de l’´equation
de transport : ⇢
(@t+ vm· rx) u1,m= m,m0 (t, x)eh+,
u1,m|t0 = 0,
ainsi seule l’amplitude u1,m0 est non nulle et est donn´ee par :
u1,m0(t, x) = Z t 0 (s, x + (s t)vm0) ds e h +.
Donc, on peut choisir la fonction de mani`ere `a ce que le terme source ˜
g0= b· Bu1,m0|xd=0,
soit non nul (car eh+est tel que b·Beh
+6= 0), ce qui implique que ↵0est non nul d’o`u la contradiction
recherch´ee. On en d´eduit donc que s1 12.
On montre maintenant que la perte de d´eriv´ee sur le bord est optimale.
Par l’absurde, on suppose que s2 = 12 , 2⇤0,12⇥. La preuve est tr`es semblable `a celle mise
en oeuvre pour montrer l’optimalit´e de l’estimation d’´energie (2.49), on n’utilise donc qu’un terme de for¸cage sur le bord. On pose par cons´equent :
f ⌘ 0 et g(t, x0) := "ei'" (t, x0)b,
avec une fois de plus b provenant de la d´efinition 2.1.5 et 2 C1
c (R ⇥ Rd 1), nulle pour les
temps n´egatifs et strictement positive sur ]0, T [. R´eit´erant les mˆemes arguments d’interpolation que pr´ec´edemment, on peut montrer que
kg"kHs2(@⌦T) C" 1
Utilisant l’estimation d’´energie (2.51) on montre que u" est O⇣"12+
⌘
dans L2(⌦T). On construit
maintenant un d´eveloppement BKW ; on sait alors que ku" ei'"Uev
0 kL2(⌦T) C".
Donc, U0ev est O⇣"12+
⌘
dans L2(⌦T), ce qui conduit en r´eit´erant les arguments utilis´es au sous-
paragraphe 2.4.1 au fait que ↵0 est nul. Or, l’´equation de transport dont ↵0 est solution est (2.46)
o`u le terme source est donn´e par : ˜ g0= b· g B X m2O u1,m|xd=0 ! , qui dans le cas pr´esent s’´ecrit :
˜
g0 = |b|2,
puisqu’en l’absence de terme source oscillant `a l’int´erieur, les termes oscillants d’ordre un sortants sont solutions de l’´equation de transport homog`ene (2.41) et sont donc nuls. D’o`u la contradiction recherch´ee, car ↵0 est solution d’une ´equation de transport non triviale donc ne peut ˆetre nul. On
conclut donc que s2 12.
⇤